Luận văn thạc sĩ kỹ thuật xây dựng tính toán đồng nhất hóa vật liệu bằng phương pháp multiscale và phân tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh esfem

Luận văn thạc sĩ kỹ thuật xây dựng nghiên cứu phương pháp multiscale và phân tử hữu hạn trơn ESFEM để đồng nhất hóa vật liệu hiệu quả.

• Tác giả: Đoàn Quang Phát
• Người hướng dẫn: TS. Lê Văn Cảnh
• Trường học: Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng công trình Dân dụng và Công nghiệp
• Đề tài: Tính Toán Đồng Nhất Hóa Vật Liệu Bằng Phương Pháp Multiscale Và Phần Tử Hữu Hạn Trơn Dựa Trên Cạnh (ES-FEM)
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: TP. Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Luận Văn Thạc Sĩ

Luận Văn Thạc Sĩ của Đoàn Quang Phát tập trung vào việc Tính Toán Đồng Nhất Hóa Vật Liệu bằng phương pháp Multiscale và ESFEM. Nghiên cứu này được thực hiện tại Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc gia TP.HCM, dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Văn Cảnh và TS. Nguyễn Sỹ Lâm. Mục tiêu chính của luận văn là áp dụng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trơn Dựa Trên Cạnh (ES-FEM) vào bài toán Multiscale để tối ưu hóa quá trình tính toán đồng nhất hóa vật liệu. Luận văn đã được bảo vệ thành công vào tháng 6 năm 2013.

1.1. Tổng quan về Luận Văn

Luận văn này tập trung vào việc Tính Toán Đồng Nhất Hóa Vật Liệu bằng cách kết hợp Phương Pháp Multiscale và ESFEM. Phương pháp Multiscale được sử dụng để giải quyết các bài toán có cấu trúc vi mô phức tạp, trong khi ESFEM giúp cải thiện độ chính xác của kết quả tính toán. Luận văn đã thực hiện các bước rời rạc hóa miền vật liệu, thiết lập bài toán điều kiện biên ở cấp độ vi mô, và lập trình tính toán số bằng ngôn ngữ Matlab. Kết quả thu được đã được so sánh với các phương pháp khác để đánh giá tính hiệu quả.

II. Tính Toán Đồng Nhất Hóa

Tính Toán Đồng Nhất Hóa là quá trình chuyển đổi các đặc tính vi mô của vật liệu thành các đặc tính vĩ mô. Trong luận văn, phương pháp Multiscale được sử dụng để giải quyết bài toán này. Phương pháp này dựa trên việc giải quyết hai bài toán điều kiện biên kết hợp: một ở cấp độ vi mô và một ở cấp độ vĩ mô. Các ten sơ biến dạng vĩ mô được tính toán tại mỗi điểm vĩ mô và được sử dụng để thiết lập điều kiện biên động học cho phần tử đại diện RVE ở cấp độ vi mô.

2.1. Phương Pháp Multiscale

Phương Pháp Multiscale là một kỹ thuật tính toán đồng nhất hóa hiệu quả, giúp giảm bớt khối lượng tính toán trong khi vẫn giữ được các đặc tính không đồng nhất của vật liệu. Phương pháp này dựa trên việc giải quyết hai bài toán điều kiện biên kết hợp: một ở cấp độ vi mô và một ở cấp độ vĩ mô. Các ten sơ biến dạng vĩ mô được tính toán tại mỗi điểm vĩ mô và được sử dụng để thiết lập điều kiện biên động học cho phần tử đại diện RVE ở cấp độ vi mô. Sau khi giải quyết bài toán giá trị biên ở cấp độ vi mô, các ten sơ ứng suất ở cấp độ vĩ mô sẽ đạt được bằng cách lấy trung bình các kết quả của trường ứng suất vi mô trên toàn bộ thể tích của phần tử đại diện RVE.

III. Phương Pháp ESFEM

Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trơn Dựa Trên Cạnh (ESFEM) được sử dụng trong luận văn để cải thiện độ chính xác của kết quả tính toán. Phương pháp này sử dụng giá trị trung bình của biến dạng (biến dạng trơn) thay vì sử dụng biến dạng tương thích như trong phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống. Khi biến dạng trơn được sử dụng, ma trận độ cứng sẽ được mềm hóa, giúp phương pháp này cho kết quả chính xác hơn.

3.1. Ứng Dụng ESFEM Trong Multiscale

Trong luận văn, ESFEM được áp dụng vào cả hai cấp độ vĩ mô và vi mô của bài toán Multiscale. Phương pháp này giúp giảm chi phí tính toán đáng kể do sử dụng biến dạng trung bình tại một điểm Gauss. Các ví dụ số với các phần tử RVE khác nhau và các bài toán phẳng đã được phân tích trong luận văn. Kết quả thu được đã được so sánh và đánh giá thông qua các phương pháp khác, cho thấy tính hiệu quả của ESFEM trong việc tính toán đồng nhất hóa vật liệu.

IV. Phân Tích Đa Tỷ Lệ

Phân Tích Đa Tỷ Lệ là một phần quan trọng trong luận văn, giúp hiểu rõ hơn về ứng xử của vật liệu ở các cấp độ khác nhau. Phương pháp này dựa trên việc giải quyết hai bài toán điều kiện biên kết hợp: một ở cấp độ vi mô và một ở cấp độ vĩ mô. Các ten sơ biến dạng vĩ mô được tính toán tại mỗi điểm vĩ mô và được sử dụng để thiết lập điều kiện biên động học cho phần tử đại diện RVE ở cấp độ vi mô.

4.1. Kỹ Thuật Phần Tử Hữu Hạn

Kỹ Thuật Phần Tử Hữu Hạn được sử dụng để rời rạc hóa miền vật liệu của bài toán vĩ mô. Phương pháp này giúp xác định các điểm Gauss và gán cho mỗi điểm Gauss là một phần tử RVE. Sau đó, phương pháp tính toán đồng nhất hóa bậc nhất của Multiscale được sử dụng để thiết lập bài toán điều kiện biên ở cấp độ vi mô và kết hợp chuyển đổi tỷ lệ vi mô-vĩ mô. Kết quả thu được đã được so sánh với các phương pháp khác để đánh giá tính hiệu quả.

V. Mô Phỏng Vật Liệu

Mô Phỏng Vật Liệu là một phần quan trọng trong luận văn, giúp hiểu rõ hơn về ứng xử của vật liệu ở các cấp độ khác nhau. Phương pháp này dựa trên việc giải quyết hai bài toán điều kiện biên kết hợp: một ở cấp độ vi mô và một ở cấp độ vĩ mô. Các ten sơ biến dạng vĩ mô được tính toán tại mỗi điểm vĩ mô và được sử dụng để thiết lập điều kiện biên động học cho phần tử đại diện RVE ở cấp độ vi mô.

5.1. Cơ Học Vật Liệu

Cơ Học Vật Liệu là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong luận văn, giúp hiểu rõ hơn về ứng xử của vật liệu ở các cấp độ khác nhau. Phương pháp này dựa trên việc giải quyết hai bài toán điều kiện biên kết hợp: một ở cấp độ vi mô và một ở cấp độ vĩ mô. Các ten sơ biến dạng vĩ mô được tính toán tại mỗi điểm vĩ mô và được sử dụng để thiết lập điều kiện biên động học cho phần tử đại diện RVE ở cấp độ vi mô. Kết quả thu được đã được so sánh với các phương pháp khác để đánh giá tính hiệu quả.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Đặt vấn đề Để dự đoán ứng xử của các vật liệu composite thì có nhiều kỹ thuật tính toán đồng nhất hóa đã đƣợc sử dụng. Tuy nhiên hầu hết các kỹ thuật tính toán đồng nhất hóa đang tồn tại không thích hợp trong trƣờng hợp có biến dạng lớn và tải trọng phức tạp và không thể tính toán trong trƣờng hợp hình dáng kết cấu thay đổi. Trong trƣờng hợp các đặc trƣng không đồng nhất của vật liệu là quá nhỏ so với tỉ lệ của toàn bộ bài toán thì khối lƣợng tính toán của bài toán bài toán này bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn sẽ trở nên quá lớn, để khắc phục những vấn đề này một phƣơng pháp tính toán đồng nhất hóa khác đã đƣợc phát triển, đó là kỹ thuật đồng nhất Multi-Scale phƣơng pháp này làm giảm bớt khối lƣợng tính toán nhƣng vẫn giữ đƣợc các đặc tính không đồng nhất của vật liệu. Ma trận độ cứng tại các điểm vật liệu sẽ đƣợc tính toán thông qua các phần tử thể tích đại diện (RVEs), đƣợc rời rạc hoá thông qua phƣơng pháp phần tử hữu hạn thông thƣờng và các điều kiện biên về tính tuần hoàn sẽ đƣợc áp đặt lên các RVEs.

Về cơ bản phƣơng pháp này dựa trên việc giải quyết hai bài toán điều kiện biên kết hợp, một điều kiện biên ở cấp độ vi mô và một điều kiện biên ở cấp độ vĩ mô, các ten sơ biến dạng vĩ mô (gradient) đƣợc tính toán tại mỗi điểm vĩ mô và tiếp tục đƣợc sử dụng để thiết lập điều kiện biên động học cho phần tử đại điện RVE ở cấp độ vi mô. Sau khi giải quyết đƣợc bài toán giá trị biên ở cấp độ vi mô, các ten sơ ứng suất ở cấp 2 độ vĩ mô sẽ đạt đƣợc bằng cách lấy trung bình các kết quả của trƣờng ứng suất vi mô trên toàn bộ thể tích của phần tử đại điện RVE. Trong luận văn này sẽ thay thế phƣơng pháp phần tử hữu hạn bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) vào trong tính toán ở cả hai cấp độ vĩ mô và vi mô của bài toán multi-scale với vật liệu đƣợc giả định đàn hồi có biến dạng nhỏ. Ý tƣởng cốt lõi của phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn là sử dụng giá trị trung bình của biến dạng (biến dạng trơn) thay vì sử dụng biến dạng tƣơng thích nhƣ trong phƣơng pháp hữu hạn truyền thống.

Khi biến dạng trơn đƣợc sử dụng, ma trận độ cứng sẽ đƣợc mềm hóa và vì vậy phƣơng pháp này sẽ cho kết quả chính xác hơn phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nƣớc 1. Tình hình nghiên cứu ngoài nƣớc Hầu hết các bài báo về tính toán đồng nhất hóa vật liệu bằng phƣơng pháp Multi-scale trên thế giới hiện nay đều dùng phƣơng pháp phần tử hữu hạn thông thƣờng để tính toán. Tên các bài báo và sách nƣớc ngoài mà đề tài tham khảo: [1].

Computational micro-to-macro transition of discretized microstructures undergoing small strain.Micromechanics: overall properties of heteroge-neous materials. Imposing periodic boundary condition on arbitrary meshes by polynomial interpolation. Computational materials Science, 00:1–28. Micro- macro modeling of heterogeneous materials.

In Proceedings of the European 3 Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECCOMAS,on CD–ROM, CIMNE, Barcelona, Spain. An approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials. Computational homogenization for the multi-scale analysis of multi-phase materials. Technische Universiteit Eindhoven.

A new multiscale computational method for elasto-plastic analysis of heterogeneous materials. Tình hình nghiên cứu trong nƣớc Nghiên cứu trong nƣớc về đề tài này vẫn chƣa đƣợc thực hiện nhiều [8]. Le, Harm Askes, Inna M. FE2 computational homogenization for effective properties of heterogeneous materials.

The 1st International Conference on Computational Science and Engineering in Ho-Chi-Minh City, Vietnam on December 19-21th, 2011. Vinh Phu Nguyen, Oriol Lloberas-Valls, Martijn Stroeven and Lambertus Johannes Sluys. Computational homogenization for multiscale crack modeling.Implementational and computational aspects, International Journal For Numerical Methods In Engineering, 89:192–226. Hoang Tuong, Thai Hoang Chien, Nguyen Vinh Phu and Nguyen Xuan Hung.

Isogeometric-based Heterogeneous Multiscale Method. International Conference on Advances in Computational Mechanics. Hoang Tuong, Thai Hoang Chien, Nguyen Vinh Phu and Nguyen Xuan Hung. An efficient high order NURBS-based heterogeneous multiscale method.

9th National Congress in Mechanics. Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn. Mục tiêu của đề tài nghiên cứu này là phát tiển phƣơng pháp Tính toán đồng nhất hóa vật liệu đàn hồi bằng phƣơng pháp multi-scale kết hợp với phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) bao gồm các giai đoạn  Rời rạc hóa miền vật liệu của bài toán vĩ mô bằng pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM). Xác định các điểm gauss và gán cho mỗi điểm Gauss là một phần tử RVE.

 Sử dụng phƣơng pháp tính toán đồng nhất hóa bậc nhất (first order) của Multi-scale để thiết lập bài toán điều kiện biên ở cấp độ vi mô và kết hợp chuyển đổi tỉ lệ vi mô- vĩ mô.  Lập trình tính toán số cho các bài bài toán phẳng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab.  Phân tích đánh giá tính hiệu quả của phƣơng pháp thông qua việc so sánh kết quả thu đƣợc với kết quả số khác. TÍNH TOÁN ĐỒNG NHẤT HÓA BẬC NHẤT (Kounetsova(2002)) 2.

Giả thiết cơ bản. Trong tính toán đồng nhất hóa, vật liệu đƣợc xem là đồng nhất và lien tục ở cấp độ vĩ mô nhƣng ngƣợc lại rời rạc ở cấp độ vi mô. Điều này đƣợc minh họa trong hình 1. Tỉ lệ chiều dài vi mô lmicro thì lớn hơn nhiều lần so với kích thƣớc của các phân tử ldiscrete, Tƣơng tự nhƣ vậy tỉ lệ chiều dài vi mô đƣợc giả định là nhỏ hơn nhiều lần chiều dài của phần tử vĩ mô lmacro.

ldiscrete  lmicro  lmacro Hình 1: Một điểm vật liệu vĩ mô liên tục dƣới cấu trúc vi mô rời rạc 2.1 Tính tuần hoàn cục bộ. Hầu hết các phƣơng pháp tiếp cận đồng nhất đều đƣa ra một giả định dựa trên tính chu kỳ thổng thể của các cấu trúc vi mô, điều này đƣợc hiểu là toàn bộ miền vật liệu vĩ mô chứa đựng những phần tử đơn vị không gian lặp lại. Trong phƣơng pháp tính toán đồng nhất hoá, một giả định sát với thực tế hơn là tính tuần hoàn cục bộ đã đƣợc đề xuất. Theo giả định này, các cấu trúc vi mô có thể có những hình thái tƣơng ứng khác nhau tại các điểm vĩ mô khác nhau, trong khi nó tự lặp lại trong một vùng kế cận nhỏ tại mỗi điểm vĩ mô riêng biệt.

Khái niệm về tính tuần hoàn cục bộ và tổng thể đƣợc minh hoạ trong hình 2. Giả định về tính tuần hoàn tổng thể và cục bộ đƣợc áp dụng trong tính toán đồng nhất hoá cho phép mô hình hoá các tác động của sự phân bổ không đồng đều của các cấu trúc vi mô vào trong ứng xử của cấu trúc vĩ mô (ví dụ nhƣ theo chức năng cƣờng độ của các loại vật liệu). Nguyên lý tính toán đồng nhất hóa. Nguyên lý cơ bản của tính toán đồng nhất hoá bậc nhất (first order) đã đƣợc phát triển dần dần từ những khái niệm đã đƣợc sử dụng trong nhiều phƣơng pháp đồng nhất hoá khác và thõa mãn theo quy trình 4 bƣớc đồng nhất hoá đƣợc đƣa ra bởi Suquet(1985): 1.

Định nghĩa một phần tử thể tích cấu trúc vi mô đại diện (RVE) , với các ứng xử cơ bản của các thành phần cấu tạo độc lập, đƣợc giả định là đã biết trƣớc; 2. Thành lập các điều kiện biên cấp độ vĩ mô từ các biến đầu đầu vào cấp độ vĩ mô và áp đặt lên các RVE (phép chuyển đổi từ vĩ mô sang vi mô); 3. Tính toán các biến đầu ra của cấp độ vĩ mô từ việc phân tích biến dạng của cách phần tử cấu trúc vi mô RVE (chuyển đổi từ vi mô sang vĩ mô); 4. Có đƣợc mối liện hệ (về số) giữa các biến đầu vào và các biến đầu ra.

Quy trình tính toán đồng nhất hóa Trong phƣơng pháp tính toán đồng nhất hoá bậc nhất, một ten sơ biến dạng vĩ mô F M thì đƣợc tính toán tại mỗi điểm vật liệu của cấu trúc vĩ mô (ví dụ tích hợp các điểm vĩ mô vào trong môi trƣờng phần tử hữu hạn), trong nghiên cứu này chỉ số “M” đƣợc xem là đại lƣợng vĩ mô, còn chỉ số “m” đƣợc kí hiệu là đại lƣợng vi mô. Ten sơ biến 7 dạng M tại một điểm vĩ mô tiếp tục đƣợc sử dụng để xây dựng các điều kiện biên đối với phần tử đại diện RVE đã đƣợc gán cho điểm này. Sau khi giải quyết bài toán giá trị biên cho phần tử đại diện RVE , sẽ thu đƣợc ten sơ ứng suất M sẽ bằng cách lấy kết quả trung bình của trƣờng ứng suất RVE trên toàn bộ thể tích của phần tử RVE. Theo đó, mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng tại các điểm vĩ mô thì dễ dàng đƣợc nhận thấy.

Ngoài ra ma trận mô đun đàn hồi tuyến tính của vật liệu sẽ đƣợc suy ra từ độ cứng của cấu trúc vi mô, cơ chế này đƣợc minh hoạ trong hình 3. Toàn bộ kỹ thuật tính toán đồng nhất hóa đƣợc định nghĩa theo hƣớng này, là hoàn toàn phù hợp với các nguyên lý ứng xử của cơ học môi trƣờng liên tục. Do đó, phản ứng tại các điểm vật liệu vĩ mô chỉ phụ thuộc vào độ dốc ban đầu của trƣờng chuyển vị. Hình 3: Quy trình tính toán đồng nhất hóa bậc nhất Trong khuôn khổ của phƣơng pháp tính toán đồng nhất hóa vĩ mô này phƣơng pháp này có thể đƣợc xếp loại là hƣớng pháp tiếp cận bậc nhất.

Các quy trình điều khiển các đại lƣợng động học Multi-scale Quy trình chuyển đổi vi mô và vĩ mô đƣợc đƣa ra ở trên gọi là “điều khiển chuyển vị” tức là trên cấp độ vĩ mô cục bộ bài toán đƣợc xây dựng nhƣ sau: cho 1 ten sơ biến dạng vĩ mô, xác định ứng suất và các thành phần mô đun đàn hồi, dựa trên phản ứng ở cấp 8 độ vi mô đơn giản. Một phƣơng pháp khác gọi là “điều khiển ứng suất” cũng có thể thực hiện đƣợc (cho một ứng suất vĩ mô cục bộ, thu đƣợc biến dạng).Tuy nhiên phƣơng pháp này không trực tiếp thỏa mãn với các chuẩn chuyển vị của phƣơng pháp phần tử hữu hạn là phƣơng pháp đƣợc sử dụng để giải quyết những bài toán giá trị điều kiện biên cấp độ vĩ mô. Ngoài ra trong trƣờng hợp biến dạng lớn bị ảnh hƣởng của góc xoay cấp độ vĩ mô đƣợc kể thêm vào một ten sơ ứng suất để xác định ten sơ biến dạng, do đó việc thực hiện trở nên phức tạp. Vì vậy phƣơng pháp “điều khiển ứng suất”, chỉ đƣợc sử dụng trong phân tích những phần tử đơn giản và không áp dụng trong quá trình kết hợp tính toán đồng nhất hoá giữa cấp độ vi mô và vĩ mô.