chương 1 là của Gutiérrez-Jiménez-Novo [10].1 Tập tiếp tuyến cấp hai Cho ƒ, ø và ñ lần lượt là các hàm từ IR* vào IRP, IR”" và IR". Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu sau: D-—Minf(z), (1.1) ré€M:=g'(K)nh (0), trong đó 7 là nón lồi đóng và nhọn (D2 —7 = {0}) với phần trong khác rỗng và K C ]R” là tập lồi với phần trong khác rỗng. Thứ tự bộ phận trong ]R được xác định bởi quan hệ Up =>1/—ục D. Rõ ràng bài toán (1.1) bao gồm như một trường hợp đặc biệt bài toán quy hoạch thông thường với ràng buộc bất đẳng thức g;(x) < 0,7 = 1,.,m, khi chọn K 1a géc phan tu (orthant) khong duong R”.
Cho M 1a tap con cia R”. Ta ki hiéu B(Z, ở) là hình cầu mở tâm # bán kính 6 > 0, int M 1A phan trong cia tap M, cl M 1a bao dong cia tap M, co M 1a bao léi cia tập M va cone M 1a non sinh bởi tap M. Nhắc lại rằng điểm # € M duoc goi IA cuc tiéu dia phương (cực tiểu yếu địa phương) của bài toán (1.1), kí hiệu là € LMin(f, M) (tương ứng #€ EWMIin(ƒ, M) đối với điểm cực tiểu yếu địa phương), nếu tồn tại lân cận của # sao cho (/(MñNU-= ƒ))(—=Đ) = {0} (tương ting (f( MOU ~ ƒ(#))n (—intD) = Ú đối với điểm cực tiểu yếu địa phương). Đặc biệt khi p = 1 và D = R,, chúng ta trở về khái niệm cực tiểu địa phương đã biết.
Nón cực dương của tập Mƒ € R*” được định nghĩa bởi MT =(£€R":(,z)>0,Vz€ M). Nón tiếp tuyến của M tại # € IR" là T(M,#) = {u €R" : 3i„ — 0ˆ, duy — 0 sao cho # + tuy € M,Vn € Ñ}. Sau đây là khái tập tiếp tuyến cấp hai mà ta sẽ sử dụng trong luận văn. Cho MC R" va Z,v € R".
(a) Tập tiếp liên cp hai cia M tai (Z,v) 1a T°(M,z,v) = {w € R": St, > 0°, Sw, > w sao cho 1 z+fuu+ xtntn eM, Vne NY}. (b) Tập tiếp tuyến phần trong cấp hai ctia M tai (Z,v) là IT?(M,Z,v) = {w € R” : Vtp 3 07, Wun > t0 tà có 1 # + Ey„Ð + gÍntUn € M, Wn dt lon}. (c) Tập liền kề cấp hai của M tại (Z,ø) là A’(M,Z,v) = {w € R” : Vt, > 0*, Sw, > w sao cho 1 E+t,v+ gÍntUn € M, Vn c NÑ}. T2(M,#,0) và A?(M,#,0) là các tập đóng, TT2(M, #,) là tập mở và nếu M⁄ là lồi thì 42(M,#,) và I!2(M,#,) là các tập lồi.
Hơn nữa, khi M được xác định bởi các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức khả vi liên tục hai lần với điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz, ta có A?(M,#,u) = T?(M, #, 0) (xem [B]). Kết quả sau đây bao gồm những tính chất cơ bản của tập tiếp tuyến cấp hai được định nghĩa ở trên (xem [19]). Cho M là tập con của R", # € M vav ER". Hon nita, néu M Idi, int M #0 va v € T(M,2z) thi (v) IT?(M, Z,v) C int A?(M,Z,v) C int cone[cone(M — #) — ]; (vi) Nếu A?(M,#,0) # ñ thà TTẺ(M,#,0) =in A (M,#,0) oà cl IT?(M,Z,v) = A?(M, 2, v); (vii) Néu v € cone(M — #), thi (a) IT?(M, z, v) = int cone[cone(M — z) — v] va (b) A?(M, z, v) = cl cone[cone(M — Z) — 0}.
Các tính chất trên được trình bày trong [2], [19]. Dao ham theo phương parabolic cấp hai Nếu ƒ là khả vi Eréchet tại #, khi đó đạo hàm Eréchet được kí hiệu bởi f'(z). Néu f 1a kha vi Fréchet hai lan tai Z, khi do dao ham cấp hai Fréchet được kí hiệu bởi ƒ“(#) là ánh xạ song tuyến tính liên tục từ IR” x R*” vào R’. Ta nói ƒ : R* —> IRP là ổn định tại # € R* nếu tồn tại lân cận của # và hằng số k > 0 sao cho f(x) — f(@)\| < Alla — #||, Va € U.
Ta nói ƒ là Lipschitz trên U néu ton tai s6 k > 0 sao cho f(x) — f(x’)|| < kle — «||, voi moi x, 2! € U. Ta noi f 1a Lipschitz trong mot lan cận của # nếu f 1a Lipschitz tren U vdi lan can U nao do cua #. Rõ ràng f 1a Lipschitz trén U kéo theo f ổn định tại mỗi điểm # € U, nhưng điều ngược lại không đúng. Vi du: f(a) = xsin+ ổn định tại mỗi điểm thuộc lân cận của z nhưng khong Lipschitz trén U.
Ta nói ƒ là C1! trong một lân cận của # nếu tồn tại lân cận của # sao cho f 1a C! trên U và đạo hàm ƒ” của nó là Lipschitz trên Ù. Ỏ đây chúng ta sẽ xét hàm ƒ khả vi Fréchet trên lân cận của # và đạo hàm ƒ7 của nó là ổn định tại #, tức là l/ (+) = ƒ()|| < lla — #| với mọi gần # và k > 0 nào đó. Khi ta nói ƒ' là liên tục hoặc ổn định tại Z, thi ta gia stt f’(x) tồn tại với mọi x gan Z. Ta có các kết quả sau day: (a) ƒ Ch†! trong một lân cận của # => ƒ ổn định tại # = /' liên tục tại Z.
(b) f’ lién tuc tai > f Lipschitz trong mot lân cận của Z. (c) f kha vi Fréchet tai > f 6n dinh tai Z. Ta cũng sẽ sử dụng các đạo hàm theo phương, là các ánh xạ đa trị. Ta nhắc lại giới hạn trên theo nghĩa Painlevé-Kuratowski của ánh xạ đa trị ®:R— R được định nghĩa bởi Limsup,„_,„®(u) = {y € RP : du, — ù, dụy € ®(u„) sao cho tạ —> 9}.
Cho f : R” — R? 1a ham kha vi Fréchet tai # và u,w € R".,)-3(0+,w) ˆ 1/2 : 2 (b) Đạo hàm theo phương radial cấp hai đa trị của ƒ tại # theo phương 0 là tập f(@ + te) ~ f@) = tf'@v D? f (2, v) = Limsup;_,9+ 1ự2 2 Từ định nghĩa, rõ ràng D? f(Z,v,w) va D? f(z, v) là các tập đóng. Hơn nữa, ở Định nghĩa 1.2 ta thay giới hạn trên "Limsup" bởi giới hạn "lim" ta nhận được đạo hàm theo phương parabolie cấp hai của ƒ và đạo hàm theo phương radial cấp hai của ƒ. Ta kí hiệu các đạo hàm theo phương cấp hai đơn trị đó lần lượt là af (Zz, v,w) va 2 f(%,v), va ta noi rằng ƒ là kha vi parabolic (viét gon là đ—khả vi) tại # nếu đ2ƒ(Z,0,+ø) tồn tại với moi v,w € JR°. Tương tự, ta nói rằng ƒ là đ°—khả vi tại # nếu đˆƒ(#, v) tồn tai v6i moi v € R”.
Các đạo hàm theo phương cấp hai đơn trị được sử dụng để chứng minh các điều kiện tối ưu (xem chẳng hạn [4], [5], [8], [14]). Tat nhiên, nếu d? f(z, v, w) tồn tại khi đó D2ƒ(Z,, +) = {d7ƒ(#,0,+ø)}, tương tự nếu đệ ƒ(Z, 0) tồn tại khi đó Đ?ƒ(#,ø) = {2 f(z, 0)}. Cũng chú ý rằng D2ƒ(Z,ø) được gọi là đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đa trị # > {ƒ(z)} tại (#, ƒ(Z)) theo phương (0, ƒ'(#)0) trong Định nghĩa 2. Khi ƒ Lipschitz trong một lân cận của #, dễ dàng kiểm tra được ƒ(Œ + to + 320) — ƒ(đ) — tƑ'(®)u tự2.
2 DJ, Vv, w) = Limsup;_,o+ và tương tự cho đ2ƒ(Z,ø, +). Các tính chất và các mối liên hệ giữa các đạo hàm này được cho bởi mệnh đề sau. Nếu ƒ : IR" —› IRP có đạo hàm Itréchet ƒ! ổn định tại # thà D> f(Z,v,w) la tap compact khác rỗng vdi moi v,w € R". Trude hét ta chứng mình rằng D> f (&, v,w) #0.
Xét cdc day tùy ý tạ — 0T và „ —> +. Định lý giá trị trung bình chỉ ra rằng với mọi a,b gần # ta có I. Chia cả hai về cho sử và đặt ƒ(Œ + tạo + 520„) — ƒ(®) — tuƑ'()0 " (1.3) ath Yn = 9 ta thấy rằng _ 1 lu — /'(#)a|| < 2k||o + sintnÌŸ: (1.4) Vì vậy, (0a) là bị chặn. Do đó tồn tại một dãy con hội tụ tới € D?ƒứ, 0,10).
Tiếp theo, ta chứng minh Dƒ(, v, w) 1A bi chan va do đó Dif (&, v, w) là tap compact vi nd 1a tap dong. Lay y € D> f(Z,v,w) khi d6 yn > , với „ được cho bởi (1. Lap luan tuong tu ta nhận được (1. Do đó llu — ƒ'()ee|| < 2k||e|Ủ.
Vì vậy, D> f (2, v,w) la mot tập đóng bị chặn. (1) Chứng mình được suy ra từ Mệnh dé 2. (1ñ) Phần đầu là Mệnh đề 3. Ở phần thứ hai ta xét € D> f(Z,v,w).
Khi do ton tai day (tp,Wn) > (0+, w) sao cho ƒŒ + f¿u + si 0n) — ƒ() — tuƒ()u Un = Tp > y. aon 10 Ấp dụng bất đẳng thức (1.2) với œ = d„ = # + t„0 và b = bạ = # + t„0 + 5t2Wn, ta được 1 F(Z + the + gÍnttn) — f(@+ trv) — ƒ'()(st2e6a)] f(x) — f'@)II. 1 2 < 5 tall wnllsupreta, tu) Với f’ lién tục tại #, ta có f(a) — f(@)|| = 0. limy—ooSUP ye [an bn] Chia ca hai vé cho 5, ta nhận được ƒ(# + a0 + 320„) — ƒ(& + tu) _ Yn i= ˆ Tp — f'(Z)wn > 0.
2t Nếu ta đặt — ƒ(# + t„o) — ƒ(œ) — t„Ƒ'(œ)0 ". đãi ta có Vn = Đa — Tạ — ƒ(#)tu„ > 0, va vi vay J, 2 y — f'(Z)w. Tit do suy ra y — f’(Z)w € D? f(z, v). Dé c6 bao ham thite ngug¢c lai, lay yo € D2 f(Z,v), khi do tồn tại #„ + OF sao cho Y,, > Yo, với Yn duoc cho bdi (1.
Néu chon day hang wy, = w, Vn, theo chứng minh trên ta có Uạ = Uạ + ƒ(8)0ụ + Đụ —> Ƒ (3) T 9ú, và do đó ƒf(#)t + yo € D2 f(Z, v,w). Oo Hệ qua 1. Gia st f : R" > R? cé dao ham f' lién tuc tat Z vav € R". Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (a) d?f (Z,v) ton tai; 11 (b) di f(Z,v,w) ton lại uới mọi t € R"; (c) df (Z,v, wo) ton tai vdi moi wo € R”.
Do đó, ƒ là dỀ— khả ơi tại # nếu oà chỉ nếu ƒ là dộ— khá từ tại Z.4 (ii), và (b) = (c) là hiển nhiên. Ta chứng minh (e) = (ø). Ta chỉ cần chứng minh với mọi dãy ‡„ —> 0”, ta có J, + df (%,v, wo) — ƒ'(Z)0uo, trong đó „ cho bởi công thức (1. Thật vậy, do af (x, v, Wo) ton tai, ta cd _ 1 = Vm Yn = f(z + tạU + — f(z) _ trf (z)v + df (&, v, Wo).
2n Chứng minh tương tự Mệnh đề 1. Oo Cho f :R" > R? va g: R” > R™, ham (f,g) :R" — RP x R” xác định bởi (f,9)(2) = (f(x), g(a).
