Luận Văn Thạc Sĩ: Nghiên Cứu Chặn Trên Chỉ Số Chính Quy Castelnuovo-Mumford

Luận văn thạc sĩ phân tích chặn trên chỉ số chính quy castelnuovo mumford, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả thi cho thực tiễn.

• Tác giả: Lê Xuân Dũng
• Người hướng dẫn: GS. Lê Tuấn Hoa
• Trường học: Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Viện Toán học
• Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
• Đề tài: Chặn trên chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. CHỖ SẺ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD
• 2. CHƯƠNG 2
• 3. CHƯƠNG 3: CHÂN TRÊN THEO HỒ SƠ HILBERT
• 3.1. TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT
• 3.2. TRƯỜNG HỢP CHIỀU MỘT
• 3.3. CHÂN TRÊN TRONG TRƯỜNG HỢP NÂN PHÂN THÍ
• 4. CHƯƠNG 4
• 4.2. CHÂN TRÊN HỒ SƠ HILBERT CỦA NÂN PHÂN THÍ
• 4.3. CHỖ SẺ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA NÂN PHÂN THÍ
• 4.4. SỰ PHỤ THUỘC CỦA CÁC HỒ SƠ HILBERT
• 5. CHƯƠNG 5
• 5.1. CHÂN TRÊN THEO ĐỘ DÀI CỦA MÔ-ĐUN ĐỀI ĐẲNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
• 5.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC HỒ SƠ HILBERT
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu về Chỉ Số Chính Quy Castelnuovo Mumford

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đại số, đặc biệt trong nghiên cứu các mô-đun và lý thuyết hình học đại số. Khái niệm này được phát triển bởi G. Castelnuovo và D. Mumford, nhằm cung cấp một cách tiếp cận để đo lường độ phức tạp của các mô-đun liên kết. Chỉ số này không chỉ giúp xác định các thuộc tính hình học của các mô-đun mà còn có ứng dụng trong việc phân tích cấu trúc của các lý thuyết đại số khác. Theo định nghĩa, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(E) của một mô-đun E được xác định thông qua các độ dài của các nhóm đồng sinh và các hệ số Hilbert. Điều này cho phép các nhà nghiên cứu có thể đánh giá được các đặc điểm của mô-đun một cách chính xác và hiệu quả.

1.1. Định nghĩa và ý nghĩa

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(E) được định nghĩa là số nguyên lớn nhất sao cho HRi + (E)n = 0 với mọi n ≥ m - i + 1 và i ≥ 0. Điều này có nghĩa là chỉ số này phản ánh độ phức tạp của mô-đun E trong không gian đại số. Việc xác định reg(E) không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của mô-đun mà còn có thể ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Chỉ số này cũng có mối liên hệ chặt chẽ với các hệ số Hilbert, từ đó cung cấp thông tin về cách mà các mô-đun tương tác với nhau trong không gian đại số.

II. Phương Pháp Nghiên Cứu

Luận văn này áp dụng các phương pháp nghiên cứu hiện đại trong lý thuyết đại số để phân tích chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. Các phương pháp này bao gồm việc sử dụng các công cụ hình học đại số, lý thuyết mô-đun và các kỹ thuật tính toán để xác định các giới hạn trên cho reg(GI(M)) và reg(Fm(I)). Việc nghiên cứu này không chỉ giúp làm rõ các khái niệm lý thuyết mà còn cung cấp các kết quả thực tiễn có thể áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Các kết quả thu được từ nghiên cứu này có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán cụ thể trong lý thuyết đại số và hình học đại số.

2.1. Các Kỹ Thuật Sử Dụng

Trong nghiên cứu này, các kỹ thuật như phân tích đồng sinh, lý thuyết mô-đun và các hệ số Hilbert được sử dụng để xác định các giới hạn trên cho chỉ số chính quy. Các kỹ thuật này cho phép các nhà nghiên cứu có thể đánh giá được độ phức tạp của các mô-đun một cách chính xác. Bên cạnh đó, việc áp dụng các công cụ hình học đại số cũng giúp làm rõ hơn các mối quan hệ giữa các mô-đun và các thuộc tính hình học của chúng. Điều này không chỉ làm phong phú thêm lý thuyết mà còn mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực này.

III. Kết Quả và Ứng Dụng

Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford có thể được xác định một cách chính xác thông qua các hệ số Hilbert và độ dài của các nhóm đồng sinh. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các bài toán thực tiễn trong lĩnh vực hình học đại số. Việc hiểu rõ hơn về chỉ số này sẽ giúp các nhà nghiên cứu có thể phát triển các phương pháp mới trong việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong lý thuyết đại số.

3.1. Ứng Dụng Thực Tiễn

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ lý thuyết hình học đại số đến các ứng dụng trong khoa học máy tính và lý thuyết thông tin. Việc xác định reg(E) giúp các nhà nghiên cứu có thể đánh giá được độ phức tạp của các mô-đun và từ đó phát triển các thuật toán hiệu quả hơn trong việc xử lý dữ liệu. Ngoài ra, các kết quả từ nghiên cứu này cũng có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán trong lý thuyết mã hóa và lý thuyết thông tin, mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong tương lai.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Chủ đề nghiên cứu tập trung vào việc thiết lập các chuẩn đoán chặn trên cho chỉ số Castelnuovo-Mumford regularity của các mô-đun liên kết và nón phân thí trong đại số giao hoán và hình học đại số. Castelnuovo-Mumford regularity là một bất biến quan trọng phản ánh độ phức tạp của các cấu trúc đại số, đặc biệt là trong việc phân tích các mô-đun phân bậc hữu hạn sinh trên vành địa phương hoặc vành đa thức chuẩn. Nghiên cứu này nhằm giải quyết các bài toán chặn trên cho chỉ số regularity của mô-đun liên kết $G_I(M)$ và nón phân thí $F_m(I)$, dựa trên các đại lượng như bậc mở rộng (extended degree), độ dài các mô-đun đồng điều cục bộ, và các hệ số Hilbert.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các mô-đun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether hoặc vành đa thức chuẩn trên trường, với các i-đề an nguyên m-primary và các mô-đun I-lọc. Thời gian nghiên cứu dựa trên các kết quả toán học hiện đại được phát triển trong khoảng 20 năm gần đây, đặc biệt là các công trình của Rossi, Trung, Valla, Linh và các cộng sự. Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc cung cấp các bất đẳng thức chặn trên chính xác hoặc gần chính xác cho Castelnuovo-Mumford regularity, giúp hiểu sâu hơn về cấu trúc đại số của các mô-đun liên quan, đồng thời hỗ trợ trong việc tính toán và ứng dụng trong hình học đại số.

Các chỉ số như bậc mở rộng $D(I,M)$, các hệ số Hilbert $e_i(I,M)$, độ dài của các mô-đun đồng điều $H^i_{\mathfrak{m}}(M)$ được sử dụng làm tham số để thiết lập các chặn trên. Ví dụ, trong trường hợp chiều một, nghiên cứu đã xác định được chặn trên sắc nét cho $reg(G_I(M))$ theo các hệ số Hilbert, đồng thời chỉ ra điều kiện khi chặn này đạt được. Ngoài ra, nghiên cứu còn mở rộng các kết quả cho các mô-đun phân bậc hữu hạn sinh và các trường hợp tổng quát hơn.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu dựa trên các lý thuyết và mô hình sau:

• Chỉ số Castelnuovo-Mumford regularity ($reg(E)$): Được định nghĩa cho các mô-đun phân bậc hữu hạn sinh trên vành đa thức chuẩn hoặc vành địa phương, phản ánh bậc cực đại của các phần tử đồng điều cục bộ. Đây là bất biến quan trọng trong đại số giao hoán và hình học đại số, liên quan đến độ phức tạp của các mô-đun và các đa tạp đại số.

• Mô-đun liên kết và nón phân thí: Cho một vành địa phương $(A, \mathfrak{m})$, i-đề an nguyên $I$ m-primary và mô-đun $M$ hữu hạn sinh, mô-đun liên kết $G_I(M) = \bigoplus_{n \geq 0} I^n M / I^{n+1} M$ và nón phân thí $F_m(I) = \bigoplus_{n \geq 0} I^n / \mathfrak{m} I^n$ là các cấu trúc phân bậc chuẩn, cung cấp thông tin về cấu trúc đại số của $M$ và $I$.

• Bậc mở rộng (extended degree) $D(I,M)$: Một đại lượng mở rộng của bậc Hilbert, đo lường độ phức tạp của mô-đun $M$ liên quan đến i-đề an nguyên $I$. Bậc mở rộng này được sử dụng để thiết lập các chặn trên cho chỉ số regularity.

• Hệ số Hilbert $e_i(I,M)$: Các hệ số trong đa thức Hilbert-Samuel của mô-đun $M$ theo $I$, cung cấp thông tin chi tiết về sự tăng trưởng của các lớp phân bậc và liên quan đến các bất đẳng thức chặn trên.

• Mô-đun đồng điều cục bộ $H^i_{\mathfrak{m}}(M)$: Các mô-đun này đo lường các đặc trưng sâu sắc của $M$ tại điểm đặc biệt $\mathfrak{m}$, ảnh hưởng đến các chặn trên regularity.

Các khái niệm chính bao gồm: mô-đun I-lọc, bậc mở rộng, chỉ số Castelnuovo-Mumford regularity, hệ số Hilbert, mô-đun liên kết, nón phân thí, phần tử chính quy trên mô-đun liên kết.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp toán học thuần túy, kết hợp các kỹ thuật đại số giao hoán và hình học đại số hiện đại:

• Nguồn dữ liệu: Các mô-đun phân bậc hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether hoặc vành đa thức chuẩn, với i-đề an nguyên m-primary và các i-lọc liên quan.

• Phương pháp phân tích: Áp dụng các định lý về phần tử chính quy, các chuỗi ngắn chính quy, công thức Singh, các bất đẳng thức về bậc mở rộng và hệ số Hilbert để thiết lập các chặn trên cho chỉ số regularity. Sử dụng phương pháp quy nạp theo chiều của mô-đun và chiều của vành để mở rộng kết quả từ trường hợp chiều một đến trường hợp tổng quát.

• Timeline nghiên cứu: Nghiên cứu dựa trên các kết quả được phát triển từ đầu thế kỷ 21 đến năm 2013, với các bước chính bao gồm tổng hợp lý thuyết cơ bản, mở rộng các kết quả của Rossi-Trung-Valla và Linh, xây dựng các chặn trên mới dựa trên bậc mở rộng và hệ số Hilbert, và phân tích các trường hợp đặc biệt như mô-đun Cohen-Macaulay chiều một.

• Cỡ mẫu và chọn mẫu: Nghiên cứu tập trung vào các mô-đun hữu hạn sinh với các điều kiện về chiều và tính chất Cohen-Macaulay hoặc không, lựa chọn các phần tử chính quy tổng quát trong i-đề an nguyên để đảm bảo tính tổng quát và khả năng áp dụng các kỹ thuật quy nạp.

• Kiểm chứng và so sánh: So sánh các chặn trên mới với các kết quả trước đây, đặc biệt là các chặn của Rossi-Trung-Valla, Linh và các công trình liên quan, đồng thời phân tích các điều kiện khi chặn đạt được hoặc không đạt được.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Chặn trên theo bậc mở rộng và bậc sinh của mô-đun liên kết:

   • Đã thiết lập được chặn trên cho chỉ số Castelnuovo-Mumford regularity của mô-đun liên kết $G_I(M)$ theo bậc mở rộng $D(I,M)$ và bậc sinh $r(M)$ của mô-đun $M$.
   • Cụ thể, với mô-đun $M$ hữu hạn sinh chiều $d \geq 1$, có bất đẳng thức: $$ reg(G_I(M)) \leq [D(I,M) + r(M) + 1]^{3(d-1)! - 1} - d, $$ thể hiện sự phụ thuộc đa thức theo bậc mở rộng và bậc sinh.
   • Trong trường hợp $d=1$, chặn trên sắc nét hơn: $$ reg(G_I(M)) \leq e(I,M) + r(M) - 1, $$ với $e(I,M)$ là hệ số Hilbert bậc 0.

2. Chặn trên theo hệ số Hilbert và độ dài mô-đun đồng điều:

   • Đã chứng minh chặn trên cho $reg(G_I(M))$ theo các hệ số Hilbert $e_i(I,M)$ và độ dài của mô-đun đồng điều $L = H^0_{\mathfrak{m}}(M)$: $$ reg(G_I(M)) \leq \max{reg_1(G_I(M)), r(M)} + \ell(L), $$ trong đó $reg_1$ là chỉ số regularity tại bậc 1.
   • Các hệ số Hilbert $e_i$ được sử dụng để tính toán chặn trên $reg_1(G_I(M))$ thông qua các đa thức liên quan đến bậc sinh và độ dài mô-đun đồng điều.

3. Trường hợp chiều một và mô-đun Cohen-Macaulay:

   • Khi $dim(M) = 1$ và $M$ là mô-đun Cohen-Macaulay, đã xác định được chặn trên sắc nét cho $reg(G_I(M))$ theo hệ số Hilbert $e_0, e_1$ và số nguyên $b$ thỏa mãn $I M \subseteq \mathfrak{m}^b M$: $$ reg(G_I(M)) \leq e_0 - b, $$ đồng thời chỉ ra điều kiện khi chặn này đạt được.
   • Ngoài ra, đã mô tả mối liên hệ giữa các hệ số Hilbert và các đặc trưng của chuỗi Hilbert-Poincaré.

4. Chặn trên cho nón phân thí:

   • Đã thiết lập chặn trên cho chỉ số regularity của nón phân thí $F_m(I)$ theo bậc mở rộng $D(I,M)$ và các đại lượng liên quan, mở rộng các kết quả trước đây cho mô-đun liên kết sang nón phân thí.

Thảo luận kết quả

Các kết quả trên cung cấp một hệ thống chặn trên đa dạng cho chỉ số Castelnuovo-Mumford regularity, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc đại số của mô-đun liên kết và nón phân thí. Việc sử dụng bậc mở rộng $D(I,M)$ làm tham số chính cho phép mở rộng các kết quả trước đây vốn chỉ áp dụng cho các trường hợp đặc biệt như i-đề an nguyên m-primary hoặc mô-đun Cohen-Macaulay.

So sánh với các nghiên cứu trước, như của Rossi-Trung-Valla và Linh, nghiên cứu này đã mở rộng phạm vi áp dụng và cung cấp các chặn trên sắc nét hơn trong nhiều trường hợp, đặc biệt là khi mô-đun không phải là Cohen-Macaulay hoặc khi chiều lớn hơn 1. Việc kết hợp các đại lượng như độ dài mô-đun đồng điều và các hệ số Hilbert giúp phản ánh chính xác hơn các đặc trưng sâu sắc của mô-đun, từ đó cải thiện độ chính xác của các chặn trên.

Các dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ so sánh giá trị regularity thực tế và các chặn trên dự đoán theo từng tham số như $D(I,M)$, $r(M)$, $e_i(I,M)$, giúp minh họa hiệu quả và giới hạn của các bất đẳng thức chặn. Bảng tổng hợp các trường hợp đặc biệt (ví dụ chiều một, Cohen-Macaulay) cũng giúp làm rõ các điều kiện khi chặn đạt được hoặc không.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển thuật toán tính toán Castelnuovo-Mumford regularity dựa trên các chặn trên:

   • Xây dựng các thuật toán hiệu quả sử dụng các bất đẳng thức chặn trên để ước lượng nhanh chỉ số regularity của mô-đun liên kết và nón phân thí.
   • Mục tiêu giảm thời gian tính toán trong các phần mềm đại số máy tính.
   • Thời gian thực hiện: 1-2 năm.
   • Chủ thể thực hiện: Các nhóm nghiên cứu toán học ứng dụng và phát triển phần mềm toán học.

2. Mở rộng nghiên cứu sang các mô-đun không chuẩn và các vành phi chuẩn:

   • Nghiên cứu các chặn trên regularity trong trường hợp mô-đun không phải là mô-đun phân bậc chuẩn hoặc vành không chuẩn.
   • Mục tiêu mở rộng phạm vi áp dụng của lý thuyết.
   • Thời gian thực hiện: 2-3 năm.
   • Chủ thể thực hiện: Các nhà toán học chuyên sâu về đại số giao hoán.

3. Ứng dụng trong hình học đại số và lý thuyết đa tạp:

   • Áp dụng các kết quả chặn trên để phân tích các tính chất hình học của đa tạp đại số, như độ phức tạp của các đa tạp chuẩn tắc, đa tạp Cohen-Macaulay.
   • Mục tiêu nâng cao hiểu biết về cấu trúc hình học qua các bất biến đại số.
   • Thời gian thực hiện: 1-2 năm.
   • Chủ thể thực hiện: Các nhà hình học đại số và đại số giao hoán.

4. Đào tạo và phổ biến kiến thức:

   • Tổ chức các khóa học, hội thảo chuyên đề về Castelnuovo-Mumford regularity và các ứng dụng.
   • Mục tiêu nâng cao nhận thức và kỹ năng cho sinh viên và nhà nghiên cứu trẻ.
   • Thời gian thực hiện: liên tục.
   • Chủ thể thực hiện: Các viện nghiên cứu và trường đại học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nghiên cứu sinh và sinh viên cao học ngành Toán học, đặc biệt chuyên ngành Đại số giao hoán và Hình học đại số:

   • Lợi ích: Hiểu sâu về chỉ số Castelnuovo-Mumford regularity, các kỹ thuật chặn trên và ứng dụng trong nghiên cứu.
   • Use case: Làm luận văn, nghiên cứu chuyên sâu về mô-đun phân bậc và các bất biến đại số.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Đại số giao hoán:

   • Lợi ích: Cập nhật các kết quả mới, phương pháp chứng minh và mở rộng lý thuyết.
   • Use case: Giảng dạy, phát triển đề tài nghiên cứu, viết bài báo khoa học.

3. Chuyên gia phát triển phần mềm toán học và công cụ tính toán đại số:

   • Lợi ích: Áp dụng các chặn trên để tối ưu hóa thuật toán tính toán regularity.
   • Use case: Phát triển các module tính toán trong phần mềm như Macaulay2, Singular.

4. Nhà hình học đại số và các nhà toán học ứng dụng:

   • Lợi ích: Sử dụng các kết quả để phân tích cấu trúc hình học của đa tạp đại số.
   • Use case: Nghiên cứu tính chất hình học, ứng dụng trong vật lý lý thuyết hoặc khoa học máy tính.

Câu hỏi thường gặp

1. Castelnuovo-Mumford regularity là gì và tại sao nó quan trọng?

   Castelnuovo-Mumford regularity là một bất biến đại số đo lường độ phức tạp của mô-đun phân bậc hữu hạn sinh, phản ánh bậc cực đại của các phần tử đồng điều cục bộ. Nó quan trọng vì giúp đánh giá độ phức tạp của các đa tạp đại số và hỗ trợ trong việc tính toán các đặc trưng hình học.

2. Các chặn trên regularity được thiết lập dựa trên những đại lượng nào?

   Các chặn trên được thiết lập dựa trên bậc mở rộng (extended degree), các hệ số Hilbert $e_i$, độ dài các mô-đun đồng điều cục bộ $H^i_{\mathfrak{m}}(M)$ và bậc sinh $r(M)$ của mô-đun. Những đại lượng này phản ánh các đặc trưng sâu sắc của mô-đun và i-đề an nguyên.

3. Tại sao nghiên cứu tập trung nhiều vào trường hợp chiều một?

   Trường hợp chiều một thường cho phép xác định các chặn trên sắc nét và có thể phân tích chi tiết hơn về cấu trúc mô-đun. Ngoài ra, nhiều kết quả tổng quát được xây dựng dựa trên hiểu biết sâu sắc về trường hợp này.

4. Mối liên hệ giữa mô-đun liên kết và nón phân thí là gì?

   Mô-đun liên kết $G_I(M)$ và nón phân thí $F_m(I)$ đều là các cấu trúc phân bậc chuẩn liên quan đến i-đề an nguyên $I$ và mô-đun $M$. Chúng cung cấp thông tin về cấu trúc đại số và được sử dụng để phân tích các đặc trưng như regularity.

5. Các kết quả này có thể ứng dụng trong thực tế như thế nào?

   Các kết quả giúp tối ưu hóa thuật toán tính toán trong phần mềm đại số máy tính, hỗ trợ nghiên cứu hình học đại số, và có thể ứng dụng trong các lĩnh vực như mã hóa, vật lý lý thuyết, và khoa học máy tính nơi các cấu trúc đại số phức tạp xuất hiện.

Kết luận

• Luận văn đã thiết lập thành công các chặn trên cho chỉ số Castelnuovo-Mumford regularity của mô-đun liên kết và nón phân thí dựa trên bậc mở rộng, hệ số Hilbert và độ dài mô-đun đồng điều.

• Đã mở rộng các kết quả trước đây, cung cấp các chặn trên sắc nét hơn trong nhiều trường hợp, đặc biệt là mô-đun Cohen-Macaulay chiều một và các mô-đun phân bậc hữu hạn sinh tổng quát.

• Phương pháp nghiên cứu kết hợp kỹ thuật đại số giao hoán hiện đại và quy nạp chiều, đảm bảo tính tổng quát và khả năng áp dụng rộng rãi.

• Các kết quả có ý nghĩa quan trọng trong việc hiểu cấu trúc đại số và hỗ trợ phát triển các thuật toán tính toán hiệu quả.

• Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm phát triển thuật toán, mở rộng sang các mô-đun và vành phi chuẩn, ứng dụng trong hình học đại số và đào tạo chuyên sâu.

Khuyến khích các

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUAN Bi 1.1 CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở và một số kết quả đã biết về chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford, phần tử lọc chính quy, hệ số Hilbert và môđun lọc nhằm giúp người đọc dễ dàng theo dõi nội dung luận án. Trong luận án này, nếu không nói gì khác ta luôn xét R= @j50R; 1a đại số phân bậc chuẩn trên vành địa phương Artin Ro. Ta ký hiệu #, = @;„gÏ. Cho # là f-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d.

Một cách tổng quat hon, voi 0 < / < d, chting ta đặt reg!(E) := max{a;(E) + i) i> 1}, và gọi nó là chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford tại bậc Ì của E. 9 Như vậy, reg(7) = reg0(ƒ) = regdePth(?)(Ƒ;). Từ định lý của J. Serre về tính Artin cua môđun đối đồng điều địa phương ta thấy ngay nếu # 4 0 thì reg() là một số nguyên (tức là một số hữu hạn).

Giả sử 7 là iđêan thuần nhất thực sự của vành đa thức # = [#:,., #n] với các biến độc lập. Từ dãy khớp ngắn 0—>ï— R— R/I — 0, va reg(R) = 0 (xem [5, Example 12.1]) ta suy ra chi số chính quy Castelnuovo-Mumford cua J va R/I cé méi quan hé sau day: reg(I) = reg(R/I) +1. Nếu # là một đại số phân bậc chuẩn trên trường k thì # có thể được biểu diễn dưới dạng ??:= 5/1, trong đó 9 = k[z¡,.,z„| là vành đa thức trên trường & và 7 là iđêan thuần nhất của Š. Khi đó, # có thé xem như một môđun trên Š.

Theo định lý xoắn của Hilbert, #2 có giải tự do tối tiểu dạng 0 — @*19(—đ¿j) —š. = ®7919(—dđạ;) —> AM — 0, trong d6 dj; là bậc của các phần tử trong một hệ sinh tối tiểu thuần nhất của môđun xoắn thứ ¿. Kết quả sau đây được D. Mumford [30] phát biểu cho idéan va được Eisenbud-Goto [15] mở rộng ra cho môđun.

Khi đó reg(E) = max{d,; — i|i = 0,. Nhu vậy trong trường hợp nay, Dinh ly 1.2 nói rang reg(£) cho ching ta một chặn trên cho tất cả các bậc sinh của các môdun xoắn cla R. Day là một ý nghĩa quan trọng của chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. Ta biết rằng bậc cực đại của một hệ sinh tối tiểu thuần nhất của # là một bất biến, ký hiệu là A(#).

Kết quả sau đây là một trường hợp riêng của nhận xét vừa nêu, nhưng vẫn đúng khi ?‡ không phải là vành thương của vành đa thức. Sau đây là một số kết quả cơ bản thường được sử dụng trong nghiên cứu về chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. Bổ đề đầu tiên là của G. Castelnuovo phát biểu cho lược đồ (chẳng hạn xem [14, theorem 20.18]) và sau đó mở rộng cho môđun (chẳng hạn xem [31, Lemma 2.

Néu Hạ (E)p+1 ¡ = 0 với mọi ¡ > 0 thì reg(E) < p BO DE 1.1]) Cho day khóp 0— P— M — N — 0, của các R-médun hitu han sinh của các đồng cấu thuần nhất. Đẳng thức xảy ra nếu reg(M) # reg(N). Dang thitc xdy ra néu reg(N) # reg(P) — 1 hoặc néu P, = 0 với n 3> 0. Đẳng thức xảy ra nếu reg(M) # reg(P).

Hơn nữa nếu P„ = 0 với n 3 0 thi reg(N) < reg(M).2 _ PHAN TỬ LỌC CHÍNH QUY Nếu z € f?¡ là phần tử #-chính quy (0z : z = 0) thì ta có dãy khớp 0 — E(-1) + E — E/zE — 0.5 ta thu được hệ quả sau đây.20]) Néu z € R, la phần tử E- chinh quy thi reg(/) = reg(E/z). 1I Tuy nhiên phần tử #-chính quy không phải bao giờ cũng tồn tại. Do đó người ta thường quan tâm khái niệm sau đây.7]) Phần tử thuần nhất z c R được gọi là phần tử #-lọc chính quy (lọc chính quy trên E7) néu (Og : z)n = 0 v6i n > 0. Các phần tử thuần nhất z\,., z„ gọi là đấy lọc chính quy trên E nếu 2; 1a E/(z,.,%-1E)-loc chính quy với mọi 1 <i <n.

Néu Ro co trudng thang du hitu han, ta dat Ro := fo[X]m¿n¿¡xị là địa phương héa ctia vanh da thitc Ro[X] tai idéan nguyén t6 mp Ro[X]. Khi do, R' = R®p, Ro 1a dai so phan bac chuan trén trudng thang du vô han va E' = E ®p, Ro 1a R-môđun hữu hạn sinh.2 (iv)] ta có Hh, (E), Sm, l % Hi (Bn, với ¡ > 0. Từ đây suy ra reg(E’) = reg(F). Vì vậy ta luôn giả sử rằng trường thặng dư của vành cơ sở là vô hạn mà vẫn không làm mất tính tổng quát của nó.

Khi đó, ta có dãy bất đẳng thức sau: BO DE 1.11]) Gid sw z € R, la phần tử E-loc chinh quy. Ngoài ra, ta còn có đẳng thức BỔ ĐỀ 1.20]) Gid sw z € R, la phan tw E-loc chinh quy. Khi do, reg(£) = max{ao(F), reg(E/zE)}.3 HE SO HILBERT Ham Hilbert cua E 1a mot ham hg : Z —> N được xác định bởi he(n) := lp, (En). Hilbert đã chứng minh được rằng nếu # là ?-môđdun hữu hạn sinh có chiều đ > 1 thì tồn tại một đa thức pz(z) € Q[+z] có bậc đ — 1 sao cho he(n) = pr(n) với n đủ lớn.

Đa thức pg(+) ở trên được gọi là đa thức Hilbert của F/. Đa thức này được viết duy nhất dưới dạng: d—1 má =3 CUe0)( 712 1), ¡=0 Ta goi eo(£),.,ea-1(E) là hệ số Hilbert của E. Day là các số nguyên trong đó có co(E) > 0. Khi đó, số bội e(E) của 1 được định nghĩa như sau: (BE) = c(#) nếu đ>0, on) OB) nếu d=0.

Nếu # là môđun phân bậc Cohen-Macaulay thì e(#) và reg(#) có mối quan hệ sau đây.2]) Nếu H là môđun phân bậc Cohen- Macaulay thi reg(E) < e(E) + A(E) — 1. Chúng ta thường hay sử dụng công thức Grothendieck-Serre sau đây: ĐỊNH LÝ 1.5]) Với mọi số nguyên n ta có d he(n) — pe(n) = 3 `(—1)'(Hp, (E)a).1) i=0 Từ định nghĩa chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford va Dinh ly 1.2 ta thu được hệ quả sau đây: 13 HỆ QUẢ 1. Kết quả sau đây cho phép ước lượng reg!(#) thông qua hàm Hilbert va đa thức Hilbert của môđun #. Giả sử z € Rị là phần tử F-lọc chính quy sao cho A(E/zE) < m.

Nếu reg'(R/zR) < m thì reg`(E) < m + pg(m) — hp/r(m), trong đó L là môđun con lớn nhất của E có độ dài hữu hạn.4 MODUN LOC Cho 4 là vành Noether địa phương với trường thặng du k := A/m va M là A-môđun hữu hạn sinh. Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về môđun lọc (xem [4, Section III. Cho 7 là một iđêan thực sự của 4. Một dãy các môđun con của MW M: Ä⁄/ = Mẹ 2 Mh Ð Mạ Đ--- 2 M„, Đ --- được gọi là I-loc cha M néu IM; C ẢM;¿¡ với mọi ¿.

Một 7-lọc được gọi la mot I-loc tot néu 1M; = M;4, với ¿ 3 0. Môđun ⁄ có một 7-lọc được gọi là môđun lọc. Để đưa ra các ví dụ, ta nhắc lại bổ dé Artin-Rees.5]) Cho M Ia A-médun hitu han sinh, N là môđun con của M và T là một iđêan của A. Khi đó tôn tại một số nguyên đương c sao cho với mọi n > c ta có I'"’MAN=I"“IMON).

(i) Loc I-adic {I"M}n50 1a 7-lọc tốt. (ii) Day AD mD mJ D mI? --- là 7-lọc tốt của môđun A. 14 (ii) Giả sử MI là 7-lọc tốt. Nếu là một môđun con của ⁄ thì theo Bổ dé 1.2, ta có dãy {N1 M„}„>o là 7-lọc tốt của Ñ và được kí hiệu là Min.

Ta cũng có dãy {M„ + N/N}„>o là T-lọc tốt của M/N và được kí hiệu là M/A. Giả sử ' = {FƑ,}„>ọ là một họ các iđêan của A. #' gọi là mot I-loc cdc idéan cua A néu Fo = AD Fi D Fo D., IF, © Fix, và F¿. Như vậy khái niệm lọc của môđun khác với khái niệm lọc các iđêan xét như môđun của vành.

Bởi vì, lọc 6 Vi du 1.3 (ñ) là 7-lọc của môđun 4 nhưng không phải là 7-lọc các iđêan của A với Ï # m, do m2 Z mI. Trong luận án, chúng tôi luôn giả thiết 7 là iđêan m-nguyên sơ và MI là T-lọc tốt. Médun phân bậc liên kết đối với lọc MI được xác định bởi công thức G(M) := ŒỒM,/M,. n>0 Đặc biệt, nếu MI là {7"A/}„>ạ thì ta viết G;(M) := G(M).

Đôi khi ta cũng nói G(MI) là môđun phân bậc liên kết của môđun lọc 1. Đây là môđun phân bậc hữu hạn sinh trên vành phân bậc chuẩn Œ;(4) := Bnsol”/I"*+ véi dim(G(M)) = dim(M) (xem [6, Theorem 4. Gia str J C J 1a các iđêan của A. Idéan J được gọi là rú/ gọn của Ï ứng với lọc MĨ nếu có một số nguyên không âm np sao cho M,4, = JM, véi moi n > no.

Mot rit gọn của Ï ứng với lọc MI được goi 1a rit gon toi tiéu cilia I tng voi loc M néu né không thực sự chứa một rút gọn nào khác của I ting véi loc M. Đặc biệt, nếu MI là lọc 7-adic {7*}„>ọ thì iđêan J thường được gọi là rút gọn của I. Một rút gọn của I duoc goi 1a rut gọn tối tiểu của Ï nếu nó không thực sự chứa một rút gọn nào khác của I. ([36, Chapter 4]) Số rú gọn của T-lọc tốt MI là số r(M) := min{t > 0| M„y¿i = IM„ với mọi n > t}.

Ví dụ, nếu MI là lọc 7-adic {T"\/}„>¿ thì r({I"M}„so) = 0. Chú ý rang r := r(M) luôn luôn hữu hạn và A,,; = J7M, với mọi j > 0. Điều đó có nghĩa là {A⁄,„,}„>„ là lọc I-adic cha M,. Ta c6 thể thấy z là bậc sinh lớn nhất của G(MI) xét như là môđun phân bậc trên Œ.

Ta gọi Hw(n) = ((M/M,,41) 14 ham Hilbert-Samuel cua M ting voi loc M. Ti tinh chat Hy(n) = ¢(M/I"*!"M,) v6i moi n > r, hàm số này là một đa thức - gọi là đa thức Hilbert-Samuel và được kí hiệu bởi P(n) - với 0. Đa thức Hilbert-Samuel ?(n) được viết duy nhất dưới dạng d fan) =32(=1J/e0( T2“ °), d2) ¡=0 Các số nguyên e;(M) duoc goi 1a hé so Hilbert cua M (xem [36, Chapter 1]). Chú ý rằng e;(M) = e;(G(MI)) với 0 < ¡ < đ—1 và e;(M) phụ thuộc vào các lọc.

Tuy nhiên riêng eo(MI) không phụ thuộc vào việc chon loc, ttic 14 e9(M) = eo(Z, M) (xem [3, Proposition 11. Ngoài ra ta thấy Hư(n) = À ` ho): (13) j=0 Sử dụng đẳng thức này và Hệ quả 1.3 ta nhận được kết quả sau. Kết quả này đã được chứng minh cho lọc 7-adic trong [26]. Theo công thức (1.3) và Hệ quả 1.3, VỚI mỌI ? > m ta có Hu(n) = ` he@n(0 +” he@a(0) = hawa() + ” pe@a(0) ¡=0 ¡=0 #=m+l i=m4+1 16 là đa thức.