I. Điều kiện tối ưu cấp hai
Phần này tập trung vào điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán đa mục tiêu sử dụng đạo hàm parabolic. Các điều kiện này giúp xác định nghiệm tối ưu trong tập các điểm dừng. Các hàm được xét là khả vi Fréchet với đạo hàm liên tục hoặc ổn định. Các điều kiện này được thiết lập dựa trên nghiên cứu của Novo (2010) và các tác giả khác.
1.1. Tập tiếp tuyến cấp hai
Tập tiếp tuyến cấp hai là công cụ quan trọng để phân tích bài toán tối ưu đa mục tiêu. Các khái niệm như tập tiếp liên cấp hai, tập tiếp tuyến phần trong cấp hai, và tập liền kề cấp hai được định nghĩa và phân tích. Các tính chất của chúng được trình bày chi tiết, đặc biệt khi các hàm ràng buộc là khả vi liên tục hai lần.
1.2. Đạo hàm parabolic cấp hai
Đạo hàm parabolic cấp hai được sử dụng để xác định các điều kiện tối ưu cấp hai. Các đạo hàm này được định nghĩa thông qua giới hạn trên và giới hạn đơn trị. Các tính chất của đạo hàm parabolic và đạo hàm radial được so sánh, đặc biệt khi hàm có đạo hàm Fréchet liên tục hoặc ổn định.
II. Điều kiện cần tối ưu
Phần này trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp hai cho bài toán đa mục tiêu. Các điều kiện này được chia thành hai dạng: hệ không tương thích và nhân tử Lagrange. Các điều kiện này áp dụng cho các hàm khả vi Fréchet với đạo hàm liên tục hoặc ổn định.
2.1. Điều kiện cần dạng hệ không tương thích
Điều kiện cần dạng hệ không tương thích được thiết lập dựa trên các tập tiếp tuyến cấp hai và đạo hàm parabolic. Các điều kiện này được chứng minh thông qua các định lý và ví dụ minh họa. Đặc biệt, các điều kiện này áp dụng cho các hàm khả vi hai lần và các hàm C1,1.
2.2. Điều kiện cần dạng nhân tử Lagrange
Điều kiện cần dạng nhân tử Lagrange được xây dựng thông qua các quy tắc nhân tử Lagrange. Các điều kiện này liên quan đến các nón pháp tuyến và nón tuyến tính hóa. Các điều kiện này được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của tập lồi và các hàm tựa.
III. Điều kiện đủ tối ưu
Phần này trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho bài toán đa mục tiêu. Các điều kiện này được thiết lập dựa trên các đạo hàm parabolic và đạo hàm radial. Các điều kiện này áp dụng cho các hàm khả vi Fréchet hai lần và các hàm C1,1.
3.1. Điều kiện đủ dạng nhân tử Lagrange
Điều kiện đủ dạng nhân tử Lagrange được chứng minh thông qua các quy tắc nhân tử Lagrange và các tính chất của tập lồi. Các điều kiện này được áp dụng để xác định các cực tiểu địa phương chặt cấp hai cho bài toán đa mục tiêu.
