Mô Hình Hóa Trong Dạy Học Định Lý Côsin Ở Hình Học Lớp 10

Chuyên khảo giáo dục phân tích Luận văn mô hình hóa trong dạy học định lí côsin ở hình học lớp 10, đánh giá các khía cạnh quan trọng, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo.

• Tác giả: Vũ Thị Thu Hiền
• Người hướng dẫn: TS. Trần Anh Dũng
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Lí Luận Và Phương Pháp Dạy Học Bộ Môn Toán
• Đề tài: Mô Hình Hóa Định Lý Côsin Trong Dạy Học Hình Học Lớp 10
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Thành Phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỤC LỤC
• 1. MỞ ĐẦU
• 1.1. MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ CÔSIN Ở VIỆT NAM VÀ MỸ
• 1.1.1. Dạy học định lí côsin ở Việt Nam
• 1.1.2. Mô hình hóa trong hình học 10 cơ bản
• 1.1.3. Mô hình hóa trong hình học 10 nâng cao
• 1.1.4. Dạy học định lí côsin ở Mỹ
• 1.2. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
• 1.2.1. Giới thiệu thực nghiệm
• 1.2.2. Mục đích thực nghiệm
• 1.2.3. Đối tượng thực nghiệm
• 1.2.4. Các bài toán thực nghiệm
• 1.2.5. Dàn dựng và phân tích kịch bản
• 1.2.6. Phân tích tiên nghiệm
• 1.2.7. Bài toán mở đầu
• 1.2.8. Phân tích hậu nghiệm
• 1.2.9. Những ghi nhận tổng quát
• 1.2.10. Phân tích chi tiết
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• PHỤ LỤC

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Định Lý Côsin Ứng Dụng và Lịch Sử

Bài viết này khám phá sâu về định lý côsin, một công cụ toán học mạnh mẽ với nhiều ứng dụng thực tế. Chúng ta sẽ đi từ lịch sử hình thành, vai trò của nó trong hình học lớp 10, đến các phương pháp mô hình hóa để giảng dạy hiệu quả. Mục tiêu là giúp học sinh không chỉ nắm vững công thức mà còn hiểu rõ bản chất và ứng dụng của định lý côsin trong giải quyết các bài toán thực tế. Theo Pickover (2009), định lý côsin đã xuất hiện ngầm trong công trình Những nguyên lí của Euclid từ thế kỷ III trước Công nguyên, chứng tỏ tầm quan trọng lâu đời của nó trong toán học.

1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của định lý côsin

Từ công trình của Euclid đến công thức hiện đại, định lý côsin đã trải qua một quá trình phát triển lâu dài. Euclid đã sử dụng các khái niệm về diện tích hình vuông và hình chữ nhật để diễn đạt các mối quan hệ tương tự như định lý côsin. Ngày nay, chúng ta sử dụng các ký hiệu và công thức đại số để biểu diễn một cách ngắn gọn và hiệu quả hơn. Sự phát triển này phản ánh sự tiến bộ của toán học và nhu cầu biểu diễn các khái niệm một cách chính xác và dễ hiểu hơn.

1.2. Vai trò của định lý côsin trong hình học lớp 10

Định lý côsin là một công cụ quan trọng trong việc giải tam giác, tính khoảng cách và góc trong nhiều bài toán hình học lớp 10. Nó cho phép chúng ta liên hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác bất kỳ, không chỉ tam giác vuông. Điều này mở ra khả năng giải quyết các bài toán phức tạp hơn và ứng dụng vào các lĩnh vực thực tế như trắc địa, xây dựng và vật lý.

II. Thách Thức Dạy và Học Định Lý Côsin ở Lớp 10

Việc dạy và học định lý côsin ở lớp 10 đối mặt với nhiều thách thức. Học sinh thường gặp khó khăn trong việc ghi nhớ công thức, áp dụng vào giải bài tập, và đặc biệt là liên hệ với các bài toán thực tế. Giáo viên cần có phương pháp giảng dạy sáng tạo, sử dụng mô hình hóa và các ví dụ minh họa sinh động để giúp học sinh hiểu sâu sắc và hứng thú hơn với định lý côsin. Kết quả khảo sát cho thấy nhiều học sinh lớp 11 không nhớ công thức và gặp khó khăn khi giải quyết bài toán thực tế liên quan đến định lý côsin.

2.1. Khó khăn của học sinh trong việc ghi nhớ và áp dụng công thức

Công thức của định lý côsin có thể gây khó khăn cho học sinh trong việc ghi nhớ, đặc biệt là khi có nhiều biến số và mối quan hệ phức tạp. Để khắc phục, giáo viên có thể sử dụng các phương pháp trực quan, sơ đồ tư duy và bài tập luyện tập đa dạng để giúp học sinh nắm vững công thức và áp dụng một cách linh hoạt.

2.2. Thiếu liên hệ giữa định lý côsin và bài toán thực tế

Học sinh thường không thấy được sự liên hệ giữa định lý côsin và các bài toán thực tế, dẫn đến việc học một cách máy móc và thiếu hứng thú. Giáo viên cần tạo ra các tình huống thực tế, sử dụng mô hình hóa và các ví dụ minh họa sinh động để giúp học sinh thấy được ứng dụng của định lý côsin trong cuộc sống.

2.3. Đánh giá tính ứng dụng thực tế của định lý côsin

Phỏng vấn học sinh lớp 11 cho thấy nhiều em không nhớ bài toán thực tế nào trong SGK có sử dụng định lý côsin. Điều này cho thấy cần tăng cường tính thực tiễn trong giảng dạy và đưa ra các ví dụ cụ thể để học sinh thấy được vai trò của định lý côsin trong giải quyết các vấn đề thực tế.

III. Mô Hình Hóa Toán Học Giải Pháp Dạy Định Lý Côsin

Mô hình hóa toán học là một phương pháp hiệu quả để giúp học sinh hiểu sâu sắc và ứng dụng định lý côsin vào giải quyết các bài toán thực tế. Bằng cách chuyển đổi các vấn đề thực tế thành các mô hình toán học, học sinh có thể khám phá, suy luận và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Quá trình mô hình hóa bao gồm các bước: xây dựng mô hình trung gian, chuyển thành mô hình toán học, giải quyết mô hình và kiểm định kết quả.

3.1. Các bước trong quy trình mô hình hóa toán học

Quy trình mô hình hóa toán học bao gồm 4 bước chính: (1) Chuyển hệ thống ngoài toán học thành mô hình trung gian; (2) Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học; (3) Hoạt động toán học trong mô hình toán học; (4) Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được. Mỗi bước đều quan trọng và đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng tư duy, phân tích và giải quyết vấn đề.

3.2. Ưu điểm của phương pháp mô hình hóa trong dạy học

Phương pháp mô hình hóa giúp học sinh phát triển năng lực khám phá, suy luận, sáng tạo và giải quyết vấn đề. Nó cũng giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về bản chất của định lý côsin và ứng dụng của nó trong thực tế. Ngoài ra, mô hình hóa còn giúp học sinh rèn luyện kỹ năng làm việc nhóm, giao tiếp và trình bày ý tưởng.

3.3. Ví dụ về mô hình hóa bài toán thực tế với định lý côsin

Một ví dụ về mô hình hóa là bài toán tính khoảng cách giữa hai điểm trên bản đồ khi biết khoảng cách từ mỗi điểm đến một điểm thứ ba và góc giữa hai đường thẳng nối các điểm này. Học sinh có thể xây dựng mô hình tam giác, sử dụng định lý côsin để tính khoảng cách cần tìm và kiểm định kết quả với thực tế.

IV. Hướng Dẫn Chi Tiết Mô Hình Hóa Định Lý Côsin Lớp 10

Để mô hình hóa định lý côsin hiệu quả trong dạy học hình học lớp 10, cần có kế hoạch cụ thể và chi tiết. Giáo viên cần lựa chọn các bài toán thực tế phù hợp, hướng dẫn học sinh xây dựng mô hình toán học, giải quyết mô hình và kiểm định kết quả. Sử dụng phần mềm hỗ trợ như Geogebra hoặc Cabri có thể giúp học sinh trực quan hóa mô hình và dễ dàng thực hiện các phép tính.

4.1. Lựa chọn bài toán thực tế phù hợp với định lý côsin

Bài toán thực tế cần có tính ứng dụng cao, gần gũi với cuộc sống và có thể giải quyết bằng định lý côsin. Ví dụ, bài toán tính chiều cao của một tòa nhà khi biết khoảng cách từ một điểm đến chân tòa nhà, góc nhìn từ điểm đó đến đỉnh tòa nhà và góc giữa đường thẳng nối điểm đó với chân tòa nhà và một đường thẳng khác.

4.2. Xây dựng mô hình toán học từ bài toán thực tế

Học sinh cần xác định các yếu tố quan trọng trong bài toán, biểu diễn chúng bằng các biến số và thiết lập mối quan hệ giữa các biến số này. Ví dụ, trong bài toán tính chiều cao tòa nhà, học sinh cần xác định khoảng cách, góc nhìn và góc giữa các đường thẳng, sau đó sử dụng định lý côsin để thiết lập phương trình.

4.3. Sử dụng phần mềm hỗ trợ mô hình hóa và giải bài toán

Geogebra và Cabri là các phần mềm hữu ích giúp học sinh trực quan hóa mô hình toán học, thực hiện các phép tính và kiểm tra kết quả. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng phần mềm một cách hiệu quả để hỗ trợ quá trình mô hình hóa và giải bài toán.

V. Ứng Dụng Thực Tế và Nghiên Cứu Về Định Lý Côsin

Định lý côsin không chỉ là một công cụ toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như trắc địa, xây dựng, vật lý và kỹ thuật. Các nghiên cứu về định lý côsin cũng đã chỉ ra vai trò quan trọng của nó trong việc phát triển tư duy toán học và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh. Việc tích hợp các ứng dụng thực tế và kết quả nghiên cứu vào giảng dạy sẽ giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về định lý côsin.

5.1. Định lý côsin trong trắc địa xây dựng và vật lý

Trong trắc địa, định lý côsin được sử dụng để tính khoảng cách và góc trên bề mặt trái đất. Trong xây dựng, nó được sử dụng để thiết kế các công trình có hình dạng phức tạp. Trong vật lý, nó được sử dụng để tính lực và vận tốc trong các hệ thống cơ học.

5.2. Nghiên cứu về ảnh hưởng của định lý côsin đến tư duy toán học

Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc học định lý côsin giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề. Nó cũng giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa các khái niệm toán học và ứng dụng của chúng trong thực tế.

5.3. Bài toán ứng dụng định lý côsin trong thực tế

Bài toán tính khoảng cách từ một người quan sát đến một con tàu trên biển khi biết khoảng cách từ người quan sát đến hai điểm trên bờ biển và góc giữa hai đường thẳng nối người quan sát với hai điểm đó. Học sinh có thể sử dụng định lý côsin để giải bài toán này và hiểu được ứng dụng của nó trong thực tế.

VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Mô Hình Hóa Định Lý Côsin

Mô hình hóa là một phương pháp hiệu quả để dạy và học định lý côsin ở lớp 10. Bằng cách sử dụng phương pháp này, học sinh có thể hiểu sâu sắc hơn về bản chất và ứng dụng của định lý côsin trong giải quyết các bài toán thực tế. Trong tương lai, cần có thêm nhiều nghiên cứu và phát triển các công cụ hỗ trợ mô hình hóa để giúp học sinh học toán một cách hiệu quả và hứng thú hơn.

6.1. Tóm tắt các kết quả chính về mô hình hóa định lý côsin

Mô hình hóa giúp học sinh phát triển tư duy toán học, kỹ năng giải quyết vấn đề và hiểu sâu sắc hơn về định lý côsin. Nó cũng giúp học sinh thấy được ứng dụng của toán học trong cuộc sống và tạo hứng thú học tập.

6.2. Đề xuất hướng phát triển phương pháp mô hình hóa

Cần có thêm nhiều nghiên cứu về mô hình hóa trong dạy học toán, phát triển các công cụ hỗ trợ mô hình hóa và đào tạo giáo viên về phương pháp này. Đồng thời, cần tích hợp mô hình hóa vào chương trình giảng dạy toán ở các cấp học khác nhau.

6.3. Tầm quan trọng của việc ứng dụng định lý côsin vào thực tế

Việc ứng dụng định lý côsin vào thực tế giúp học sinh thấy được vai trò quan trọng của toán học trong cuộc sống và tạo động lực học tập. Nó cũng giúp học sinh phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề và chuẩn bị cho các công việc trong tương lai.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Định lí côsin là một trong những kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình hình học lớp 10, có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn như tính toán khoảng cách, góc trong các mô hình tam giác. Theo ước tính, việc dạy học định lí côsin hiện nay tại Việt Nam còn nhiều hạn chế trong việc phát huy tính ứng dụng thực tế và năng lực mô hình hóa toán học của học sinh. Nghiên cứu này tập trung xây dựng một tiến trình dạy học bằng mô hình hóa nhằm giúp học sinh lớp 10 tham gia tích cực vào quá trình mô hình hóa toán học, từ đó nâng cao năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn liên quan đến định lí côsin.

Phạm vi nghiên cứu được giới hạn trong chương trình hình học lớp 10 tại các trường phổ thông ở Việt Nam, với thời gian thực nghiệm từ năm 2018. Nghiên cứu cũng so sánh thể chế dạy học định lí côsin giữa Việt Nam và Mỹ để rút ra những điểm mạnh, điểm yếu và đề xuất giải pháp phù hợp. Mục tiêu cụ thể là xây dựng tiểu đồ án dạy học bằng mô hình hóa, giúp học sinh hiểu sâu sắc vai trò của định lí côsin trong thực tế, đồng thời phát triển năng lực toán học thông qua các tình huống có vấn đề.

Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục phổ thông, đáp ứng yêu cầu phát triển năng lực chung và năng lực chuyên biệt của học sinh trong bối cảnh hội nhập quốc tế và công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu dựa trên ba lý thuyết chính trong lĩnh vực Didactic Toán:

• Thuyết nhân học: Giúp phân tích mối quan hệ giữa thể chế dạy học và tri thức toán học, đặc biệt là định lí côsin trong chương trình hình học 10, từ đó hiểu được cách thức tổ chức và truyền đạt kiến thức trong nhà trường.

• Lý thuyết mô hình hóa trong dạy học: Theo đó, mô hình toán học là cấu trúc toán học biểu diễn đặc điểm của một tình huống thực tiễn. Quá trình mô hình hóa gồm bốn bước: xây dựng mô hình định tính, chuyển sang mô hình toán học, giải quyết mô hình toán học, và phân tích, kiểm định kết quả với thực tế. Lý thuyết này là nền tảng để xây dựng tiến trình dạy học bằng mô hình hóa.

• Lý thuyết tình huống: Định nghĩa các loại tình huống trong dạy học như tình huống có vấn đề, tình huống gợi vấn đề, giúp thiết kế các bài toán thực tiễn có tính kích thích tư duy và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.

Các khái niệm chuyên ngành được sử dụng gồm: mô hình toán học, tình huống có vấn đề, bài toán thực tiễn, tổ chức toán học, kiểu nhiệm vụ (KNV) trong dạy học định lí côsin.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp kết hợp phân tích lý thuyết và nghiên cứu thực nghiệm:

• Nguồn dữ liệu: Bao gồm sách giáo khoa (SGK) hình học 10 cơ bản và nâng cao của Việt Nam, sách Precalculus của Mỹ, các tài liệu tham khảo về mô hình hóa và định lí côsin, cùng dữ liệu khảo sát ý kiến học sinh và giáo viên tại một số trường THPT.

• Phương pháp phân tích: Phân tích nội dung chương trình, SGK, sách bài tập (SBT), sách giáo viên (SGV) để xác định các tổ chức toán học, kiểu nhiệm vụ liên quan đến định lí côsin và mô hình hóa. So sánh thể chế dạy học giữa Việt Nam và Mỹ để rút ra điểm mạnh, điểm yếu.

• Nghiên cứu thực nghiệm: Xây dựng và triển khai tiểu đồ án dạy học bằng mô hình hóa định lí côsin tại trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, tỉnh Đồng Nai với đối tượng là học sinh lớp 10. Phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm qua các bài toán thực nghiệm, thu thập dữ liệu về hiệu quả dạy học.

• Cỡ mẫu và chọn mẫu: Thực nghiệm với khoảng 30 học sinh lớp 10, được chọn theo phương pháp chọn mẫu thuận tiện tại trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, đảm bảo tính đại diện cho nhóm học sinh có năng lực học tập trung bình và khá.

• Timeline nghiên cứu: Nghiên cứu được thực hiện trong năm học 2018, bao gồm giai đoạn chuẩn bị, xây dựng tiến trình dạy học, triển khai thực nghiệm, thu thập và phân tích dữ liệu, viết báo cáo.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Định lí côsin trong chương trình hình học 10 Việt Nam chủ yếu tập trung vào giải các bài toán toán học, ít chú trọng ứng dụng thực tế và mô hình hóa. Tỉ lệ các kiểu nhiệm vụ (KNV) thuộc bài toán thực tế chỉ chiếm khoảng 3% trong chương trình cơ bản và 11% trong chương trình nâng cao. Ví dụ, trong SGK cơ bản, chỉ có một ví dụ về tính cường độ hợp lực là bài toán ngoài toán học có mô hình hóa, còn lại chủ yếu là bài toán thuần túy.

2. Tiến trình dạy học định lí côsin ở Việt Nam chưa khai thác hiệu quả mô hình hóa toán học. Các bước mô hình hóa như xây dựng mô hình trung gian, mô hình toán học và giải mô hình được thực hiện một phần, nhưng bước phân tích và kiểm định kết quả với thực tế thường không được học sinh thực hiện hoặc không được khuyến khích. Điều này làm giảm tính tích cực và sáng tạo trong học tập.

3. So sánh với thể chế dạy học Mỹ qua sách Precalculus, chương trình Mỹ có sự linh hoạt hơn trong việc đưa vào các bài toán thực tế và mô hình hóa, ví dụ như tính khoảng cách giữa hai tàu, tính góc so với hướng cố định. Tuy nhiên, chương trình Mỹ cũng không tập trung dạy học bằng mô hình hóa một cách hệ thống mà chủ yếu sử dụng mô hình toán học đã cho sẵn.

4. Phương pháp chứng minh định lí côsin và các hệ quả trong chương trình nâng cao có sự đa dạng, sử dụng cả phương pháp vectơ và phương pháp hình học cổ điển, giúp học sinh phát triển kỹ năng chứng minh và tư duy logic. Tỉ lệ các bài tập yêu cầu chứng minh hệ thức trong chương trình nâng cao cao hơn đáng kể so với chương trình cơ bản.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy việc dạy học định lí côsin hiện nay tại Việt Nam còn thiên về truyền đạt kiến thức thuần túy, chưa khai thác hết tiềm năng của mô hình hóa toán học trong phát triển năng lực học sinh. Việc thiếu các bài toán thực tế và tình huống có vấn đề làm giảm sự hứng thú và khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.

So với chương trình Mỹ, thể chế dạy học Việt Nam có phần cứng nhắc hơn, ít tạo điều kiện cho học sinh tự xây dựng mô hình và kiểm định kết quả. Tuy nhiên, chương trình Mỹ cũng chưa thực sự khai thác triệt để mô hình hóa như một phương pháp dạy học chủ đạo.

Việc sử dụng mô hình hóa trong dạy học định lí côsin không chỉ giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về bản chất toán học mà còn phát triển năng lực giải quyết vấn đề, tư duy phản biện và sáng tạo. Các biểu đồ thể hiện tỉ lệ KNV thực tế so với toán học, sơ đồ tiến trình mô hình hóa và bảng so sánh các kiểu nhiệm vụ giữa hai thể chế sẽ minh họa rõ nét hơn các phát hiện này.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Xây dựng và áp dụng tiến trình dạy học bằng mô hình hóa định lí côsin trong chương trình hình học 10: Thiết kế các tình huống có vấn đề thực tế, khuyến khích học sinh tự xây dựng mô hình trung gian và mô hình toán học, giải quyết và kiểm định kết quả. Mục tiêu nâng tỉ lệ bài toán thực tế lên ít nhất 20% trong vòng 2 năm. Chủ thể thực hiện: Bộ Giáo dục và Đào tạo phối hợp với các trường đại học sư phạm.

2. Đào tạo giáo viên về phương pháp dạy học mô hình hóa và ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy định lí côsin: Tổ chức các khóa tập huấn, hội thảo chuyên đề nhằm nâng cao năng lực chuyên môn và phương pháp sư phạm cho giáo viên Toán. Thời gian thực hiện trong 1 năm, ưu tiên các trường THPT trọng điểm.

3. Phát triển tài liệu dạy học và bài tập thực tiễn phong phú, đa dạng: Soạn thảo sách bài tập, tài liệu tham khảo có các bài toán thực tế liên quan đến định lí côsin, bao gồm các bước mô hình hóa rõ ràng, giúp học sinh luyện tập và phát triển năng lực. Thời gian hoàn thiện trong 18 tháng, phối hợp giữa nhà xuất bản và các chuyên gia giáo dục.

4. Khuyến khích nghiên cứu và thực nghiệm đổi mới phương pháp dạy học định lí côsin tại các trường phổ thông: Hỗ trợ các đề tài nghiên cứu, thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá hiệu quả mô hình hóa trong dạy học, từ đó nhân rộng mô hình thành công. Chủ thể thực hiện: các trường đại học sư phạm, sở giáo dục địa phương, trong vòng 3 năm.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên Toán phổ thông: Nắm bắt phương pháp dạy học mô hình hóa, áp dụng tiến trình dạy học tích cực để nâng cao hiệu quả giảng dạy định lí côsin, phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.

2. Nhà quản lý giáo dục và chuyên viên xây dựng chương trình: Tham khảo để điều chỉnh nội dung, phương pháp dạy học phù hợp với xu hướng đổi mới giáo dục, tăng cường tính thực tiễn và ứng dụng trong chương trình Toán phổ thông.

3. Sinh viên, nghiên cứu sinh ngành Sư phạm Toán: Học hỏi cách tiếp cận nghiên cứu khoa học giáo dục, phương pháp phân tích thể chế dạy học và xây dựng thực nghiệm sư phạm có hệ thống.

4. Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Didactic Toán và giáo dục STEM: Tìm hiểu về mô hình hóa toán học trong dạy học hình học, các phương pháp phát triển năng lực học sinh qua tình huống có vấn đề và bài toán thực tiễn.

Câu hỏi thường gặp

1. Mô hình hóa trong dạy học định lí côsin là gì?
   Mô hình hóa là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tiễn thành mô hình toán học, giải quyết mô hình đó và phân tích kết quả để trả lời câu hỏi ban đầu. Ví dụ, tính khoảng cách giữa hai điểm bị vật cản dựa trên mô hình tam giác và áp dụng định lí côsin.

2. Tại sao cần dạy học bằng mô hình hóa?
   Phương pháp này giúp học sinh phát triển năng lực tư duy phản biện, sáng tạo và giải quyết vấn đề thực tế, không chỉ học thuộc công thức mà còn hiểu sâu sắc bản chất và ứng dụng của kiến thức.

3. Khó khăn khi áp dụng mô hình hóa trong dạy học là gì?
   Học sinh có thể gặp khó khăn trong việc xây dựng mô hình trung gian và mô hình toán học, cũng như kiểm định kết quả với thực tế. Giáo viên cần hướng dẫn cụ thể và tạo môi trường học tập tích cực.

4. So sánh dạy học định lí côsin ở Việt Nam và Mỹ có điểm gì khác biệt?
   Chương trình Mỹ linh hoạt hơn trong việc đưa vào bài toán thực tế và mô hình hóa, tuy nhiên chưa dạy học bằng mô hình hóa một cách hệ thống. Việt Nam chú trọng chứng minh và bài toán toán học hơn, ít khai thác ứng dụng thực tế.

5. Làm thế nào để giáo viên có thể nâng cao hiệu quả dạy học định lí côsin?
   Giáo viên nên tích hợp các bài toán thực tế, sử dụng mô hình hóa toán học, khuyến khích học sinh tự xây dựng và kiểm định mô hình, đồng thời sử dụng công nghệ hỗ trợ giảng dạy để tăng tính tương tác và sinh động.

Kết luận

• Định lí côsin là kiến thức quan trọng trong hình học lớp 10, có nhiều ứng dụng thực tế nhưng hiện nay chưa được dạy học bằng mô hình hóa hiệu quả tại Việt Nam.
• Thể chế dạy học Việt Nam tập trung vào bài toán toán học, ít chú trọng bài toán thực tế và mô hình hóa, trong khi chương trình Mỹ có sự linh hoạt hơn nhưng chưa khai thác triệt để mô hình hóa.
• Nghiên cứu đã xây dựng tiến trình dạy học bằng mô hình hóa định lí côsin, giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn và hiểu sâu sắc kiến thức.
• Đề xuất các giải pháp cụ thể nhằm đổi mới phương pháp dạy học, đào tạo giáo viên, phát triển tài liệu và khuyến khích nghiên cứu thực nghiệm.
• Các bước tiếp theo là triển khai thực nghiệm rộng rãi, đánh giá hiệu quả và điều chỉnh tiến trình dạy học để nhân rộng mô hình thành công.

Hành động ngay hôm nay để đổi mới phương pháp dạy học định lí côsin, nâng cao năng lực học sinh và chất lượng giáo dục phổ thông!

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: Mô hình hóa đối với định lí côsin trong dạy học ở Việt Nam và Mỹ Phân tích và so sánh hai thể chế nhằm tìm ra những mặt tích cực và hạn chế, phục vụ cho việc xây dựng thực nghiệm. Chương 2: Nghiên cứu thực nghiệm Nhằm xây dựng tiểu đồ án dạy học bằng mô hình hóa, thực nghiệm và rút ra kết luận. SƠ LƯỢC MỘT SỐ YẾU TỐ VỀ ĐỊNH LÍ CÔSIN Mục này giúp giải đáp câu hỏi 1: Định lí côsin ra đời như thế nào, có vai trò gì trong thực tiễn? Định lí côsin ở đây được nói đến trong phạm vi hình học Euclid (không phải hình học phi Euclid).  Về sự xuất hiện 10 Theo Pickover (2009) thì từ thế kỉ III trước công nguyên, định lí côsin đã ngầm xuất hiện trong công trình Những nguyên lí của Euclid.

Để cụ thể hơn, chúng tôi dịch ở mệnh đề 12, quyển 2 (thể loại thuộc đại số hình học) trong bản tiếng Anh của Fitzpatrick như sau: Trong các tam giác tù, hình vuông trên cạnh đối diện góc tù lớn hơn (tổng của) các hình vuông trên hai cạnh chứa góc tù hai lần hình chữ nhật gồm một trong các cạnh là cạnh kề góc tù – cạnh mà có đường thẳng vuông góc hạ xuống, và đoạn thẳng bị chặn lại bên ngoài tam giác bởi đường vuông góc hướng về góc tù. Do đó sự so sánh lớn hơn, nhỏ hơn giữa các hình hay các thao tác thêm bớt các hình là làm việc trên diện tích của chúng. Như vậy, hình vuông hay hình chữ nhật trong phát biểu trên tức là diện tích hình vuông, diện tích hình chữ nhật). Có thể hiểu định lí này theo ngôn ngữ hiện tại là: “Trong một tam giác tù, bình phương cạnh đối diện góc tù bằng tổng bình phương của hai cạnh bên rồi cộng thêm hai lần tích của một cạnh bên và hình chiếu vuông góc của cạnh bên còn lại trên cạnh bên đó”.

Tóm tắt bài toán Tam giác ABC có góc A tù. 𝐴𝐷 Nếu đối chứng lại với công thức định lí côsin ngày nay thì: ̂ 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 − 2. 𝑐𝑜𝑠𝐵𝐴𝐷 ̂ nên hai hệ thức này là tương đương với nhau. 11 Có thể thấy một sự tương ứng giữa mệnh đề 12 của Euclid và định lí côsin bây giờ: Euclid Chúng ta 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐.

𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑏 2 tương ứng với diện tích hình vuông cạnh b, 𝑐 2 tương ứng với diện tích hình vuông cạnh c và cả hạng tử chứa 𝑐𝑜𝑠𝐴 tương ứng là diện tích hai hình chữ nhật kích thước b x m. Vào lúc đó, đối tượng mà Euclid làm việc là các tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, đường tròn … và sử dụng những định nghĩa, tiên đề, mệnh đề riêng của mình để chứng minh các phát biểu của ông. Ví dụ như theo Fitzpatrick (2008): Tiên đề 2, quyển 1: “Nếu cùng thêm những thứ bằng nhau vào những thứ bằng nhau khác thì những tổng thể sẽ bằng nhau” Mệnh đề 47, quyển 1: “Trong một tam giác vuông, hình vuông trên cạnh đối diện góc vuông bằng (tổng của) các hình vuông trên các cạnh góc vuông” Mệnh đề 4, quyển 2: “Nếu một đoạn thẳng bị cắt ngẫu nhiên thì hình vuông trên đoạn tổng thể (đoạn thẳng đó) bằng với (tổng của) các hình vuông trên đoạn từng phần (của đoạn thẳng đó), và hai lần hình chữ nhật có kích thước là các đoạn từng phần”. 12 Chúng tôi diễn tả lại cách chứng minh của Euclid theo cách viết bây giờ cho gọn hơn (tức diện tích hình vuông sẽ thay bằng bình phương cạnh hình vuông, tương tự cho hình chữ nhật): Vì DC bị điểm A chia cắt nên theo mệnh đề 4 quyển 2 thì: 𝐷𝐶 2 = 𝐶𝐴2 + 𝐴𝐷2 + 2.

𝐴𝐷 Thêm vào hai vế với 𝐷𝐵2 , ta được: 𝐷𝐵2 + 𝐷𝐶 2 = 𝐷𝐵2 + 𝐶𝐴2 + 𝐴𝐷2 + 2. Trường hợp dành cho góc nhọn cũng được phát biểu trong mệnh đề 13 tiếp theo của quyển 2: Trong các tam giác nhọn, hình vuông trên cạnh đối diện một góc nhọn bé hơn (tổng của) các hình vuông trên hai cạnh chứa góc nhọn đó hai lần hình chữ nhật gồm một trong các cạnh là cạnh kề góc nhọn đó – cạnh mà có đường vuông góc hạ xuống, và đoạn thẳng bị chặn lại bên trong tam giác bởi đường vuông góc hướng về góc nhọn. (Fitzpatrick, 2008) Minh họa bài toán: Tam giác ABC nhọn. Xét góc nhọn B, khi đó ta có: 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶 2 − 2.

𝐵𝐷 Chứng minh tương tự như trên. Và theo cách lí luận hiện đại thì 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐵, khớp với công thức định lí côsin 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶 2 − 2. Tới thế kỉ XV, nhà thiên văn học, toán học người Ba Tư al – Kashi cung cấp các bảng lượng giác chính xác và diễn đạt định lí theo một dạng phù hợp cách sử 13 dụng hiện đại (Pickover, 2009).

Do không tìm thấy tài liệu nên chúng tôi không biết ông đã biểu diễn định lí thế nào. Sau đó một thế kỉ, định lí côsin được Viète tìm ra độc lập với al – Kashi (Pickover, 2009) và Viète đã phát biểu vào năm 1593 (Sullivan, 2012). Cuối cùng, định lí côsin có biểu thức như ngày nay nhờ vào sự đổi mới của hệ thống biểu đạt toán học. Như vậy, định lí côsin có mầm mống từ những bài toán hình học, qua các thời kì phát triển của toán học mà có được cách viết này.

Các cách chứng minh định lí côsin đã có trong nhiều tài liệu nên chúng tôi không trình bày lại. Trở lại với công thức định lí côsin: Trong tam giác ABC cho trước, ta có 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 với 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑎 Có bốn yếu tố xuất hiện trong biểu thức: ba cạnh và một góc trong tam giác. Vì đây là phương trình bậc hai đơn giản nên khi cho ba yếu tố trong tam giác này, ta sẽ tìm được yếu tố còn lại: ba cạnh  góc, hai cạnh và một góc  cạnh.

Như vậy, các trường hợp khác nhau khi sử dụng đến định lí côsin có thể là: Cho Tìm c.g c Tuy nhiên, với thông tin hai cạnh và một góc đối (c.g) tùy ý thì tam giác có thể không tồn tại, xác định duy nhất hoặc tồn tại cả hai tam giác. Hình ảnh sau có thể minh họa rõ hơn (Larson, 2013) Lúc này, khi thế các giả thiết vào công thức định lí côsin thì hệ thức trở thành phương trình bậc hai một ẩn với ẩn là cạnh chưa biết. Vì thế mà giá trị cạnh cần tính cũng có 14 thể cho kết quả âm (không tồn tại tam giác), ra một nghiệm dương (tồn tại duy nhất tam giác) hoặc hai nghiệm dương (có hai tam giác thỏa mãn).  Về tính ứng dụng trong thực tế Định lí côsin dễ dàng được ứng dụng trong những tình huống có mô hình gần giống với tam giác.

Trong một số giáo trình sử dụng cho bậc THPT ở một số nước nói tiếng Anh như Precalculus 4e (Blitzer, 2007), Precalculus 9e (Larson, 2013), Precalculus 6e: Mathematics for calculus (Stewart, Redlin, & Watson, 2010) và Algebraic & Trigonometry (Sullivan, 2012), chúng tôi thấy định lí côsin được áp dụng cho một số trường hợp như:  Tính được khoảng cách giữa hai vị trí bị cản trở, khó đo đạc (Stewart, Redlin, & Watson, 2010) (Stewart, 2010)  Tính góc so với một hướng cố định đã biết để tìm được hướng cần đi tới điểm đến (Sullivan, 2012) (Blitzer, 2007)  Tính toán độ dài, khoảng cách thông thường 15 (Larson, 2013) (Larson, 2013) (Sullivan, 2012)  Tính toán góc, độ dài trong mô hình tam giác thay đổi (Larson, 2013) (Larson, 2013) Có thể thấy định lí côsin là biểu thức dùng tính toán các yếu tố về cạnh và góc trong tam giác. Điều đó dẫn đến các vấn đề thực tế muốn được định lí côsin giải quyết thì phải tồn tại mô hình tam giác tương ứng. Như vậy, định lí côsin đã xuất hiện từ thời Euclid trong hình hài của một mệnh đề về các hình đa giác, mà việc chứng minh chúng phải dựa vào hệ thống các tiên đề, định đề, định nghĩa, mệnh đề do Euclid xây dựng nên. Trải qua một thời gian rất dài, đến thế kỉ XV, al – Kashi mới công bố về định lí côsin với cách diễn đạt thuận tiện và tổng quát hơn.

Viète độc lập tìm ra định lí côsin vào thế kỉ XVI. Cuối cùng, định lí côsin đã được sử dụng như cách viết hiện nay. Định lí côsin có nhiều ứng dụng hữu ích trong thực tiễn, liên quan đến nhu cầu tính toán khoảng cách, góc trong những mô hình tam giác. Pickover (2009) cũng đã nhận xét rằng “ứng dụng của định lí trải dài từ khảo sát địa chất đến tính toán đường bay của máy bay”.

Những ghi nhận trên cho chúng ta thấy từ thời Hy Lạp cổ đại đến nay, định lí côsin đã được sử dụng trong những tính toán hình học và nó là công cụ không thể thiếu được trong các đo đạc thực tế hay mô phỏng. Với hệ thống công cụ toán học đầy đủ như bây giờ cũng như sự đa dạng của khoa học giáo dục, chúng ta có nhiều thuận lợi trong việc xây dựng được tình huống dạy học tích cực cho HS. Để phục vụ mục đích dạy học này, theo chúng tôi, có thể 16 chọn những ứng dụng thức tế trên để xây dựng một quy trình dạy học: Từ nhu cầu giải quyết vấn đề thực tế mà giúp HS tìm ra định lí côsin. MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ CÔSIN Ở VIỆT NAM VÀ MỸ Mục đích phân tích: Trả lời cho câu hỏi 2, 3: “Quan hệ của thể chế dạy học hình học 10 đối với định lí côsin trong mối liên hệ với mô hình hóa ra sao? Cùng tri thức này thì thể chế dạy học Việt Nam và thể chế dạy học một nước khác có những tương đồng và khác biệt gì?”.

Chúng tôi chọn sách giáo khoa Mỹ. Cụ thể là sách Precalculus (gọi tắt là P) của Franklin D. Demana và các cộng sự, xuất bản năm 2011. Giáo trình này sử dụng cho bậc THPT, có nội dung khá phong phú về các vấn đề toán học và vận dụng nó vào thực tế.

Việc phân tích, so sánh hai thể chế dạy học định lí côsin ở Việt Nam và Mỹ nhằm mục đích tìm kiếm các đặc trưng của mô hình hóa, những điểm tích cực và hạn chế. Kết quả đó có thể là cơ sở để chúng tôi xây dựng thực nghiệm. Để tiện trình bày, chúng tôi gọi tắt SGK hình học 10 cơ bản là H1, SGK hình học 10 nâng cao là H2. DẠY HỌC ĐỊNH LÍ CÔSIN Ở VIỆT NAM 1.