Lượng Giác Cầu và Định Lý Lexell - Nghiên cứu tại ĐH Thái Nguyên

Lượng giác cầu: Khám phá định lý Lexell cùng các ứng dụng quan trọng trong hình học và thiên văn học. Tìm hiểu sâu về công thức và bài toán liên quan.

• Tác giả: Phạm Thị Luyến
• Người hướng dẫn: TS. Ngô Văn Định
• Trường học: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
• Đề tài: Lượng Giác Cầu và Định Lý Lexell
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Giới Thiệu Lượng Giác Cầu Tổng Quan Tầm Quan Trọng 50 60 ký tự

Lượng giác cầu là một nhánh của hình học hình cầu, nghiên cứu mối quan hệ giữa các hàm lượng giác của các cạnh và góc của đa giác hình cầu, đặc biệt là tam giác cầu. Lĩnh vực này có vai trò quan trọng trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật, bao gồm thiên văn học, trắc địa, và hàng hải. Lịch sử phát triển của lượng giác cầu bắt nguồn từ Hy Lạp cổ đại và tiếp tục được hoàn thiện bởi các nhà toán học Hồi giáo thời trung cổ. Đến thời kỳ Phục Hưng, các nhà khoa học như John Napier và Delambre đã có những đóng góp quan trọng. Cuối thế kỷ 19, lượng giác cầu đã đạt đến một hình thức cơ bản hoàn chỉnh với việc xuất bản các sách giáo khoa, như cuốn sách của Todhunter. Ngày nay, các phương pháp vectơ và máy tính được sử dụng để giải quyết các bài toán phức tạp. Lượng giác mặt cầu có trước lượng giác mặt phẳng, và người sáng lập được cho là Hipparchus. Menelaus cũng đóng góp lớn. Trong luận văn này, chúng ta tập trung vào tam giác cầu. Các tài liệu Tiếng anh trình bày về lượng giác cầu còn ít, tài liệu tham khảo bằng Tiếng việt về lượng giác cầu không có. Mục đích thứ nhất của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại một cách hệ thống về lượng giác cầu, công thức tính các cạnh, góc. Các nội dung này được tham khảo trong tài liệu số [3] và số [4].

1.1. Lịch Sử Phát Triển Ứng Dụng của Lượng Giác Cầu

Lượng giác cầu có nguồn gốc từ các bài toán thiên văn học, trắc địa và định hướng. Từ thời Hy Lạp cổ đại với những đóng góp của Hipparchus, qua thời kỳ phát triển mạnh mẽ trong toán học Hồi giáo Trung Cổ, đến thời kỳ Phục Hưng với những phát kiến của John Napier, lượng giác cầu đã chứng tỏ vai trò không thể thiếu trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn. Ngày nay, với sự hỗ trợ của máy tính và các phương pháp hiện đại, lượng giác cầu tiếp tục được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật.

1.2. Tại Sao Nghiên Cứu Lượng Giác Cầu Lại Quan Trọng

Nghiên cứu lượng giác cầu quan trọng vì nó cung cấp công cụ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học trên bề mặt cong của hình cầu, một mô hình gần đúng của Trái Đất và các thiên thể. Điều này đặc biệt hữu ích trong các lĩnh vực như thiên văn học, trắc địa, định vị và hàng hải, nơi mà sự chính xác trong việc tính toán khoảng cách và góc trên bề mặt cong là yếu tố then chốt. Ngoài ra, việc nghiên cứu lượng giác cầu còn giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn về các khái niệm hình học và lượng giác trong một không gian phi Euclid.

II. Định Lý Lexell Giới Thiệu Vai Trò Trong Hình Học Cầu 50 60 ký tự

Định lý Lexell là một kết quả quan trọng trong hình học cầu, liên quan đến mối quan hệ giữa diện tích các tam giác cầu trên cùng một cung Lexell. Anders Johan Lexell (1740–1784) đã dành sự nghiệp của mình từ năm 1768 tại Học viện Khoa học Saint Petersburg; trong số các nhiệm vụ của mình ở đó, ông đã hỗ trợ Leonhard Euler,người thầy của ông. Lexell là một trong những thành viên thành công nhất của Viện Hàn lâm Khoa học Nga lúc bấy giờ; công trình toán học của ông đã được ca ngợi bởi Leonhard Euler và Daniel Bernoulli. Ông đã phân tích quỹ đạo của sao Thiên Vương và sao chổi hiện mang tên ông; một miệng núi lửa cũng được đặt theo tên của ông. Trong hình học phẳng ta có một Định lý Lexell rất đơn giản, đó là : Nếu cho trước ∆ ABC thì một điểm X bất kỳ nằm trên đường thẳng đi qua C và song song với AB, khi đó diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác ABX. Trong hình học cầu ta cũng có một định lý hoàn toàn tương tự. Các chứng minh ngắn gọn về định lý Lexell đã được đưa ra bởi L ´ aszl´o Fejes T´oth. Mục đích thứ hai của luận văn là trình bày lại định lý Lexell trên mặt cầu và sử dụng lượng giác cầu để chứng minh định lý đó dựa theo tài liệu tham khảo [2].

2.1. Anders Johan Lexell Tiểu Sử và Đóng Góp Khoa Học

Anders Johan Lexell là một nhà thiên văn học và toán học người Thụy Điển, nổi tiếng với những nghiên cứu về quỹ đạo của các thiên thể và định lý Lexell trong hình học cầu. Ông đã làm việc tại Học viện Khoa học Saint Petersburg và có nhiều đóng góp quan trọng cho sự phát triển của khoa học, đặc biệt là trong lĩnh vực thiên văn học và toán học ứng dụng.

2.2. Liên Hệ Giữa Định Lý Lexell Trong Hình Học Phẳng Hình Học Cầu

Định lý Lexell trong hình học phẳng nói rằng diện tích tam giác không đổi khi đỉnh di chuyển trên đường thẳng song song với đáy. Trong hình học cầu, định lý Lexell có một phát biểu tương tự, liên quan đến diện tích các tam giác cầu có cùng một cạnh và đỉnh nằm trên một cung Lexell. Sự tương đồng này cho thấy mối liên hệ sâu sắc giữa hình học phẳng và hình học cầu.

2.3. Các Chứng Minh Gần Đây Về Định Lý Lexell

Định lý Lexell không được biết đến nhiều; mặc dù tính đơn giản của nó (và thậm chí vẻ đẹp thẩm mỹ) nó không được đề cập trong hầu hết các sổ tay và từ điển toán học. Vì vậy, trong chương này, chúng tôi cố gắng sắp xếp nội dung để độc giả làm quen với Định lý Lexell. Định lý Lexell là một phép biến đổi của kết quả cơ bản từ hình học phẳng, cho tam giác ABC và bất kỳ điểm X nào trên đường thẳng song song với AB tại C. Diện tích tam giác ABX bằng diện tích tam giác ABC. Phần 1 chúng tôi trình bày về khái niệm thặng dư cầu. Phần 2 trình bày về các công thức tính diện tích tam giác cầu. Phần 3 trình bày về đường tròn Lexell; và các trường hợp cơ bản của Định lý Lexell khi các cung Lexell là hình bán nguyệt. Phần 4 được dành cho một chứng minh mới về định lý Lexell mà không sử dụng Định lý Girard. Một phiên bản cải tiến của Định lý Lexell về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung trên một đường tròn nhỏ được trình bày trong Phần 5.

III. Phương Pháp Chứng Minh Định Lý Lexell Bằng Lượng Giác Cầu 50 60 ký tự

Luận văn này trình bày một phương pháp chứng minh định lý Lexell bằng cách sử dụng các công thức và định lý cơ bản của lượng giác cầu. Phương pháp này dựa trên việc tính toán diện tích các tam giác cầu và sử dụng các tính chất của các cung Lexell. Việc chứng minh này góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ giữa định lý Lexell và lượng giác cầu.

3.1. Các Công Cụ Lượng Giác Cầu Cần Thiết Để Chứng Minh

Để chứng minh định lý Lexell trong hình học cầu, cần sử dụng các công thức lượng giác cầu quan trọng như công thức sin luật, cosin luật, và các công thức liên quan đến diện tích tam giác cầu, đặc biệt là công thức L'Huilier. Ngoài ra, cần hiểu rõ về các khái niệm như cực của đường tròn lớn, xích đạo, và tam giác đối ngẫu.

3.2. Các Bước Chứng Minh Định Lý Lexell Chi Tiết

Việc chứng minh định lý Lexell bao gồm các bước: xác định các yếu tố cơ bản của tam giác cầu (cạnh, góc), tính toán diện tích của các tam giác cầu liên quan, sử dụng các công thức lượng giác cầu để biểu diễn mối quan hệ giữa các diện tích, và cuối cùng, chứng minh rằng diện tích các tam giác cầu trên cùng một cung Lexell là bằng nhau.

IV. Ứng Dụng Lượng Giác Cầu Giải Bài Toán Thực Tế Định Vị 50 60 ký tự

Lượng giác cầu có nhiều ứng dụng quan trọng trong các bài toán thực tế, đặc biệt là trong lĩnh vực định vị, thiên văn học, và trắc địa. Ví dụ, nó được sử dụng để tính toán khoảng cách trên mặt cầu giữa các địa điểm, xác định vị trí dựa trên các quan sát thiên văn, và lập bản đồ địa hình.

4.1. Ứng Dụng trong Định Vị Xác Định Vị Trí Trên Bề Mặt Trái Đất

Lượng giác cầu được sử dụng trong các hệ thống định vị toàn cầu (GPS) và các phương pháp định vị truyền thống để xác định vị trí chính xác trên bề mặt Trái Đất. Bằng cách sử dụng các quan sát về vị trí của các vệ tinh hoặc các thiên thể, và áp dụng các công thức lượng giác cầu, có thể tính toán vĩ độ và kinh độ của một địa điểm.

4.2. Ứng Dụng trong Thiên Văn Học Tính Toán Vị Trí Các Thiên Thể

Trong thiên văn học, lượng giác cầu được sử dụng để tính toán vị trí của các ngôi sao, hành tinh, và các thiên thể khác trên bầu trời. Các tọa độ thiên văn như xích kinh và xích vĩ được xác định bằng cách sử dụng các công thức lượng giác cầu.

V. Diện Tích Tam Giác Cầu Công Thức Girard L Huilier 50 60 ký tự

Việc tính diện tích tam giác cầu là một vấn đề quan trọng trong lượng giác cầu. Công thức Girard và Công thức L'Huilier là hai công cụ mạnh mẽ để giải quyết vấn đề này. Định lý Girard nói rằng diện tích tam giác cầu bằng thặng dư cầu của nó. Công thức L'Huilier cung cấp một phương pháp tính diện tích dựa trên độ dài các cạnh của tam giác cầu.

5.1. Định Lý Girard Mối Liên Hệ Giữa Diện Tích Thặng Dư Cầu

Định lý Girard là một kết quả cơ bản trong hình học cầu, cho phép tính diện tích tam giác cầu dựa trên thặng dư cầu của nó (tổng các góc trừ đi π). Định lý này có ứng dụng quan trọng trong việc tính toán diện tích các khu vực trên bề mặt Trái Đất và các thiên thể.

5.2. Công Thức L Huilier Tính Diện Tích Dựa Trên Độ Dài Cạnh

Công thức L'Huilier là một công thức hữu ích để tính diện tích tam giác cầu khi biết độ dài ba cạnh của nó. Công thức này tương tự như công thức Heron trong hình học phẳng và cho phép tính diện tích một cách hiệu quả.

VI. Kết Luận Hướng Nghiên Cứu Tương Lai Về Lượng Giác Cầu 50 60 ký tự

Luận văn này đã trình bày một cái nhìn tổng quan về lượng giác cầu, định lý Lexell, và các ứng dụng của chúng. Các hướng nghiên cứu tương lai có thể tập trung vào việc phát triển các phương pháp tính toán hiệu quả hơn, khám phá các ứng dụng mới của lượng giác cầu, và nghiên cứu các kết quả liên quan trong các không gian hình học khác.

6.1. Tóm Tắt Những Kết Quả Chính Của Luận Văn

Luận văn này đã trình bày lại những kiến thức cơ bản của lượng giác cầu, các công thức tính các cạnh, góc của tam giác cầu. Trình bày về thặng dư cầu, diện tích của tam giác cầu, Định lý Lexell và một số vấn đề liên quan.

6.2. Hướng Nghiên Cứu Mở Rộng Phát Triển Lượng Giác Cầu

Các hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc ứng dụng lượng giác cầu vào các lĩnh vực mới như đồ họa máy tính, thực tế ảo, và khoa học vũ trụ. Ngoài ra, việc phát triển các thuật toán hiệu quả hơn để giải quyết các bài toán lượng giác cầu và nghiên cứu các khái quát hóa của định lý Lexell trong các không gian hình học phi Euclid cũng là những hướng đi đầy tiềm năng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Kiến thức cơ bản về lượng giác cầu Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số định nghĩa, định lý, hệ quả cơ bản về lượng giác cầu. Các nội dung được trình bày trong chương này được tham khảo từ tài liệu của tác giả R. Johnson [4] và của I.1 Định lý Cosin cầu Lượng giác cầu là một lĩnh vực của hình học nghiên cứu về mối quan hệ giữa các hàm lượng giác của các cạnh, góc của đa giác hình cầu (đặc biệt là tam giác hình cầu sau đây ta sẽ gọi tắt là tam giác cầu) được xác định bởi một số đường tròn lớn giao nhau trên hình cầu. Lượng giác cầu có tầm quan trọng lớn đối với các tính toán trong thiên văn học, trắc địa và điều hướng.

Trong suốt luận văn, ta xét mặt cầu S có tâm O, bán kính bằng 1 (hay gọi là mặt cầu đơn vị). Xét hai điểm cố định A, B trên mặt cầu, hai điểm này cùng với tâm của mặt cầu xác định một mặt phẳng và thiết diện của mặt cầu với mặt phẳng này được gọi là đường tròn lớn đi qua hai điểm đã cho, hai điểm đó chia đường tròn thành hai cung, cung có độ dài lớn hơn gọi là cung lớn, cung có độ dài bé hơn gọi là cung nhỏ. Trừ trường hợp hai điểm A, B cùng với tâm O của mặt cầu thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, O. Khi đó AB là đường kính của mặt cầu, hai điểm A, B được gọi là hai điểm cực.

Hay nói cách khác, thiết diện của mặt cầu bởi một mặt phẳng được gọi là đường 5 tròn lớn nếu mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu, và đường tròn nhỏ nếu mặt phẳng không đi qua tâm mặt cầu. Do đó, chỉ có thể vẽ một đường tròn lớn qua hai điểm đã cho trên bề mặt của một hình cầu. Khi chỉ có thể vẽ một đường tròn lớn đi qua hai điểm đã cho, thì đường tròn lớn đó bị chia không đều tại hai điểm đó; trong chương này chúng ta chỉ nghiên cứu trên cung nhỏ (Hình 1.1: Các đường tròn lớn. Đầu tiên, chúng ta sẽ định nghĩa về tam giác cầu.

Ba cung của các đường tròn lớn tạo thành một tam giác được gọi là các cạnh của tam giác cầu; Các góc tạo bởi các cung tại các điểm mà chúng gặp nhau được gọi là các góc của tam giác cầu. Các góc của một tam giác cầu được đo trong mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cầu tại giao điểm của các cạnh tạo thành góc.2, giả sử một góc tam diện tạo thành tại O bởi sự giao nhau của ba góc phẳng. Gọi AB, BC, CA là các cung của đường tròn lớn; thì ABC ˘ là một tam giác cầu, và các cung AB, BC, CA là các cạnh của nó. Ký hiệu là ∆ ABC.

Giả sử kẻ Ab là tiếp tuyến với dây cung AB tại A và Ac tiếp tuyến với dây cung AC tại A; thì góc bAc là một trong các góc của tam giác cầu. Tương tự, các góc tạo thành tương tự tại B và C là các góc khác của tam giác cầu.2: Tam giác cầu ABC. Để tránh mâu thuẫn với tam giác đối cực, tam giác được tạo thành bởi các đường tròn lớn giống nhau ở phía đối diện của hình cầu, các cạnh của tam giác cầu sẽ bị giới hạn trong khoảng từ 0 đến π radian. Các góc cũng sẽ bị giới hạn trong khoảng từ 0 đến π radian, để chúng vẫn ở bên trong.

Để suy ra các công thức cơ bản liên quan đến một tam giác cầu, chúng ta sử dụng lượng giác phẳng trên các mặt phẳng liên quan đến tam giác cầu. Ví dụ, các mặt phẳng tiếp tuyến với hình cầu tại một trong các đỉnh của tam giác và các mặt phẳng trung tâm chứa một cạnh của tam giác. Trừ khi có đặc điểm khác, khi chiếu lên một mặt phẳng tiếp tuyến với hình cầu, hình chiếu sẽ từ tâm của hình cầu. Vì mỗi cạnh của một tam giác cầu đều nằm trong một mặt phẳng đi qua tâm nên hình chiếu của mỗi cạnh lên một mặt phẳng tiếp tuyến là một đoạn thẳng.

Vì bán kính của hình cầu là 1 nên độ dài của một cung tròn chính là góc của nó. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: Cạnh đối tan α = Cạnh kề Cạnh kề = 1 ⇒ Cạnh đối = tan(α) p 1 ⇒ Cạnh Huyền = 1 + tan2 (α) = = sec(α). cos α Định lý dưới đây cho chúng ta một hệ thức rất quan trọng trong lượng giác cầu.3: Mặt phẳng đi qua tâm của hình cầu đơn vị chứa cạnh α Định lý 1. Xét một tam giác cầu có các cạnh α, β , γ và góc Γ đối diện với cạnh γ.

Để tính γ , chúng ta có công thức cos(γ) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) cos(Γ). Chiếu tam giác lên mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cầu tại Γ và tính độ dài hình chiếu của γ theo hai cách khác nhau. Đầu tiên, sử dụng Định lý Cosin phẳng trong mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cầu tại Γ, ta thấy bình phương độ dài hình chiếu của γ là tan2 (α) + tan2 (β) − 2 tan(α) tan(β) cos(Γ).2) Trong khi nếu chúng ta sử dụng Định lý Cosin phẳng trong mặt phẳng chứa đường tròn lớn của γ , chúng ta nhận được bình phương độ dài hình chiếu của γ là sec2 (α) + sec2 (β) − 2 sec(α) sec(β) cos(γ).3) Bằng cách áp dụng Hình 1.3 cho α và β , Hình 1.4 minh họa hai phương pháp tính độ dài hình chiếu của γ lên tiếp tuyến của mặt phẳng tại Γ, tức là, đoạn màu đỏ: 8 Hình 1.4: Hai cách đo đoạn màu đỏ Trừ phương trình (1.2) cho phương trình (1.3), ta được: 0 = 2 + 2 tan(α) tan(β) cos(Γ) − 2 sec(α) sec(β) cos(γ). Từ đây ta thu được cos(γ) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) cos(Γ).

Suy ra điều phải chứng minh. Cho tam giác cầu ABΓ với α, β , γ là các cạnh đối diện với các góc tương ứng, ta có sin(α) cos(B) = cos(β) sin(γ) − sin(β) cos(γ) cos(A). Mở rộng cạnh γ thành π2 radian như trong Hình 1. Sử dụng Định lý Cosin cầu, có hai cách tính cos(δ ).7), chúng ta nhận được hệ quả sin(α) cos(B) = cos(β) sin(γ) − sin(β) cos(γ) cos(A).

Suy ra điều phải chứng minh.2 Tính đối ngẫu giữa xích đạo và cực. Trong mục này, chúng tôi trình bày hai khái niệm rất quan trọng đối với lượng giác cầu là cực và xích đạo. Đặc biệt là tính đối ngẫu giữa hai khái niệm này. Trong mặt phẳng tam giác chỉ có một góc vuông nhưng trong lượng giác cầu tam giác cầu có nhiều hơn một góc vuông.

Với mỗi một đường tròn trên mặt cầu đường thẳng đi qua tâm là trục của đường tròn đó; các điểm cực của trục được gọi là cực của đường tròn. Các cực của một đường tròn lớn cách đều mặt phẳng chứa đường tròn. Các cực của một đường tròn nhỏ không cách đều mặt phẳng chứa đường tròn; chúng có thể được gọi tương ứng là cực gần hơn và xa hơn; đôi khi cực gần hơn gọi cho ngắn gọn là cực. Một điểm cực của đường tròn cách đều mọi điểm của chu vi đường tròn.

10 Gọi O là tâm mặt cầu, AB là đường kính bất kỳ của mặt cầu, C là tâm đường tròn, P và P’ là cực của đường tròn. Lấy điểm D bất kỳ thuộc chu vi đường √ tròn; nối CD, OD, PD. Khi đó P D = P C 2 + CD2 ; và PC và CD là không đổi, do đó PD là không đổi. Giả sử một đường tròn lớn đi qua các điểm P và D; thì dây PD là không đổi, và do đó cung của một đường tròn chắn giữa P và D không đổi với mọi vị trí của D trên đường tròn AB (Hình 1.

Vì vậy, khoảng Hình 1.6 cách một cực của đường tròn đến mọi điểm của chu vi đường tròn là không đổi, cho dù khoảng cách đó được đo bằng đường thẳng nối các điểm hay bằng cung của đường tròn lớn bị cắt giữa các điểm. Đối với mọi đường tròn lớn, có hai điểm cực đối nhau cách mọi điểm trên đường tròn lớn đó là π2 radian. Hai điểm cực này là hai cực của vòng tròn lớn. Ngược lại, cho mỗi cặp điểm đối đỉnh trên một mặt cầu, có một đường tròn lớn, mỗi điểm của chúng cách cặp đó π2 radian.

Gọi đường tròn lớn này là đường xích đạo của các điểm đối cực. Đường thẳng chứa các cực vuông góc với mặt phẳng chứa xích đạo. Do đó, một mặt phẳng đi qua tâm chứa cả hai cực khi và chỉ khi nó vuông góc với mặt phẳng xích đạo. Vậy bất kỳ vòng tròn lớn nào chứa một cực đều vuông góc với 11 Hình 1.7: Tam giác bán nguyệt BC là một cung của Xích đạo đối với Cực A.

đường xích đạo và bất kỳ vòng tròn lớn nào vuông góc với đường xích đạo chứa cả hai cực.7, BAC [ là góc giữa mặt phẳng chứa AB và mặt phẳng chứa AC. Khi nhìn từ trên xuống A, độ dài BC bằng số đo BAC [.8 Cung của một đường tròn lớn được vẽ từ một cực của một đường tròn lớn đến bất kỳ điểm nào trong chu vi của nó là một góc phần tư (Hình 1. Gọi P là cực của đường tròn ABC; thì cung PA là một góc phần tư. O là tâm của mặt cầu và vẽ PO .Khi đó PO vuông góc với mặt phẳng ABC, vì P là cực của ABC nên POA là một góc vuông và cung PA là một góc phần tư.

Một tam giác trong đó một trong các đỉnh là cực của cạnh đối diện được gọi là tam giác bán nguyệt, hay bán nguyệt. Như đã mô tả ở trên, góc ở cực có cùng số đo với cạnh đối diện. Tất cả các cạnh và góc còn lại có số đo π2 radian. Trong một tam giác cầu nếu có hai đại lượng (cạnh, góc) có giá trị π2 radian thì tam giác đó là bán nguyệt.

Để chứng minh bổ đề ta xét bốn trường hợp sau đây: Tam giác có hai cạnh vuông; Tam giác có hai góc vuông; Tam giác có một cạnh đối và một góc vuông; Tam giác có một cạnh kề và một góc vuông. Trường hợp 1 (Tam giác có hai cạnh vuông) Giả sử AB và AC đều có độ dài là ( π2 ) radian. Định lý Cosin cầu cho biết cos(BC) = cos(AB) cos(AC) + sin(AB) sin(AC) cos(B AC) b (1.10) Do đó BAC [ và cạnh đối BC bằng nhau.13) Vì BC nằm giữa 0 và π radian nên sin(BC) 6=: 0. Do đó, cos ABC [ = 0, hay ABC [ bằng π2 radian.

Lập luận tương tự, ACB [ cũng phải là π2 radian.