Chƣơng 3 MẠCH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN 3. Mạch vi phân 3. Những khái niệm và định nghĩa cơ bản Mạch vi phân là mạch dùng để vi phân các xung điện nhằm mục đích: Thu hẹp độ rộng xung và tạo ra các xung nhọn để kích thích hoặc đồng bộ các thiết bị khác [4-6]. Thực hiện thuật toán vi phân đối với các hàm số phức tạp trong kỹ thuật tƣơng tự, trong các thiết bị đo lƣờng [5-8].
Mạch vi phân lý tƣởng Mạch vi phân lý tƣởng là mạch có điện áp tín hiệu ra tỷ lệ với đạo hàm theo thời gian của tín hiệu vào. Sơ đồ khối mạch vi phân lý tưởng d ur (t ) K0 uv (t ) (3.1) dt Với K 0 là hệ số tỷ lệ. Hàm truyền đạt của mạch vi phân Giả sử tại t = 0 uv 0 0. Lấy Laplace hai vế của (3.1), ta đƣợc: ur s K s .2) Với uv s và ur s là biến đổi Laplace của uv t và ur t .
Hàm truyền đạt của mạch đƣợc định nghĩa là: u ( s) K s r K0. Mạch vi phân đơn giản Hai kiểu mạch vi phân đơn giản nhất là mạch RC và mạch RL. Mạch vi phân RC Hình 3-2. Sơ đồ mạch vi phân đơn giản RC 86 Mạch vi phân RC chính là mạch lọc thông cao RC khi tín hiệu vào có tần số fv rất thấp so với tần số cắt fc của mạch.
Trong kỹ thuật xung, mạch vi phân có tác dụng thu hẹp độ rộng xung tạo ra các xung nhọn để kích các linh kiện điều khiển hay linh kiện công suất khác nhƣ SCR, Triac… Giả sử Z t¶i có trị đủ lớn để i2(t) << i1(t).6) Biến đổi Laplace hai vế các phƣơng trình (3.CR Đặt RC là thời hằng của mạch. Hàm số truyền đạt của mạch là: S . Khi thời hằng của mạch rất nhỏ so với 1, ta có: 1 (3.3) ta thấy hệ số truyền đạt của mạch thoả điều kiện cho hệ số truyền đạt của mạch vi phân trong đó hệ số tỷ lệ: K0 R.13) Vậy mạch RC ở hình 3-2 là một mạch vi phân. Mạch vi phân RL Hình 3-3. Sơ đồ mạch vi phân đơn giản RL 87 Giả sử Z t¶i có trị đủ lớn để i2(t) << i1(t) i(t) i1(t) (3.14) di Ta có: uv (t ) R.15) dt di ur (t ) L (3.16) dt Biến đổi Laplace hai vế của các phƣơng trình (3.16), ta đƣợc: uv (s) R.19) 1 SL / R L Đặt là thời hằng của mạch RL: R S .20) hoàn toàn giống (3.10) , nên mạch RL cũng là mạch vi phân khi 1 ,với hệ số: L K0 (3.21) R Tóm lại, các mạch RC và RL cho bởi hình 3-2 và hình 3-3 đều là các mạch vi phân gần đúng.
Để tăng độ chính xác cho mạch vi phân ta phải chọn thời hằng của mạch càng nhỏ hơn so với 1 càng tốt.1) khi K0 càng nhỏ thì biên độ tín hiệu ra càng giảm. Mạch khuếch đại thuật toán vi phân Để tăng biên độ tín hiệu ra mà vẫn đảm bảo độ chính xác cao cho phép tính vi phân ngƣời ta dùng mạch khuếch đại thuật toán vi phân. Ta biết rằng mạch khuếch đại thuật toán (OPAMP) có các đặc trƣng: Hệ số khuếch đại vòng hở A0 rất lớn. Tổng trở vào rất lớn Tổng trở ra rất nhỏ.
Tính chất và tham số của mạch chỉ tuỳ thuộc vào tham số của mạch hồi tiếp. Thiết lập theo sơ đồ (hình 3-4): 88 Hình 3-4. Sơ đồ nguyên lý mạch vi phân dùng khuếch đại thuật toán Vì tổng trở vào của OPAM rất lớn nên có thể xem dòng điện i chỉ đi qua điện trở R để đến ngõ ra. Ta có các hệ thức biểu diễn mối qua hệ giữa các đại lƣợng trong mạch nhƣ sau.24) Giả sử các điều kiện ban đầu bằng 0, uC 0 0.
Lấy Laplace hai vế các hệ thức (3.29) ta đƣợc: u ( s) 1 1 SRC SRC.31) A0 ur ( s ) SRC Suy ra: K s (3.32) 1 uv ( s) 1 1 SRC A0 Gọi RC là thời hằng của mạch RC.32) có thể viết lại: .S 89 Chia tử và mẫu của (3.33) cho A0 1 ; Đặt: td (3.20) ta thấy chúng đồng dạng. Vậy, mạch hình 2-4 sẽ là mạch vi phân khi td rất nhỏ so với 1.34) cho thấy td nhỏ hơn là A0 1 lần, nên phép tính vi phân sẽ chính xác hơn A0 1 lần so với mạch RC đơn giản. Vì độ lợi vòng hở A0 của OPAMP rất lớn (hàng trăm ngàn) nên (3.35) có thể viết gần đúng nhƣ sau: K s A0 td .13) cho ta thấy biên độ của tín hiệu ra không bị suy giảm mặc dù phép tính vi phân có độ chính xác tăng lên A0 1 lần. Ảnh hƣởng của các tụ ký sinh lên tín hiệu ra của mạch vi phân RC Khi cho một xung hình chữ nhật qua mạch vi phân lý tƣởng thì ngõ ra ta sẽ đƣợc hai xung nhọn ngƣợc dấu, có biên độ bằng vô cùng và độ rộng xung bằng không (hình 3-5).
Đáp ứng khi đưa tín hiệu xung vuông vào mạch vi phân 90 Thực tế, không thể có mạch vi phân lý tƣởng. Mạch vi phân RC hoặc mạch khuếch đại thuật toán vi phân chỉ là những mạch vi phân gần đúng. Khi tín hiệu vào có dạng hình nấc biên độ E, ta có: uv (t ) E.40) S 1/ t Suy ra: ur ( s) E.41) Kết quả này ta đã thấy ở (2. Vậy khi cho xung hình chữ nhật biên độ E, độ rộng t x qua mạch vi phân RC ta sẽ đƣợc hai xung nhọn ngƣợc dấu, đƣợc xác định bởi các biểu thức (2.
Đáp ứng điện áp đầu ra của mạch vi phân Các xung này có tính chất: Biên độ bằng E. Độ rộng xung t x 3 khi ( ur 0. 91 Hơn nữa, ta cũng không có các xung chữ nhật lý tƣởng. Thƣờng thì xung có một độ rộng sƣờn nhất định, nghĩa là cạnh lên và cạnh xuống của xung là một hàm mũ hoặc một hàm dốc.
Điều này càng làm hạn chế biên độ tín hiệu ra. Nếu không quan tâm đến tất cả các nhƣợc điểm nói trên thì trong mạch vẫn còn những tồn tại không thể bỏ qua, đó là: Nội trở và điện dung ngõ ra của nguồn xung. Điện dung ngõ vào của tải và điện dung kí sinh. Nếu quan tâm đầy đủ đến mọi yếu tố, ta phải thực hiện một khối lƣợng tính toán rất lớn và rất phức tạp.
Ở đây ta chỉ nêu lên một số tính toán chủ yếu để rút ra vài kết luận có tính định tính. Xét mô hình của một mạch tạo xung qua mạch vi phân RC để cấp cho tải (hình 3-7). Sơ đồ mạch tạo xung dùng mạch vi phân RC Trong đó: Rs : nội trở nguồn. C1 : điện dung ngõ ra của nguồn.
C2: điện dung ngõ vào của tải. RC: mạch vi phân. Giả sử tổng trở ngõ vào của tải rất lớn để dòng điện vào tải không đáng kể và giả sử rằng lúc đầu các tụ chƣa nạp điện sẵn. Áp dụng thuyết tứ cực và mô tả tứ cực dƣới dạng ma trận (phụ lục I).
Ta xem mạch ở hình 3-7 nhƣ gồm hai tứ cực mắc nối tiếp (hình 3-8). Sơ đồ tương đương của mạch tạo xung dung mạch vi phân RC Gọi 4, Uv , I, U, Ir , Ur lần lƣợt là biến đổi Laplace của 4, u v , i, u, ir , u r 92 1 Gọi: Z (3.44) SC2 Tứ cực A: Xem U v , 4 nhƣ là hàm của U’ và I’. ta có thể viết: U v a11U ' a12 I ' (3.46) Để hở ngõ ra của bốn cực A, Ta có: Hình 3-9. Mạch để hở ngõ ra của bốn cực A I'0 (3.49) Nối tắt ngõ ra của bốn cực A, ta có: Hình 3-10.
Mạch nối tắt của bốn cực A U'0 (3.50) Uv RSI ' a12 RS (3.52) Từ các biểu thức (3.52) ta có ma trận biểu diễn tứ cực A nhƣ sau: 1 Rs A (3.53) 0 1 Tứ cực B: 93 Xem U ' và I ' là hàm của U r và I r. Ta có thể viết: U ' b11U r b12 I r (3.55) Để hở ngõ ra của bốn cực B, ta có: Hình 3-11. Mạch để hở ngõ ra của bốn cực B Ir 0 (3.58) Z1Z 2 Z1Z 2 Nối tắt ngõ ra của tứ cực B, ta có: Hình 3-12. Mạch nối tắt của bốn cực B Ur 0 (3.61) cho ta ma trận tứ cực B: Z Z2 Z Z2 B (3-62) Z Z1 Z 2 Z Z1 ZZ Z1 1 2 a.
Hàm truyền đạt Nếu xem mạch ở hình 3-8 nhƣ là một tứ cực C duy nhất, ta sẽ có: C A. Sơ đồ khối hàm truyền đạt mạch tạo xung Tứ cực này đƣợc biểu diễn bằng hệ phƣơng trình: U v C11U r C12 I r (3.63) ta đƣợc: Z Z2 Z 1 Rs Z2 C 0 1 Z Z1 Z 2 Z Z1 ZZ Z1 1 2 Z Z 2 Z Z1 Z 2 Z Z1 Z Rs Z Rs Z1Z 2 Z1 C 2 (3.66) Z Z1 Z 2 Z Z1 Z1Z 2 Z1 Từ hình 3-13, ta có: 95 Ur U r R.68) R Vậy hệ số truyền đạt của mạch là: U (s) R K ( s) r (3.69) U v ( s) RC11 C12 Trong đó C11 và C12 đƣợc cho bởi (3.70): 1 1 1 1 1 SC SC2 SC SC1 SC2 C11 RS 1 1 1 SC2 SC1 SC2 C2 CC C11 (1 ) S .72) Z1 1 1 1 SC SC1 Tƣơng tự, ta có: C12 RS SC 1 SC1 1 C C12 Rs 1 1 (3.74) CC C R C 1 SRs C1 C2 1 2 (1 2 ) s (1 1 ) C C R C SCR C Đặt: E 1 2 (3.