Giáo trình Hình học họa hình - Nguyễn Sỹ Hạnh (ĐH Giao thông Vận tải)

Khám phá khái niệm và ứng dụng của hình học họa hình trong toán học, nghệ thuật và thiết kế. Tìm hiểu cách hình học ảnh hưởng đến sáng tạo.

• Đề tài: Hình Học Họa Hình

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• MỞ ĐẦU
• 1. PHẦN I: CÁC PHÉP CHIẾU
• 1.1. I. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM
• 1.1.1. 1. Khái niệm
• 1.1.2. 2. Tính chất
• 1.1.3. 3. Bổ sung các yếu tố vô tận
• 1.2. II. PHÉP CHIẾU SONG SONG
• 1.2.1. 1. Định nghĩa
• 1.2.2. 2. Tính chất
• 1.3. III. PHÉP CHIẾU THẲNG GÓC
• 1.3.1. 1. Định nghĩa
• 1.3.2. 2. Tính chất
• 2. PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC
• 2.1. CHƯƠNG 1: ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG
• 2.1.1. I. Đồ thức của điểm
• 2.1.1.1. 1. Xây dựng đồ thức của điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
• 2.1.1.2. 2. Biểu diễn đồ thức của điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
• 2.1.2. II. Đồ thức của đường thẳng
• 2.1.2.1. 1. Các đường thẳng đặc biệt
• 2.1.2.2. 2. Sự liên thuộc của điểm với đường thẳng
• 2.1.2.3. 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
• 2.1.2.4. 4. Vết đường thẳng
• 2.1.3. III. Mặt phẳng
• 2.1.3.1. 1. Đồ thức mặt phẳng
• 2.1.3.2. 2. Vết mặt phẳng
• 2.1.3.3. 3. Các mặt phẳng đặc biệt

Tóm tắt

I. Khám phá Hình học họa hình Nền tảng của bản vẽ kỹ thuật

Hình học họa hình là một môn khoa học cơ sở, chuyên nghiên cứu các phương pháp biểu diễn không gian ba chiều lên mặt phẳng hai chiều. Mục tiêu chính là xây dựng các hình biểu diễn phẳng (gọi là đồ thức) để giải quyết các bài toán không gian một cách chính xác. Theo giáo trình Hình học họa hình của Nguyễn Sỹ Hạnh, môn học này không chỉ cung cấp kiến thức nền tảng cho vẽ kỹ thuật mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện và phát triển tư duy không gian – một kỹ năng cốt lõi cho các kỹ sư và kiến trúc sư. Lịch sử của môn học gắn liền với nhà toán học người Pháp Gaspard Monge, người đã hệ thống hóa các nguyên tắc cơ bản vào cuối thế kỷ 18. Các nguyên tắc này cho phép biểu diễn vật thể một cách eindeutig (đơn trị), đảm bảo mọi người đọc bản vẽ đều hiểu theo cùng một cách. Thông qua việc sử dụng các phép chiếu, đặc biệt là phép chiếu vuông góc, các đối tượng phức tạp trong không gian được chuyển đổi thành các hình chiếu đơn giản trên các mặt phẳng hình chiếu quy ước. Từ đó, người ta có thể xác định được kích thước, hình dạng và vị trí tương đối của các đối tượng một cách khoa học và hệ thống.

1.1. Định nghĩa và mục tiêu cốt lõi của môn học

Hình học họa hình được định nghĩa là môn học nghiên cứu các phương pháp biểu diễn vật thể ba chiều trên một mặt phẳng hai chiều, thường là giấy vẽ hoặc màn hình máy tính. Mục tiêu không chỉ dừng lại ở việc tạo ra một hình ảnh trực quan mà là xây dựng một hệ thống hình biểu diễn chính xác, gọi là đồ thức, cho phép giải quyết các bài toán hình học không gian. Các bài toán này bao gồm xác định vị trí tương đối, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, xác định độ lớn thật của các đối tượng, và tính toán khoảng cách hay góc. Theo định nghĩa trong tài liệu gốc, mục đích của môn học là "cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để học môn Vẽ kỹ thuật đồng thời phát triển khả năng tư duy không gian". Về bản chất, nó tạo ra một ngôn ngữ đồ họa chung, giúp các kỹ sư, kiến trúc sư và nhà thiết kế giao tiếp ý tưởng kỹ thuật một cách rõ ràng, tránh mọi sự mơ hồ.

1.2. Vai trò của Gaspard Monge và sự ra đời của ngành học

Sự phát triển có hệ thống của Hình học họa hình gắn liền với công lao của nhà toán học và kỹ sư người Pháp Gaspard Monge (1746-1818). Trước Monge, các phương pháp biểu diễn đã tồn tại nhưng còn rời rạc và thiếu tính hệ thống. Monge đã tổng hợp và phát triển phương pháp sử dụng hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc với nhau (mặt phẳng hình chiếu đứng và mặt phẳng hình chiếu bằng). Phương pháp này, ngày nay được gọi là phương pháp Monge, đã tạo nên một cuộc cách mạng trong lĩnh vực kỹ thuật. Nó cho phép biểu diễn bất kỳ đối tượng không gian nào thông qua các hình chiếu vuông góc của nó. Hệ thống của Monge đảm bảo tính thuận nghịch: từ vật thể 3D có thể vẽ được đồ thức 2D, và ngược lại, từ đồ thức 2D có thể hình dung hoặc tái tạo lại vật thể 3D một cách duy nhất. Công trình của ông đã đặt nền móng vững chắc cho ngành vẽ kỹ thuật hiện đại và được ứng dụng rộng rãi trong kiến trúc và xây dựng cũng như cơ khí chế tạo máy.

II. Thách thức lớn nhất Biểu diễn vật thể 3D trên mặt phẳng 2D

Thách thức cơ bản và xuyên suốt của Hình học họa hình là giải quyết mâu thuẫn nội tại: làm thế nào để truyền tải đầy đủ và chính xác thông tin của một vật thể ba chiều (chiều rộng, chiều cao, chiều sâu) lên một mặt phẳng chỉ có hai chiều. Việc chiếu một vật thể 3D xuống 2D tất yếu gây ra sự biến dạng về góc và độ dài. Nếu không có một hệ thống quy ước chặt chẽ, hình biểu diễn sẽ trở nên mơ hồ, đa nghĩa và không thể dùng làm cơ sở cho việc chế tạo hay thi công. Ví dụ, một hình tròn trong không gian có thể trở thành hình elip, thậm chí là một đoạn thẳng trên hình chiếu. Các bài tập Hình học họa hình thường tập trung vào việc khắc phục những thách thức này, chẳng hạn như làm thế nào để xác định độ lớn thật của một đoạn thẳng hay một mặt phẳng khi hình chiếu của chúng bị co ngắn, hoặc làm thế nào để xác định mối quan hệ không gian thực sự (cắt nhau, song song, chéo nhau) giữa các đường thẳng chỉ dựa vào hình chiếu của chúng.

2.1. Vấn đề biến dạng hình ảnh và xác định độ lớn thật

Khi thực hiện phép chiếu song song hoặc phép chiếu vuông góc, chỉ những đường thẳng hoặc mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu mới giữ nguyên được hình dạng và kích thước. Trong mọi trường hợp khác, chúng đều bị biến dạng. Một đoạn thẳng xiên với mặt phẳng hình chiếu sẽ có hình chiếu ngắn hơn độ dài thực của nó. Một góc vuông chỉ được biểu diễn thành góc vuông trên hình chiếu nếu có ít nhất một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu. Do đó, việc xác định độ lớn thật trở thành một bài toán trọng tâm. Các phương pháp biến đổi hình chiếu, như phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hoặc phương pháp quay, được phát triển để đưa đối tượng về vị trí đặc biệt (song song với mặt phẳng chiếu), từ đó hình chiếu của nó sẽ thể hiện đúng kích thước thật. Việc giải quyết thành công bài toán này là điều kiện tiên quyết để tạo ra các bản vẽ kỹ thuật chính xác.

2.2. Khó khăn trong việc xác định vị trí tương đối trong không gian

Một thách thức khác là xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng. Trên đồ thức, hai đường thẳng có thể trông như cắt nhau, nhưng trong không gian chúng lại chéo nhau. Việc xác định giao điểm của một đường thẳng với một mặt phẳng, hay giao tuyến của hai mặt phẳng, đòi hỏi các bước dựng hình logic và chính xác. Ví dụ, để tìm giao điểm của một đường thẳng với một mặt phẳng, người ta thường sử dụng một mặt phẳng phụ trợ chứa đường thẳng đó. Giao tuyến của mặt phẳng phụ trợ và mặt phẳng đã cho sẽ cắt đường thẳng ban đầu tại điểm cần tìm. Các quy tắc về "thấy-khuất" cũng phải được áp dụng một cách nghiêm ngặt để bản vẽ kỹ thuật trở nên rõ ràng, giúp người đọc phân biệt được phần nào của vật thể ở phía trước, phần nào bị che khuất. Những quy trình này đòi hỏi người học phải có tư duy trừu tượng và khả năng suy luận không gian tốt.

III. Phương pháp cốt lõi Phép chiếu vuông góc và hệ thống đồ thức

Giải pháp nền tảng mà Hình học họa hình đưa ra là hệ thống phép chiếu vuông góc, còn gọi là phương pháp Monge. Hệ thống này sử dụng hai (hoặc ba) mặt phẳng hình chiếu vuông góc với nhau từng đôi một để tạo ra các hình chiếu của vật thể. Các mặt phẳng này bao gồm mặt phẳng hình chiếu đứng (P₁), mặt phẳng hình chiếu bằng (P₂), và mặt phẳng hình chiếu cạnh (P₃). Một điểm A trong không gian sẽ được biểu diễn vật thể bằng một cặp hình chiếu (A₁, A₂) trên P₁ và P₂, hoặc một bộ ba (A₁, A₂, A₃) trên cả ba mặt phẳng. Các hình chiếu này không nằm rời rạc mà liên hệ với nhau qua các đường dóng vuông góc với trục chiếu. Tập hợp các hình chiếu này trên cùng một mặt phẳng bản vẽ sau khi trải các mặt phẳng chiếu ra được gọi là đồ thức. Đồ thức chính là ngôn ngữ của Hình học họa hình, chứa đựng toàn bộ thông tin về hình dạng, kích thước và vị trí của vật thể trong không gian 3D.

3.1. Nguyên tắc xây dựng đồ thức trên hai mặt phẳng hình chiếu

Nguyên tắc cơ bản là sử dụng hai mặt phẳng hình chiếu P₁ (đứng) và P₂ (bằng) vuông góc với nhau, giao tuyến của chúng là trục x. Một điểm A bất kỳ trong không gian được chiếu vuông góc lên P₁ được hình chiếu đứng A₁, và chiếu vuông góc lên P₂ được hình chiếu bằng A₂. Để biểu diễn trên mặt phẳng, người ta giữ nguyên P₁ và quay P₂ quanh trục x 90 độ cho đến khi nó trùng với P₁. Khi đó, cặp điểm (A₁, A₂) trên bản vẽ được gọi là đồ thức của điểm A. Hai hình chiếu này luôn nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x, gọi là đường dóng. Tương tự, một đường thẳng được biểu diễn bởi đồ thức của hai điểm thuộc nó. Một mặt phẳng được biểu diễn bởi đồ thức của các yếu tố xác định nó (ba điểm, một điểm và một đường thẳng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song).

3.2. Mở rộng hệ thống với mặt phẳng hình chiếu cạnh

Trong nhiều trường hợp, hai hình chiếu đứng và bằng không đủ để mô tả hoàn toàn hình dạng của vật thể, đặc biệt với các chi tiết nằm trên các mặt phẳng song song với trục z (vuông góc với cả P₁ và P₂). Để khắc phục điều này, người ta sử dụng thêm một mặt phẳng hình chiếu thứ ba, gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh P₃, vuông góc với cả P₁ và P₂. Hình chiếu của điểm A lên P₃ là hình chiếu cạnh A₃. Sau khi chiếu, mặt phẳng P₃ được quay quanh trục z để trải ra cùng mặt phẳng với P₁. Đồ thức lúc này bao gồm bộ ba hình chiếu (A₁, A₂, A₃), liên hệ với nhau qua các đường dóng. Hình chiếu cạnh đặc biệt hữu ích khi cần xác định hình dạng và kích thước của các bề mặt bên của vật thể, giúp bản vẽ kỹ thuật trở nên hoàn chỉnh và dễ hiểu hơn. Đây là nền tảng cho phương pháp hình chiếu trục đo sau này.

IV. Bí quyết giải toán Vết của mặt phẳng và giao tuyến chính xác

Để giải quyết các bài toán vị trí phức tạp trong Hình học họa hình, việc nắm vững các khái niệm cơ bản như vết của mặt phẳng và cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng là cực kỳ quan trọng. Vết của một mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu. Việc xác định vết giúp hình dung rõ hơn về vị trí và độ nghiêng của mặt phẳng trong không gian. Khi hai mặt phẳng cắt nhau, giao tuyến của chúng là một đường thẳng. Tìm ra đường thẳng này là một trong những bài toán cơ bản và thường gặp nhất. Phương pháp chung để tìm giao tuyến là xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng. Mỗi điểm chung thường được tìm bằng cách sử dụng các mặt phẳng phụ trợ. Việc dựng hình chính xác các yếu tố này không chỉ là một bài tập rèn luyện kỹ năng mà còn là ứng dụng trực tiếp vào việc thiết kế các chi tiết máy móc giao nhau hay các bộ phận kiến trúc phức tạp.

4.1. Cách xác định vết của mặt phẳng để biểu diễn không gian

Trong giáo trình Hình học họa hình, vết của mặt phẳng (Q) được định nghĩa là giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu. Giao tuyến của Q với mặt phẳng hình chiếu đứng P₁ được gọi là vết đứng (v₁Q). Giao tuyến của Q với mặt phẳng hình chiếu bằng P₂ được gọi là vết bằng (v₂Q). Vết đứng và vết bằng thường cắt nhau tại một điểm trên trục x. Biểu diễn một mặt phẳng bằng hai vết của nó là một phương pháp rất trực quan và hiệu quả, đặc biệt với các mặt phẳng có vị trí bất kỳ. Ví dụ, để xác định một đường thẳng có thuộc mặt phẳng hay không, chỉ cần kiểm tra xem các vết của đường thẳng có nằm trên các vết cùng tên của mặt phẳng hay không. Đây là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên thuộc.

4.2. Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng hiệu quả

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, phương pháp phổ biến là tìm hai điểm chung của chúng. Mỗi điểm chung là giao điểm của ba mặt phẳng: hai mặt phẳng đã cho và một mặt phẳng phụ trợ. Người ta thường chọn các mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu (vuông góc với P₁ hoặc P₂) hoặc các mặt phẳng đặc biệt (mặt phẳng bằng, mặt phẳng mặt) để đơn giản hóa việc dựng hình. Chẳng hạn, giao tuyến của một mặt phẳng phụ trợ chiếu đứng với hai mặt phẳng ban đầu sẽ là hai đường thẳng có hình chiếu đứng suy biến thành các đoạn thẳng. Giao điểm của hai hình chiếu đứng này sẽ cho ta hình chiếu đứng của một điểm thuộc giao tuyến cần tìm. Lặp lại quy trình với một mặt phẳng phụ trợ khác, ta sẽ có điểm chung thứ hai. Đường thẳng đi qua hai điểm chung này chính là giao tuyến cần tìm. Đây là một trong những bài tập hình học họa hình kinh điển.

V. Top ứng dụng Hình học họa hình trong kiến trúc và cơ khí

Nguyên lý của Hình học họa hình là ngôn ngữ không thể thiếu trong các ngành kỹ thuật, đặc biệt là kiến trúc và xây dựng và cơ khí chế tạo máy. Nó không chỉ là một môn học lý thuyết mà là công cụ thực tiễn để biến ý tưởng thành các sản phẩm cụ thể. Trong kiến trúc, các nguyên tắc về phép chiếu vuông góc và phối cảnh (phép chiếu xuyên tâm) được sử dụng để tạo ra các bản vẽ kỹ thuật chi tiết, từ mặt bằng, mặt đứng, mặt cắt cho đến các bản vẽ phối cảnh 3D. Trong cơ khí, Hình học họa hình giúp các kỹ sư thiết kế các chi tiết máy phức tạp, phân tích sự lắp ráp, kiểm tra va chạm và đảm bảo mọi bộ phận được sản xuất với kích thước và dung sai chính xác. Các bản vẽ chi tiết máy đều tuân thủ nghiêm ngặt các tiêu chuẩn về hình biểu diễn dựa trên các nguyên tắc đã được thiết lập bởi môn học này.

5.1. Ứng dụng trong ngành kiến trúc và xây dựng hiện đại

Trong lĩnh vực kiến trúc và xây dựng, Hình học họa hình là nền tảng để tạo ra mọi loại bản vẽ kỹ thuật. Các bản vẽ mặt bằng, mặt đứng, mặt cắt của một công trình thực chất là các hình chiếu vuông góc lên các mặt phẳng tương ứng. Kiến trúc sư sử dụng các nguyên tắc này để biểu diễn vật thể (công trình) một cách chính xác, thể hiện rõ ràng kích thước, vật liệu và cấu trúc. Ngoài ra, phép chiếu xuyên tâm, hay còn gọi là phép vẽ phối cảnh, cũng là một phần quan trọng của Hình học họa hình ứng dụng. Nó giúp tạo ra những hình ảnh 3D trực quan, cho phép chủ đầu tư và khách hàng hình dung được công trình sau khi hoàn thiện. Ngay cả với các phần mềm CAD, BIM hiện đại, các thuật toán dựng hình 3D và xuất bản vẽ 2D đều được xây dựng dựa trên các nguyên lý toán học của Hình học họa hình.

5.2. Vai trò không thể thiếu trong cơ khí chế tạo máy

Đối với ngành cơ khí chế tạo máy, Hình học họa hình là công cụ thiết yếu để thiết kế và sản xuất. Một bản vẽ kỹ thuật của chi tiết máy phải thể hiện đầy đủ ba hình chiếu (đứng, bằng, cạnh) để mô tả hoàn toàn hình dạng phức tạp của nó. Các kỹ sư phải giải quyết các bài toán về giao của các khối hình học (ví dụ, giao của hai ống trụ, giao của trụ và nón) để thiết kế các mối ghép. Các phương pháp của Hình học họa hình giúp xác định chính xác đường giao tuyến này. Bên cạnh đó, hình chiếu trục đo là một phương pháp biểu diễn 3D phổ biến trong cơ khí, cho phép thể hiện vật thể một cách trực quan trên một hình chiếu duy nhất nhưng vẫn giữ được tính đo được theo ba trục tọa độ. Tất cả những kỹ thuật này đều bắt nguồn từ các nguyên lý cơ bản của Hình học họa hình.

VI. Tương lai Hình học họa hình Từ bản vẽ tay đến mô hình CAD

Mặc dù công nghệ kỹ thuật số đã thay đổi sâu sắc cách thức làm việc của các kỹ sư và kiến trúc sư, nhưng các nguyên tắc của Hình học họa hình vẫn giữ nguyên giá trị cốt lõi. Các phần mềm Thiết kế có sự trợ giúp của Máy tính (CAD) hiện đại như AutoCAD, SolidWorks, Revit về bản chất là sự tự động hóa các quy trình dựng hình mà Gaspard Monge đã hệ thống hóa. Thay vì vẽ tay từng hình chiếu, người dùng có thể dựng mô hình 3D và phần mềm sẽ tự động xuất ra các bản vẽ kỹ thuật 2D theo đúng quy tắc của phép chiếu vuông góc. Tuy nhiên, để sử dụng hiệu quả các công cụ này, người dùng vẫn cần một nền tảng tư duy không gian vững chắc – khả năng đọc, hiểu và phân tích các hình biểu diễn. Do đó, Hình học họa hình không hề lỗi thời; nó đã chuyển hóa từ một kỹ năng vẽ thành một năng lực tư duy không gian, là nền tảng để làm chủ công nghệ thiết kế hiện đại và trong tương lai.

6.1. Sự chuyển đổi từ lý thuyết sang thuật toán trong CAD BIM

Các nguyên tắc của Hình học họa hình đã được mã hóa thành các thuật toán cốt lõi trong phần mềm CAD (Computer-Aided Design) và BIM (Building Information Modeling). Ví dụ, khi người dùng dựng một mô hình 3D, phần mềm sẽ sử dụng các ma trận biến đổi toán học dựa trên lý thuyết của các phép chiếu để tạo ra các hình chiếu 2D. Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng hay các bề mặt cong phức tạp được máy tính thực hiện tự động với độ chính xác cao. Mặc dù công cụ đã thay đổi, nhưng đầu ra vẫn phải tuân thủ các tiêu chuẩn biểu diễn kỹ thuật có nguồn gốc từ giáo trình hình học họa hình. Sự chuyển đổi này giúp giải phóng kỹ sư khỏi các công việc dựng hình thủ công tốn thời gian, cho phép họ tập trung hơn vào khía cạnh sáng tạo và phân tích kỹ thuật.

6.2. Tầm quan trọng của tư duy không gian trong kỷ nguyên số

Trong kỷ nguyên số, tầm quan trọng của Hình học họa hình không nằm ở kỹ năng vẽ tay mà ở việc trang bị "tư duy không gian". Đây là khả năng hình dung các vật thể ba chiều, xoay chúng trong tâm trí, và hiểu được mối quan hệ giữa các hình chiếu và vật thể thực. Một kỹ sư không có tư duy không gian tốt sẽ gặp khó khăn trong việc kiểm tra lỗi trên mô hình 3D, đọc hiểu các bản vẽ kỹ thuật phức tạp, hoặc phát hiện các vấn đề về lắp ráp. Các bài tập hình học họa hình truyền thống, dù được giải bằng tay hay bằng máy, vẫn là phương pháp rèn luyện tư duy không gian hiệu quả nhất. Vì vậy, môn học này vẫn là một phần không thể thiếu trong chương trình đào tạo kỹ sư và kiến trúc sư, đảm bảo họ có thể làm chủ công nghệ và sáng tạo một cách hiệu quả.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỞ ĐẦU Hình học Hoạ hình là môn học nghiên cứu cách biểu diễn không gian ba chiêu bằng những yếu tố của mặt phẳng (điểm, đường thẳng) rồi dùng hình biểu diễn ấy để giải các bài toán của không gian ban đầu. Trong các trường kỹ thuật môn Hình học hoạ hình có mục đích cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để học môn Vẽ kỹ thuật đồng thời phát triển khả năng tư duy không gian của sinh viên. PHAN I CAC PHEP CHIEU I. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM 1.

Khái niệm l - Trong không gian lấy một mặt phẳng # và một điểm S không thuộc Ø. (Hình 0-01) Chiếu một điểm A bất kỳ của không gian từ điểm S lên mặt phẳng # là thực hiện các bước sau: + Vẽ đường thẳng SA. + Xác định giao điểm A' = SA ¬Ø. : ua, Hình 0-01 - Tên gọi: + Phép chiếu từ điểm S lên mặt phẳng #nêu trên gọi là phép chiếu imagen tam.

+ Ø: Mặt phẳng hình chiếu. + SA: Tia chiếu. + A’: Hinh chiéu xuyên tâm của điểm A. Phép chiếu xuyên tâm hoàn toàn được xác.

định khi biết mặt phẳng hình chiếu và tâm chiếu. Tính chất a) Hình chiếu của một điểm là một điểm. Nếu A thuậc # thì A = A’; Néu diém B thuộc tia chiéu SA thi B’ = A’. b) Hình chiếu của một đường thẳng HC đi qua tâm chiếu là một đường thẳng.

Nếu đường thẳng đi qua tâm chiếu thì hình chiếu là một điểm. c) Phép chiếu xuyên tâm bảo tồn tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng (Hình 0-02) +. Ký hiệu tỷ số kép của 4 điểm A, B, C, D là (ABCD) trong đó: A, B là hai điểm cơ sở. C, D là hai điểm chia.

+ Về giá trị: (Ancp~ ÂC, ÂD CB + Theo tính chất trên thì: 2- ': (ABCD) = 2¢ AD_ AC ;2=2 AC ; 22-22 AD -a'B'C'D') CB DB CB DB 3. Bổ sung các yếu tố vô tận -_ Trong phép chiếu xuyên tâm đã trình 2 ve acaonede oy KH: oe ' ¿ấy bay ở trên nếu tia chiếu SA song song với. mat phẳng hình chiếu # thì sé khong ton 4) esis § A tai hinh chiéu xuyén tâm của điểm A (Hình 0-03). Để mọi điểm của không gian ⁄2 đều có hình chiếu ta quy ước rằng tỉa chiếu SA cắt mặt phẳng Ø tại một điểm _¬ Hình đổ" : A+ ở vô tận.

Điều đó có nghĩa là: / - Méi duéng thang c6 thém mot diém vo tan; hai duéng thang song song thi có chung một điểm vô tận; hai đường thẳng không song. Jong nha thì có hai điểm vô tận khác nhau. lạnh 4 - Tap hop những điểm vô tận củá một mặt phẳng: tạoö thành một đường thẳng gọi là đường thẳng vô tận của mặt phẳng. ' 7 SiN, EVES 1K Wis Ti nh - Hai mặt phẳng song song nhau là hai mặt phẳng có chung nhau mộtt đường thẳng vô tận.

‡ - Tập hợp những điểm, "đường thẳng vô tận của& không gian tao thành một mặt phẳng gọi là mặt phẳng vô tận củaa không gian. PHÉP CHIẾU SONG SONG ““ : 160p 2 Ả1 ö2z vì út Hi TẾT th Crete Fu £ct 1. Định nghĩa Phép chiếu song song là phép chiếu mà các tiaae song song Với: nhau theo một hướng s nào đó. (Hình 0-04) f22 1í ; # :0 2d0 - Phếp chiếu song song hoàn toàn được xác định khi biết mặt phẳng hình chiếu # và hướng chiếu s.

Tinh chat Phép chiếu song song chính là phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu là một điểm vô tận của::\-- hướng s, vì vậy nó có tất cả các tính chất của phép > chiếu xuyên tâm, ngoài ra còn có thêm một số tính chất sau: ¡. Hình 0-04 a) Hình chiếu của hai đường thẳng song song không cùng thuộc một mặt phẳng chiếu là hai đường thẳng song song.AC == —— Ses ABC) =(A'B'C' II. PHÉP CHIẾU THẲNG GÓC 1. Định nghĩa Phép chiếu thẳng góc là phép chiếu song song khi hướng chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình chiếu Ø.

Tinh chat Phép chiếu thẳng góc có tất cả các tính chất của phép chiếu song song ngoài ra nó còn có một tính chất quan trọng sau đây (Hình 0-05): Hình 0-05 Điều kiện cần và “aa dé góc vuông xOy chiếu thẳng góc thành góc vuông x ?O°y' là góc vuông xOy có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu. 10 PHAN II PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC Chương1 ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG I. Xây dựng đồ thức của điểm trưng] hệthống hai mặt phẳng hình chiếu a. Cách xây dựng i Trong không gian lấy hai mặt phẳng Ø; và ?; vuông góc với nhau làm hai mặt phẳng hình chiếu; Trong đó #¡ là mặt phẳng thẳng đứng; ?; là mặt phẳng nằm ngang; giao tuyến của chúng là đường thẳng x (Hình1-01).

Giả sử có điểm A trong không gian. Chiếu thẳng góc điểm A lên ?, được A;; lên ?; được A¿. Quay Ø; quanh x sao cho nửa trước ?; trùng với nửa dưới Ø\; nửa sau P, tring với nửa trên ?; khi đó ta được Hình1-02. h Ay A NÓ Ht | 1V A2 Ị| A, Hinh 1-01 ` Hình 1-02 Vì mặt phẳng A A; A; vuông góc với đường thẳng x tại A, nên trên Hình 1-02 A, A, Lx tai A,.

1 Cap diém (A, Az) ma A,A, 1 x tai A, gọi là đồ thức của diém A. Một số tên gọi - Ø, là mặt phẳng hình chiếu đứng.- - Ø; là mặt phẳng hình chiếu hằng, -x=Ø¡nØ; goi là trụcphép chiếu. - A, là hình chiếu đứng của điểm A. “ - A, 1a hình chiếu bằng của điểm A.

_ - Á¡A, L x tại A, là đường dóng thẳng đứng. _;:` - Khoảng cách từ A tới 9, gọi là độ xa của A. Độ xa của một điểm dương, bằng không hoặc âm nếu điểm đó ở trước, thuộc hoặc ở phía sau mặt phẳng tụ Ở Hình 1-02 độ xa của điểm A là A;A; # AAr. ; 1 - Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ?; gọi là độ cao điểm.

Độ cao của một điểm có thể dương, bằng không.hoặc âm nếu điểm đó ở nh trên, thuộc hoặc ở phía dưới #;. 02 độ cao của điểm A là A,A,„ = AA¿; - Hai mặt phẳng ?, và ?; chia không gian làm bốn phần và ta gọi: chúng là các góc tư. Saar Bender + Góc tư I là khoảng không gian giới hạn trước Ø; và trên f;. +' Góc tư II là khoảng không gian giới hạn sau Ø; và trên ¿.

+ Góc tư III là khoảng không gian giới hạn sau 9, va dưới Ø;. + Góc tư IV là khoảng không gian giới hạn trước ?, và dưới Ø¿. - Mặt phẳng phân giác góc I - III gọi là mặt phẳng phân giác thứ nhất, ký hiệu là @!?, Mọi điểm thuộc mặt phẳng @'!°* luôn có hai hình chiếu đối xứng nhau qua trục x. iz - Mặt phẳng phân giác góc II - IV gọi là mặt phẳng phân giác thứ hai, kí hiệu là '”°.

Mọi điểm thuộc mặt phẳng phân giác Z2“ luôn có ó hai hình chiếu trùng nhau. (Hình1-03 và Hình1-04) 12 Hình 1- 03 Ở Hình 1- 04: | | - Điểm A thuộc mặt phẳng hoặc đứng 9, pel | LL củ vy - Điểm B thuộc mặt phẳng hoặc bằng oa ` Ae ; - Điểm C thuộc trục chiếu x TT ———‹ - Điểm M thuộc mặt phẳng phân giác đ?* ˆ. ¬ JS } - Điểm N thuộc mặt phẳng phân giác g'* i 2. Biểu diễn đỏ thức của điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu a.

Cách xây dựng ị Trong không gian ta chọn ba mặt phẳng #¡, ?;, # ; từng đôi một vuông góc nhau làm các mặt phẳng hình chiếu, trong đó #¡ là mặt phẳng thẳng đứng, Ø; là mặt phẳng nằm ngang và các giao tuyến: tiix = 0712.201 prÖUv gian đổi suề as TY - Giả sử có điểm A trong Elong gian ta chiếu thẳng góc. điểm ^4 lên Ø¡ được A¡, lên Ø; được A; và lên #; được As. (Hình 1- 05) - ;~ Quay 7; quanh trục x sao cho nửa trước Po tring với nửa dưới a nửa sau ?;„ minh với nửa trên f?¡, ny : 13 - Quay #3 quanh truc z sao cho nita trước Ø; trùng với bến ĐH Ấy nửa sau trùng với nửa trái. ! ` \ | if ; Sau khi quay ta được bộ ba hình chiếu (Ai, A, As) biểu diễn điểm ‘A ma A,A, Lx tai A,, A,A; 1 z tai A, (Hinh 1-06) gọi là a6 thức của A trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu.

( Hình 1- 06) Me Haigh SS Hình 1-05 Ô Hin 1-06 b. Một số tên gọi ` Ngoài những tên gọi ở mục 1 ta có thêm một số tên.ngôi mới như sau: - A; là hình chiếu cạnh của điểm A. n - Ø; là mặt phẳng hình chiếu cạnh. - A¿, A; cùng thuộc đường dóng nằm ngang vuông góc với trục chiếu z tại A,.

_ Khoảng cách từ A đến Ø; gọi là độ xa cạnh với quy ước điểm thuộc #; có độ xa cạnh bằng 0, điểm ở phía trái ?; có độ xa cạnh dương, điểm ở phía phải Ø; có độ xa cạnh âm. Ở hình vẽ (/77- 05) ta có độ xa cạnh của A là:ˆ AA, =A,Ay'= AASI iii BI sig yas aol A AA, =A,A, =A,A, | _ Phân tiếp theo được trình bày trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu. Đối với những trường hợp dùng mặt phẳng hình chiếu cạnh thì đều có ghi chú. Đồ thức của từng thẳng Người tabiểu diễn một đường thẳng bằng ‘hai điểm của ¡ đường thẳng đó.

Ví dụ: đường thẳng £? xác định bởi hai điểm A và B thì đồ thức của đường thẳng / là cap (2;, £2) với 2; xác định bởi AB, 6; xác định bởi A,B;. Căn cứ vào vị trí tương đối giữa đường thẳng với các mặt phẳng hình chiếu mà đường thẳng được chia làm hai loại: đường thẳng bất kỳ và đường thẳng đặc biệt.08 + Đường thẳng có hướng không song song, không thẳng góc với một trong các mặt phẳng hình chiếu là đường thẳng bất kỳ. + Đường thẳng đặc biệt là đường thẳng vuông ¬ hoặc song song với một trong các mặtĐường bình chiếu. Các đường thẳng đặc biệt | a.

if - Dinh nghia: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Py ae 1- 09). ‘ 15 Hinh 1-09) 260% oats taste rp Hinh 1-10: - Tinh chat: +Hinh chiéu ding của đường bằng luôn song song v với trục chiếu x: bị ⁄ x (Hinh 1-10) >! oN mee + Một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng b có độ đài bằng độ đài hình ! chiếu bằng của nó: AB= ‘A,B, i “+ Gée hợp bởi dường Đăng với mặt phẳng hình chiếu đứng là œ bằng gốc hợp bởi hình chiếu ‘bang của nó với trục chiếu x: Ệ ? _= (b, P,)= (bạ;X).