BeDAGHOC KINH T E QUOC DAN 2 ~^ Xã HS SE 1a PHAN II GIAI TICH TOAN HOC Và La a 1 TRUONG DAI HOC KINH TE QUOC DAN LE DINH THUY TOANCAOCAP - CHO CAC NHA KINH TE PHAN 2: GIAI TICH TOAN HOC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách này là cuốn sách thứ hai của bộ sách hai tập “TOÁN CAO CAP CHO CAC NHA KINH TE’, được biên soạn dựa theo chương trình môn Toán Cao cấp của trường Đại học Kinh tế quốc dán, dùng chung cho ca hai khối: Kinh tế học và Quan tri kinh doanh. Tiếp theo cuôn “Toán Cao cấp cho các nhà kinh té, Phan 1: Đại số tuyến tính' đã được xuất bản, cuốn “Toán Cao cấp cho các nhà kinh tế, Phản 2: Giải tích toán học” bao hàm những nội dung sau day: Chương | - Hàm số và giới han. Chương 2 : Dao ham va vi phan. Chuong 3 : Ham số nhiều biên số.
Chuong 4 - Cực trị của hàm nhiều biến. Chuong 5 : tích phán. Chương 6 : Phương trình vi phan. Chương 7 : Phương trình sai phán.
Trong phạm vì của các chương nói trên, chúng tôi lân lượt trình bày các vấn dé co ban cua Giải tích Toán học, cùng với một số nội dung chon loc cua ly thuyét phương trình vị phân và phương trình sai phân. Những nội dung đó được lựa chọn căn cứ vao nhu cau sử dụng các phương pháp Toán học trong phân tích kinh té, voi mục đích trang bị kiến thức toán học cần thiết để sinh viên có thể tiếp cận với phương pháp mó hình trone Kính tế học thực chứng. Chương Ì trình bày những khát niệm cơ bản về làm số và giới hạn, trong đó chúng tôi nhấn mạnh việc sử dụng quan hệ hàm số để biểu điện quan hệ giữa các bién số kinh tế. Lý thuyết giới hạn được trình bày một cách có hệ thống đối với dãy số.
Đối với hàm số đối số liên tác chúng tôi chỉ chú trọng định nghĩa bằng ngôn ngữ đấy số, từ đó trình bày tóm tắt (không có chứng mình) các định lý cơ bản về giới hạn, khái niêm hàm số liên tạc và các tính chất cơ bản của hàm liên tục. Các chương 2, 3, 4 bao quát các nội dung cơ bản về phép toán vì phán, phục vụ cho việc phán tích tinh so sánh trong kinh tế: Trong kinh tế học, đạo hàm va vi phan được sử dụng để phán tích xu hướng thay doi cua các quyết định khi điều kiện ngoại sinh thay đổi. Các bài toán cực trị gi vat tro quan trong trong viéc phân tích sự hứa chọn tối tm của các chủ thể kinh tế, do đó, càng với bài toán cực trị của hàm một biên dã được trình bày ở chương 2, chúng tôi dành riêng chương 4 để trình bày lân lượt các bài toán cực trị và ứng dụng trong phân tích kinh tê. Ngoài ra, trone nhiêu cuốn sách kinh tế học người ta dùng đến đạo hàm của hàm an để phân tích các quan hệ, do đá trong chương 3 chúng tôi có trình bày một cách hêt sức có đọng khái niệm ham ẩn và phương pháp tính đạo hàm của hàm ẩn.
Các chương 5, 6, ? là cơ sở toán học để tiếp cận với việc phân tích động thái của các biến số kinh tế theo thời gian. Các nội dụng được hứa chọn chỉ dừng ở mức độ sử dụng của sinh viên bậc cử nhân kinh tế, không chủ trọng lý thuyết. Pháp toán tích phán được trình Khác”: ee bay giản lược, chủ yêu là các phương pháp tính toán. Các chương về phương trình vị phân và phương trình sai phân chỉ dừng ở các khái niêm cơ ban nhất và phương pháp giải một số loại phương trình cấp móit, phương trình tuyên tính cấp lưai và cách phân tích định tính quỹ dao thời gian bang đồ thị.
Trong khuôn khổ của cuốn sách này, các nội dung toán học được trình bày bằng ngôn ngữ dành riêng cho sinh viên của các trường thuộc khôi kinh tế. Đan xen với các nội dung toán học, chúng tôi dưa vào một số khái niệm cơ bản của Kính tê học, trên cơ sở đó lán lượt giới thiệu các mô hình sử dụng toán học trong phán tích kinh tế. Giáo trình này không khai thác sâu các vấn để loán học mà chỉ để cập ở mức độ phục vụ cho một công cụ nghiên cứu kinh tế. Các khái niêm toán học trừu tượng được dién dat bằng ngôn ngữ mô tả, giúp bạn đọc nắm được thực chất của vấn để.
Đa số các dinh lý được phát biểu không có chứng mình mà chỉ hướng dân cách sư dụng. Mặc dù vậy, tính chất hệ thông và títh chặt chế của logic suy luận vấn được tôn trọng. Cán nói thêm rằng các nội dung kinh tế được đưa vào là nhằm mục đích mình hoa, giúp sinh viên làm quen với việc su dung công cụ toán học trong phán tích kinh tế. Đây là cuốn sách toán học phục vụ cho các nhà kinh tế chứ không phải là tài liệu phổ biên kiến thực kinh tê.
Với cuốn giáo trình này, chúng tôi đã cố gắng tạo dung mot cấu trúc môn học để việc giảng dạy toán học có ý nghĩa thiết thác hơn đối với việc đào tạo cán bộ trong linh vực khoa học kinh tế và quan trị kinh doanh. Chắc hẳn vẫn còn những vấn đề cần phải được tiếp tục thao luận về cấu trúc của cuốn sách và các nội dung da duoc dé cap. Chúng tôi mong mỗi có được những ý kiến đóng góp từ phía các nhà toán học, các nhà kinh tế, các bạn đồng nghiệp và đông đảo bạn đọc để có được một cuốn giáo trình tốt hơn. Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Hội đồng Giám định giáo trình của Trường Đại học kinh tế quốc dân, các nhà giáo của Bộ môn Toán cơ bản và các bạn đông nghiệp trong và ngoài trường đã có những ý kiến đóng góp hết sức bổ ích, giúp tác giả hoàn thành việc biên soạn cuốn sách nay.
Xin tran trone cám ơn NXB Đại học Kinh Tế Quốc Dân dd tao diéu kién dua cuén sách đên với bạn đọc. LẺ ĐÌNH THUÝ Chuong I HAM SO VA GIO] HAN §1. CAC KHAI NIEM CG BAN VE HAM SO MOT BIEN SO I. Khái niệm biến số Trong các linh vực khoa học, chúng fa thường pặp các đại lượng do được bằng số.
Khi nghiên cứu quy luật thay đối trị số của các đại lượng đó, người ta thường dùng chữ để ký hiệu số đo của chúng. Chẳng hạn, trong hình học, chúng ta thường dùng chữ V để ký hiệu thể tích. Với mỗi khối hình học trong không gian, V là một số thực. Người ta gọi V là một biến số hình học.
Trong ngôn ngữ hình thức của toán học, từ “biến số” được hiểu theo nghĩa như sau: Định nghĩa: Bi số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó một số bất kỳ thuộc một tập số X z © cho tntéc (X CR). Tap hợp X được gọi là miền biên thiên (MBT) và mỗi số thực xạceX được gọi là mét gid tri cua bién sé đó. Ty bién sé nhiéu khi được gọi tắt là biến. Các biến số thường được ký hiệu băng các chữ cái: x, y, z,.
Thông thường người ta chỉ xét các biến số mà MBT của nó có ít nhất hai số. Một biến số chỉ nhận một giá trị đuy nhất được gọi là hằng số. Trong giải tích toán học ta thường Xét các biến số thay đổi giá trị một cách liên tục, với MBT là một khoảng số. Các khoảng số được ký hiệu như sau: Khoảng đóng (đoan): |a; b] (x: ax<x<b}.
Khoang mo: (a: b) lx: acx <b}. Các khoảng nửa mở: |[a; b)= {x: asx <b}; (a; b]) = {x: a<x <b}. Các khoảng vô hạn: (—œ; b]Ì= {x: x<b]: (—oc; b)= [x: x <b}; [a; +oo)={x: x2a}; (a, +00) = {x: x >a}; (-o:+oj)=R. Các biến số kinh tế Trong linh vực kinh tế người ta thường quan tâm đến các đại lượng như: giá cả, lượng cung, lượng cầu, doanh thu, chi phi, thu nhập quôc dán, tỷ lê lạm phát, tỷ lệ thất nghiệp,.
Khi phân tích xu hướng thay đối trị số của các đại lượng đó theo không gian, thời gian và theo các điều kiện khác nhau, các nhà kính tế xem chúng như các biến số. Các biến số đó được gọi là biên số kinh tế. Trong các tài liệu kinh tế, người ta thường ký hiệu các biển số kinh tế bằng các chữ cát đầu các từ tiếng Anh liên quan đến ý nghĩa của các biến số đó. Sau đây là một số ký hiệu thường gặp: : Giá hang hoa (price), : Luong cung (Quantity Supplied); —ao<nacee> : Luong c4u (Quantity Demanded); : Lai ich (Unity); : Téng chi phi (Total Cost); : Tổng doanh thu (Total Revenue); : Thu nhaép quéc dan (National Income); : Tiéu ding (Consumption); : Tiết kiệm (Saving); : Đầu tư (Investment).
QUAN HE HAM SO a. Khái niêm hàm số Khái niêm hàm số được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực để biêu diễn quan hệ chị phối lẫn nhau giữa các biến số, Định nghĩa khái niệm hàm số bằng ngòn ngữ hình thức của toán học có nội dung như sau: Định nghĩa: Một hàm sốƒ xác định trên một tập hợp XCR là một quy tắc dat tương ứng môi số thực x eX với một và chỉ một số thực y. Tập hợp X được gọt là miền xác định (MXĐ) của hàm số f. Số y tương ứng với số x, theo quy tắc f, được gọi là giá tr của hàm số ƒ tại điểm x.
GIá trị của hàm số f tại điểm x được ký hiệu là f(x). Khi nói đến các hàm số khác nhau, ta sử dụng các ký hiệu khác nhau: Í, ø, @,. Định nghĩa: Miền giá tri (MGT) cua một hàm số f là tập hợp tất cả các số thực là giá trị của hàm số đó tại ít nhất một điểm thuộc miền xác định của nó. Miền giá trị của hàm số f xác định trên miền X được ký hiệu là {(X): f(x) = {ye IR: dxeX sao cho f(x) = y}.
Hàm số dạng biểu thức Ở bậc học phổ thông, bạn đã được làm quen với các biểu thức chứa biến số, từ những biểu thức có một phép toán đến những biểu thức có nhiều phép toán phối hợp, chang hạn như x", Vx, a’, log,x, sinx, cosx, tgx, cotgx,. 5 ax? + bx +c 3x—] ax’ + bx +c, ——— Ta gọi miền xác định tự nhiên cha mot biéu thitc f(x) 14 tap hop tất ca các số thực mà khi gán cho x thì biếu thức đó có nghĩa.