Mở đầu, tác giả trình bày định lí về sự tồn tại duy nhất một điểm 𝐺𝐺 thỏa đẳng thức vectơ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗ 𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗ với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 trong không gian affine. Cho hệ 𝑘𝑘 điểm 𝑃𝑃1 ,., 𝑃𝑃𝑘𝑘 của không gian affine 𝚨𝚨 và 𝑘𝑘 phần tử 𝜆𝜆 1 , ., 𝜆𝜆 k R R thuộc trường 𝚱𝚱 sao cho ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0. Khi đó có một và chỉ một điểm 𝐺𝐺 ∈ 𝚨𝚨 sao cho: ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗ 𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗. Lấy một điểm 𝑂𝑂 tùy ý của không gian affine 𝚨𝚨 thì điểm 𝐺𝐺 xác định bởi: ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗ 𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗ ⟺ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �𝑂𝑂𝑃𝑃 ������⃗𝚤𝚤 − �����⃗ �⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 � = 0 ⟺ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗ 𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 = �∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 � �����⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 .23] “Điểm” được xem là điểm trong không gian Euclide, vectơ trong không gian vectơ, bộ số có tính thứ tự (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) trong không gian 𝑹𝑹𝒏𝒏.
𝑲𝑲 là một trường tùy ý. Kỹ thuật sử dụng để chứng minh định lí 1 là áp dụng quy tắc ba điểm được nêu ra ở trang 7 của giáo trình: “Với ba điểm bất kì 𝑂𝑂, 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ 𝑨𝑨 ta có �����⃗ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �����⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 − �����⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂.” Định nghĩa phát biểu sau chứng minh đem lại cho điểm 𝐺𝐺 tên gọi tâm tỉ cự của hệ điểm gắn với họ hệ số (chúng tôi gọi tắt là tâm tỉ cự hoặc tâm tỉ cự của hệ điểm). Điểm 𝐺𝐺 nói trong định lí trên đây được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm 𝑃𝑃𝑖𝑖 gắn với họ hệ số 𝜆𝜆 i .24] R Tác giả nhấn mạnh điều kiện tồn tại tâm tỉ cự của một hệ điểm gắn với họ hệ số, đó là: tổng tất cả các số trong họ hệ số phải khác không. Khi đã tồn tại thì vị trí của 1 tâm tỉ cự được xác định bởi đẳng thức �����⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘 ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗ 𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤.
𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 Trung điểm của đoạn thẳng hay trọng tâm của một hệ điểm được tác giả xem là trường hợp đặc biệt của tâm tỉ cự khi các hệ số bằng nhau. Trường hợp đặc biệt nếu các 𝜆𝜆 i bằng nhau, điểm 𝐺𝐺 gọi là trọng tâm của hệ điểm R P1 , P2 , … , Pk. Chú ý: a) Nếu thay các hệ số 𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 bởi 𝑘𝑘𝜆𝜆1 , 𝑘𝑘𝜆𝜆2 , … , 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑘𝑘 với 𝑘𝑘 ∈ 𝐾𝐾\{0} thì tâm tỉ cự 𝐺𝐺 không thay đổi. Vậy trong trường hợp 𝐺𝐺 là trọng tâm có Luan van 11 thể lấy các 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1 và khi đó trọng tâm 𝐺𝐺 của hệ điểm P1 , P2 , … , Pk được xác định 1 bởi hệ thức: �����⃗ ������⃗𝚤𝚤.
𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑂𝑂𝑃𝑃 𝑘𝑘 b) Khi 𝑘𝑘 = 2 trọng tâm 𝐺𝐺 của hai điểm P1 và P2 còn gọi là trung điểm của cặp điểm (P1 , P2 ).24] Tính thuần nhất của tâm tỉ cự được xác định trong chú ý: “Nếu thay các hệ số 𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 bởi 𝑘𝑘𝜆𝜆1 , 𝑘𝑘𝜆𝜆2 , … , 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑘𝑘 với 𝑘𝑘 ∈ 𝐾𝐾\{0} thì tâm tỉ cự 𝐺𝐺 không thay đổi.” Chúng tôi xếp khái niệm tâm tỉ cự được tác giả Nguyễn Mộng Hy giới thiệu thuộc giai đoạn tường minh của khái niệm. Từ đó, nghĩa vật lí mà chúng tôi quan tâm trong phân tích này là khái niệm tâm tỉ cự dùng để xác định vị trí tâm của hệ lực song song, điểm cân bằng hoặc trọng tâm. Một số tính chất khác của khái niệm cũng được trình bày sau đó. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm Po , P1 , … , Pk với các họ hệ số khác nhau là cái phẳng có số chiều bé nhất chứa các điểm P i ấy.
Cho 𝑚𝑚–phẳng 𝛼𝛼 đi qua 𝑚𝑚 + 1 điểm độc lập Po , P1 , … , Pm. Khi đó 𝛼𝛼 chính là tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm đó gắn với các họ hệ số khác nhau.24- 25] Hệ quả trên cho thấy: tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của một hệ điểm xác định nên cái phẳng có số chiều bé nhất được tạo nên từ hệ điểm đó. Như vậy, mỗi điểm bất kì thuộc vào một cái phẳng gồm 𝑘𝑘 điểm luôn là tâm tỉ cự của hệ điểm này ứng với một họ hệ số cụ thể nào đó. Kết quả này cũng chính thức được xác nhận trong phần chứng minh của định lí 3.
Cho 𝑚𝑚–phẳng 𝛼𝛼 đi qua 𝑚𝑚 + 1 điểm độc lập Po , P1 , … , Pm và một điểm 𝑂𝑂 tùy ý. Điều kiện cần và đủ để điểm 𝑀𝑀 thuộc 𝛼𝛼 là: ������⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑚𝑚 ������⃗ 𝑚𝑚 𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 trong đó ∑𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1. Chứng minh Điểm 𝑀𝑀 ∈ 𝛼𝛼 ⟺ 𝑀𝑀 là tâm tỉ cự của hệ điểm 𝑃𝑃𝑜𝑜 , 𝑃𝑃1 , … , 𝑃𝑃𝑚𝑚 gắn với họ các hệ số 𝛽𝛽0 , 𝛽𝛽1 , … , 𝛽𝛽𝑚𝑚 nào đó, nghĩa là với một điểm 𝑂𝑂 tùy ý ta có: 𝑀𝑀 ∈ 𝛼𝛼 ⟺ ∑𝑚𝑚 ������⃗ �⃗ 𝑚𝑚 �����⃗ ������⃗ �⃗ 𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑖𝑖 = 0 ⟺ ∑𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 �𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖 − 𝑂𝑂𝑂𝑂 � = 0 ⟺ (∑𝑚𝑚 ������⃗ 𝑚𝑚 �����⃗ 𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 )𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖 𝛽𝛽 Vì ∑𝑚𝑚 𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 ≠ 0 nên nếu đặt 𝜆𝜆𝑖𝑖 = ∑𝑚𝑚 𝑖𝑖 ������⃗ = ∑𝑚𝑚 thì 𝑂𝑂𝑂𝑂 �����⃗ 𝑚𝑚 𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖 và ∑𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1.25-26] Luan van 12 Định lí 2 và định nghĩa của khái niệm tâm tỉ cự được sử dụng để chứng minh định lí 3 – định lí xác định điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc vào một phẳng. Nhận xét Các nội dung lí thuyết xoay quanh khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày gói gọn trong nội bộ Toán học.
Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm ứng với những họ hệ số khác nhau được quan tâm giới thiệu. So với các tính chất của tâm tỉ cự được Möbius xây dựng thì chỉ có tính thuần nhất được trình bày. Phần tiếp theo, chúng tôi sẽ xác định các praxéologie gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự trong giáo trình Hình học cao cấp và Bài tập hình học cao cấp bằng cách phân tích các bài tập được tác giả đưa vào. Các praxéologie gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm Các bài tập được đưa ra sau phần lí thuyết gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự trong giáo trình Hình học cao cấp và Bài tập Hình học cao cấp là giống nhau.
Từ quá trình phân tích các bài tập và lời giải được trình bày, chúng tôi tìm thấy năm kiểu nhiệm vụ gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm. 𝑻𝑻𝒐𝒐𝟏𝟏 : “Chứng minh tọa độ của tâm tỉ cự là tổ hợp tuyến tính các tọa độ của các điểm và các hệ số tương ứng trong một mục tiêu affine.” Kỹ thuật 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟏𝟏 : 1 Bước 1: Chọn 𝑂𝑂 là gốc tọa độ, biểu diễn �����⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 dạng: �����⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘 ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗ 𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 .) Bước 2: Đồng nhất các tọa độ của từng vectơ trong mỗi vế để được điều cần chứng minh. Công nghệ 𝜽𝜽𝒐𝒐𝟏𝟏 : Định nghĩa tâm tỉ cự, biểu thức tọa độ affine của điểm. Minh họa cho (𝑻𝑻𝒐𝒐𝟏𝟏 , 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟏𝟏 ): bài tập 1.28 trang 28; lời giải trang 63 sách BTHHCC.
Trong 𝐴𝐴𝑛𝑛 với mục tiêu affine đã chọn, giả sử 𝑘𝑘 điểm M 1 , ., M k có tọa độ là: 𝑀𝑀𝑖𝑖 = �𝑥𝑥1𝑖𝑖 ; 𝑥𝑥2𝑖𝑖 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑖𝑖 � với i = 1,2,. Tâm tỉ cự G có tọa độ (X 1 , X 2 , ., X n ) thỏa hệ thức 𝑚𝑚1 ��������⃗ 𝐺𝐺𝑀𝑀1 + 𝑚𝑚2 ��������⃗ 𝐺𝐺𝑀𝑀2 + ⋯ + 𝑚𝑚𝑘𝑘 ���������⃗ 𝐺𝐺𝑀𝑀𝑘𝑘 = �0⃗ với m 1 +. Chứng minh rằng: Luan van 13 𝑚𝑚1 𝑥𝑥j1 + 𝑚𝑚2 𝑥𝑥𝑗𝑗2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑗𝑗𝑘𝑘 𝑋𝑋𝑗𝑗 =. 𝑚𝑚1 +𝑚𝑚2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘 Lời giải Với O là gốc tọa độ và G là tâm tỉ cự của hệ điểm M 1 , M 2 ,.
+⋯+𝑚𝑚 1 2 𝑘𝑘 𝑚𝑚1 𝑥𝑥j1 + 𝑚𝑚2 𝑥𝑥𝑗𝑗2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑗𝑗𝑘𝑘 Do đó ta suy ra: 𝑋𝑋𝑗𝑗 = 𝑚𝑚1 +𝑚𝑚2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘 với j = 1, 2, ., n là điều phải chứng minh. Chúng tôi xem kết quả của kiểu nhiệm vụ trên là biểu diễn dạng tọa độ của tâm tỉ 1 cự. Như vậy, ngoài xác định bằng đẳng thức vectơ �����⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘 ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗ 𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 thì vị trí 𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 tâm tỉ cự còn có thể được xác định bằng biểu thức tọa độ thông qua tọa độ của các điểm trong hệ điểm và các hệ số tương ứng. 𝑻𝑻𝒐𝒐𝟐𝟐 : “Chứng minh tâm tỉ cự của hệ điểm có tính kết hợp.” Nghĩa là, nếu 𝐺𝐺 là tâm tỉ cự của hệ điểm {𝑃𝑃1 , … , 𝑃𝑃𝑝𝑝 } có họ hệ số {𝜆𝜆1 , … , 𝜆𝜆𝑝𝑝 }, 𝐻𝐻 là tâm tỉ cự của hệ {𝑃𝑃1 , … , 𝑃𝑃𝑘𝑘 } có họ hệ số {𝜆𝜆1 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 , (𝑘𝑘 < 𝑝𝑝)} và 𝐶𝐶 là tâm tỉ cự của hệ {𝐻𝐻, 𝑃𝑃𝑘𝑘+1 , … , 𝑃𝑃𝑝𝑝 } có họ hệ số {𝜆𝜆1 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑘𝑘 , 𝜆𝜆𝑘𝑘+1 … , 𝜆𝜆𝑝𝑝 } thì 𝐺𝐺 trùng 𝐶𝐶.
Kỹ thuật τ 2 : 𝑝𝑝 𝑝𝑝 Bước 1: Phân tích đẳng thức ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗ 𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗ về ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �𝐺𝐺𝐺𝐺 �����⃗ + 𝐶𝐶𝐶𝐶 �����⃗𝚤𝚤 � = �0⃗. 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 Bước 2: Phân tích ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �����⃗ 𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 + ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �����⃗ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝚤𝚤 thành ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗ 𝐶𝐶𝐶𝐶 + ∑𝑖𝑖=𝑘𝑘+1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗ 𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤. 𝑝𝑝 Bước 3: Sử dụng định nghĩa tâm tỉ cự và quy tắc ba điểm để được ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �����⃗ 𝐺𝐺𝐺𝐺 = �0⃗. Công nghệ 𝜽𝜽𝒐𝒐𝟐𝟐 : Định nghĩa tâm tỉ cự, một số tính chất đơn giản của không gian affine.
Minh họa cho (𝑻𝑻𝒐𝒐𝟐𝟐 , 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟐𝟐 ): bài tập 1.30 trang 29; lời giải trang 64 sách BTHHCC. Trong An giả sử họ 𝑝𝑝 điểm {M 1 , M 2 , ., M p } có G là tâm tỉ cự ứng với họ các hệ số {m 1 , m 2 , .+m p≠ 0 và H là tâm tỉ cự của hệ điểm R R {M 1 , M 2 , ., M k } với k < p, là hệ con của hệ điểm đã cho, ứng với các hệ số {m 1 , m 2 ,. R R Chứng minh rằng tâm tỉ cự G nói trên trùng với tâm tỉ cự C của hệ điểm {H, M k+1 , ., M p } ứng với các hệ số {∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1 𝑚𝑚𝑗𝑗 , m k+1 , m k+2 ,. Lời giải Vì G là tâm tỉ cự của hệ điểm {M 1 , M 2 , ., M p } ứng với họ các hệ số m 1 , m 2 , .+ m p ≠ 0 nên ta có: R R Luan van 14 ∑𝑝𝑝𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ��������⃗ 𝑝𝑝 𝐺𝐺𝑀𝑀𝚤𝚤 = �0⃗ ⇔ ∑𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 �𝐺𝐺𝐺𝐺 �����⃗ + 𝐶𝐶𝐶𝐶 �������⃗𝚤𝚤 � = �0⃗ (1) Với C là tâm tỉ cự của hệ điểm {H, M k+1 , .