I. Kiến thức chuẩn bị
Chương này cung cấp những kiến thức cơ bản về phương trình tích phân và phương trình tích phân kỳ dị. Định nghĩa phương trình tích phân được đưa ra như sau: một phương trình mà trong đó hàm số chưa biết xuất hiện dưới dấu tích phân. Các loại phương trình tích phân như Fredholm và Volterra được phân tích chi tiết. Đặc biệt, phương trình tích phân kỳ dị được định nghĩa là phương trình có nhân là hàm không bị chặn trên miền tích phân. Việc phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại: mạnh và yếu, giúp hiểu rõ hơn về tính chất của chúng. Các khái niệm về tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy cũng được trình bày, nhấn mạnh tầm quan trọng của nó trong việc giải quyết các phương trình tích phân. Những kết quả trong lý thuyết hàm biến phức, như công thức tích phân Cauchy và Poincaré - Bertrand, cũng được đề cập, tạo nền tảng cho các phương pháp giải sau này.
1.1 Khái niệm phương trình tích phân
Định nghĩa phương trình tích phân là một phương trình mà trong đó hàm số chưa biết xuất hiện dưới dấu tích phân. Các loại phương trình tích phân như Fredholm và Volterra được phân tích chi tiết. Đặc biệt, phương trình tích phân kỳ dị được định nghĩa là phương trình có nhân là hàm không bị chặn trên miền tích phân. Việc phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại: mạnh và yếu, giúp hiểu rõ hơn về tính chất của chúng.
1.2 Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy
Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết phương trình tích phân kỳ dị. Định nghĩa cho thấy rằng nếu giới hạn tồn tại hữu hạn, thì giới hạn đó được gọi là tích phân với nghĩa giá trị chính Cauchy. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết các phương trình tích phân có tính chất kỳ dị. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cho khái niệm này.
1.3 Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức
Chương này cũng trình bày một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức, bao gồm công thức tích phân Cauchy và Poincaré - Bertrand. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải các phương trình tích phân. Công thức tích phân Cauchy cho thấy rằng giá trị của hàm chỉnh hình trong miền hoàn toàn được xác định bởi các giá trị của nó trên biên, điều này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và vật lý.
II. Phương pháp Riemann Hilbert giải phương trình tích phân trên đường cong mở
Chương này tập trung vào phương pháp Riemann - Hilbert, một công cụ mạnh mẽ trong việc giải các phương trình tích phân kỳ dị. Phương pháp này cho phép tìm hàm giải tích trên miền phức, thỏa mãn các điều kiện biên nhất định. Bài toán Riemann - Hilbert được trình bày chi tiết, với các điều kiện biên thuần nhất và không thuần nhất. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cho cách áp dụng phương pháp này vào các phương trình tích phân cụ thể như phương trình tích phân Abel và phương trình tích phân với hạt nhân Logarit. Việc sử dụng công thức Plemelj trong giải quyết các bài toán này cho thấy tính hiệu quả của phương pháp Riemann - Hilbert trong việc tìm nghiệm cho các phương trình tích phân kỳ dị.
2.1 Bài toán Riemann Hilbert
Bài toán Riemann - Hilbert là một trong những bài toán quan trọng trong lý thuyết phương trình tích phân. Phương pháp này cho phép tìm hàm giải tích trên miền phức, thỏa mãn các điều kiện biên nhất định. Các điều kiện biên thuần nhất và không thuần nhất được phân tích, giúp hiểu rõ hơn về cách áp dụng phương pháp này vào các bài toán cụ thể.
2.2 Phương trình tích phân Abel
Phương trình tích phân Abel là một trong những dạng phương trình tích phân kỳ dị thường gặp. Việc áp dụng phương pháp Riemann - Hilbert vào giải phương trình này cho thấy tính hiệu quả của phương pháp trong việc tìm nghiệm. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cho cách giải này, giúp người đọc dễ dàng nắm bắt các bước thực hiện.
2.3 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit
Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit là một thách thức trong toán học. Các phương pháp khác nhau đã được đề xuất để giải quyết vấn đề này. Việc áp dụng phương pháp Riemann - Hilbert cho thấy tính hiệu quả của nó trong việc tìm nghiệm cho các phương trình tích phân có hạt nhân Logarit. Các kết quả thu được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực.
III. Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương trình tích phân kỳ dị
Chương này trình bày một số phương pháp đặc biệt để tìm nghiệm của các phương trình tích phân kỳ dị. Các phương pháp này giúp giải quyết các bài toán mà phương pháp Riemann - Hilbert không thể áp dụng trực tiếp. Việc sử dụng công thức Poincaré - Bertrand và các kỹ thuật khác giúp tìm ra nghiệm cho các phương trình tích phân với hạt nhân kỳ dị dạng Cauchy và Logarit. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cho tính hiệu quả của các phương pháp này trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn.
3.1 Phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit
Phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit là một trong những dạng khó khăn trong lý thuyết phương trình tích phân. Việc áp dụng các phương pháp đặc biệt giúp tìm ra nghiệm cho các phương trình này. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cho cách giải, giúp người đọc dễ dàng nắm bắt các bước thực hiện.
3.2 Phương trình tích phân với hạt nhân Cauchy
Phương trình tích phân với hạt nhân Cauchy là một dạng phổ biến trong lý thuyết phương trình tích phân. Việc áp dụng các phương pháp đặc biệt giúp tìm ra nghiệm cho các phương trình này. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cho cách giải, giúp người đọc dễ dàng nắm bắt các bước thực hiện.
3.3 Sử dụng công thức Poincaré Bertrand
Công thức Poincaré - Bertrand là một công cụ hữu ích trong việc giải quyết các phương trình tích phân kỳ dị. Việc áp dụng công thức này giúp tìm ra nghiệm cho các phương trình khó khăn. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cho tính hiệu quả của công thức trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn.
