Giáo trình Hình học họa hình - Nguyễn Sỹ Hạnh (ĐH Giao thông Vận tải)

Khám phá khái niệm và ứng dụng của hình học họa hình trong toán học, nghệ thuật và thiết kế. Tìm hiểu cách hình học ảnh hưởng đến sáng tạo.

• Đề tài: Hình Học Họa Hình

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• MỞ ĐẦU
• 1. PHẦN I: CÁC PHÉP CHIẾU
• 1.1. I. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM
• 1.1.1. 1. Khái niệm
• 1.1.2. 2. Tính chất
• 1.1.3. 3. Bổ sung các yếu tố vô tận
• 1.2. II. PHÉP CHIẾU SONG SONG
• 1.2.1. 1. Định nghĩa
• 1.2.2. 2. Tính chất
• 1.3. III. PHÉP CHIẾU THẲNG GÓC
• 1.3.1. 1. Định nghĩa
• 1.3.2. 2. Tính chất
• 2. PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC
• 2.1. CHƯƠNG 1: ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG
• 2.1.1. I. Đồ thức của điểm
• 2.1.1.1. 1. Xây dựng đồ thức của điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
• 2.1.1.2. 2. Biểu diễn đồ thức của điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
• 2.1.2. II. Đồ thức của đường thẳng
• 2.1.2.1. 1. Các đường thẳng đặc biệt
• 2.1.2.2. 2. Sự liên thuộc của điểm với đường thẳng
• 2.1.2.3. 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
• 2.1.2.4. 4. Vết đường thẳng
• 2.1.3. III. Mặt phẳng
• 2.1.3.1. 1. Đồ thức mặt phẳng
• 2.1.3.2. 2. Vết mặt phẳng
• 2.1.3.3. 3. Các mặt phẳng đặc biệt

Tóm tắt

I. Khám phá Hình học họa hình Nền tảng của bản vẽ kỹ thuật

Hình học họa hình là một môn khoa học cơ sở, chuyên nghiên cứu các phương pháp biểu diễn không gian ba chiều lên mặt phẳng hai chiều. Mục tiêu chính là xây dựng các hình biểu diễn phẳng (gọi là đồ thức) để giải quyết các bài toán không gian một cách chính xác. Theo giáo trình Hình học họa hình của Nguyễn Sỹ Hạnh, môn học này không chỉ cung cấp kiến thức nền tảng cho vẽ kỹ thuật mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện và phát triển tư duy không gian – một kỹ năng cốt lõi cho các kỹ sư và kiến trúc sư. Lịch sử của môn học gắn liền với nhà toán học người Pháp Gaspard Monge, người đã hệ thống hóa các nguyên tắc cơ bản vào cuối thế kỷ 18. Các nguyên tắc này cho phép biểu diễn vật thể một cách eindeutig (đơn trị), đảm bảo mọi người đọc bản vẽ đều hiểu theo cùng một cách. Thông qua việc sử dụng các phép chiếu, đặc biệt là phép chiếu vuông góc, các đối tượng phức tạp trong không gian được chuyển đổi thành các hình chiếu đơn giản trên các mặt phẳng hình chiếu quy ước. Từ đó, người ta có thể xác định được kích thước, hình dạng và vị trí tương đối của các đối tượng một cách khoa học và hệ thống.

1.1. Định nghĩa và mục tiêu cốt lõi của môn học

Hình học họa hình được định nghĩa là môn học nghiên cứu các phương pháp biểu diễn vật thể ba chiều trên một mặt phẳng hai chiều, thường là giấy vẽ hoặc màn hình máy tính. Mục tiêu không chỉ dừng lại ở việc tạo ra một hình ảnh trực quan mà là xây dựng một hệ thống hình biểu diễn chính xác, gọi là đồ thức, cho phép giải quyết các bài toán hình học không gian. Các bài toán này bao gồm xác định vị trí tương đối, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, xác định độ lớn thật của các đối tượng, và tính toán khoảng cách hay góc. Theo định nghĩa trong tài liệu gốc, mục đích của môn học là "cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để học môn Vẽ kỹ thuật đồng thời phát triển khả năng tư duy không gian". Về bản chất, nó tạo ra một ngôn ngữ đồ họa chung, giúp các kỹ sư, kiến trúc sư và nhà thiết kế giao tiếp ý tưởng kỹ thuật một cách rõ ràng, tránh mọi sự mơ hồ.

1.2. Vai trò của Gaspard Monge và sự ra đời của ngành học

Sự phát triển có hệ thống của Hình học họa hình gắn liền với công lao của nhà toán học và kỹ sư người Pháp Gaspard Monge (1746-1818). Trước Monge, các phương pháp biểu diễn đã tồn tại nhưng còn rời rạc và thiếu tính hệ thống. Monge đã tổng hợp và phát triển phương pháp sử dụng hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc với nhau (mặt phẳng hình chiếu đứng và mặt phẳng hình chiếu bằng). Phương pháp này, ngày nay được gọi là phương pháp Monge, đã tạo nên một cuộc cách mạng trong lĩnh vực kỹ thuật. Nó cho phép biểu diễn bất kỳ đối tượng không gian nào thông qua các hình chiếu vuông góc của nó. Hệ thống của Monge đảm bảo tính thuận nghịch: từ vật thể 3D có thể vẽ được đồ thức 2D, và ngược lại, từ đồ thức 2D có thể hình dung hoặc tái tạo lại vật thể 3D một cách duy nhất. Công trình của ông đã đặt nền móng vững chắc cho ngành vẽ kỹ thuật hiện đại và được ứng dụng rộng rãi trong kiến trúc và xây dựng cũng như cơ khí chế tạo máy.

II. Thách thức lớn nhất Biểu diễn vật thể 3D trên mặt phẳng 2D

Thách thức cơ bản và xuyên suốt của Hình học họa hình là giải quyết mâu thuẫn nội tại: làm thế nào để truyền tải đầy đủ và chính xác thông tin của một vật thể ba chiều (chiều rộng, chiều cao, chiều sâu) lên một mặt phẳng chỉ có hai chiều. Việc chiếu một vật thể 3D xuống 2D tất yếu gây ra sự biến dạng về góc và độ dài. Nếu không có một hệ thống quy ước chặt chẽ, hình biểu diễn sẽ trở nên mơ hồ, đa nghĩa và không thể dùng làm cơ sở cho việc chế tạo hay thi công. Ví dụ, một hình tròn trong không gian có thể trở thành hình elip, thậm chí là một đoạn thẳng trên hình chiếu. Các bài tập Hình học họa hình thường tập trung vào việc khắc phục những thách thức này, chẳng hạn như làm thế nào để xác định độ lớn thật của một đoạn thẳng hay một mặt phẳng khi hình chiếu của chúng bị co ngắn, hoặc làm thế nào để xác định mối quan hệ không gian thực sự (cắt nhau, song song, chéo nhau) giữa các đường thẳng chỉ dựa vào hình chiếu của chúng.

2.1. Vấn đề biến dạng hình ảnh và xác định độ lớn thật

Khi thực hiện phép chiếu song song hoặc phép chiếu vuông góc, chỉ những đường thẳng hoặc mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu mới giữ nguyên được hình dạng và kích thước. Trong mọi trường hợp khác, chúng đều bị biến dạng. Một đoạn thẳng xiên với mặt phẳng hình chiếu sẽ có hình chiếu ngắn hơn độ dài thực của nó. Một góc vuông chỉ được biểu diễn thành góc vuông trên hình chiếu nếu có ít nhất một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu. Do đó, việc xác định độ lớn thật trở thành một bài toán trọng tâm. Các phương pháp biến đổi hình chiếu, như phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hoặc phương pháp quay, được phát triển để đưa đối tượng về vị trí đặc biệt (song song với mặt phẳng chiếu), từ đó hình chiếu của nó sẽ thể hiện đúng kích thước thật. Việc giải quyết thành công bài toán này là điều kiện tiên quyết để tạo ra các bản vẽ kỹ thuật chính xác.

2.2. Khó khăn trong việc xác định vị trí tương đối trong không gian

Một thách thức khác là xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng. Trên đồ thức, hai đường thẳng có thể trông như cắt nhau, nhưng trong không gian chúng lại chéo nhau. Việc xác định giao điểm của một đường thẳng với một mặt phẳng, hay giao tuyến của hai mặt phẳng, đòi hỏi các bước dựng hình logic và chính xác. Ví dụ, để tìm giao điểm của một đường thẳng với một mặt phẳng, người ta thường sử dụng một mặt phẳng phụ trợ chứa đường thẳng đó. Giao tuyến của mặt phẳng phụ trợ và mặt phẳng đã cho sẽ cắt đường thẳng ban đầu tại điểm cần tìm. Các quy tắc về "thấy-khuất" cũng phải được áp dụng một cách nghiêm ngặt để bản vẽ kỹ thuật trở nên rõ ràng, giúp người đọc phân biệt được phần nào của vật thể ở phía trước, phần nào bị che khuất. Những quy trình này đòi hỏi người học phải có tư duy trừu tượng và khả năng suy luận không gian tốt.

III. Phương pháp cốt lõi Phép chiếu vuông góc và hệ thống đồ thức

Giải pháp nền tảng mà Hình học họa hình đưa ra là hệ thống phép chiếu vuông góc, còn gọi là phương pháp Monge. Hệ thống này sử dụng hai (hoặc ba) mặt phẳng hình chiếu vuông góc với nhau từng đôi một để tạo ra các hình chiếu của vật thể. Các mặt phẳng này bao gồm mặt phẳng hình chiếu đứng (P₁), mặt phẳng hình chiếu bằng (P₂), và mặt phẳng hình chiếu cạnh (P₃). Một điểm A trong không gian sẽ được biểu diễn vật thể bằng một cặp hình chiếu (A₁, A₂) trên P₁ và P₂, hoặc một bộ ba (A₁, A₂, A₃) trên cả ba mặt phẳng. Các hình chiếu này không nằm rời rạc mà liên hệ với nhau qua các đường dóng vuông góc với trục chiếu. Tập hợp các hình chiếu này trên cùng một mặt phẳng bản vẽ sau khi trải các mặt phẳng chiếu ra được gọi là đồ thức. Đồ thức chính là ngôn ngữ của Hình học họa hình, chứa đựng toàn bộ thông tin về hình dạng, kích thước và vị trí của vật thể trong không gian 3D.

3.1. Nguyên tắc xây dựng đồ thức trên hai mặt phẳng hình chiếu

Nguyên tắc cơ bản là sử dụng hai mặt phẳng hình chiếu P₁ (đứng) và P₂ (bằng) vuông góc với nhau, giao tuyến của chúng là trục x. Một điểm A bất kỳ trong không gian được chiếu vuông góc lên P₁ được hình chiếu đứng A₁, và chiếu vuông góc lên P₂ được hình chiếu bằng A₂. Để biểu diễn trên mặt phẳng, người ta giữ nguyên P₁ và quay P₂ quanh trục x 90 độ cho đến khi nó trùng với P₁. Khi đó, cặp điểm (A₁, A₂) trên bản vẽ được gọi là đồ thức của điểm A. Hai hình chiếu này luôn nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x, gọi là đường dóng. Tương tự, một đường thẳng được biểu diễn bởi đồ thức của hai điểm thuộc nó. Một mặt phẳng được biểu diễn bởi đồ thức của các yếu tố xác định nó (ba điểm, một điểm và một đường thẳng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song).

3.2. Mở rộng hệ thống với mặt phẳng hình chiếu cạnh

Trong nhiều trường hợp, hai hình chiếu đứng và bằng không đủ để mô tả hoàn toàn hình dạng của vật thể, đặc biệt với các chi tiết nằm trên các mặt phẳng song song với trục z (vuông góc với cả P₁ và P₂). Để khắc phục điều này, người ta sử dụng thêm một mặt phẳng hình chiếu thứ ba, gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh P₃, vuông góc với cả P₁ và P₂. Hình chiếu của điểm A lên P₃ là hình chiếu cạnh A₃. Sau khi chiếu, mặt phẳng P₃ được quay quanh trục z để trải ra cùng mặt phẳng với P₁. Đồ thức lúc này bao gồm bộ ba hình chiếu (A₁, A₂, A₃), liên hệ với nhau qua các đường dóng. Hình chiếu cạnh đặc biệt hữu ích khi cần xác định hình dạng và kích thước của các bề mặt bên của vật thể, giúp bản vẽ kỹ thuật trở nên hoàn chỉnh và dễ hiểu hơn. Đây là nền tảng cho phương pháp hình chiếu trục đo sau này.

IV. Bí quyết giải toán Vết của mặt phẳng và giao tuyến chính xác

Để giải quyết các bài toán vị trí phức tạp trong Hình học họa hình, việc nắm vững các khái niệm cơ bản như vết của mặt phẳng và cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng là cực kỳ quan trọng. Vết của một mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu. Việc xác định vết giúp hình dung rõ hơn về vị trí và độ nghiêng của mặt phẳng trong không gian. Khi hai mặt phẳng cắt nhau, giao tuyến của chúng là một đường thẳng. Tìm ra đường thẳng này là một trong những bài toán cơ bản và thường gặp nhất. Phương pháp chung để tìm giao tuyến là xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng. Mỗi điểm chung thường được tìm bằng cách sử dụng các mặt phẳng phụ trợ. Việc dựng hình chính xác các yếu tố này không chỉ là một bài tập rèn luyện kỹ năng mà còn là ứng dụng trực tiếp vào việc thiết kế các chi tiết máy móc giao nhau hay các bộ phận kiến trúc phức tạp.

4.1. Cách xác định vết của mặt phẳng để biểu diễn không gian

Trong giáo trình Hình học họa hình, vết của mặt phẳng (Q) được định nghĩa là giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu. Giao tuyến của Q với mặt phẳng hình chiếu đứng P₁ được gọi là vết đứng (v₁Q). Giao tuyến của Q với mặt phẳng hình chiếu bằng P₂ được gọi là vết bằng (v₂Q). Vết đứng và vết bằng thường cắt nhau tại một điểm trên trục x. Biểu diễn một mặt phẳng bằng hai vết của nó là một phương pháp rất trực quan và hiệu quả, đặc biệt với các mặt phẳng có vị trí bất kỳ. Ví dụ, để xác định một đường thẳng có thuộc mặt phẳng hay không, chỉ cần kiểm tra xem các vết của đường thẳng có nằm trên các vết cùng tên của mặt phẳng hay không. Đây là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên thuộc.

4.2. Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng hiệu quả

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, phương pháp phổ biến là tìm hai điểm chung của chúng. Mỗi điểm chung là giao điểm của ba mặt phẳng: hai mặt phẳng đã cho và một mặt phẳng phụ trợ. Người ta thường chọn các mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu (vuông góc với P₁ hoặc P₂) hoặc các mặt phẳng đặc biệt (mặt phẳng bằng, mặt phẳng mặt) để đơn giản hóa việc dựng hình. Chẳng hạn, giao tuyến của một mặt phẳng phụ trợ chiếu đứng với hai mặt phẳng ban đầu sẽ là hai đường thẳng có hình chiếu đứng suy biến thành các đoạn thẳng. Giao điểm của hai hình chiếu đứng này sẽ cho ta hình chiếu đứng của một điểm thuộc giao tuyến cần tìm. Lặp lại quy trình với một mặt phẳng phụ trợ khác, ta sẽ có điểm chung thứ hai. Đường thẳng đi qua hai điểm chung này chính là giao tuyến cần tìm. Đây là một trong những bài tập hình học họa hình kinh điển.

V. Top ứng dụng Hình học họa hình trong kiến trúc và cơ khí

Nguyên lý của Hình học họa hình là ngôn ngữ không thể thiếu trong các ngành kỹ thuật, đặc biệt là kiến trúc và xây dựng và cơ khí chế tạo máy. Nó không chỉ là một môn học lý thuyết mà là công cụ thực tiễn để biến ý tưởng thành các sản phẩm cụ thể. Trong kiến trúc, các nguyên tắc về phép chiếu vuông góc và phối cảnh (phép chiếu xuyên tâm) được sử dụng để tạo ra các bản vẽ kỹ thuật chi tiết, từ mặt bằng, mặt đứng, mặt cắt cho đến các bản vẽ phối cảnh 3D. Trong cơ khí, Hình học họa hình giúp các kỹ sư thiết kế các chi tiết máy phức tạp, phân tích sự lắp ráp, kiểm tra va chạm và đảm bảo mọi bộ phận được sản xuất với kích thước và dung sai chính xác. Các bản vẽ chi tiết máy đều tuân thủ nghiêm ngặt các tiêu chuẩn về hình biểu diễn dựa trên các nguyên tắc đã được thiết lập bởi môn học này.

5.1. Ứng dụng trong ngành kiến trúc và xây dựng hiện đại

Trong lĩnh vực kiến trúc và xây dựng, Hình học họa hình là nền tảng để tạo ra mọi loại bản vẽ kỹ thuật. Các bản vẽ mặt bằng, mặt đứng, mặt cắt của một công trình thực chất là các hình chiếu vuông góc lên các mặt phẳng tương ứng. Kiến trúc sư sử dụng các nguyên tắc này để biểu diễn vật thể (công trình) một cách chính xác, thể hiện rõ ràng kích thước, vật liệu và cấu trúc. Ngoài ra, phép chiếu xuyên tâm, hay còn gọi là phép vẽ phối cảnh, cũng là một phần quan trọng của Hình học họa hình ứng dụng. Nó giúp tạo ra những hình ảnh 3D trực quan, cho phép chủ đầu tư và khách hàng hình dung được công trình sau khi hoàn thiện. Ngay cả với các phần mềm CAD, BIM hiện đại, các thuật toán dựng hình 3D và xuất bản vẽ 2D đều được xây dựng dựa trên các nguyên lý toán học của Hình học họa hình.

5.2. Vai trò không thể thiếu trong cơ khí chế tạo máy

Đối với ngành cơ khí chế tạo máy, Hình học họa hình là công cụ thiết yếu để thiết kế và sản xuất. Một bản vẽ kỹ thuật của chi tiết máy phải thể hiện đầy đủ ba hình chiếu (đứng, bằng, cạnh) để mô tả hoàn toàn hình dạng phức tạp của nó. Các kỹ sư phải giải quyết các bài toán về giao của các khối hình học (ví dụ, giao của hai ống trụ, giao của trụ và nón) để thiết kế các mối ghép. Các phương pháp của Hình học họa hình giúp xác định chính xác đường giao tuyến này. Bên cạnh đó, hình chiếu trục đo là một phương pháp biểu diễn 3D phổ biến trong cơ khí, cho phép thể hiện vật thể một cách trực quan trên một hình chiếu duy nhất nhưng vẫn giữ được tính đo được theo ba trục tọa độ. Tất cả những kỹ thuật này đều bắt nguồn từ các nguyên lý cơ bản của Hình học họa hình.

VI. Tương lai Hình học họa hình Từ bản vẽ tay đến mô hình CAD

Mặc dù công nghệ kỹ thuật số đã thay đổi sâu sắc cách thức làm việc của các kỹ sư và kiến trúc sư, nhưng các nguyên tắc của Hình học họa hình vẫn giữ nguyên giá trị cốt lõi. Các phần mềm Thiết kế có sự trợ giúp của Máy tính (CAD) hiện đại như AutoCAD, SolidWorks, Revit về bản chất là sự tự động hóa các quy trình dựng hình mà Gaspard Monge đã hệ thống hóa. Thay vì vẽ tay từng hình chiếu, người dùng có thể dựng mô hình 3D và phần mềm sẽ tự động xuất ra các bản vẽ kỹ thuật 2D theo đúng quy tắc của phép chiếu vuông góc. Tuy nhiên, để sử dụng hiệu quả các công cụ này, người dùng vẫn cần một nền tảng tư duy không gian vững chắc – khả năng đọc, hiểu và phân tích các hình biểu diễn. Do đó, Hình học họa hình không hề lỗi thời; nó đã chuyển hóa từ một kỹ năng vẽ thành một năng lực tư duy không gian, là nền tảng để làm chủ công nghệ thiết kế hiện đại và trong tương lai.

6.1. Sự chuyển đổi từ lý thuyết sang thuật toán trong CAD BIM

Các nguyên tắc của Hình học họa hình đã được mã hóa thành các thuật toán cốt lõi trong phần mềm CAD (Computer-Aided Design) và BIM (Building Information Modeling). Ví dụ, khi người dùng dựng một mô hình 3D, phần mềm sẽ sử dụng các ma trận biến đổi toán học dựa trên lý thuyết của các phép chiếu để tạo ra các hình chiếu 2D. Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng hay các bề mặt cong phức tạp được máy tính thực hiện tự động với độ chính xác cao. Mặc dù công cụ đã thay đổi, nhưng đầu ra vẫn phải tuân thủ các tiêu chuẩn biểu diễn kỹ thuật có nguồn gốc từ giáo trình hình học họa hình. Sự chuyển đổi này giúp giải phóng kỹ sư khỏi các công việc dựng hình thủ công tốn thời gian, cho phép họ tập trung hơn vào khía cạnh sáng tạo và phân tích kỹ thuật.

6.2. Tầm quan trọng của tư duy không gian trong kỷ nguyên số

Trong kỷ nguyên số, tầm quan trọng của Hình học họa hình không nằm ở kỹ năng vẽ tay mà ở việc trang bị "tư duy không gian". Đây là khả năng hình dung các vật thể ba chiều, xoay chúng trong tâm trí, và hiểu được mối quan hệ giữa các hình chiếu và vật thể thực. Một kỹ sư không có tư duy không gian tốt sẽ gặp khó khăn trong việc kiểm tra lỗi trên mô hình 3D, đọc hiểu các bản vẽ kỹ thuật phức tạp, hoặc phát hiện các vấn đề về lắp ráp. Các bài tập hình học họa hình truyền thống, dù được giải bằng tay hay bằng máy, vẫn là phương pháp rèn luyện tư duy không gian hiệu quả nhất. Vì vậy, môn học này vẫn là một phần không thể thiếu trong chương trình đào tạo kỹ sư và kiến trúc sư, đảm bảo họ có thể làm chủ công nghệ và sáng tạo một cách hiệu quả.

Nội dung chính

Tổng quan về giáo trình

Giáo trình Hình học họa hình: Lý thuyết & Khái niệm cơ bản do TS. Nguyễn Sỹ Hạnh chủ biên cùng các tác giả Trương Sỹ Hoà và Bùi Vĩnh Phúc biên soạn, được Nhà xuất bản Giao thông Vận tải ấn hành năm 2003 (chịu trách nhiệm xuất bản: TS. Nguyễn Xuân Thủy; biên tập: Thân Ngọc Anh; chế bản và vẽ hình: Phan Ngọc Bảo; cùng sự đóng góp ý kiến chuyên môn của ThS. Phạm Thị Hạnh). Trong chương trình đào tạo khối kỹ thuật bậc đại học, Hình học họa hình là môn học cơ sở bắt buộc, giữ vai trò làm nền tảng trực tiếp cho môn Vẽ kỹ thuật và các đồ án thiết kế chuyên ngành sau này.

Mục tiêu đào tạo cốt lõi của giáo trình là trang bị cho sinh viên phương pháp biểu diễn các đối tượng hình học không gian ba chiều (điểm, đường thẳng, mặt phẳng, đường cong và mặt cong) lên mặt phẳng hai chiều thông qua các phép chiếu. Đồng thời, tài liệu rèn luyện cho người học phương pháp giải quyết các bài toán định tính (bài toán vị trí tương đối, giao điểm, giao tuyến, xét thấy khuất) và bài toán định lượng (khoảng cách, độ dài thật, góc nghiêng) hoàn toàn trên bản vẽ phẳng.

Cấu trúc giáo trình được phân định rõ ràng thành hai phần chính:

• Phần thứ nhất: Kiến thức cơ sở về các phép chiếu (Nguyễn Sỹ Hạnh biên soạn).
• Phần thứ hai: Phương pháp hình chiếu thẳng góc, phân tách thành 3 chương chuyên sâu gồm Chương I về Điểm - Đường thẳng - Mặt phẳng (Trương Sỹ Hoà), Chương II về Các phép biến đổi hình chiếu (Bùi Vĩnh Phúc), và Chương III về Đường cong và mặt (Nguyễn Sỹ Hạnh).

Điểm đặc sắc về mặt học thuật của giáo trình là tính súc tích, lập luận diễn giải hình học chặt chẽ. Bên cạnh việc biểu diễn hình học truyền thống bằng các đồ thức hình chiếu, tài liệu tích hợp biểu diễn giải tích các mặt cong bằng các phương trình đại số, hỗ trợ sinh viên ứng dụng tin học trong tính toán và mô hình hóa kỹ thuật.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương và chủ đề chính

Nội dung giáo trình được triển khai theo tiến trình logic từ các tiên đề chiếu cơ bản đến biểu diễn từng yếu tố hình học và giải quyết các bài toán không gian phức tạp:

1. Phần thứ nhất - Các phép chiếu: Thiết lập bản chất hình học của phép chiếu xuyên tâm (tâm chiếu $S$, mặt phẳng hình chiếu $P$, tia chiếu $SA$), tính chất bảo toàn tỷ số kép $(ABCD) = (A'B'C'D')$, khái niệm bổ sung các yếu tố vô tận (điểm vô tận, đường thẳng vô tận, mặt phẳng vô tận). Tiếp đó là phép chiếu song song (hướng chiếu $s$) và phép chiếu thẳng góc với tính chất then chốt: điều kiện cần và đủ để một góc vuông chiếu thẳng góc thành một góc vuông là góc đó có ít nhất một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu.
2. Chương I - Điểm, Đường thẳng, Mặt phẳng (Phương pháp hình chiếu thẳng góc):
   • Đồ thức của điểm: Xây dựng hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc ($P_1$ đứng, $P_2$ bằng) và hệ thống ba mặt phẳng ($P_1, P_2, P_3$ cạnh), quy ước đường dóng vuông góc trục chiếu ($A_1A_2 \perp x, A_1A_3 \perp z$), định nghĩa độ cao, độ xa, độ xa cạnh, phân chia bốn góc tư và tính chất điểm thuộc mặt phẳng phân giác $Q^{I-III}$, $Q^{II-IV}$.
   • Đồ thức của đường thẳng: Biểu diễn qua hai điểm. Phân loại đường thẳng bất kỳ và các đường thẳng đặc biệt: đường bằng ($b // P_2, b_1 // x$), đường mặt ($m // P_1, m_2 // x$), đường cạnh ($AB // P_3$), đường thẳng chiếu bằng ($h \perp P_2$), chiếu đứng ($d \perp P_1$), chiếu cạnh ($n \perp P_3$). Xác định sự liên thuộc của điểm với đường thẳng (tỷ số đơn), xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (cắt nhau, song song, chéo nhau), và cách xác định vết đứng, vết bằng của đường thẳng.
   • Đồ thức của mặt phẳng: Biểu diễn bằng 3 điểm không thẳng hàng, một điểm và một đường thẳng, hai đường thẳng cắt nhau, hai đường song song hoặc bằng các vết mặt phẳng ($P_1Q, P_2Q$). Phân loại mặt phẳng đặc biệt: mặt phẳng chiếu bằng, chiếu đứng, chiếu cạnh, mặt phẳng bằng, mặt phẳng mặt, mặt phẳng cạnh.
   • Các bài toán vị trí: Giải quyết bài toán tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng (dùng mặt phẳng phụ trợ chiếu đứng $R$ hoặc chiếu bằng), giao tuyến của hai mặt phẳng, và nguyên tắc xét thấy khuất dựa trên độ xa (trên hình chiếu đứng) và độ cao (trên hình chiếu bằng) của các điểm thuộc cùng tia chiếu.
   • Các bài toán lượng: Xác định độ dài thật của đoạn thẳng và góc nghiêng ($\alpha, \beta$) với mặt phẳng hình chiếu bằng phương pháp tam giác vuông ($\Delta y$ hoặc $\Delta z$); điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng ($d_1 \perp m_1, d_2 \perp b_2$); đường dốc nhất của mặt phẳng để xác định độ nghiêng thực tế của mặt phẳng.
3. Chương II - Các phép biến đổi hình chiếu: Phương pháp biến đổi vị trí không gian hoặc thay đổi mặt phẳng hình chiếu để đưa các yếu tố hình học tổng quát về vị trí đặc biệt, đơn giản hóa việc giải các bài toán vị trí và bài toán lượng.
4. Chương III - Đường cong và mặt: Khảo sát các đường cong phẳng, đường cong ghềnh, các mặt nón, mặt trụ, mặt cầu, mặt tròn xoay và các mặt bậc hai; kết hợp phương pháp biểu diễn hình chiếu với hệ thống phương trình đại số giải tích.

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Giáo trình cung cấp các nguyên lý cơ bản của hình học họa hình:

• Nguyên lý song ánh giữa đối tượng không gian ba chiều và tập hợp các hình chiếu hai chiều tương ứng trên đồ thức Monge.
• Hệ thống điều kiện liên thuộc hình học (điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, đường thẳng thuộc mặt phẳng).
• Nguyên tắc dựng vết và sử dụng mặt phẳng phụ trợ phẳng/chiếu làm công cụ trung gian giải tích hình học.

Kỹ năng phát triển

Thông qua nội dung học phần, người học được rèn luyện các kỹ năng cụ thể:

• Kỹ năng kỹ thuật: Dựng đồ thức chính xác của các điểm, đoạn thẳng, đa giác, khối hình học trên hệ trục $Ox, Oy, Oz$; vận dụng đúng thước, compa và các quy ước dóng thẳng hàng.
• Kỹ năng phân tích: Đọc hiểu và phân tích quan hệ không gian giữa các đối tượng phức tạp từ bản vẽ phẳng; xác định giao tuyến, giao điểm và nhận diện tính chất che khuất.
• Năng lực ứng dụng: Chuyển đổi qua lại giữa hình học không gian và dữ liệu tọa độ giải tích, làm tiền đề cho việc học môn CAD (Computer-Aided Design) và mô hình hóa hình học trong tin học kỹ thuật.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Tiếp cận sư phạm (Pedagogical approach)

Giáo trình xây dựng phương pháp giảng dạy đi từ trực quan không gian đến trừu tượng hóa trên bản vẽ phẳng hai chiều:

1. Nêu hiện tượng hình học trong không gian ba chiều với mô hình trực quan.
2. Thiết lập quy tắc chiếu và quy ước đồ thức (trải phẳng các mặt phẳng hình chiếu $P_1, P_2, P_3$).
3. Rút ra các định lý, mệnh đề và điều kiện cần - đủ.
4. Trình bày bài toán mẫu với quy trình giải từng bước rõ ràng.

Hệ thống bài tập và thực hành

Hệ thống bài tập cuối chương được xây dựng có cấu trúc bám sát lý thuyết:

• Bài tập biểu diễn điểm và tọa độ: Vẽ đồ thức các điểm cho trước tọa độ đại số $A(1, 2, 3)$, $B(0, 3, -2)$, $C(-2, -3, 2)$; xác định điểm đối xứng qua các mặt phẳng phân giác $Q^{I-III}, Q^{II-IV}$.
• Bài tập đường thẳng và mặt phẳng: Dựng đường thẳng đi qua một điểm và hợp với mặt phẳng hình chiếu góc cho trước ($\alpha = 30^\circ, \beta = 60^\circ$); xác định vết của đường thẳng; tìm giao điểm và giao tuyến bằng phương pháp mặt phẳng phụ trợ.
• Bài tập định lượng và ứng dụng: Xác định khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, dựng mặt phẳng song song và cách một mặt phẳng cho trước đoạn $L_0$.

Phương pháp đánh giá và hướng dẫn tự học

• Đánh giá: Thông qua các bài tập kiểm tra đồ thức định kỳ, bài tập lớn dựng hình và bài thi kết thúc học phần với các câu hỏi lý thuyết kèm bài toán dựng hình tổng hợp.
• Tự học: Người học cần chủ động vẽ lại các hình vẽ mẫu từng bước theo giáo trình; tự lập bảng so sánh tính chất giữa các đường thẳng đặc biệt (đường bằng, đường mặt, đường cạnh) và mặt phẳng đặc biệt để ghi nhớ điều kiện đồ thức.

---

Điểm nổi bật và cập nhật

1. Tinh giản và hiện đại hóa cấu trúc: Biên soạn theo chủ trương đổi mới đào tạo đại học, giáo trình loại bỏ các phần chứng minh rườm rà, tập trung vào bản chất hình học và phương pháp giải toán đồ thức căn bản, phù hợp với thời lượng tín chỉ hiện hành.
2. Tích hợp phương pháp giải tích phục vụ tin học: Đây là điểm cải tiến quan trọng được nêu rõ tại Lời nói đầu. Bên cạnh việc sử dụng hình chiếu truyền thống của Monge, giáo trình biểu diễn các đường cong và mặt cong bằng phương trình đại số, tạo cầu nối trực tiếp để sinh viên lập trình đồ họa và ứng dụng các phần mềm máy tính trong thiết kế kỹ thuật.
3. Liên hệ thực tiễn ngành Giao thông Vận tải và Xây dựng - Cơ khí: Các bài toán dựng vết, bài toán lượng (khoảng cách, góc dốc mặt phẳng) gắn liền với các bài toán kỹ thuật thực tế như tính toán mái dốc công trình, giao tuyến của kết cấu cơ khí và vật thể hình học trong giao thông.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

• Sinh viên đại học: Giáo trình phục vụ trực tiếp sinh viên năm thứ nhất và năm thứ hai các ngành kỹ thuật, bao gồm: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Giao thông, Kỹ thuật Cơ khí, Kỹ thuật Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp, Kiến trúc và Kỹ thuật Hạ tầng.
• Điều kiện tiên quyết (Prerequisites): Người học cần nắm vững kiến thức Hình học không gian, Lượng giác và Hình học giải tích trong chương trình toán trung học phổ thông.
• Giảng viên: Sử dụng làm tài liệu giảng dạy chính khóa, khung tham chiếu chuẩn để thiết kế đề cương bài giảng, bài tập thực hành và ngân hàng đề thi môn Hình học họa hình.
• Kỹ sư và người tự học: Dùng làm tài liệu tra cứu các quy tắc biểu diễn hình học chuẩn tắc khi đọc bản vẽ kỹ thuật hoặc nghiên cứu thuật toán đồ họa máy tính.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với ai?

Giáo trình phù hợp với sinh viên các hệ đào tạo đại học khối ngành kỹ thuật, giao thông, cơ khí, xây dựng cần học môn Hình học họa hình, cũng như những người làm công tác kỹ thuật cần ôn tập lý thuyết biểu diễn bản vẽ.

2. Cần kiến thức nền nào để học tốt giáo trình?

Người học cần có kiến thức vững vàng về hình học không gian cổ điển (quan hệ song song, vuông góc, góc và khoảng cách trong không gian), hệ tọa độ Descartes và các phép biến đổi đại số cơ bản.

3. Điểm khác biệt của giáo trình so với các tài liệu khác là gì?

Giáo trình trình bày ngắn gọn, tập trung thẳng vào phương pháp giải quyết đồ thức; đặc biệt có tích hợp biểu diễn giải tích các đường cong và mặt cong bằng phương trình đại số để phục vụ xử lý trên máy tính điện tử.

4. Làm sao để tự học giáo trình đạt hiệu quả cao?

Người học không chỉ đọc văn bản mà phải trực tiếp dùng dụng cụ vẽ (thước kẻ, êke, compa) vẽ lại toàn bộ các ví dụ mẫu trên giấy, đối chiếu quy tắc dóng điểm $A_1, A_2, A_3$ và kiểm tra từng bước dựng hình phụ trợ.

5. Có những tài liệu bổ trợ nào nên dùng kèm?

Nên kết hợp giáo trình với các tập Bài tập Hình học họa hình, tài liệu tiêu chuẩn vẽ kỹ thuật Việt Nam (TCVN) và các phần mềm đồ họa kỹ thuật hỗ trợ kiểm chứng không gian như AutoCAD.

---

Kết luận

Giáo trình Hình học họa hình: Lý thuyết & Khái niệm cơ bản của tập thể tác giả TS. Nguyễn Sỹ Hạnh, Trương Sỹ Hoà, Bùi Vĩnh Phúc là tài liệu học thuật chuẩn mực, cung cấp đầy đủ hệ thống lý thuyết về phép chiếu và phương pháp đồ thức Monge. Giáo trình định hình phương pháp tư duy không gian khoa học, tạo bước đệm trực tiếp để người học tiếp cận môn Vẽ kỹ thuật và các công cụ mô hình hóa kỹ thuật hiện đại. Để đạt kết quả tối ưu, người học được khuyến nghị tuân thủ lộ trình học tập từ nắm vững các phép chiếu cơ bản, thành thạo đồ thức điểm - đường - mặt, đến thực hành giải quyết thuần thục các bài toán vị trí và bài toán lượng trên bản vẽ phẳng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỞ ĐẦU Hình học Hoạ hình là môn học nghiên cứu cách biểu diễn không gian ba chiêu bằng những yếu tố của mặt phẳng (điểm, đường thẳng) rồi dùng hình biểu diễn ấy để giải các bài toán của không gian ban đầu. Trong các trường kỹ thuật môn Hình học hoạ hình có mục đích cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để học môn Vẽ kỹ thuật đồng thời phát triển khả năng tư duy không gian của sinh viên. PHAN I CAC PHEP CHIEU I. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM 1.

Khái niệm l - Trong không gian lấy một mặt phẳng # và một điểm S không thuộc Ø. (Hình 0-01) Chiếu một điểm A bất kỳ của không gian từ điểm S lên mặt phẳng # là thực hiện các bước sau: + Vẽ đường thẳng SA. + Xác định giao điểm A' = SA ¬Ø. : ua, Hình 0-01 - Tên gọi: + Phép chiếu từ điểm S lên mặt phẳng #nêu trên gọi là phép chiếu imagen tam.

+ Ø: Mặt phẳng hình chiếu. + SA: Tia chiếu. + A’: Hinh chiéu xuyên tâm của điểm A. Phép chiếu xuyên tâm hoàn toàn được xác.

định khi biết mặt phẳng hình chiếu và tâm chiếu. Tính chất a) Hình chiếu của một điểm là một điểm. Nếu A thuậc # thì A = A’; Néu diém B thuộc tia chiéu SA thi B’ = A’. b) Hình chiếu của một đường thẳng HC đi qua tâm chiếu là một đường thẳng.

Nếu đường thẳng đi qua tâm chiếu thì hình chiếu là một điểm. c) Phép chiếu xuyên tâm bảo tồn tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng (Hình 0-02) +. Ký hiệu tỷ số kép của 4 điểm A, B, C, D là (ABCD) trong đó: A, B là hai điểm cơ sở. C, D là hai điểm chia.

+ Về giá trị: (Ancp~ ÂC, ÂD CB + Theo tính chất trên thì: 2- ': (ABCD) = 2¢ AD_ AC ;2=2 AC ; 22-22 AD -a'B'C'D') CB DB CB DB 3. Bổ sung các yếu tố vô tận -_ Trong phép chiếu xuyên tâm đã trình 2 ve acaonede oy KH: oe ' ¿ấy bay ở trên nếu tia chiếu SA song song với. mat phẳng hình chiếu # thì sé khong ton 4) esis § A tai hinh chiéu xuyén tâm của điểm A (Hình 0-03). Để mọi điểm của không gian ⁄2 đều có hình chiếu ta quy ước rằng tỉa chiếu SA cắt mặt phẳng Ø tại một điểm _¬ Hình đổ" : A+ ở vô tận.

Điều đó có nghĩa là: / - Méi duéng thang c6 thém mot diém vo tan; hai duéng thang song song thi có chung một điểm vô tận; hai đường thẳng không song. Jong nha thì có hai điểm vô tận khác nhau. lạnh 4 - Tap hop những điểm vô tận củá một mặt phẳng: tạoö thành một đường thẳng gọi là đường thẳng vô tận của mặt phẳng. ' 7 SiN, EVES 1K Wis Ti nh - Hai mặt phẳng song song nhau là hai mặt phẳng có chung nhau mộtt đường thẳng vô tận.

‡ - Tập hợp những điểm, "đường thẳng vô tận của& không gian tao thành một mặt phẳng gọi là mặt phẳng vô tận củaa không gian. PHÉP CHIẾU SONG SONG ““ : 160p 2 Ả1 ö2z vì út Hi TẾT th Crete Fu £ct 1. Định nghĩa Phép chiếu song song là phép chiếu mà các tiaae song song Với: nhau theo một hướng s nào đó. (Hình 0-04) f22 1í ; # :0 2d0 - Phếp chiếu song song hoàn toàn được xác định khi biết mặt phẳng hình chiếu # và hướng chiếu s.

Tinh chat Phép chiếu song song chính là phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu là một điểm vô tận của::\-- hướng s, vì vậy nó có tất cả các tính chất của phép > chiếu xuyên tâm, ngoài ra còn có thêm một số tính chất sau: ¡. Hình 0-04 a) Hình chiếu của hai đường thẳng song song không cùng thuộc một mặt phẳng chiếu là hai đường thẳng song song.AC == —— Ses ABC) =(A'B'C' II. PHÉP CHIẾU THẲNG GÓC 1. Định nghĩa Phép chiếu thẳng góc là phép chiếu song song khi hướng chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình chiếu Ø.

Tinh chat Phép chiếu thẳng góc có tất cả các tính chất của phép chiếu song song ngoài ra nó còn có một tính chất quan trọng sau đây (Hình 0-05): Hình 0-05 Điều kiện cần và “aa dé góc vuông xOy chiếu thẳng góc thành góc vuông x ?O°y' là góc vuông xOy có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu. 10 PHAN II PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC Chương1 ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG I. Xây dựng đồ thức của điểm trưng] hệthống hai mặt phẳng hình chiếu a. Cách xây dựng i Trong không gian lấy hai mặt phẳng Ø; và ?; vuông góc với nhau làm hai mặt phẳng hình chiếu; Trong đó #¡ là mặt phẳng thẳng đứng; ?; là mặt phẳng nằm ngang; giao tuyến của chúng là đường thẳng x (Hình1-01).

Giả sử có điểm A trong không gian. Chiếu thẳng góc điểm A lên ?, được A;; lên ?; được A¿. Quay Ø; quanh x sao cho nửa trước ?; trùng với nửa dưới Ø\; nửa sau P, tring với nửa trên ?; khi đó ta được Hình1-02. h Ay A NÓ Ht | 1V A2 Ị| A, Hinh 1-01 ` Hình 1-02 Vì mặt phẳng A A; A; vuông góc với đường thẳng x tại A, nên trên Hình 1-02 A, A, Lx tai A,.

1 Cap diém (A, Az) ma A,A, 1 x tai A, gọi là đồ thức của diém A. Một số tên gọi - Ø, là mặt phẳng hình chiếu đứng.- - Ø; là mặt phẳng hình chiếu hằng, -x=Ø¡nØ; goi là trụcphép chiếu. - A, là hình chiếu đứng của điểm A. “ - A, 1a hình chiếu bằng của điểm A.

_ - Á¡A, L x tại A, là đường dóng thẳng đứng. _;:` - Khoảng cách từ A tới 9, gọi là độ xa của A. Độ xa của một điểm dương, bằng không hoặc âm nếu điểm đó ở trước, thuộc hoặc ở phía sau mặt phẳng tụ Ở Hình 1-02 độ xa của điểm A là A;A; # AAr. ; 1 - Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ?; gọi là độ cao điểm.

Độ cao của một điểm có thể dương, bằng không.hoặc âm nếu điểm đó ở nh trên, thuộc hoặc ở phía dưới #;. 02 độ cao của điểm A là A,A,„ = AA¿; - Hai mặt phẳng ?, và ?; chia không gian làm bốn phần và ta gọi: chúng là các góc tư. Saar Bender + Góc tư I là khoảng không gian giới hạn trước Ø; và trên f;. +' Góc tư II là khoảng không gian giới hạn sau Ø; và trên ¿.

+ Góc tư III là khoảng không gian giới hạn sau 9, va dưới Ø;. + Góc tư IV là khoảng không gian giới hạn trước ?, và dưới Ø¿. - Mặt phẳng phân giác góc I - III gọi là mặt phẳng phân giác thứ nhất, ký hiệu là @!?, Mọi điểm thuộc mặt phẳng @'!°* luôn có hai hình chiếu đối xứng nhau qua trục x. iz - Mặt phẳng phân giác góc II - IV gọi là mặt phẳng phân giác thứ hai, kí hiệu là '”°.

Mọi điểm thuộc mặt phẳng phân giác Z2“ luôn có ó hai hình chiếu trùng nhau. (Hình1-03 và Hình1-04) 12 Hình 1- 03 Ở Hình 1- 04: | | - Điểm A thuộc mặt phẳng hoặc đứng 9, pel | LL củ vy - Điểm B thuộc mặt phẳng hoặc bằng oa ` Ae ; - Điểm C thuộc trục chiếu x TT ———‹ - Điểm M thuộc mặt phẳng phân giác đ?* ˆ. ¬ JS } - Điểm N thuộc mặt phẳng phân giác g'* i 2. Biểu diễn đỏ thức của điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu a.

Cách xây dựng ị Trong không gian ta chọn ba mặt phẳng #¡, ?;, # ; từng đôi một vuông góc nhau làm các mặt phẳng hình chiếu, trong đó #¡ là mặt phẳng thẳng đứng, Ø; là mặt phẳng nằm ngang và các giao tuyến: tiix = 0712.201 prÖUv gian đổi suề as TY - Giả sử có điểm A trong Elong gian ta chiếu thẳng góc. điểm ^4 lên Ø¡ được A¡, lên Ø; được A; và lên #; được As. (Hình 1- 05) - ;~ Quay 7; quanh trục x sao cho nửa trước Po tring với nửa dưới a nửa sau ?;„ minh với nửa trên f?¡, ny : 13 - Quay #3 quanh truc z sao cho nita trước Ø; trùng với bến ĐH Ấy nửa sau trùng với nửa trái. ! ` \ | if ; Sau khi quay ta được bộ ba hình chiếu (Ai, A, As) biểu diễn điểm ‘A ma A,A, Lx tai A,, A,A; 1 z tai A, (Hinh 1-06) gọi là a6 thức của A trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu.

( Hình 1- 06) Me Haigh SS Hình 1-05 Ô Hin 1-06 b. Một số tên gọi ` Ngoài những tên gọi ở mục 1 ta có thêm một số tên.ngôi mới như sau: - A; là hình chiếu cạnh của điểm A. n - Ø; là mặt phẳng hình chiếu cạnh. - A¿, A; cùng thuộc đường dóng nằm ngang vuông góc với trục chiếu z tại A,.

_ Khoảng cách từ A đến Ø; gọi là độ xa cạnh với quy ước điểm thuộc #; có độ xa cạnh bằng 0, điểm ở phía trái ?; có độ xa cạnh dương, điểm ở phía phải Ø; có độ xa cạnh âm. Ở hình vẽ (/77- 05) ta có độ xa cạnh của A là:ˆ AA, =A,Ay'= AASI iii BI sig yas aol A AA, =A,A, =A,A, | _ Phân tiếp theo được trình bày trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu. Đối với những trường hợp dùng mặt phẳng hình chiếu cạnh thì đều có ghi chú. Đồ thức của từng thẳng Người tabiểu diễn một đường thẳng bằng ‘hai điểm của ¡ đường thẳng đó.

Ví dụ: đường thẳng £? xác định bởi hai điểm A và B thì đồ thức của đường thẳng / là cap (2;, £2) với 2; xác định bởi AB, 6; xác định bởi A,B;. Căn cứ vào vị trí tương đối giữa đường thẳng với các mặt phẳng hình chiếu mà đường thẳng được chia làm hai loại: đường thẳng bất kỳ và đường thẳng đặc biệt.08 + Đường thẳng có hướng không song song, không thẳng góc với một trong các mặt phẳng hình chiếu là đường thẳng bất kỳ. + Đường thẳng đặc biệt là đường thẳng vuông ¬ hoặc song song với một trong các mặtĐường bình chiếu. Các đường thẳng đặc biệt | a.

if - Dinh nghia: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Py ae 1- 09). ‘ 15 Hinh 1-09) 260% oats taste rp Hinh 1-10: - Tinh chat: +Hinh chiéu ding của đường bằng luôn song song v với trục chiếu x: bị ⁄ x (Hinh 1-10) >! oN mee + Một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng b có độ đài bằng độ đài hình ! chiếu bằng của nó: AB= ‘A,B, i “+ Gée hợp bởi dường Đăng với mặt phẳng hình chiếu đứng là œ bằng gốc hợp bởi hình chiếu ‘bang của nó với trục chiếu x: Ệ ? _= (b, P,)= (bạ;X).