Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Mô hình hóa toán học 1. Mô hình, mô hình toán học và mô hình hóa toán học Theo từ điển Tiếng Việt thì mô hình là vật cùng hình dạng nhưng được làm thu nhỏ lại nhiều lần, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác, thường nhằm mục đích để trình bày, nghiên cứu. Ví dụ: Mô hình ô tô, mô hình khu công nghiệp, mô hình công viên nước, ….
Ngoài ra, mô hình còn được hiểu là hình thức diễn đạt hết sức ngắn gọn, theo một ngôn ngữ nào đó, các đặc trưng chủ yếu của một đối đối tượng, để nghiên cứu đối tượng ấy. Ví dụ: Mô hình của một câu đơn (gồm một nòng cốt câu với hai bộ phận chính là chủ ngữ và vị ngữ) Theo Nguyễn Thị Tân An (2012), mô hình là một mẫu, một kế hoạch, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một đối tượng, một hệ thống hay một khái niệm. Mô hình theo ý nghĩa vật lí của nó, đó là bản sao, thường thì nhỏ hơn của một đối tượng. Mô hình đó có cùng nhiều tính chất với đối tượng gốc: nó có cùng những điểm đặc trưng, có thể là màu sắc thậm chí cả chức năng với đối tượng mà mô hình đó biểu diễn.
Một mô hình lí thuyết của một sự vật hiện tượng là một tập hợp các quy tắc biểu diễn sự vật hiện tượng đó trong đầu của người quan sát. [1] Như vậy, mô hình có thể hiểu như là một vật, một mẫu được thiết kế mà thông qua chúng, ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể gốc. Từ đó, ta có thể nghiên cứu, tìm hiểu và khám phá các đặc trưng của vật thể mà không cần tạo ra vật thể thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó.
Mô hình toán học, theo từ điển Tiếng Việt, là hệ thống các công thức, phương trình, ký hiệu toán học diễn đạt các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng, dùng để nghiên cứu đối tượng ấy.665] Theo Nguyễn Danh Nam (2015), mô hình toán học (mô hình sử dụng trong dạy Toán) là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một 5 hệ thống nào đó. Nó có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính. [18] Theo Từ điển bách khoa toàn thư, MHH là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên. Sự chuyển đổi này được đặt dưới sự kiểm tra của tư duy lôgic hay tư duy toán học.
MHH toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này. MHH toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [1]. MHH trong dạy học Toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin và các công cụ trực quan khác. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy Toán học như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa.[28] Như vậy, có thể nói mô hình là một mẫu được thiết kế để nhìn ra được các đặc điểm từ vật thể, tình huống gốc ban đầu; mô hình Toán học là mô hình sử dụng ngôn ngữ Toán học để mô tả một tình huống nào đó thông qua quá trình MHH toán học, tức là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết các vấn đề Toán học liên quan đến các tình huống thực tiễn.
Mô hình toán học và MHH có vai trò hết sức quan trọng, không chỉ trong nội bộ môn Toán và nó còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong sinh học: Mô hình về sự phát triển của dân số [32] Một mô hình đơn giản cho bài toán này là Mô hình gia tăng dân số của Maithus (1798). Đây là mô hình mô tả sự tăng trưởng của dân số theo hàm mũ dựa trên sự bất biến của tỉ lệ của hệ số phức. Nó được xác định bởi công thức: 6 P t P0ert Trong đó: + P t : Là dân số tại thời điểm t + P0 : Là dân số ban đầu (tức là tại thời điểm t = 0) + r : Là tỉ lệ gia tăng dân số tại thời điểm t Hình 1.
Mô hình gia tăng dân số của Maithus (1798) Hình 1.1 thể hiện ba kịch bản thay đổi dân số theo thời gian: Nếu tỉ lệ r 0 thì dân số tăng dần, nếu r 0 thì dân số giảm dần, nếu r 0 thì dân số sẽ giữ nguyên. Về mặt trực quan thì ta thấy điều này là hợp lí vì nếu r 0 tức là tỉ lệ sinh lớn hơn tỉ lệ tử, nghĩa là dân số sẽ tăng và ngược lại. Tuy nhiên, vì sự đơn giản nên mô hình này chỉ phù hợp hữu ích cho việc dự đoán trong khoảng thời gian ngắn, và không tốt nếu áp dụng cho khoảng thời gian 10 hay 20 năm hoặc lâu hơn. Bởi lẽ, mô hình đã không tính đến thực tế những điều kiện tự nhiên (môi trường sống, tài nguyên, …) cũng chỉ hạn chế trong một giới hạn.
Khi dân số tăng đến một ngưỡng nào đó thì những điều kiện tự nhiên này không đáp ứng được nhu cầu sinh hoạt của người dân (lương thực thiếu hụt, ô nhiễm môi trường, …). Dẫn đến tỉ lệ sinh giảm mà tỉ lệ tử tăng. Khi đó, mô hình này không còn phản ánh đúng thực tế nữa. Để khắc phục yếu điểm này Pierre 7 Francois Verhulst đã phát triển mô hình hàm logistic vào năm 1838 và vẫn được sử dụng đến ngày nay: C C P0 r Pt vt , với K , v 1 Ke P0 1 P C Trong đó: + P t : Là dân số tại thời điểm t + P0 : Là dân số ban đầu (tức là tại thời điểm t = 0) + C: Là ngưỡng chặn trên của dân số Trong cơ học cổ điển: Mô hình dao động của dây, của màng; mô hình chuyển động của tên lửa; mô hình chuyển động của tàu ngầm.
Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hòa. Về mặt động học dao động điều hòa được miêu tả bởi hệ thức: q Asin kt Trong đó: + q : Là tọa độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc tọa độ); + A : Là biên độ dao động; + kt : Là pha dao động với α là pha ban đầu; k là tần số (riêng) dao động. Ngoài ra, mô hình toán học còn được ứng dụng trong khoa học máy tính (mô hình kiến trúc mạng, mô hình dữ liệu, đồ họa máy tính.), trong kinh tế (mô hình mô tả hành vi (có lí trí) của một khách hàng…), trong điện tử (mô hình quang phổ, mô hình năng lượng,. Quy trình mô hình hóa toán học Khi mô tả về quy trình MHH toán học, đã có nhiều sơ đồ được đưa ra để chỉ ra một cách tương đối rõ ràng về bản chất của MHH toán học, trở thành một hướng dẫn để thiết kế các hoạt động MHH trong quá trình dạy học.
Một số quy trình mà luận văn đã tìm hiểu được là: 8 * Quy trình của Blum (2005): Sơ đồ 1. Quy trình mô hình hóa 7 bước của Blum [1] Quy trình gồm 7 bước: Bước 1: Đọc hiểu tình huống thực và xây dựng mô hình cho tình huống đó; Bước 2: Xây dựng mô hình thực của tình huống bằng cách đơn giản hóa và xác định các biến phù hợp; Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán; Bước 4: Giải bài toán trong nội bộ môn toán để tìm kết quả; Bước 5: Chuyển kết quả toán thành kết quả thực; Bước 6: Kiểm tra tính phù hợp của kết quả với mô hình thực; Bước 7: Trình bày và trả lời cho tình huống thực. * Quy trình của Stillman (2007): Sơ đồ 1. Quy trình mô hình hóa 7 bước của Stillman [1] 9 Trong quy trình trên, các mục từ A đến G biểu diễn các bước của quá trình MHH; các mũi tên đậm biểu thị sự chuyển đổi giữa các bước, các mũi tên nhạt thể hiện sự tồn tại của hoạt động phản ánh (trong trường hợp không thể chuyển sang bước tiếp theo thì quay lại xem xét các bước phía trước của chu trình).
Quá trình MHH bắt đầu từ bước 1 và kết thúc bởi việc thể hiện kết quả MHH hoặc tiếp tục một chu trình MHH khác nếu kết quả là không thỏa đáng ở một phương diện nào đó. * Quy trình của PISA (2006): Sơ đồ 1. Quy trình mô hình hóa 5 bước của PISA (2006)[1] Quy trình gồm 5 bước: Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế; Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo các khái niệm toán học; Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một bài toán mà thể hiện trung thực cho tình huống; Bước 4: Giải quyết bài toán; Bước 5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế, xác định những hạn chế của lời giải. 10 * Quy trình phỏng theo Coulange (1997) của Lê Thị Hoài Châu (2015): Sơ đồ 1.
Quy trình mô hình hóa 4 bước phỏng theo Coulange (1997)[9] Quy trình gồm 4 bước: Bước 1. Xây dựng mô hình phỏng thực tiễn của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập những quy luật phải tuân theo. Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình phỏng thực tiễn. Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2.