chương 1 sẽ được sử dụng để nghiên cứu các bài toán truyền sóng Lamb trong các tấm phân lớp ở các chương sau. 13 Chương 2 Sóng Lamb trong tấm composite hai lớp đàn hồi trực hướng với liên kết lò xo Trong chương này, ta nghiên cứu sự truyền của sóng Lamb theo hướng x1 trong tấm composite phân lớp gồm hai lớp trực hướng chiếm các miền −h1 ≤ x2 ≤ 0 (lớp 1 có độ dày h1 , mật độ khối lượng ρ̄, các hằng số vật liệu c̄ij ) và lớp 2 chiếm miền 0 ≤ x2 ≤ h2 (lớp 2 có độ dày h2 , mật độ khối lượng ρ, các hằng số vật liệu cij ) (xem hình 2. Giả thiết rằng tại các mặt x2 = −h1 và mặt x2 = h2 tự do với ứng suất và liên kết giữa hai lớp là liên kết lò xo. Ta giả sử các trục vật liệu của hai lớp vật liệu trùng nhau và trùng với các trục tọa độ 0x1 , 0x2 và 0x3.
Để phân biệt các đại lượng của lớp 1 và lớp 2, tất cả các đại lượng của lớp 1 được phân biệt bởi dấu gạch ngang.1: Mô hình truyền sóng Lamb trong tấm composite 2 lớp trực hướng.1 Phương trình tán sắc của sóng Lamb cho trường hợp nén được Xét sự truyền của sóng Lamb theo hướng x1 với vận tốc c(> 0) và số sóng k(> 0). Trường chuyển dịch và ứng suất của sóng Lamb có dạng: ū1 = Ū1 (y)eik(x1 −ct) , ū2 = Ū2 (y)eik(x1 −ct) , ū3 ≡ 0, (2.2) ik(x1 −ct) ik(x1 −ct) σ12 = kΣ1 (y)e , σ22 = kΣ2 (y)e , y = kx2 cho lớp 2, trong đó Uj (y), Σj (y) và Ūj (y), Σ̄j (y) là những hàm cần xác định. Giả thiết tấm composite tự do với ứng suất, tức là: σ12 = σ22 = 0 tại x2 = h2 và σ̄12 = σ̄22 = 0 tại x2 = −h1 (2.3) hay tương đương: Σ(h2 ) = 0, Σ̄(−h1 ) = 0 (2.19) với a = −h1 , b = 0 và sử dụng (2.5) trong đó T3 và T4 là các ma trận chuyển của lớp 1 cho bởi (1.22) với đại lượng ε được thay thế bởi ε̄ = kh1. Cụ thể, các phần tử của ma trận M(1) là: (1) M11 = [γ̄ chε̄][β̄ shε̄; γ̄] − γ̄1 γ̄2 [chε̄][β̄ shε̄] /D̄1 , (1) M22 = β̄1 β̄2 [ᾱ; γ̄ shε̄][chε̄] + [ᾱ; β̄ chε̄][β̄; γ̄ shε̄] /D̄2 , (1) M12 = −i β̄1 β̄2 [γ̄ chε̄][chε̄] + [β̄ shε̄][β̄; γ̄ shε̄] /D̄, (1) M21 = i [ᾱ; γ̄ shε̄][β̄ shε̄; γ̄] − γ̄1 γ̄2 [ᾱ; β̄ chε̄][chε̄] /D̄ (2.
Tương tự, áp dụng (1.24) với a = 0 và b = h2 và xét đến (2.7) 15 trong đó các phần tử của ma trận M(2) được xác định bởi: (2) M11 = − [γ chε][β shε; γ] − γ1 γ2 [chε][β shε] /D1 , (2) M22 = − β1 β2 [α; γ shε][chε] + [α; β chε][β; γ shε] /D2 , (2) M12 = −i β1 β2 [γ chε][chε] + [β shε][β; γ shε] /D, (2) M21 = i [α; γ shε][β shε; γ] − γ1 γ2 [α; β chε][chε] /D (2.8) trong đó ε = kh2 và D = [α; γ shε][β shε] − [α; β chε][γ chε], D1 = D[γ]/[α; β] và D2 = D[α; β]/[γ]. Giả thiết liên kết giữa hai lớp là liên kết lò xo nên ta có (xem [8, 22, 1]): σ12 (0) = KT u1 (0) − ū1 (0) , σ22 (0) = KN u2 (0) − ū2 (0) , (2.9) σ̄12 (0) = σ12 (0), σ̄22 (0) = σ22 (0) trong đó KT là độ cứng tiếp và KN là độ cứng pháp của lò xo.9) ta được: k k Ū1 (0) = − Σ1 (0) + U1 (0), Ū2 (0) = − Σ2 (0) + U2 (0), KT KN (2.10) Σ̄1 (0) = Σ1 (0), Σ2 (0) = Σ̄2 (0) Dưới dạng ma trận (2.10) được biểu diễn như sau: Ū(0) = U(0) + KΣ(0), Σ̄(0) = Σ(0) (2.11) trong đó ma trận K được xác định: −k/KT 0 K= (2.11) ta suy ra: (1) (2) (1) (2) M −M +M KM U(0) = 0 (2.13) Do U(0) ̸= 0, định thức của ma trận hệ số của phương trình (2. Điều này dẫn đến: k k k (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) M11 − M11 − M11 M11 − M12 M21 M22 − M22 − M M KT KN KT 21 12 k k k (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) − M M − M12 − M12 − M M − M M KN 22 22 KT 11 12 KN 12 22 k k (1) (2) (1) (2) (1) (2) × M21 − M21 − M M − M M =0 KT 21 11 KN 22 21 (2.14) 16 với Mij(k) được xác định bởi (2. Phương trình (2.14) là phương trình tán sắc của sóng Lamb trong tấm composite hai lớp trực hướng nén được với liên kết lò xo.8) dễ dàng thấy rằng phương trình tán sắc (2.14) là hoàn toàn tường minh.
Trường hợp liên kết gắn chặt Lấy giới hạn hai vế của phương trình (2.14) khi KT → +∞ và KN → +∞, ta thu được phương trình tán sắc của sóng Lamb truyền dọc theo biên phân chia của tấm composite hai lớp trực hướng nén được với liên kết gắn chặt. Phương trình này có dạng: (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) M11 − M11 M22 − M22 − M12 − M12 M21 − M21 =0 (2.15) Trường hợp liên kết trượt Nhân hai vế của phương trình (2.14) với KT , sau đó lấy giới hạn hai vế của phương trình kết quả khi KT → 0 và KN → +∞, ta thu được phương trình tán sắc của sóng Lamb truyền dọc theo biên phân chia của tấm composite hai lớp trực hướng nén được với liên kết trượt. Phương trình này có dạng: (1) (2) (2) (1) (1) (2) (2) (2) (1) (1) M11 M11 M22 − M22 − M11 M12 M21 + M11 M12 M21 = 0 (2.2 Phương trình tán sắc của sóng cho trường hợp không nén được 2.1 Phương pháp giới hạn không nén được Vĩnh và cộng sự [26] đã giới thiệu "phương pháp giới hạn không nén được", ứng dụng cho vật thể đàn hồi chịu biến dạng phẳng. Bằng cách sử dụng phương pháp này lời giải của các bài toán đàn hồi không nén được chịu biến dạng phẳng có thể đạt được từ lời giải của các bài toán đàn hồi nén được tương ứng, bằng cách lấy "giới hạn không nén được".
Sau đây, kí hiệu "lim" chỉ giới hạn từ vật liệu trực hướng nén được sang vật liệu trực hướng không nén được. Xét vật thể đàn hồi trực hướng nén được chịu biến dạng phẳng mà các thành phần chuyển dịch có dạng: u1 = u1 (x1 , x2 , t), u2 = u2 (x1 , x2 , t), u3 ≡ 0 (2.17) 17 và các phương trình cơ bản được cho bởi (1.4) không có dấu gạch ngang. Theo các tác giả Vĩnh và cộng sự [26] thì: Mệnh đề 1: Tại giới hạn không nén được ta có mối quan hệ sau: 1 1 1 1 s′11 = , s′66 = , δ = ′ , c66 = ′ (2.18) δ c66 s11 s66 trong đó cij và s′ij tương ứng là các hằng số đàn hồi cứng và hằng số đàn hồi mềm rút gọn [34] của vật thể đàn hồi không nén được và δ = c11 + c22 − 2c12. Mệnh đề 2: Ta có các đẳng thức giới hạn sau: lim ∆ = 0, lim ∆.
Chú ý rằng, đối với vật liệu đàn hồi trực hướng nén được chịu biến dạng phẳng (2.20) ∆ Nhận xét: i) Từ (2.19) suy ra tại giới hạn không nén được ta có c11 , c22 , c12 bằng vô cùng (vì lim∆ = 0 và s′11 có giá trị hữu hạn). ii) Tuy nhiên, theo mệnh đề 1: 0 < s′11 < +∞, limc11 + limc22 − 2limc12 là một số hữu hạn dương. Áp dụng mệnh đề 1,2, ta có mệnh đề sau (theo [26]). Mệnh đề 3: Khi lớp vật liệu đàn hồi trực hướng nén được tiến đến giới hạn không nén được, ta có: P̄ ′ = lim P̄ = 1 − x̄, S̄ ′ = lim S̄ = ēδ − x̄ − 2, ′ 1 ′ −c̄66 (b̄2j + 1) ᾱj = lim ᾱj = − , β̄j = lim β̄j = , (2.21) b̄j b̄j γ̄j′ = lim γ̄j = c̄66 (x̄ − ēδ + 1 + b̄2j ), j = 1, 2 cho lớp 1, trong đó: δ̄ ēδ = , δ̄ = c̄11 + c̄22 − 2c̄12 , x̄ = ρ̄c2 /c̄66 (2.22) c̄66 và: P ′ = lim P = 1 − x, S ′ = lim S = eδ − x − 2, 1 −c66 (b2j + 1) αj′ = lim αj = − , βj′ = lim βj = , (2.23) bj bj γj′ = lim γj = c66 (x − eδ + 1 + b2j ), j = 1, 2 18 cho lớp 2, với: δ eδ = , δ = c11 + c22 − 2c12 , x = ρc2 /c66 (2.21) được tính theo công thức (1.10) với P̄ và S̄ được xác định bởi (1.23) được xác định như (1.10) nhưng bỏ dấu gạch ngang.
Sau đây, phương pháp giới hạn không nén được sẽ được sử dụng để tìm ra các phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng Lamb trong tấm composite hai lớp trực hướng, trong đó ít nhất một lớp là không nén được.2 Phương trình tán sắc trường hợp không nén được/không nén được Xét sóng Lamb truyền trong tấm composite gồm hai lớp trực hướng không nén được chiếm các miền −h1 ≤ x2 ≤ 0 (lớp 1 có độ dày h1 ) và lớp 2 chiếm miền 0 ≤ x2 ≤ h2 (lớp 2 có độ dày h2 ) với liên kết lò xo. Mặt x2 = −h1 và mặt x2 = h2 tự do với ứng suất. Giả sử sóng Lamb truyền theo hướng x1 với vận tốc c(> 0) và số sóng k(> 0). Để tìm phương trình tán sắc của sóng Lamb cho trường hợp này, ta lấy giới hạn hai vế của phương trình (2.14) khi vật liệu của cả hai lớp tiến đến giới hạn không nén được và sử dụng (2.23) ta được phương trình tán sắc chính xác dạng hiện của sóng Lamb cho trường hợp không nén được/không nén được với liên kết lò xo: k k k (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) M11 − M11 − M11 M11 − M12 M21 M22 − M22 − M21 M12 K K KT k T k N k (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) − M22 M22 − M12 − M12 − M11 M12 − M12 M22 K KT KN N k k (1) (2) (1) (2) (1) (2) × M21 − M21 − M M − M M =0 KT 21 11 KN 22 21 (2.25) với Mij(k) được xác định bởi (2.