Luận Văn Thạc Sĩ: Nghiên Cứu Những Vấn Đề Mới Trong Hình Arbelos

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu một số vấn đề mới trong hình arbelos, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện pháp hoàn thiện trong lĩnh vực .

• Tác giả: Nguyễn Sơn Hải
• Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Việt Hải
• Trường học: Đại học Thái Nguyên - Trường Đại học Khoa học
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Một số vấn đề mới trong hình arbelos
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: HÌNH ARBELOS VÀ CÁC CẶP ĐƯỜNG TRÒN ARCHIMEDES
• 1.1. Giới thiệu về arbelos
• 1.2. Kết quả mới về arbelos vàng
• 1.3. Đường tròn nội tiếp arbelos
• 1.4. Các cặp đường tròn Archimedes
• 1.4.1. Định nghĩa đường tròn Archimedes
• 1.4.2. Các cặp đường tròn Archimedes khác
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ HỌ ĐƯỜNG TRÒN ARCHIMEDES
• 2.1. Họ đường tròn Archimedes của Schoch
• 2.1.1. Đường thẳng Schoch
• 2.1.2. Tổng quát hóa đường tròn U2 của Schoch
• 2.2. Các đường tròn Un của Woo
• 2.2.1. Các đường tròn Un của Woo với n < 0
• 2.2.2. Một tổng quát hóa khác của U0
• 2.2.3. Tổng quát hóa kiểu Power
• 2.2.4. Đặc trưng của các đường tròn Archimedes đi qua C
• 3. CHƯƠNG 3: CHUỖI CÁC ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP HÌNH ARBELOS
• 3.1. Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp arbelos
• 3.2. Ba chuỗi đường tròn Pappus nội tiếp arbelos
• 3.3. Phép nghịch đảo trong hình arbelos
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• LỜI CẢM ƠN

Tóm tắt

I. Hình Arbelos và các cặp đường tròn Archimedes

Hình Arbelos là một hình học phẳng được tạo bởi ba nửa đường tròn tiếp xúc nhau, thường được gọi là 'hình con dao thợ đóng giầy'. Trong luận văn này, Hình Arbelos được nghiên cứu dưới góc độ Hình học Euclid và Hình học phẳng, với các tính chất hình học đặc biệt. Các đường tròn Archimedes là những đường tròn tiếp xúc với các nửa đường tròn trong Hình Arbelos, và chúng có bán kính không phụ thuộc vào vị trí của điểm C trên đoạn AB. Đây là một phát hiện quan trọng của Archimedes, được trình bày chi tiết trong luận văn.

1.1 Giới thiệu về Hình Arbelos

Hình Arbelos được tạo bởi ba nửa đường tròn có đường kính AC, BC và AB, với điểm C nằm trên đoạn AB. Hình này có nhiều tính chất hình học thú vị, đặc biệt là các tính chất hình học liên quan đến các đường tròn tiếp xúc. Luận văn giới thiệu các khái niệm cơ bản về Hình Arbelos, bao gồm cách dựng hình và các tính chất cơ bản của nó. Đây là nền tảng để nghiên cứu sâu hơn về các đường tròn Archimedes và các vấn đề liên quan.

1.2 Kết quả mới về Arbelos vàng

Một trong những kết quả mới được trình bày trong luận văn là khái niệm Arbelos vàng, một Hình Arbelos có tỷ số giữa bán kính hai nửa đường tròn nhỏ bằng tỷ số vàng (ϕ). Arbelos vàng có nhiều tính chất đặc biệt, liên quan đến các đường tròn Archimedes và các tính chất hình học khác. Luận văn đã chứng minh rằng trong Arbelos vàng, các đường tròn δj và ǫj bằng nhau với mọi j ≥ 2, một kết quả quan trọng trong nghiên cứu hình học phẳng.

II. Một số họ đường tròn Archimedes

Luận văn trình bày các cách tổng quát hóa để thu được các họ đường tròn Archimedes trong Hình Arbelos. Các đường tròn Archimedes được nghiên cứu dưới nhiều góc độ khác nhau, bao gồm các phương pháp dựng hình và các tính chất hình học liên quan. Đặc biệt, luận văn giới thiệu các họ đường tròn Archimedes của Schoch và Woo, cùng với các tổng quát hóa của chúng. Những kết quả này không chỉ làm phong phú thêm lý thuyết về Hình Arbelos mà còn có ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học phức tạp.

2.1 Họ đường tròn Archimedes của Schoch

Họ đường tròn Archimedes của Schoch là một trong những họ đường tròn quan trọng được nghiên cứu trong luận văn. Các đường tròn này có tính chất đặc biệt là tiếp xúc với các nửa đường tròn trong Hình Arbelos và có bán kính không đổi. Luận văn đã trình bày cách dựng các đường tròn này và chứng minh các tính chất hình học của chúng. Đây là một phần quan trọng trong nghiên cứu về Hình Arbelos và các đường tròn Archimedes.

2.2 Các đường tròn Un của Woo

Các đường tròn Un của Woo là một họ đường tròn khác được nghiên cứu trong luận văn. Những đường tròn này có tính chất đặc biệt là tiếp xúc với các nửa đường tròn trong Hình Arbelos và có bán kính phụ thuộc vào vị trí của điểm C trên đoạn AB. Luận văn đã trình bày cách dựng các đường tròn này và chứng minh các tính chất hình học của chúng. Đây là một phần quan trọng trong nghiên cứu về Hình Arbelos và các đường tròn Archimedes.

III. Chuỗi các đường tròn nội tiếp Hình Arbelos

Luận văn giới thiệu các chuỗi đường tròn nội tiếp trong Hình Arbelos, bao gồm chuỗi Pappus và các chuỗi đường tròn khác. Các chuỗi đường tròn này có tính chất đặc biệt là tiếp xúc với các nửa đường tròn trong Hình Arbelos và có bán kính giảm dần theo một quy luật nhất định. Luận văn đã trình bày cách dựng các chuỗi đường tròn này và chứng minh các tính chất hình học của chúng. Đây là một phần quan trọng trong nghiên cứu về Hình Arbelos và các đường tròn Archimedes.

3.1 Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp

Chuỗi Pappus là một chuỗi đường tròn nội tiếp quan trọng trong Hình Arbelos. Các đường tròn trong chuỗi này có tính chất đặc biệt là tiếp xúc với các nửa đường tròn trong Hình Arbelos và có bán kính giảm dần theo một quy luật nhất định. Luận văn đã trình bày cách dựng chuỗi Pappus và chứng minh các tính chất hình học của nó. Đây là một phần quan trọng trong nghiên cứu về Hình Arbelos và các đường tròn Archimedes.

3.2 Ba chuỗi Pappus trong Hình Arbelos

Luận văn cũng giới thiệu ba chuỗi Pappus khác nhau trong Hình Arbelos, mỗi chuỗi có các tính chất hình học riêng biệt. Các chuỗi này được dựng bằng cách sử dụng các phương pháp hình học khác nhau, bao gồm phép nghịch đảo và các công cụ hình học khác. Luận văn đã trình bày cách dựng các chuỗi này và chứng minh các tính chất hình học của chúng. Đây là một phần quan trọng trong nghiên cứu về Hình Arbelos và các đường tròn Archimedes.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Hình arbelos, còn gọi là "hình con dao thợ đóng giày", là một đối tượng nghiên cứu quan trọng trong hình học phẳng Euclid, được tạo thành từ ba nửa đường tròn tiếp xúc trên một đoạn thẳng. Theo ước tính, các nghiên cứu về hình arbelos đã thu hút sự quan tâm mạnh mẽ trong nhiều thập kỷ gần đây, đặc biệt từ năm 2004 trở lại đây, với nhiều kết quả mới được công bố trên các tạp chí toán học quốc tế như Forum Geometricorum. Luận văn tập trung nghiên cứu một số vấn đề mới trong hình arbelos, bao gồm đặc trưng của arbelos vàng, các họ đường tròn Archimedes, chuỗi các đường tròn Pappus và một số đồng nhất thức liên quan.

Mục tiêu chính của nghiên cứu là trình bày và phân tích các kết quả hình học mới chưa được giới thiệu rộng rãi tại Việt Nam, đồng thời sử dụng các công cụ hình học hiện đại như phép nghịch đảo, tọa độ Descartes và tọa độ Barycentric để giải quyết các bài toán liên quan. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào hình arbelos cơ bản với bán kính các nửa đường tròn lần lượt là $a$ và $b$, trong đó $a > b > 0$, và các mở rộng tổng quát liên quan đến các họ đường tròn Archimedes. Ý nghĩa của nghiên cứu không chỉ nằm ở việc phát triển lý thuyết hình học mà còn góp phần nâng cao năng lực giảng dạy các chuyên đề hình học khó tại các trường THCS và THPT, giúp học sinh phát triển tư duy toán học sâu sắc hơn.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình nghiên cứu sau:

• Hình arbelos và các tính chất cơ bản: Hình arbelos được định nghĩa bởi ba nửa đường tròn tiếp xúc trên đoạn thẳng AB, với điểm C nằm giữa A và B. Diện tích hình arbelos bằng diện tích hình tròn có đường kính CD, với công thức diện tích là $2\pi ab$.

• Arbelos vàng: Khi tỷ số bán kính hai nửa đường tròn nhỏ thỏa mãn tỷ số vàng $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, hình arbelos được gọi là arbelos vàng. Tính chất đặc biệt của arbelos vàng liên quan đến các đường tròn tiếp xúc đặc biệt như các đường tròn δi và ǫi có bán kính bằng nhau.

• Đường tròn Archimedes: Đường tròn tiếp xúc với nửa đường tròn lớn và một trong hai nửa đường tròn nhỏ, có bán kính không phụ thuộc vào vị trí điểm C trên AB, được gọi là đường tròn Archimedes. Các họ đường tròn Archimedes được tổng quát hóa qua các nghiên cứu của Schoch, Woo và Power.

• Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp: Chuỗi các đường tròn nội tiếp arbelos, trong đó mỗi đường tròn tiếp xúc với hai nửa đường tròn và đường tròn liền trước, có khoảng cách từ tâm đến đáy arbelos tỷ lệ thuận với đường kính đường tròn, theo công thức $h_n = 2n r_n$.

Các khái niệm chính bao gồm: bán kính đường tròn nội tiếp, phép nghịch đảo trong hình học, tọa độ Descartes, tọa độ Barycentric, và các định lý liên quan đến tiếp tuyến và tiếp xúc của các đường tròn.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu chính là các bài báo khoa học quốc tế và các công trình nghiên cứu đã được công bố từ năm 1999 đến 2019, đặc biệt là các bài báo trong tạp chí Forum Geometricorum và các công trình của các nhà toán học như Archimedes, Bankoff, Schoch, Woo, và Power.

Phương pháp nghiên cứu bao gồm:

• Phương pháp dựng hình: Sử dụng com pa-thước kẻ để dựng các đường tròn, điểm tiếp xúc và các đường thẳng liên quan trong hình arbelos.

• Phép nghịch đảo: Áp dụng phép nghịch đảo để biến đổi các đường tròn và đường thẳng, từ đó chứng minh các tính chất hình học phức tạp.

• Phân tích tọa độ: Sử dụng hệ tọa độ Descartes và tọa độ Barycentric để biểu diễn các điểm, đường tròn và tính toán các khoảng cách, bán kính.

• Phân tích đại số: Giải các phương trình bậc nhất và bậc hai liên quan đến bán kính và tọa độ tâm các đường tròn.

• Timeline nghiên cứu: Nghiên cứu được thực hiện trong giai đoạn 2017-2019, với việc tổng hợp các kết quả mới từ các bài báo quốc tế và phát triển các chứng minh mới dựa trên các công cụ hiện đại.

Cỡ mẫu nghiên cứu là tập hợp các hình arbelos với các giá trị bán kính khác nhau, tập trung vào trường hợp $a > b > 0$. Phương pháp chọn mẫu dựa trên tính đại diện của các trường hợp điển hình trong hình học phẳng.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Đặc trưng của arbelos vàng: Khi tỷ số bán kính hai nửa đường tròn nhỏ thỏa mãn tỷ số vàng $\frac{a}{b} = \varphi$, các đường tròn δj và ǫj với $j \geq 2$ có bán kính bằng nhau. Đây là một tính chất mới được phát hiện, mở rộng hiểu biết về cấu trúc hình học của arbelos vàng.

2. Bán kính đường tròn nội tiếp arbelos: Đường tròn nội tiếp arbelos có bán kính được tính theo công thức

$$ \rho = \frac{ab(a+b)}{a^2 + ab + b^2} $$

và khoảng cách từ tâm đường tròn này đến đáy AB bằng $2\rho$. Đây là kết quả quan trọng giúp xác định vị trí và kích thước của đường tròn nội tiếp.

3. Các họ đường tròn Archimedes: Nghiên cứu đã xác định được nhiều họ đường tròn Archimedes, trong đó có họ của Schoch và Woo. Ví dụ, đường tròn Archimedes của Schoch có bán kính $t = \frac{ab}{a+b}$ và tâm nằm trên đường thẳng Schoch có phương trình $x = t$. Họ đường tròn Un của Woo được xác định với tâm nằm trên đường thẳng Schoch và bán kính không đổi bằng $t$.

4. Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp: Chuỗi các đường tròn nội tiếp arbelos có khoảng cách từ tâm đến đáy BC tỷ lệ thuận với đường kính đường tròn, theo công thức $h_n = 2n r_n$. Ba chuỗi Pappus được xác định với bán kính đường tròn thứ n được tính theo công thức

$$ \rho_{c,n} = \rho_{a,n} = \rho_{b,n} = \frac{c^2}{n^2 c^2 - ab} $$

với các biến số liên quan đến bán kính các nửa đường tròn.

Thảo luận kết quả

Các kết quả trên cho thấy hình arbelos chứa đựng nhiều cấu trúc hình học phức tạp và đẹp mắt, đặc biệt là khi áp dụng các công cụ hiện đại như phép nghịch đảo và tọa độ Descartes. Việc phát hiện tính chất mới của arbelos vàng mở ra hướng nghiên cứu mới về các tỷ số đặc biệt trong hình học phẳng, liên quan mật thiết đến tỷ số vàng vốn nổi tiếng trong toán học và nghệ thuật.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã tổng hợp và mở rộng các họ đường tròn Archimedes, đồng thời cung cấp các chứng minh chi tiết và các công thức tính toán chính xác hơn. Việc xác định các chuỗi Pappus và các đồng nhất thức liên quan giúp hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các đường tròn nội tiếp trong arbelos.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ minh họa bán kính và vị trí tâm các đường tròn trong họ Archimedes và chuỗi Pappus, cũng như bảng tổng hợp các công thức bán kính và khoảng cách tương ứng. Điều này giúp trực quan hóa các mối quan hệ hình học và hỗ trợ việc giảng dạy.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển phần mềm dựng hình arbelos: Xây dựng công cụ phần mềm hỗ trợ dựng hình arbelos và các đường tròn Archimedes, giúp sinh viên và giáo viên dễ dàng hình dung và thực hành các bài toán hình học phức tạp. Mục tiêu nâng cao hiệu quả giảng dạy trong vòng 1-2 năm, do các trường đại học và trung tâm đào tạo thực hiện.

2. Tổ chức các khóa đào tạo chuyên sâu về hình học phẳng: Tập trung vào các chuyên đề như arbelos, phép nghịch đảo và tọa độ Barycentric nhằm bồi dưỡng năng lực giảng dạy cho giáo viên THCS và THPT. Mục tiêu cải thiện chất lượng dạy học hình học trong 1 năm, do các khoa toán các trường đại học chủ trì.

3. Nghiên cứu mở rộng về ứng dụng arbelos trong toán học và nghệ thuật: Khuyến khích các đề tài nghiên cứu tiếp tục khai thác các tính chất đặc biệt của arbelos vàng và các họ đường tròn Archimedes, đặc biệt liên quan đến tỷ số vàng và các cấu trúc hình học phức tạp. Thời gian nghiên cứu dự kiến 3-5 năm, do các viện nghiên cứu toán học thực hiện.

4. Phát triển tài liệu giảng dạy và sách tham khảo: Biên soạn tài liệu chuyên sâu về hình arbelos và các ứng dụng, phù hợp với chương trình đại học và cao học, giúp sinh viên tiếp cận kiến thức mới một cách hệ thống. Mục tiêu hoàn thành trong 2 năm, do các nhà xuất bản và khoa toán phối hợp thực hiện.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên toán THCS và THPT: Nâng cao kiến thức chuyên sâu về hình học phẳng, đặc biệt là các chuyên đề khó như arbelos và đường tròn Archimedes, giúp cải thiện phương pháp giảng dạy và phát triển tư duy học sinh.

2. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán học: Tài liệu tham khảo quý giá cho các nghiên cứu về hình học Euclid, phép nghịch đảo và các cấu trúc hình học phức tạp, hỗ trợ phát triển luận văn và đề tài nghiên cứu.

3. Nhà nghiên cứu toán học ứng dụng: Khai thác các tính chất hình học đặc biệt của arbelos trong các lĩnh vực như thiết kế kiến trúc, mỹ thuật và kỹ thuật, đặc biệt liên quan đến tỷ số vàng và các cấu trúc hình học tự nhiên.

4. Giảng viên đại học và cao học: Sử dụng luận văn làm tài liệu giảng dạy các chuyên đề nâng cao về hình học phẳng, đồng thời làm cơ sở cho các nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực hình học Euclid và hình học tổng quát.

Câu hỏi thường gặp

1. Hình arbelos là gì và tại sao nó quan trọng trong hình học?
   Hình arbelos là hình phẳng được tạo bởi ba nửa đường tròn tiếp xúc trên một đoạn thẳng, có nhiều tính chất hình học đặc biệt và liên quan đến các định lý cổ điển. Nó quan trọng vì chứa đựng nhiều cấu trúc phức tạp, giúp phát triển tư duy hình học và ứng dụng trong toán học hiện đại.

2. Tỷ số vàng ảnh hưởng như thế nào đến hình arbelos?
   Khi tỷ số bán kính hai nửa đường tròn nhỏ thỏa mãn tỷ số vàng, hình arbelos được gọi là arbelos vàng, có các tính chất đặc biệt như các đường tròn δj và ǫj có bán kính bằng nhau, mở rộng hiểu biết về các cấu trúc hình học liên quan đến tỷ số vàng.

3. Đường tròn Archimedes là gì và có bao nhiêu họ đường tròn Archimedes?
   Đường tròn Archimedes là đường tròn tiếp xúc với nửa đường tròn lớn và một trong hai nửa đường tròn nhỏ trong arbelos, có bán kính không đổi. Có nhiều họ đường tròn Archimedes được phát hiện, bao gồm họ của Schoch, Woo và Power, mỗi họ có các đặc điểm và phương trình riêng.

4. Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp có ý nghĩa gì?
   Chuỗi Pappus là dãy các đường tròn nội tiếp arbelos, trong đó mỗi đường tròn tiếp xúc với hai nửa đường tròn và đường tròn liền trước. Khoảng cách từ tâm đến đáy arbelos tỷ lệ thuận với đường kính đường tròn, giúp hiểu sâu hơn về cấu trúc phân cấp trong hình arbelos.

5. Phép nghịch đảo được sử dụng như thế nào trong nghiên cứu hình arbelos?
   Phép nghịch đảo giúp biến đổi các đường tròn và đường thẳng trong arbelos thành các đối tượng dễ phân tích hơn, từ đó chứng minh các tính chất phức tạp và xây dựng các công thức chính xác về bán kính và vị trí tâm các đường tròn liên quan.

Kết luận

• Luận văn đã trình bày và phân tích các vấn đề mới trong hình arbelos, bao gồm arbelos vàng, các họ đường tròn Archimedes và chuỗi Pappus.
• Đã phát hiện và chứng minh các tính chất đặc biệt của arbelos vàng liên quan đến tỷ số vàng và các đường tròn δj, ǫj.
• Xác định các họ đường tròn Archimedes của Schoch, Woo và Power với các công thức bán kính và tọa độ tâm chi tiết.
• Trình bày các đồng nhất thức liên quan đến bán kính các đường tròn nội tiếp và chuỗi Pappus, mở rộng hiểu biết về cấu trúc hình học phức tạp.
• Đề xuất các giải pháp ứng dụng trong giảng dạy và nghiên cứu, đồng thời khuyến nghị phát triển tài liệu và công cụ hỗ trợ.

Next steps: Triển khai các đề xuất về phần mềm dựng hình và tài liệu giảng dạy, đồng thời mở rộng nghiên cứu ứng dụng arbelos trong các lĩnh vực toán học và nghệ thuật.

Call-to-action: Các nhà nghiên cứu và giảng viên được khuyến khích áp dụng các kết quả này vào giảng dạy và nghiên cứu, đồng thời tiếp tục khám phá các tính chất mới của hình arbelos để phát triển lĩnh vực hình học phẳng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Hình arbelos và các cặp đường tròn Archimedes 1.1 Giới thiệu về arbelos Hình arbelos nghiên cứu các nửa đường tròn tiếp xúc, chữ "arbe- los" được ghép từ 7 chữ cái œ,øØ,Ø,?,AÀ,Ø,< thành (œøØnAØ<). Trên đoạn thang AB ta lấy điểm C và dựng các nửa đường tròn đường kính AC, BC, AB, ta gọi đó là các nửa đường tròn O;(a), Oo(b) va O(a + b) tương ứng. Nếu ta cắt hai nửa hình tròn nhỏ ra khỏi nửa hình tròn lớn thì ta nhận được hình “con dao của thợ đóng giầy” hay còn gọi là hình arbelos của Archimedes. Trong luận văn này chúng tôi thống nhất dùng (a) Hình “con dao của thợ đóng giầy” (b) Sq) + S(2) = S¢s) Hinh 1.1: Arbelos-“hinh con dao thợ đóng giầy” tên gọi “arbelos [ABC]” để chỉ hình cơ bản như trên hình vẽ 1.1, bán kính hai nửa đường tròn nhỏ là AC = a,CŒB = b,\,Ó; là hai tâm nửa đường tròn, Œ là tiếp điểm của hai nửa đường tròn nhỏ, D là giao của nửa đường tròn lớn nhất với đường vuông góc Œ L 4B.

Như vậy đường tròn lớn có bán kính a + Ò. Ta cũng dùng ký hiệu (PQ) để chỉ nửa đường tròn đường kính PQ hay O(r) để chỉ đường tròn tâm Ó, bán kính z. Nhà toán học và thiên văn học Archimedes đã khám pha ra nhiều định lý về arbelos và công bố trong cuốn sách “Sách về các bổ đề” của ông. Mặc dù các bài toán trong hình arbelos đã có từ thời đó nhưng đến tận ngày nay người ta vẫn phát hiện ra nhiều bí ấn, nhiều kết quả đã được công bố trong các diễn đàn toán học mà điển hình là Forum Geometricorum (ISSN 1534-1178).

Dây là một tạp chí khoa học về hình học Euclide của khoa toán trường đại học Florida Atlantic (Mỹ). Tạp chí được thành lập bởi giáo sư Paul Yiu từ năm 2001 và ông cũng là tổng biên tập của tạp chí này cho đến nay. Trong hình arbelos có một số kết quả sau đã được phát biểu và trình bày phép chứng minh trong [1]: Bai todn 1. Cho arbelos [ABC] như trên hành 1.

Chitng minh điện tích của hành arbelos bằng điện tích của hành tròn đường kính ŒD va bằng 2mab. Trong arbelos [ABC] goi U = ADN (AC) va V = BD (BC) thi tt giác CUDV là hành chữ nhật. Giá thiết như bài toán trên, khi đó đường thẳng UV là tiếp tuyến của hai rửa đường tron (AC) va (CB).2 Kết quả mới về arbelos vàng Năm 1999 có một bài báo mang tên 7hose ubiquitious Archimedes circles cong bé trong Math. 72 (1999) ctia tap thé tac gia: C.

Bai bao da lam cho caéc nha toaén học chuyên và không chuyên quan tâm đến hình arbelos này. O thé ky hiện tại có khá nhiều các cuộc thảo luận về arbelos mà đa số trong chúng được công bố trong tác pham “The arbelos: A cosmos made by three semicircles” (Arbelos: mét vi tru duoc tao bởi ba nita dudng tron) của hai nhà toán học H. Tac phẩm đó được đăng trong tạp chí Iwanami Shoten năm 2010 bằng Tiếng Nhật. Sau đây là một phát hiện rất hay của Hiroshi Okumura: Một đặc trưng của arbelos vang, [6].

Với hình arbelos [A ĐC], giả sử a, b là bán kính các nửa đường tròn (AC), (CB) với a >b >0. a,b được gọi là “ở trong tỷ số vàng” nếu a b =— 1.1) Đẳng thức đó tương đương với a2 = ab + b2 ac 1+ V5 <=—> a,b> 0 b 2 Ta da biét ty s6 y không chỉ xuất hiện trong toán học mà ngay cả trong hội họa và kiến trúc nó cũng xuất hiện thường xuyên. Trong hình học tỷ số vàng liên quan chặt chẽ đến ngũ giác đều (xem hình 1. Một arbelos [ABC] ma (1.1) thỏa mãn được gọi là một arbelos vàng, tức là khi a : b đạt tỷ số vàng.

Tỷ số vàng thường được ký hiệu bằng chữ Hylạp ¿ để tưởng nhớ đến Phidias, nhà điêu khắc đã có công xây dựng ngôi đền Parthenon. Dựng các ngũ giác đều trên hành arbelos uàng. “Trong hình arbelos [ABC] —Vẽ đường tròn nội tiêp tâm H”. —Vé Wt 1 AB,cắt AB ỡ H và K.

—Từ K xác định được các đỉnh ủa đa giác đều.2: Bốn ngũ giác đều và một thập giác đều Lời giải. Tóm tắt trên hình 1. Trên hình có 4 ngũ giác đều, 3 trong chúng nội tiếp 3 đường tròn đường kính AŒ, BƠ, AB và một thập giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 4Ö. Tất cả đều gắn với arbelos vàng.

Ta gọi trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính AC, BƠ, tức đường thẳng đi qua Ở vuông góc với 4? là trục của arbelos [A4 BƠI. Giả sử ổ;,(¿ = 1,2,3) là các đường tròn tiếp xúc ngoài với œ = (AC) và tiếp xúc trong với y = (AB) sao cho ổi tiếp xúc với trục, ở; tiếp xúc ngoài với ổ; và đường thẳng p là tiếp tuyến của ổa, song song với trục, tiếp xúc 69. Cuối cùng, ở; tiếp xúc với p như hình vẽ 1. Gọi €,# = 1,2,3 là các đường tròn tiếp xúc trong với hai tiếp chung của ằœ, Ø sao cho c¡ tiếp xúc ngoài với Ø tại , các c¿, j = 2, 3 tiếp xúc ngoài với c;ị.

Theo nhu Hiroshi Okumura kể lại trong bài viết của mình thì Leon Bankoff dường như là người đầu tiên nghiên cứu về arbelos vàng. Ông phát hiện ra rằng các đường tròn ổ; và e; với ? = 1,2, bằng nhau còn cs bằng đường tròn nội tiếp 7 của tam giác cong tạo bởi œ, ổi và trục của arbelos. Trong cuối bài báo của mình Bankoff nhấn mạnh thêm rằng đường tròn nội tiếp đó cũng bằng 63. Do do, 43 va €3 c6 thé bing nhau.

Nhưng ông không nói gì thêm về sự bằng nhau đó. Trong khi đó ông lại khẳng định rằng đường thẳng nối hai tâm ổi và ða song song với AB. Do đó hai đường tròn ổi và ổạ bị chia rẽ bởi một tiếp tuyến chung Song song với trục. Trước khi nói về một tính chất mới của arbelos vàng ta xét đến 2 bổ đề mà cũng có thể coi là các tính chất của arbelos.

Nếu đường tròn bán kính r tiếp xúc ngoài uới œ, tiếp xúc trong tới + tà d là khoảng cách từ tâm VWV của đường tròn đến đường thẳng Au L AB thà b = d 1. Từ tâm W hạ WK L AB,WH L Ayu và OẠ+E L WH (hình 1. Áp dụng định lý Pythagoras vào các tam giác vuông KOW và E\W ta có: O,E? = O,\W? — EW?= (a+r)? — (d—a)? FW? = OW? — OK’= ((a +b) — r)? — (d— (a +b))? OE? = FW? => (a+r)? — (d—a)? = ((a+b) —r)? — (d—(a+b))? Giải phương trình ta duge r = O 2a+b_ Bồ đề 1. Nếu hai đường tròn bán kính rị,ra,rị > ra tiếp xúc ngoài uới a, tiếp xúc trong uới uà cùng tiếp xúc uới đường thẳng 0 L AB thi T2 a = 1.3) y Ụ a T C Mi ` € r K a a A Oo, O (a) (b) Hình 1.4: Chứng mình hai tính chất của arbelos Chứng mánh.

Giả sử d là khoảng cách từ đường thang ¢ dén Ay. m Sab | +); T2 Saab | 2) Giải các phương trình ch bd bd Từ go (1. ii cée phuong trinh cho 7) = = r2 Sat Db 6 suy ra Tính chất 1. Cho hai dudng tròn bán kính dị,da(dị > dạ) tiếp xúc ngoài tới (AC) = œ, tiếp túc trong uới (AB) = +, cùng tiếp súc uới một đường thẳng 0 L AB va hai đường tròn bán kính e, e›,(e\ > eg) tiếp xúc uới hai tiếp tuyến chung ngoài của (AOƠ) = a va (BC) = 8 đồng thời tiếp xúc ngoài nhau.

Khi dy ey dé [ABC] la mét arbelos vang khi va cht khi dy ee 2 €2 Hình 1.5: Tính chất mới: [ABC]-arbelos vàng a = = 2 2 e b. 'Ta có — = — do tính chất vị tự còn — theo (1. a b dy ey Từ đó LABC] là arbelos vàng khi và chỉ khi =-<X=_-=. a+b oa dạ — €9 Giả sử ổi = c¡ = và øị là trục.

Với mỗi số tự nhiên j > 2 giả sử bj tiếp xúc ngoài với a va tiép xtic trong vdi y cdn Dj-1 Va pj tiép xtic với ổ;, song song với ?¡. Lại giả sử €; 1a dudng tron tiếp xúc với hai tiếp tuyến chung ngoài của œ và Ø và tiếp xúc ngoài với e7 — 1. Khi đó bán kính của ổ; và bán kính của c; tạo thành hai cấp số nhân với tỷ số chung b b và —. Như vậy ta có ⁄4 x a tương ứng là a a Tính chất 1.

[ABC| là arbelos vang khi uà chỉ khi ð; bằng c¡ uới mọi j > 2.6: [ABC] - arbelos vàng ©> ð; bằng c;, j > 2 1.3 Đường tròn nội tiếp arbelos Dinh nghia 1. Dudng tròn tiếp xúc ngoài tới (BC), (CA) tai X,Y va tiép xtic trong tới (AB) tại Z được gọi là đường tròn nội tiếp của một arbelos [ABC]. Ba điểm X,Y, Z là các tiếp điểm. Đường trờn nội tiếp hành arbelos [ABC] có bán kính ab(a + b) P= a ap (1.4) a? +ab+b Chứng minh.

Gọi w là tam va p 1a bán kính đường tròn nội tiếp, đặt wOO, = @. Theo dinh ly cô sin ấp dụng vào AO1œ„@O, AOzœ@O tương đương với (a+ ø)” = (a+b— p) + + 2b(a + b— p) cos0 (b+ ø)Ÿ= (a+b— p)° + a2 — 2b(a + b — p) cos0 Khử cos Ø ta được a(a+ p)? + b(b+ p)? = (a+b)(a+b— p)? + ab? + ba? Khai triển hai vế và giản tước ta được phương trình bậc nhất đối với ø: a+b? +2(a? +b’) p= (a+b)? + abla +b) — 2(a + b)?p 10 ab(a + b) hay P= Bab O\0O2, =a+b O.O = b;OC =a—b OZ=u+b Ow=a+t+p Ow =b+ 0 Oœ=a+b—p Ø) O C Or Hình 1.7 Dudng tron ndi tiép w(p) P. Woo da dua ra 3 cách dựng đường tròn nội tiếp của hình arbelos rất đơn giản, tất cả đều suy từ việc phát hiện ra 3 điểm thuộc đường tròn. Ngay sau đây ta sẽ trình bày các tính chất của đường tròn nội tiếp.

Từ đó suy ra cách dựng đường tròn nội tiếp hình arbelos. Giá sử Q\,Qa là trưng điểm 2 nửa đường tròn (AC),(BC). Với ký hiệu như trong định nghĩa đường tròn nội tiếp hành arbclos thì i) A,C,X,Z nằm trên đường trờn, tâm là Q¬. i)) B,C,Y,Z nằm trên đường tròn, tâm là Qa.

Gọi Ù là giao của nửa đường tròn kính AB với đường thắng C¿ _L AB. Xét phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo là (A4, AD). Hai diém B,C là nghịch đảo của nhau, còn 4Ö là đường thẳng kép. Ảnh của các nửa dudng tron (AB), (AC) tương ứng là các đường thẳng ¢ va Z vuông góc với 4P, lần lượt đi qua C va B.

Nita dudng tron (AB) trực giao với A?