Luận văn: Giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning

Luận văn nghiên cứu giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng sử dụng mạng nơ-ron sâu (deep learning). Tìm hiểu phương pháp và ứng dụng tiềm năng.

• Tác giả: Nguyễn Lâm Tùng
• Người hướng dẫn: TS. Tạ Thị Thanh Mai
• Trường học: Đại học Bách Khoa Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán Tin
• Đề tài: Giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• Lời cam đoan
• Tóm tắt nội dung
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN
• 1.1. Ý tưởng chung về phương pháp
• 1.2. Áp dụng Deep Learning vào ý tưởng chung để giải quyết bài toán
• 2. CHƯƠNG 2: KIẾN THỨC CƠ SỞ DEEP LEARNING
• 2.1. PT Tân tuyển Kuôi
• 2.2. Tán truyền HgHỤ
• 2.3. Các thuật toán tối ưu
• 2.3.1. Gradient Descent
• 2.3.2. Momentum
• 2.3.3. Nesterov Accelerated Gradient(NAG)
• 3. CHƯƠNG 3: CÁC VÍ DỤ GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG DEEP LEARNING
• 3.1. Phương trình nhiệt không phụ thuộc thời gian
• 3.2. Phương trình nhiệt phụ thuộc thời gian
• 3.3. Phương trình Steady Navier-Stokes
• 3.4. Phương trình Navier-Stoke
• KẾT LUẬN CHUNG
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Phương Pháp Deep Learning Giải PDE Khám Phá

Luận văn này khám phá ứng dụng Deep Learning để giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng (PDE). PDE là công cụ toán học quan trọng mô tả nhiều hiện tượng vật lý và kỹ thuật. Tuy nhiên, việc giải PDE bằng phương pháp số truyền thống có thể tốn kém về mặt tính toán, đặc biệt đối với các bài toán phức tạp hoặc nhiều chiều. Deep Learning nổi lên như một hướng tiếp cận đầy hứa hẹn, cung cấp khả năng xấp xỉ hàm số mạnh mẽ và khả năng học các biểu diễn phức tạp từ dữ liệu. Luận văn tập trung vào việc sử dụng mạng nơ-ron để xấp xỉ nghiệm của PDE và sử dụng các thuật toán tối ưu hóa để huấn luyện mạng nơ-ron. Một trong những ưu điểm chính của phương pháp này là khả năng xử lý các bài toán có tính phi tuyến cao và các miền nghiệm phức tạp. Luận văn cũng thảo luận về những thách thức và hạn chế của phương pháp deep learning giải phương trình đạo hàm riêng, bao gồm vấn đề hội tụ, ổn định và khả năng khái quát hóa. Nghiên cứu này mở ra những hướng đi mới trong việc ứng dụng học sâu vào giải quyết các bài toán khoa học và kỹ thuật.

1.1. Bài Toán Xấp Xỉ Nghiệm Phương Trình Đạo Hàm Riêng

Bài toán xấp xỉ nghiệm phương trình đạo hàm riêng (PDE) là trọng tâm của nhiều nghiên cứu khoa học và kỹ thuật. Các phương pháp số truyền thống như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) thường được sử dụng để giải PDE. Tuy nhiên, các phương pháp này có thể gặp khó khăn khi xử lý các bài toán có độ phức tạp cao, miền nghiệm phức tạp hoặc tính phi tuyến mạnh. Luận văn này tập trung vào việc sử dụng mạng nơ-ron như một công cụ để xấp xỉ nghiệm của PDE. Mạng nơ-ron có khả năng học các biểu diễn phức tạp từ dữ liệu và có thể được huấn luyện để xấp xỉ các hàm số liên tục với độ chính xác cao. Theo tài liệu nghiên cứu, mạng nơ-ron có thể xấp xỉ rất tốt các hàm số liên tục, cùng với đó các thuật toán dạng Gradient Descent lại tỏ ra vô cùng hiệu quả trong việc tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số.

1.2. Ưu Điểm Của Deep Learning So Với Phương Pháp Truyền Thống

So với các phương pháp số truyền thống, Deep Learning mang lại một số ưu điểm đáng kể trong việc giải PDE. Một trong những ưu điểm chính là khả năng xử lý các bài toán có tính phi tuyến cao. Mạng nơ-ron có thể học các mối quan hệ phi tuyến phức tạp giữa các biến và có thể được sử dụng để xấp xỉ nghiệm của các PDE phi tuyến. Thêm vào đó, Deep Learning có thể xử lý các bài toán với miền nghiệm phức tạp một cách hiệu quả hơn so với các phương pháp dựa trên lưới truyền thống. Các phương pháp dựa trên lưới yêu cầu tạo lưới phức tạp để mô tả miền nghiệm, điều này có thể tốn kém về mặt tính toán và khó khăn trong việc thực hiện. Deep Learning có thể học trực tiếp từ dữ liệu và không yêu cầu tạo lưới rõ ràng.

1.3. Giới Thiệu Các Phương Pháp Deep Learning Tiêu Biểu

Nhiều phương pháp Deep Learning khác nhau đã được phát triển để giải PDE, bao gồm Physics-Informed Neural Networks (PINNs), Deep Ritz Method, và Neural Operators như FNO (Fourier Neural Operator) và DeepONet. PINNs kết hợp thông tin vật lý từ PDE vào quá trình huấn luyện mạng nơ-ron. Deep Ritz Method sử dụng nguyên lý Ritz để xấp xỉ nghiệm của PDE. Neural Operators học các toán tử ánh xạ giữa không gian hàm, cho phép giải các bài toán PDE khác nhau với các điều kiện biên khác nhau.

II. Bài Toán Thách Thức Giải PDE Bằng Deep Learning

Mặc dù Deep Learning mang lại nhiều hứa hẹn trong việc giải PDE, vẫn còn nhiều thách thức cần vượt qua. Một trong những thách thức chính là vấn đề hội tụ và ổn định của quá trình huấn luyện mạng nơ-ron. Việc huấn luyện mạng nơ-ron để giải PDE có thể khó khăn do tính chất không lồi của hàm mất mát và sự phụ thuộc vào các siêu tham số. Thêm vào đó, khả năng khái quát hóa của mạng nơ-ron cũng là một vấn đề quan trọng. Mạng nơ-ron có thể hoạt động tốt trên dữ liệu huấn luyện nhưng lại hoạt động kém trên dữ liệu mới. Để giải quyết những thách thức này, cần có các kỹ thuật huấn luyện mạnh mẽ và các phương pháp đánh giá độ tin cậy của nghiệm.

2.1. Vấn Đề Hội Tụ và Ổn Định Trong Huấn Luyện Mạng Nơ ron

Việc huấn luyện mạng nơ-ron để giải PDE có thể gặp khó khăn do tính chất không lồi của hàm mất mát. Hàm mất mát thường được xây dựng dựa trên việc vi phạm PDE và các điều kiện biên. Việc tối thiểu hóa hàm mất mát này có thể dẫn đến việc mắc kẹt trong các cực tiểu cục bộ hoặc dao động trong quá trình huấn luyện. Theo luận văn, thuật toán Adam được sử dụng để cập nhật tham số. Do đó, cần có các kỹ thuật huấn luyện mạnh mẽ như Adam, SGD với momentum hoặc các phương pháp tối ưu hóa bậc hai để đảm bảo hội tụ và ổn định của quá trình huấn luyện.

2.2. Khả Năng Khái Quát Hóa Của Mạng Nơ ron Trong Giải PDE

Một thách thức quan trọng khác là đảm bảo khả năng khái quát hóa của mạng nơ-ron. Mạng nơ-ron có thể học tốt trên dữ liệu huấn luyện nhưng lại hoạt động kém trên dữ liệu mới. Điều này có thể xảy ra do hiện tượng quá khớp (overfitting), trong đó mạng nơ-ron học các đặc điểm riêng của dữ liệu huấn luyện mà không khái quát hóa được các quy luật chung. Để cải thiện khả năng khái quát hóa, có thể sử dụng các kỹ thuật như regularization, dropout hoặc data augmentation.

III. Giải Pháp Deep Learning Các Kiến Trúc Mạng Nơ ron Tiêu Biểu

Luận văn trình bày việc sử dụng các kiến trúc mạng nơ-ron khác nhau để giải PDE. Các kiến trúc phổ biến bao gồm mạng nơ-ron truyền thẳng (feedforward neural networks), mạng nơ-ron tích chập (convolutional neural networks) và mạng nơ-ron tái phát (recurrent neural networks). Việc lựa chọn kiến trúc phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán PDE cụ thể. Ví dụ, mạng nơ-ron tích chập có thể phù hợp với các bài toán có tính chất không gian cục bộ, trong khi mạng nơ-ron tái phát có thể phù hợp với các bài toán phụ thuộc vào thời gian.

3.1. Mạng Nơ ron Truyền Thẳng Feedforward Neural Networks

Mạng nơ-ron truyền thẳng là một trong những kiến trúc mạng nơ-ron cơ bản nhất. Nó bao gồm các lớp kết nối đầy đủ, trong đó mỗi nơ-ron trong một lớp được kết nối với tất cả các nơ-ron trong lớp tiếp theo. Mạng nơ-ron truyền thẳng có thể được sử dụng để xấp xỉ các hàm số liên tục và có thể được huấn luyện bằng thuật toán backpropagation.

3.2. Mạng Nơ ron Tích Chập Convolutional Neural Networks

Mạng nơ-ron tích chập (CNNs) đặc biệt hiệu quả trong việc xử lý dữ liệu có cấu trúc không gian, chẳng hạn như hình ảnh. CNNs sử dụng các lớp tích chập để trích xuất các đặc trưng cục bộ từ dữ liệu đầu vào. CNNs có thể được sử dụng để giải các PDE trên các miền không gian, đặc biệt là các bài toán có tính chất đối xứng hoặc lặp lại.

3.3. Physics Informed Neural Networks PINNs

Physics-Informed Neural Networks (PINNs) là một phương pháp sử dụng mạng nơ-ron để giải các bài toán vật lý được mô tả bởi các phương trình đạo hàm riêng. PINNs kết hợp thông tin vật lý từ PDE vào quá trình huấn luyện mạng nơ-ron bằng cách thêm một thành phần vào hàm mất mát để đo mức độ vi phạm PDE.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Giải PDE Bằng Deep Learning Python

Luận văn minh họa việc ứng dụng Deep Learning để giải các bài toán PDE cụ thể. Các ví dụ bao gồm phương trình nhiệt, phương trình Navier-Stokes. Các bài toán này được giải bằng cách sử dụng các thư viện Deep Learning phổ biến như TensorFlow và PyTorch (dựa theo tài liệu). Kết quả cho thấy Deep Learning có thể cung cấp các giải pháp xấp xỉ chính xác cho các bài toán PDE phức tạp.

4.1. Giải Phương Trình Nhiệt Bằng Deep Learning

Phương trình nhiệt mô tả sự truyền nhiệt trong một vật thể. Luận văn trình bày việc sử dụng mạng nơ-ron để giải phương trình nhiệt trong một miền không gian cụ thể. Kết quả cho thấy Deep Learning có thể cung cấp các giải pháp xấp xỉ chính xác cho phương trình nhiệt.

4.2. Giải Phương Trình Navier Stokes Bằng Deep Learning

Phương trình Navier-Stokes mô tả chuyển động của chất lỏng. Luận văn trình bày việc sử dụng mạng nơ-ron để giải phương trình Navier-Stokes trong một miền không gian cụ thể. Kết quả cho thấy Deep Learning có thể cung cấp các giải pháp xấp xỉ cho phương trình Navier-Stokes, mặc dù bài toán này phức tạp hơn.

V. Đánh Giá So Sánh Deep Learning Vs

Luận văn so sánh hiệu suất của Deep Learning với các phương pháp số truyền thống trong việc giải PDE. Kết quả cho thấy Deep Learning có thể cạnh tranh với các phương pháp số truyền thống về độ chính xác và hiệu quả tính toán, đặc biệt đối với các bài toán phức tạp và nhiều chiều. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng Deep Learning yêu cầu một lượng lớn dữ liệu huấn luyện và có thể tốn kém về mặt tính toán để huấn luyện mạng nơ-ron.

5.1. Độ Chính Xác Của Deep Learning So Với Phương Pháp Số

Đánh giá độ chính xác của nghiệm thu được bằng Deep Learning là rất quan trọng. Luận văn so sánh nghiệm Deep Learning với nghiệm chính xác (nếu có) hoặc nghiệm thu được bằng các phương pháp số truyền thống. Kết quả cho thấy Deep Learning có thể đạt được độ chính xác tương đương hoặc tốt hơn so với các phương pháp số truyền thống.

5.2. Hiệu Quả Tính Toán Của Deep Learning Trong Giải PDE

Đánh giá hiệu quả tính toán của Deep Learning là rất quan trọng. Huấn luyện mạng nơ-ron có thể tốn kém về mặt tính toán, nhưng một khi mạng nơ-ron đã được huấn luyện, nó có thể được sử dụng để giải PDE một cách nhanh chóng.

VI. Kết Luận Tương Lai Deep Learning Giải PDE Tiềm Năng

Luận văn kết luận rằng Deep Learning là một hướng tiếp cận đầy hứa hẹn để giải PDE. Deep Learning có thể cung cấp các giải pháp xấp xỉ chính xác và hiệu quả cho các bài toán PDE phức tạp. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều thách thức cần vượt qua để Deep Learning trở thành một công cụ phổ biến trong việc giải PDE. Hướng nghiên cứu trong tương lai bao gồm việc phát triển các kiến trúc mạng nơ-ron mới, các kỹ thuật huấn luyện mạnh mẽ và các phương pháp đánh giá độ tin cậy của nghiệm.

6.1. Hướng Nghiên Cứu Phát Triển Các Thuật Toán Tối Ưu Hóa

Cải thiện các thuật toán tối ưu hóa để huấn luyện mạng nơ-ron nhanh hơn và hiệu quả hơn là một hướng nghiên cứu quan trọng. Các thuật toán như Adam và SGD với momentum đã được sử dụng rộng rãi, nhưng vẫn còn nhiều cơ hội để phát triển các thuật toán mới có thể hội tụ nhanh hơn và tránh được các cực tiểu cục bộ.

6.2. Nghiên Cứu Các Kiến Trúc Mạng Nơ ron Mới Cho PDE

Phát triển các kiến trúc mạng nơ-ron mới được thiết kế đặc biệt để giải PDE là một hướng nghiên cứu quan trọng. Các kiến trúc này có thể kết hợp thông tin vật lý từ PDE vào cấu trúc của mạng nơ-ron để cải thiện độ chính xác và hiệu quả tính toán.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. ' ng quan về phương pháp giải quyết bài toán « Chương 2. Kiến thức cơ sở Deen Learning « Chương 3. Giải một số ví dụ phương trình đạo hàm riéng bằng Deep Learning GO đhường mốt, tác giả sẽ trình bày một cách tỔng quan r ý tưởng để giải rưột phương trình đạo hàm riêng bing Deep Learning, Chương hai, tác giả sẽ rrình bày những kiên thức cơở sở liên quan đến Teen Learning đồng thời giải thích chỉ tiết những thưặt toán đang được áp dựng phố biển phổ biến hiện nay.

Chương ba tác giả sỡ trình bùy việc úp dụng Decp Leurning vào việc giải những phương trình đạo hàm riêng. Cụ thể là bễn ví dụ haa gồm một ví dụ về phương trình tuyển tính không phụ thuộc thời gian, một: phương trình tuyển tính có phụ thuộc thời gian, một phương trình phi tuyến không phu thưộc bhầi gian và một phương trình phí tmyên có phụ thuộc thồi gian Giảng viên hướng dẫn Kỹ và ghỉ rã hẹ tên Muc luc [Lõi cam đoan] 3 ‘6m tat ndi dung 5 fh TONG QUAN VE PHUONG PHÁP GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN HIẾM |¿ an eres wy ore ww AH Mew OF MAO mE MOE w HOCH "1 lI.2_ Ý tưởng chung về phương pháp|.3 Ap dung Deep Learning vào ý tưởng chung để giải quyết bài toán|. 14 PT Tân tuyển Kuôi]. 18 B17 Tán truyền HgHỤ|: sua ä ván x6 0202 tên biên wo 20 E12.

CAG THRE ORIEL TP. wee ee eke ne eine te one te Bie 21 [EGTCGNHEMLISSDH2 ý ¿i2 ý vì 2 ¿(7c 022 6 2060 2 062% 2 b2 —NDDDEULUDI, -.‹ ce meen nee Be ee eek eee 23 2.3 Nesterov Accolratod Gradient(NAG]|. 24 Đề tài luận văn Tên dề tài: "Giải xắp xï phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning", luận văn gồm ba chương: « Chương 1. ' ng quan về phương pháp giải quyết bài toán « Chương 2.

Kiến thức cơ sở Deen Learning « Chương 3. Giải một số ví dụ phương trình đạo hàm riéng bằng Deep Learning GO đhường mốt, tác giả sẽ trình bày một cách tỔng quan r ý tưởng để giải rưột phương trình đạo hàm riêng bing Deep Learning, Chương hai, tác giả sẽ rrình bày những kiên thức cơở sở liên quan đến Teen Learning đồng thời giải thích chỉ tiết những thưặt toán đang được áp dựng phố biển phổ biến hiện nay. Chương ba tác giả sỡ trình bùy việc úp dụng Decp Leurning vào việc giải những phương trình đạo hàm riêng. Cụ thể là bễn ví dụ haa gồm một ví dụ về phương trình tuyển tính không phụ thuộc thời gian, một: phương trình tuyển tính có phụ thuộc thời gian, một phương trình phi tuyến không phu thưộc bhầi gian và một phương trình phí tmyên có phụ thuộc thồi gian Giảng viên hướng dẫn Kỹ và ghỉ rã hẹ tên Danh sách bảng .TL Số liệu uẽ phương trình Poisson không phụ thuộc thời gian].2 Số liệu uề phương trình Poisson phụ thuộc thời gian|.3 Số liệu uê phương trình Stcadu Nauier-Stak|.

ø Danh sách hình vẽ Lt Một số vi dụ về đử liệu lưới uuông của bài toán|. lỗ Ba Ví dụ uê mạng ngon] .2 Ví đụ sự phụ thuộc của một nơ-ron vào lúp phía trướt]|. 18 b3 Ý tưởng thuật toán Gradient DescenÌ|.4 Moi quan hé gitta các thuật todn toi wu).1 Streamline nghiém u cia bai todn Kovasznay| 6.2 Thi nghiệm hiện tượng cavity] 68 tp lc là SÚÐ ngon HOT specieMem ein 41 3. Ket qua mo phẳng cavity trong từng giai đoạn |.

43 Danh sach cac thuat toan 00-1: a 22 ccc 23 Westerou Accelerated Gradign). 28 BSN sca oom y wan ween gE Sew 2202220. 29 Tóm tắt nội dung Luận văn trình bày về việc giải những phương trình dạo hầm riêng bằng phương, pháp Deep Learning. Mạng no-ron có thể xắp xỉ rất tốt các hàm số liên tục, cùng với đổ các thuật toán đạng Građient Descent lại rổ ra vô cùng hiện qua trong viée tim giá trị nhỏ nhết của một hàm số.

Dựa vào những điểm mạnh đó của Deep Learning mà phương pháp giải xắp xi phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning cũng được bình thành. Từ v giải hệ phương, trình [{u) Tú, fe) (Flu) — a)? + (fe)8)? =0 gy) = thay vào đó ta sẽ giái bài toán tương đương đó là tìm giá trị nhỏ nhất của hầm. Chương trình giải xấp xỉ các phương trình đạo hầm riêng được lặp trình bằng ngôn ngữ lập trình Python, cụ thể là việ sử dụng, các framework 1a ‘lensorflow và Keras, thuật toán Áclam được sử dung để cấp nhật tham số. Nhiing kiến thức cơ bản và phần trình bay cn thé các thuật toán tối ưu sẽ có ở đường 2 trong luận vũn, Chương 3 của luận vấn là giải xấp xỉ những ví dụ cụ thể từ đơn giản đến nhức tạp.

Tướng phát triển trong tương lai của Tnận văn đó Tà những cải thiện thuật toán sao cho việc cập nhật tham số được nhanh hơu và lựa chọn mạng lưới no-ron và bộ dữ liêu để luyện mỏ hình sao cho tối ưu. Học viên Muc luc [Lõi cam đoan] 3 ‘6m tat ndi dung 5 fh TONG QUAN VE PHUONG PHÁP GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN HIẾM |¿ an eres wy ore ww AH Mew OF MAO mE MOE w HOCH "1 lI.2_ Ý tưởng chung về phương pháp|.3 Ap dung Deep Learning vào ý tưởng chung để giải quyết bài toán|. 14 PT Tân tuyển Kuôi]. 18 B17 Tán truyền HgHỤ|: sua ä ván x6 0202 tên biên wo 20 E12.

CAG THRE ORIEL TP. wee ee eke ne eine te one te Bie 21 [EGTCGNHEMLISSDH2 ý ¿i2 ý vì 2 ¿(7c 022 6 2060 2 062% 2 b2 —NDDDEULUDI, -.‹ ce meen nee Be ee eek eee 23 2.3 Nesterov Accolratod Gradient(NAG]|. 24 Đề tài luận văn Tên dề tài: "Giải xắp xï phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning", luận văn gồm ba chương: « Chương 1. ' ng quan về phương pháp giải quyết bài toán « Chương 2.

Kiến thức cơ sở Deen Learning « Chương 3. Giải một số ví dụ phương trình đạo hàm riéng bằng Deep Learning GO đhường mốt, tác giả sẽ trình bày một cách tỔng quan r ý tưởng để giải rưột phương trình đạo hàm riêng bing Deep Learning, Chương hai, tác giả sẽ rrình bày những kiên thức cơở sở liên quan đến Teen Learning đồng thời giải thích chỉ tiết những thưặt toán đang được áp dựng phố biển phổ biến hiện nay. Chương ba tác giả sỡ trình bùy việc úp dụng Decp Leurning vào việc giải những phương trình đạo hàm riêng. Cụ thể là bễn ví dụ haa gồm một ví dụ về phương trình tuyển tính không phụ thuộc thời gian, một: phương trình tuyển tính có phụ thuộc thời gian, một phương trình phi tuyến không phu thưộc bhầi gian và một phương trình phí tmyên có phụ thuộc thồi gian Giảng viên hướng dẫn Kỹ và ghỉ rã hẹ tên Tóm tắt nội dung Luận văn trình bày về việc giải những phương trình dạo hầm riêng bằng phương, pháp Deep Learning.

Mạng no-ron có thể xắp xỉ rất tốt các hàm số liên tục, cùng với đổ các thuật toán đạng Građient Descent lại rổ ra vô cùng hiện qua trong viée tim giá trị nhỏ nhết của một hàm số. Dựa vào những điểm mạnh đó của Deep Learning mà phương pháp giải xắp xi phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning cũng được bình thành. Từ v giải hệ phương, trình [{u) Tú, fe) (Flu) — a)? + (fe)8)? =0 gy) = thay vào đó ta sẽ giái bài toán tương đương đó là tìm giá trị nhỏ nhất của hầm. Chương trình giải xấp xỉ các phương trình đạo hầm riêng được lặp trình bằng ngôn ngữ lập trình Python, cụ thể là việ sử dụng, các framework 1a ‘lensorflow và Keras, thuật toán Áclam được sử dung để cấp nhật tham số.

Nhiing kiến thức cơ bản và phần trình bay cn thé các thuật toán tối ưu sẽ có ở đường 2 trong luận vũn, Chương 3 của luận vấn là giải xấp xỉ những ví dụ cụ thể từ đơn giản đến nhức tạp. Tướng phát triển trong tương lai của Tnận văn đó Tà những cải thiện thuật toán sao cho việc cập nhật tham số được nhanh hơu và lựa chọn mạng lưới no-ron và bộ dữ liêu để luyện mỏ hình sao cho tối ưu. Học viên Muc Luc ls_ CAC Vi DU GIAI XAP Xi PHUONG TRÌNH DAO HAM RIENG [BANG DEEP LEARNING] 31 [3.1 Phương trình nhiệt không phụ thuộc thời gian] cleo Ssmis seme 31 B.2_ Phương trình nhiệt phụ thuộc thời gian|. 34 B3 Phương trình Steady Navier-Stokes|.4 Phương trình Navier-Stoke|.

40 IKẾT LUẬN CHUNG] 44 [TÀI LIÊU THAM KHAO 45 Nguyễn Lâm Tùng 7 SHHV: 20202889M Muc Luc ls_ CAC Vi DU GIAI XAP Xi PHUONG TRÌNH DAO HAM RIENG [BANG DEEP LEARNING] 31 [3.1 Phương trình nhiệt không phụ thuộc thời gian] cleo Ssmis seme 31 B.2_ Phương trình nhiệt phụ thuộc thời gian|. 34 B3 Phương trình Steady Navier-Stokes|.4 Phương trình Navier-Stoke|. 40 IKẾT LUẬN CHUNG] 44 [TÀI LIÊU THAM KHAO 45 Nguyễn Lâm Tùng 7 SHHV: 20202889M Tóm tắt nội dung Luận văn trình bày về việc giải những phương trình dạo hầm riêng bằng phương, pháp Deep Learning. Mạng no-ron có thể xắp xỉ rất tốt các hàm số liên tục, cùng với đổ các thuật toán đạng Građient Descent lại rổ ra vô cùng hiện qua trong viée tim giá trị nhỏ nhết của một hàm số.

Dựa vào những điểm mạnh đó của Deep Learning mà phương pháp giải xắp xi phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning cũng được bình thành. Từ v giải hệ phương, trình [{u) Tú, fe) (Flu) — a)? + (fe)8)? =0 gy) = thay vào đó ta sẽ giái bài toán tương đương đó là tìm giá trị nhỏ nhất của hầm. Chương trình giải xấp xỉ các phương trình đạo hầm riêng được lặp trình bằng ngôn ngữ lập trình Python, cụ thể là việ sử dụng, các framework 1a ‘lensorflow và Keras, thuật toán Áclam được sử dung để cấp nhật tham số. Nhiing kiến thức cơ bản và phần trình bay cn thé các thuật toán tối ưu sẽ có ở đường 2 trong luận vũn, Chương 3 của luận vấn là giải xấp xỉ những ví dụ cụ thể từ đơn giản đến nhức tạp.

Tướng phát triển trong tương lai của Tnận văn đó Tà những cải thiện thuật toán sao cho việc cập nhật tham số được nhanh hơu và lựa chọn mạng lưới no-ron và bộ dữ liêu để luyện mỏ hình sao cho tối ưu. Học viên Danh sách hình vẽ Lt Một số vi dụ về đử liệu lưới uuông của bài toán|. lỗ Ba Ví dụ uê mạng ngon] .2 Ví đụ sự phụ thuộc của một nơ-ron vào lúp phía trướt]|. 18 b3 Ý tưởng thuật toán Gradient DescenÌ|.4 Moi quan hé gitta các thuật todn toi wu).1 Streamline nghiém u cia bai todn Kovasznay| 6.2 Thi nghiệm hiện tượng cavity] 68 tp lc là SÚÐ ngon HOT specieMem ein 41 3.

Ket qua mo phẳng cavity trong từng giai đoạn |. 43 Danh sách bảng .TL Số liệu uẽ phương trình Poisson không phụ thuộc thời gian].2 Số liệu uề phương trình Poisson phụ thuộc thời gian|.