Mô Hình Toán Học Trong Lý Thuyết Phương Trình Vi Phân - Luận Văn Thạc Sĩ

Mô hình toán học trong phương trình vi phân: khám phá ứng dụng, phân loại và cách xây dựng mô hình toán để giải quyết bài toán thực tế.

• Tác giả: Huỳnh Thị Bảo Trâm
• Người hướng dẫn: TS. Lê Hải Trung
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng
• Chuyên ngành: Toán Giải Tích
• Đề tài: Mô Hình Toán Trong Lý Thuyết Phương Trình Vi Phân
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Đà Nẵng

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
• 1.1. Khái niệm cơ bản của phương trình vi phân
• 1.2. Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp một
• 1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
• 1.4. Phương trình vi phân thuần nhất cấp hai hệ số hằng
• 1.5. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất hệ số hằng
• 1.6. Khái niệm cơ bản của hệ phương trình vi phân
• 1.7. Quá trình hình thành hệ
• 1.8. Hệ phương trình vi phân tuyến tính
• 1.9. Tính chất đại số của hệ phương trình vi phân
• 1.10. Nghiệm cơ sở và bài toán không thuần nhất
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ MÔ HÌNH CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
• 2.1. Một số mô hình trong phân tích kinh tế
• 2.2. Mô hình lãi kép liên tục
• 2.3. Mô hình điều chỉnh giá thị trường
• 2.4. Mô hình dân số liên tục
• 2.5. Một số phương trình chuyển động
• 2.6. Quá trình dao động cưỡng bức
• 2.7. Vấn đề xử lý chất thải
• 2.8. Chuyển động trong trường hấp dẫn thay đổi
• 2.9. Một số mô hình trong hình học
• 2.10. Đường cong đuổi bắt
• 2.11. Mô hình hóa các đại lượng tương tác
• 2.12. Mô hình hai ngăn trộn
• 2.13. Mô hình liên tục của dịch tễ học
• 2.14. Mô hình động vật ăn thịt - con mồi
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Mô Hình Toán Ứng Dụng Phương Trình Vi Phân

Mô hình toán học là công cụ mạnh mẽ để mô tả các hệ thống và hiện tượng trong tự nhiên và đời sống. Đặc biệt, nó được ứng dụng rộng rãi trong khoa học tự nhiên, kỹ thuật, và cả khoa học xã hội. Các kỹ sư và nhà khoa học sử dụng mô hình toán học như một công cụ để nghiên cứu và giải quyết vấn đề. Các mô hình này mô tả các vấn đề trong cuộc sống bằng các phương trình toán học, phương trình sai phân, hoặc hệ phương trình tuyến tính. Trong số đó, các vấn đề được mô tả bằng phương trình vi phân hoặc hệ phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng. Một ví dụ điển hình là sự phát triển dân số. Việc mô tả sự tăng trưởng dân số và các yếu tố ảnh hưởng đến nó có thể được thực hiện thông qua phương trình vi phân. Ví dụ, mô hình tăng trưởng dân số trong điều kiện thường có thể được biểu diễn bằng phương trình: y'(t) = ky(t)(1 - y(t)/M), trong đó y(t) là hàm tăng trưởng dân số, k là tỷ lệ tăng trưởng, và M là giới hạn dân số. Nhờ mô hình này, các nhà khoa học có thể dự đoán dân số thế giới và đưa ra các biện pháp can thiệp phù hợp về an ninh, quân sự, kinh tế và cơ sở hạ tầng. Bên cạnh vấn đề dân số, mô hình toán ứng dụng phương trình vi phân còn được sử dụng rộng rãi trong kinh tế (ví dụ: bài toán lãi kép liên tục) và vật lý (ví dụ: phương trình chuyển động, xử lý chất thải) và nhiều lĩnh vực khác của xã hội.

1.1. Khái niệm cơ bản về Phương Trình Vi Phân và Ứng dụng

Phương trình vi phân là phương trình chứa biến số, hàm số cần tìm và đạo hàm (vi phân) các cấp của hàm số đó. Chúng được chia thành nhiều loại, trong đó hai loại chính là phương trình vi phân thường (ODEs) và phương trình đạo hàm riêng (PDEs). Phương trình vi phân thường chứa hàm chưa biết là hàm một biến và các đạo hàm theo nghĩa thông thường. Phương trình đạo hàm riêng thể hiện mối liên hệ giữa một hàm nhiều biến và các đạo hàm riêng của nó. Các ứng dụng phương trình vi phân rất đa dạng, từ mô tả chuyển động của vật thể đến mô hình hóa sự lây lan của dịch bệnh. Ví dụ, phương trình vi phân có thể được sử dụng để mô tả sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian hoặc để dự đoán sự phát triển của một quần thể sinh vật.

1.2. Tầm quan trọng của Mô Hình Toán trong giải quyết Bài Toán

Mô hình toán học là công cụ quan trọng giúp chúng ta hiểu và giải quyết các bài toán phức tạp trong nhiều lĩnh vực. Bằng cách trừu tượng hóa các hệ thống và hiện tượng thực tế thành các phương trình và quy tắc toán học, chúng ta có thể phân tích, dự đoán và kiểm soát các quá trình này. Mô hình toán học cho phép chúng ta khám phá các mối quan hệ, đánh giá các kịch bản khác nhau và đưa ra các quyết định dựa trên cơ sở khoa học. Ví dụ, trong kỹ thuật, mô hình toán học được sử dụng để thiết kế và tối ưu hóa các hệ thống, từ cầu đường đến máy bay và tàu vũ trụ.

II. Thách Thức Xây Dựng Mô Hình Toán từ Phương Trình Vi Phân

Việc xây dựng mô hình toán học từ phương trình vi phân không phải lúc nào cũng đơn giản. Một trong những thách thức lớn nhất là đảm bảo rằng mô hình phản ánh chính xác thực tế. Điều này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cả toán học và lĩnh vực ứng dụng cụ thể. Các giả định đơn giản hóa có thể dẫn đến sai lệch trong kết quả, trong khi các mô hình quá phức tạp có thể khó giải quyết và phân tích. Một thách thức khác là xác định các tham số phù hợp cho mô hình. Các tham số này thường được ước tính từ dữ liệu thực tế, nhưng việc thu thập dữ liệu đầy đủ và chính xác có thể là một nhiệm vụ khó khăn. Ngoài ra, việc kiểm tra tính đúng đắn của mô hình và đánh giá độ tin cậy của các dự đoán cũng là một bước quan trọng trong quá trình xây dựng mô hình.

2.1. Các Giả Định Đơn Giản Hóa và Ảnh hưởng đến Kết Quả Mô Hình

Trong quá trình xây dựng mô hình toán học, việc sử dụng các giả định đơn giản hóa là điều cần thiết để giảm độ phức tạp của mô hình và giúp nó dễ giải quyết hơn. Tuy nhiên, các giả định này có thể ảnh hưởng đến tính chính xác của kết quả. Ví dụ, trong mô hình tăng trưởng dân số, giả định rằng tỷ lệ sinh và tử là hằng số có thể không đúng trong thực tế, vì tỷ lệ này có thể thay đổi theo thời gian do các yếu tố như điều kiện kinh tế, chính sách xã hội và tiến bộ y học. Do đó, cần phải cẩn trọng trong việc lựa chọn các giả định đơn giản hóa và đánh giá ảnh hưởng của chúng đến kết quả mô hình.

2.2. Xác định Tham Số Mô Hình Thu thập và Xử lý Dữ Liệu

Việc xác định các tham số phù hợp cho mô hình là một bước quan trọng trong quá trình xây dựng mô hình toán học. Các tham số này thường được ước tính từ dữ liệu thực tế, nhưng việc thu thập dữ liệu đầy đủ và chính xác có thể là một nhiệm vụ khó khăn. Dữ liệu có thể bị thiếu, nhiễu hoặc không đại diện cho toàn bộ hệ thống. Do đó, cần phải sử dụng các phương pháp thống kê và kỹ thuật xử lý dữ liệu để làm sạch, biến đổi và ước tính các tham số một cách chính xác. Ngoài ra, cần phải đánh giá độ tin cậy của các ước tính và xem xét ảnh hưởng của sai số ước tính đến kết quả mô hình.

III. Phương Pháp Giải Phương Trình Vi Phân Ứng Dụng Mô Hình Toán

Có nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân trong mô hình toán học. Các phương pháp này có thể được chia thành hai loại chính: phương pháp giải tích và phương pháp số. Phương pháp giải tích tìm nghiệm chính xác của phương trình, nhưng chúng chỉ có thể áp dụng cho một số loại phương trình nhất định. Phương pháp số sử dụng các thuật toán để xấp xỉ nghiệm của phương trình, và chúng có thể áp dụng cho nhiều loại phương trình khác nhau, bao gồm cả những phương trình không có nghiệm giải tích. Một số phương pháp số phổ biến bao gồm phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta và phương pháp phần tử hữu hạn. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào loại phương trình, độ chính xác mong muốn và tài nguyên tính toán có sẵn.

3.1. Phương Pháp Giải Tích và Điều Kiện Ứng Dụng Cụ Thể

Phương pháp giải tích tìm nghiệm chính xác của phương trình vi phân, nhưng chúng chỉ có thể áp dụng cho một số loại phương trình nhất định, chẳng hạn như phương trình tuyến tính với hệ số hằng, phương trình tách biến và phương trình vi phân chính xác. Điều kiện áp dụng của các phương pháp này phụ thuộc vào dạng của phương trình và các tính chất của các hàm số liên quan. Ví dụ, phương trình tuyến tính với hệ số hằng có thể được giải bằng cách tìm nghiệm của phương trình đặc trưng, trong khi phương trình tách biến có thể được giải bằng cách tích phân hai vế. Việc lựa chọn phương pháp giải tích phù hợp đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các loại phương trình và các kỹ thuật giải tương ứng.

3.2. Phương Pháp Số Ưu điểm và Hạn chế của từng Phương Pháp

Phương pháp số sử dụng các thuật toán để xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân, và chúng có thể áp dụng cho nhiều loại phương trình khác nhau, bao gồm cả những phương trình không có nghiệm giải tích. Một số phương pháp số phổ biến bao gồm phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta và phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp Euler là phương pháp đơn giản nhất, nhưng nó có độ chính xác thấp. Phương pháp Runge-Kutta có độ chính xác cao hơn, nhưng nó đòi hỏi nhiều tính toán hơn. Phương pháp phần tử hữu hạn có thể được sử dụng để giải các phương trình đạo hàm riêng trên các miền phức tạp, nhưng nó đòi hỏi kiến thức chuyên môn về phân tích số và lập trình.

3.3. Phần Mềm Hỗ Trợ Giải Phương Trình Vi Phân MATLAB Python

Có nhiều phần mềm hỗ trợ giải các phương trình vi phân và xây dựng mô hình toán học. MATLAB là một môi trường tính toán số mạnh mẽ với nhiều công cụ và hàm số được thiết kế đặc biệt để giải các bài toán toán học, khoa học và kỹ thuật. Python cũng là một ngôn ngữ lập trình phổ biến với nhiều thư viện như NumPy, SciPy và Matplotlib, cung cấp các công cụ để giải các phương trình vi phân, thực hiện phân tích số và trực quan hóa kết quả. Việc sử dụng các phần mềm này giúp giảm bớt gánh nặng tính toán và cho phép người dùng tập trung vào việc xây dựng và phân tích mô hình.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Mô Hình Toán trong Kinh Tế Vật Lý

Mô hình toán ứng dụng phương trình vi phân có vô số ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong kinh tế, chúng được sử dụng để mô hình hóa các quá trình như tăng trưởng kinh tế, điều chỉnh giá thị trường và dự báo tài chính. Trong vật lý, chúng được sử dụng để mô tả chuyển động của vật thể, truyền nhiệt, dao động và sóng. Trong sinh học, chúng được sử dụng để mô hình hóa sự tăng trưởng dân số, lây lan của dịch bệnh và tương tác giữa các loài. Trong kỹ thuật, chúng được sử dụng để thiết kế và tối ưu hóa các hệ thống, từ cầu đường đến máy bay và tàu vũ trụ. Ví dụ, mô hình lãi kép liên tục là một ứng dụng quan trọng trong kinh tế, trong khi phương trình chuyển động và mô hình truyền nhiệt là những ứng dụng quan trọng trong vật lý.

4.1. Ứng Dụng Phương Trình Vi Phân trong Mô Hình Kinh Tế

Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng các mô hình kinh tế. Ví dụ, mô hình lãi kép liên tục sử dụng phương trình vi phân để mô tả sự tăng trưởng của tiền gửi theo thời gian. Mô hình điều chỉnh giá thị trường sử dụng phương trình vi phân để mô tả quá trình điều chỉnh giá cả để đạt đến trạng thái cân bằng. Các mô hình kinh tế khác sử dụng phương trình vi phân để mô tả các quá trình như tăng trưởng kinh tế, lạm phát và thất nghiệp.

4.2. Mô Hình Toán Giải Bài Toán Vật Lý Chuyển động Truyền Nhiệt

Trong vật lý, phương trình vi phân được sử dụng rộng rãi để mô tả các hiện tượng tự nhiên. Phương trình chuyển động mô tả sự thay đổi vị trí của vật thể theo thời gian dưới tác dụng của lực. Mô hình truyền nhiệt mô tả sự lan truyền nhiệt trong vật chất. Các ứng dụng khác bao gồm mô tả dao động, sóng, điện từ trường và cơ học lượng tử.

4.3. Mô hình Dịch Tễ Học Ứng dụng và nghiên cứu sự lây lan dịch bệnh

Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong mô hình hóa sự lây lan của dịch bệnh. Các mô hình dịch tễ học, chẳng hạn như mô hình SIR (Susceptible-Infected-Recovered), sử dụng phương trình vi phân để mô tả sự thay đổi số lượng các cá thể trong các trạng thái khác nhau (dễ mắc bệnh, nhiễm bệnh, khỏi bệnh) theo thời gian. Các mô hình này có thể giúp dự đoán sự lây lan của dịch bệnh, đánh giá hiệu quả của các biện pháp can thiệp và đưa ra các quyết định chính sách.

V. Nghiên Cứu và Kết Quả Mới Mô Hình Toán Phương Trình Vi Phân

Nghiên cứu về mô hình toán ứng dụng phương trình vi phân vẫn đang tiếp tục phát triển. Các nhà nghiên cứu đang tìm kiếm các phương pháp mới để xây dựng mô hình chính xác hơn, giải quyết các phương trình phức tạp hơn và ứng dụng mô hình vào các lĩnh vực mới. Ví dụ, các mô hình dựa trên học máy đang được sử dụng để cải thiện độ chính xác của dự đoán và khám phá các mối quan hệ phức tạp trong dữ liệu. Ngoài ra, các mô hình đa tỷ lệ đang được phát triển để mô tả các hệ thống có nhiều quy mô thời gian và không gian khác nhau.

5.1. Ứng dụng Học Máy để cải thiện độ chính xác Mô Hình

Học máy (Machine Learning) đang ngày càng được ứng dụng để cải thiện độ chính xác của các mô hình toán học dựa trên phương trình vi phân. Các thuật toán học máy có thể được sử dụng để ước tính các tham số của mô hình từ dữ liệu, khám phá các mối quan hệ phức tạp giữa các biến số và dự đoán kết quả của các hệ thống phức tạp. Ví dụ, học máy có thể được sử dụng để dự đoán sự lây lan của dịch bệnh, đánh giá hiệu quả của các biện pháp can thiệp và tối ưu hóa các chiến lược kiểm soát.

5.2. Mô Hình Đa Tỷ Lệ Phân tích hệ thống phức tạp

Các mô hình đa tỷ lệ (Multiscale Models) được sử dụng để mô tả các hệ thống có nhiều quy mô thời gian và không gian khác nhau. Các hệ thống này có thể bao gồm các quá trình xảy ra ở quy mô vi mô (ví dụ: tương tác giữa các phân tử) và các quá trình xảy ra ở quy mô vĩ mô (ví dụ: sự phát triển của một quần thể). Các mô hình đa tỷ lệ cho phép chúng ta kết hợp thông tin từ các quy mô khác nhau để hiểu và dự đoán hành vi của toàn bộ hệ thống.

VI. Tương Lai Hướng Phát Triển Mô Hình Toán và Phương Trình Vi Phân

Tương lai của mô hình toán ứng dụng phương trình vi phân rất hứa hẹn. Với sự phát triển của công nghệ tính toán và các phương pháp toán học mới, chúng ta có thể kỳ vọng vào các mô hình chính xác hơn, hiệu quả hơn và có khả năng ứng dụng rộng rãi hơn. Các mô hình này sẽ đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ y học và môi trường đến kinh tế và xã hội. Ví dụ, chúng có thể được sử dụng để phát triển các phương pháp điều trị bệnh mới, dự đoán các thảm họa thiên nhiên và thiết kế các chính sách kinh tế hiệu quả.

6.1. Ứng Dụng Mô Hình Toán trong Y Học Chẩn đoán và điều trị

Mô hình toán có tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong y học, từ chẩn đoán bệnh đến phát triển các phương pháp điều trị mới. Các mô hình có thể được sử dụng để mô tả sự tương tác giữa các tế bào, mô và cơ quan trong cơ thể, dự đoán sự tiến triển của bệnh và đánh giá hiệu quả của các phương pháp điều trị. Ví dụ, chúng có thể được sử dụng để thiết kế các phác đồ điều trị ung thư tối ưu, dự đoán nguy cơ mắc bệnh tim mạch và phát triển các loại thuốc mới.

6.2. Dự Đoán Thảm Họa Thiên Nhiên và Biến Đổi Khí Hậu

Mô hình toán có thể được sử dụng để dự đoán các thảm họa thiên nhiên như lũ lụt, hạn hán, động đất và sóng thần. Các mô hình này sử dụng các phương trình vi phân để mô tả các quá trình vật lý và hóa học liên quan đến các thảm họa này. Chúng có thể giúp chúng ta hiểu rõ hơn về nguyên nhân và hậu quả của các thảm họa, dự đoán thời gian và cường độ của chúng và đưa ra các biện pháp phòng ngừa và giảm thiểu rủi ro.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. Khái niệm cơ bản của phương trình vi phân Phương trình vi phân là phương trình có chứa biến số, hàm số cần tìm và đạo hàm (vi phân) các cấp của hàm số đó. Phương trình vi phân được chia thành nhiều loại. Hai loại chính là phương trình vi phân thường (ODEs) và phương trình vi phân riêng phần (PDEs) hay còn loại là phương trình đạo hàm riêng.

Phương trình vi phân thường là phương trình trong đó có chứa hàm chưa biết là hàm một biến và các đạo hàm theo nghĩa thông thường. Phương trình đạo hàm riêng là một phương trình vi phân thể hiện mối liên hệ giữa một hàm nhiều biến và các đạo hàm riêng của nó. Trong luận văn này, ta chỉ quan tâm đến phương trình vi phân thường và hệ phương trình phương trình vi phân thường. Phương trình vi phân thường được xem xét dưới dạng sau đây: F (y (n) , y (n−1) , .1) trong đó F là hàm đã cho của n + 2 biến, y = y(t) là ẩn hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm (đến cấp nào đó) của y(t).

Để giải phương trình (1.1) ta phải tìm được hàm số φ(t) xác định trong khoảng (a, b) sao cho khi thay y = φ(t), y 0 = φ0 (t), .1) ta được đồng nhất thức F (φ(n) (t), φ(n−1) (t),. Xét các hàm số y1 (t) = 30e2t , y2 (t) = 30e3t và y3 (t) = 40e2t. Kiểm tra xem hàm số nào là nghiệm của phương trình y 0 = 2y ? • Với hàm số y1 (t) = 30e2t , ta có vế trái bằng 60e2t và vế phải bằng 2.30e2t , như vậy vế trái bằng vế phải và do đó y1 (t) = 30e2t là một 5 nghiệm của phương trình đã cho. • Với hàm số y2 (t) = 30e3t , ta có vế trái bằng 90e3t , trong khi đó vế phải bằng 2.30e3t , nên y2 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

• Tương tự, ta cũng kiểm tra được y3 thỏa mãn phương trình đã cho. Như vậy, chắc chắn có thể kiểm tra xem một hàm đã cho có là nghiệm của phương trình hay không. Do đó, thông qua ví dụ này đặt ra ba câu hỏi sau đây: Câu hỏi 1. Có thể chắc chắn rằng phương trình đã cho có nghiệm hay không? Câu hỏi 2.

Nếu ta biết có một nghiệm thì liệu có cách nào để tìm ra nó? Câu hỏi 3. Nếu tìm ra một nghiệm, có chắc rằng không còn nghiệm nào khác hay không? Câu hỏi 1 chính là bài toán tồn tại nghiệm và câu hỏi 3 là bài toán duy nhất nghiệm của phương trình vi phân thường. Ta xem xét câu hỏi 1 trước tiên. Nói một cách đơn giản, ta có thể gặp các trường hợp sau: 1.

Không tồn tại hàm thỏa mãn phương trình. Phương trình có nghiệm nhưng chưa biết dạng. Phương trình có thể giải được nhưng ở dạng đóng, hay trong các hàm cơ bản hoặc trong phép cầu phương. Trường hợp 1 không phổ biến lắm trong toán học và nó không bao giờ xảy ra trong mô hình toán học.

Trong thực tế, nếu một phương trình đã cho là sự phản ánh chính xác của một hiện tượng thực tế, thì hiện tượng này thực tế sẽ đảm bảo nghiệm của phương trình là tồn tại. Ví dụ nếu ta có phương trình mô tả dòng nước thì thực tế là dòng nước chảy sẽ đủ để khẳng định phương trình có nghiệm. Tuy nhiên, nhìn chung các mô hình là sự phản ánh không hoàn hảo của cuộc sống thực nên có thể trong quá 6 trình mô hình hóa chúng ta đã bỏ lỡ một thực tế quan trọng khiến cho phương trình cuối cùng có thể không giải quyết được. Do đó việc kiểm tra xem một phương trình đã cho có thể giải được hay không là bước đầu quan trọng trong việc xác nhận mô hình.

Thật không may, những vấn đề này thường khó khăn và đòi hỏi một nền tảng cơ sở toán học cao cấp rất khắt khe và rộng lớn. Mặt khác, tất cả các phương trình mà chúng ta giải quyết là cổ điển và vấn đề cơ bản của bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm được giải quyết tích cực vào đầu thế kỉ XX. Trường hợp 2 có thể hơi khó hiểu, nhưng như đã nói ở trên, có những định lý cho phép xác định sự tồn tại của nghiệm mà không hiển thị dạng của chúng. Khi biết tồn tại nghiệm, ta có thể sử dụng các phương pháp số, gần đúng để tìm các giá trị nghiệm với độ chính xác tùy ý.

Trường hợp 3 giải thích về ý nghĩa của các thuật ngữ được sử dụng trong các mục con, lưu ý rằng một tình huống là lý tưởng nếu ta có thể tìm ra nghiệm dưới dạng tổ hợp đại số của các hàm cơ bản y(t) = tổ hợp của các hàm cơ bản như: sin t, cos t, ln t, cấp số nhân, đa thức,. Thực tế cho thấy trường hợp này xảy ra không nhiều, trừ phi ta có sự sắp đặt trên cơ sở xây dựng một nền tảng lý thuyết đủ "đẹp", như trường hợp của các phương trình với biến số phân ly, phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng,. Ngay cả những trường hợp đơn giản nhất của phương trình vi phân liên quan đến các hàm cơ bản cũng có thể không có nghiệm như vậy. Xét phương trình y 0 = e−t.

Z 2 Lấy tích phân hai vế ta được y(t) = e−t dt. Tích phân này không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp của các hàm cơ bản. Điều này dẫn đến định nghĩa phép cầu phương. Ta nói một phương trình là giải được bằng phép cầu phương nếu một nghiệm của phương trình này được viết dưới dạng tích phân của các hàm cơ bản (như trên).

Vì ta biết 7 rằng mọi hàm liên tục đều có nguyên hàm (mặc dù thường không tìm thấy nguyên hàm một cách rõ ràng). Việc trả lời câu hỏi 1 và 2 đã trình bày sự tồn tại nghiệm và khả năng giải quyết phương trình vi phân. Ta tiếp tục chuyển sang vấn đề về tính duy nhất.1 ta thấy rằng phương trình vi phân xác định một họ nghiệm chứ không phải một hàm duy nhất. Trong trường hợp cụ thể này, nghiệm của phương trình phụ thuộc vào tham số tùy ý.

Một ví dụ đơn giản về phương trình vi phân cấp hai y 00 = t, bằng cách lấy tích phân trực tiếp ta được y = 16 t3 + C1 t + C2 , cho thấy rằng phương trình cấp hai ta mong đợi có nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số tùy ý. Từ đó có thể dự đoán cho nghiệm của phương trình cấp n sẽ chứa n tham số. Một lớp đầy đủ như vậy được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân. Nếu gán cho C của nghiệm tổng quát một giá trị xác định, ta được nghiệm gọi là nghiệm riêng của phương trình.

Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp một Xét phương trình vi phân cấp một được cho bởi: dy = f (t, y).2) dt Bài toán xác định nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp một (1.2) thỏa mãn điều kiện: y 0 = f (t, y), y(t0 ) = y0 (1.3) được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện y(t0 ) = y0 được gọi là điều kiện ban đầu với y0 , t0 là giá trị được cho trước. Để giải quyết bài toán này ta phải tìm một hàm y(t) khả vi liên tục ít nhất trong khoảng (t1 , t2 ) có chứa t0 thỏa mãn: y 0 (t) ≡ f (t, y(t)) với mọi t ∈ (t1 , t2 ), y(t0 ) = y0. Xét ví dụ dưới đây: Ví dụ 1.

Kiểm tra hàm y(t) = sin t có phải là một nghiệm của phương 8 trình sau hay không? p π y0 = 1 − y 2 , t ∈ (0, ), 2 π y( ) = 1 2 p p Lời giải. Ta có vế trái y 0 (t) = cos t, vế phải 1 − y 2 = 1 − sin2 t = | cos t| = cos t với t ∈ (0, π2 ). Vì vậy hàm y(t) = sin t thỏa mãn phương trình đã cho. Ngoài ra sin π2 = 1 nên điều kiện ban đầu cũng thỏa mãn.

Vậy làm thế nào để biết một phương trình đã cho có nghiệm? Đối với phương trình ở dạng (1.2), câu trả lời trong định lý sau đây. Nếu hàm f trong (1.3) liên tục trong lân cận của điểm (t0 , y0 ) thì bài toán (1.3) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (t1 , t2 ) chứa t0. Do đó ta có thể chắc chắn về nghiệm cho một lớp lớn phương trình vi phân thường có dạng (1.2) ngay cả khi ta không biết công thức rõ ràng của chúng. Ta quan tâm đến tính duy nhất nghiệm của một phương trình vi phân thường, ta biết rằng mỗi phương trình xác định một lớp nghiệm, đối với phương trình vi phân thường cấp một, lớp nghiệm này là một họ các hàm phụ thuộc vào một tham số tùy ý.

Do đó, về nguyên tắc, khi đưa vào điều kiện bổ sung như (1.3) ta có thể xác định được hằng số này sao cho bài toán Cauchy (1.3) chỉ có một nghiệm. Tuy vậy, trong nhiều trường hợp lập luận trên có thể không xảy ra.Ví dụ sau đây chứng tỏ cho ta về điều đó. Bài toán Cauchy √ y0 = y, t>0 y(0) = 0, luôn có hai nghiệm: y ≡ 0 và y = 14 t2. Rõ ràng nghiệm y ≡ 0 là không 9 phụ thuộc vào điều kiện y(0) = 0.

Tuy vậy, có một lớp lớn các hàm f để cho (1.3) có chính xác một nghiệm. Kết quả này được phát biểu bằng định lý Picard dưới đây. Cho f và ∂f /∂y liên tục trong lân cận của (t0 , y0 ). Khi đó bài toán Cauchy (1.3) có chính xác một nghiệm xác định trong lân cận của t0.

Ta đã thấy trong ví dụ 1.3 có hai nghiệm cho bài toán √ y 0 = y, t ≥ 0 y(0) = 0. √ √ Trong trường hợp này ta có f (t, y) = y và fy = 1/(2 y), rõ ràng fy không liên tục trong bất kỳ lân cận nào của điểm (0, 0) và hiển nhiên là điều kiện của định lý Picard là không thỏa mãn. Một ví dụ khác về tính không đồng nhất y 0 = (sin 2t)y 1/3 , t≥0 y(0) = 0.4) Thay trực tiếp ta thấy có ít nhất 3 nghiệm khác nhau cho phương trình này: y1 ≡ 0, y2 = 8/27 sin3 t và y3 = − 8/27 sin3 t, các nghiệm này p p đều thỏa mãn y(0) = 0. Tuy vậy, ∂f 1 −2/3 ∂y = sin 2t( 3 .