CHƯƠNG I Ý TƯỞNG CƠ BẢN VỀ MÔ HÌNH TOÁN HỌC 1.1 Giới thiệu về mô hình toán Các kỹ sư, nhà khoa học tự nhiên và ngày càng nhiều nhà nghiên cứu và thực hành làm việc trong lĩnh vực khoa học kinh tế và xã hội, sử dụng các mô hình toán học của các hệ thống mà họ đang nghiên cứu. Các mô hình cung cấp các mô tả đơn giản về các vấn đề trong cuộc sống thực để chúng có thể được diễn đạt dưới dạng các đẳng thức toán học, hy vọng có thể được giải quyết theo cách này hay cách khác. Mô hình toán học là một chủ đề khó dạy nhưng nó là những gì nói về ứng dụng toán học. Sự khó khăn là không có quy tắc thiết lập, và chỉ có thể hiểu được cách 'đúng' để lập mô hình bằng cách làm quen với một số ví dụ.
Điều này, cùng với các kỹ thuật cơ bản để giải quyết các phương trình kết quả, là nội dung chính của khóa học này. Bất chấp những khó khăn này, các nhà toán học ứng dụng có một quy trình cần được áp dụng khi xây dựng mô hình. Trước hết, phải có một hiện tượng đáng quan tâm mà người ta muốn mô tả hoặc quan trọng hơn là giải thích và đưa ra dự đoán. Quan sát hiện tượng này cho phép đưa ra giả thuyết về những đại lượng nào liên quan nhất đến vấn đề và mối quan hệ giữa chúng là gì để người ta có thể đưa ra một cơ chế giả thuyết có thể giải thích hiện tượng.
Mục đích của một mô hình là xây dựng mô tả về cơ chế này dưới dạng định lượng, nghĩa là, như các phương trình toán học và phân tích các phương trình kết quả. Sau đó, điều quan trọng là phải diễn giải các giải pháp hoặc thông tin khác được trích xuất từ các phương trình như các phát biểu về vấn đề ban đầu để chúng có thể được kiểm tra dựa trên các quan sát. Một cách lý tưởng, mô hình cũng dẫn đến các dự đoán, nếu được xác minh sẽ cho thấy tính xác thực của mô hình. Điều quan trọng là nhận ra rằng mô hình hóa thường là một thủ tục lặp đi lặp lại vì rất khó đạt được sự cân bằng giữa tính đơn giản và ý nghĩa của mô hình: thường thì mô hình hóa ra quá phức tạp để có thể tự phân tích, và thường nó được đơn giản hóa quá mức để không có đủ sự thống nhất giữa kết quả thực nghiệm thực tế và kết quả dự đoán từ mô hình.
Trong cả hai trường hợp này, chúng tôi phải quay lại bước đầu tiên của việc lập mô hình 5 và cố gắng khắc phục. Bước đầu tiên trong việc tạo mô hình là bước sáng tạo nhất nhưng cũng là bước khó khăn nhất, thường đòi hỏi sự nỗ lực phối hợp của các chuyên gia trong nhiều lĩnh vực đa dạng. Do đó, mặc dù chúng tôi mô tả chi tiết một số mô hình, bắt đầu từ các nguyên tắc đầu tiên, trọng tâm chính của khóa học là ở các giai đoạn sau của quá trình mô hình hóa, đó là: giới thiệu các ký hiệu toán học và viết các giả định dưới dạng phương trình, phân tích và / hoặc giải các phương trình này và diễn giải các giải pháp của chúng bằng ngôn ngữ của bài toán ban đầu và phản ánh xem liệu các câu trả lời có hợp lý hay không. Trong hầu hết các trường hợp được thảo luận ở đây, một mô hình là một đại diện của một quá trình, nghĩa là, nó mô tả sự thay đổi trạng thái của một số hệ thống theo thời gian.
Có hai cách mô tả những gì xảy ra với một hệ thống: rời rạc và liên tục. Các mô hình rời rạc tương ứng với tình huống mà chúng ta quan sát một hệ thống trong những khoảng thời gian hữu hạn đều đặn, chẳng hạn như mỗi giây hoặc mỗi năm và liên hệ trạng thái quan sát được của hệ thống với các trạng thái ở các phiên bản trước. Một hệ thống như vậy được mô hình hóa thông qua các phương trình vi phân. Trong trường hợp liên tục, chúng tôi coi thời gian như một chuỗi liên tục, cho phép quan sát hệ thống bất kỳ lúc nào.
Trong trường hợp này, mô hình thể hiện mối quan hệ giữa tốc độ thay đổi của các đại lượng khác nhau chứ không phải giữa các trạng thái tại các thời điểm khác nhau, và khi tốc độ thay đổi được đưa ra bởi các đạo hàm, mô hình được biểu diễn bằng phương trình vi phân. Trong hai phần tiếp theo của chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số mô hình rời rạc và liên tục đơn giản. Các mô hình này được trình bày ở đây như một minh họa cho cuộc thảo luận trên. Nghiên cứu của họ và thảo luận về các mô hình tiên tiến hơn, sẽ xuất hiện sau này trong khóa học.2 Các mô hình phương trình vi phân đơn giản 1.1 Phương trình vi phân cơ bản của toán học tài chính Xét mô hình lãi kép như sau: Lãi kép liên quan đến các khoản cho vay hoặc tiền gửi được thực hiện trong thời gian dài.
Tiền lãi được cộng vào số tiền ban đầu theo các khoảng thời gian đều đặn, được gọi là khoảng thời gian chuyển đổi và số tiền mới, thay vì số tiền ban 6 đầu, được sử dụng để tính lãi cho thời kỳ chuyển đổi tiếp theo. Phần của một năm bị chiếm bởi chu kỳ chuyển đổi được ký hiệu là α, để chu kỳ chuyển đổi là 1 tháng được cho bởi 𝛼 = 1/12. Thay vì nói rằng thời gian chuyển đổi là 1 tháng, chúng tôi nói rằng tiền lãi được gộp hàng tháng. Đối với lãi suất hàng năm là 𝑝% và thời gian chuyển đổi bằng 𝛼, tiền lãi thu được trong kỳ bằng 𝛼𝑝% của số tiền gửi vào đầu kỳ, đó là: 𝑠ố 𝑡𝑖ề𝑛 𝑔ử𝑖 𝑠𝑎𝑢 𝑠ố 𝑡𝑖ề𝑛 𝑔ử𝑖 𝑠𝑎𝑢 𝑘 { 𝑘 + 1 } = {𝑘ℎ𝑜ả𝑛𝑔 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 } 𝑘ℎ𝑜ả𝑛𝑔 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 đổ𝑖 𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 đổ𝑖 𝑠ố 𝑡𝑖ề𝑛 𝑔ử𝑖 𝑠𝑎𝑢 𝑘 𝛼𝑝 + { 𝑘ℎ𝑜ả𝑛𝑔 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 } 100 𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 đổ𝑖 Để biểu thị điều này dưới dạng phương trình vi phân, với mỗi 𝑘 để 𝑆𝑘 biểu thị số tiền gửi sau 𝑘 thời gian chuyển đổi.
Ở đây, 𝑆𝑘 tuân theo cấp số hình học để 𝛼𝑝 𝑘 𝑆𝑘 = (1 + ) 𝑆0 (1.1) 100 đưa ra công thức lãi kép. Tuy nhiên, như chúng ta sẽ thấy bên dưới, nói chung đây không phải là trường hợp, ngay cả đối với các phương trình bậc nhất. Mô hình trả nợ vay được mô tả như sau: Có thể sử dụng một chút sửa đổi đối số trên để tìm phương trình điều chỉnh việc hoàn trả khoản vay. Chương trình mô tả ở đây thường được sử dụng để trả các khoản vay mua nhà hoặc mua xe.
Việc trả nợ được thực hiện đều đặn và thường với số lượng bằng nhau để giảm khoản vay và trả lãi cho số tiền còn nợ. Theo giả định, lãi kép ở mức 𝑝% được tính trên khoản nợ chưa thanh toán với thời gian chuyển đổi đến cùng một phần α của năm với khoảng thời gian giữa các lần trả nợ. Giữa các lần thanh toán, khoản nợ tăng lên do lãi suất của khoản nợ vẫn còn tồn đọng sau lần trả nợ cuối cùng. Vì thế: 𝑛ợ 𝑠𝑎𝑢 𝑘 + 1 𝑛ợ 𝑠𝑎𝑢 𝑘 𝑙ã𝑖 𝑠𝑢ấ𝑡 𝑡𝑟ê𝑛 { }={ }+{ } − {𝑡ℎ𝑎𝑛ℎ 𝑡𝑜á𝑛} 𝑙ầ𝑛 𝑡ℎ𝑎𝑛ℎ 𝑡𝑜á𝑛 𝑙ầ𝑛 𝑡ℎ𝑎𝑛ℎ 𝑡𝑜á𝑛 𝑘ℎ𝑜ả𝑛 𝑛ợ 𝑛à𝑦 7 Để viết điều này như một phương trình vi phân, gọi 𝐷0 là khoản nợ ban đầu phải trả, với mỗi 𝑘 để dư nợ sau lần trả thứ 𝑘 là 𝐷𝑘 , và để khoản thanh toán được thực hiện sau mỗi giai đoạn chuyển đổi là 𝑅.2) 100 100 Phương trình này khó giải hơn.
Chúng ta sẽ thảo luận các phương pháp chung để giải phương trình vi phân bậc nhất trong Phần 4. Quá trình mô hình hóa trong hai ví dụ này rất đơn giản và chỉ bao gồm việc dịch các quy tắc đã cho thành các ký hiệu toán học. Điều này là do thực tế không cần phải khám phá các quy tắc này vì chúng được nêu rõ ràng trong quy định của ngân hàng.2 Phương trình vi phân của lý thuyết dân số Trong nhiều lĩnh vực của đời sống con người, điều quan trọng là phải biết dân số phát triển như thế nào và các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển của họ. Kiến thức này rất quan trọng trong các nghiên cứu về sự phát triển của vi khuẩn, quản lý động vật hoang dã, sinh thái và thu hoạch.
Nhiều loài động vật có xu hướng sinh sản trong thời gian ngắn, được xác định rõ theo mùa. Sau đó, điều tự nhiên là dân số thay đổi từ mùa này sang mùa khác và do đó thời gian được đo lường một cách riêng biệt với các số nguyên dương biểu thị mùa sinh sản. Do đó, cách tiếp cận rõ ràng để mô tả sự tăng trưởng của một quần thể như vậy là viết ra một phương trình vi phân phù hợp. Sau đó, chúng ta cũng sẽ xem xét các quần thể sinh sản liên tục (ví dụ: dân số con người).
Chúng tôi bắt đầu với các mô hình dân số rất đơn giản và thảo luận về một số biến thể thực tế hơn của chúng. Tăng trưởng theo cấp số nhân - phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất Trong tự nhiên, các loài thường cạnh tranh với nhau về thức ăn và đôi khi là con mồi. Do đó, quần thể của các loài khác nhau tương tác với nhau. Tuy nhiên, trong phòng thí nghiệm, một loài nhất định có thể được nghiên cứu cô lập.
Do đó, chúng tôi sẽ tập trung trên các mô hình cho một loài duy nhất. Chúng tôi đang xem xét các quần thể lớn trong đó các cá thể sinh ra con cái mới nhưng cũng chết sau một thời gian. Vì chúng ta đối phó với các nhóm dân số lớn, chúng ta có thể coi dân số như một tổng thể và do đó chúng ta có thể giả định 8 rằng sự gia tăng dân số được điều chỉnh bởi hành vi trung bình của từng thành viên. Do đó, chúng tôi đưa ra các giả định sau: • Mỗi thành viên của quần thể sinh ra trung bình một số con như nhau.
• Mỗi thành viên đều có cơ hội chết (hoặc sống sót) như nhau trước mùa sinh sản tiếp theo. • Tỷ lệ con cái so với con đực không đổi trong mỗi mùa sinh sản. Chúng tôi cũng giả định: • Sự khác biệt về tuổi tác giữa các thành viên trong quần thể có thể được bỏ qua. • Dân cư bị cô lập - không có di dân hoặc di cư.
Giả sử rằng trung bình mỗi thành viên của quần thể sinh ra một số con là 𝛼, vào mỗi mùa.