Chương 1 Lý thuyết cơ học vat rắn Trong chương này, khóa luận sẽ trình bày tóm tất vẻ lý thuyết cơ học “at rắn. Dau tiên, các đại lượng động học và trang thái chuyển động trong chuyển động quay của một chat điểm được trình bày ngắn gon. Chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến có những tính chat và cách tiếp cận tương tự nhau. De tiếp cân một bài toán cơ học vật rắn, ta thường tiếp cận bằng phương pháp phân tích lực hoặc phương pháp năng lượng.
Ngoài ra, ta cũng có thể tiếp cận đưa trên cơ học Lagrange hay Hamilton. Tuy nhiên, trong giới hạn của khóa luận này, chúng tôi không trình bay phan cơ học Lagrange và Hamilton ở đây. Nội dung chương này được tham khảo từ các tài liệu [1-3]. Chuyển động quay Ta có thể làm một vật rắn chuyển động bằng cách tịnh tiến hoặc quay nó.
Ta đã biết chuyển động tinh tiến của một chất điểm thường được m6 tả bởi vector tọa độ F trong không gian Cartesian. Trong khi đó, chuyển động quay của vật rắn được mô tả bởi góc Ø(£). Cu thể, trong không gian chiều, nó được mô tả bởi góc Ø, điểm quay O và hướng trục quay k. Trong suốt quá trình quay, góc 8{£) biến đổi theo thời gian.
Vận tốc góc của vật khi đó là w(t) =.1) Nếu vận tốc góc biến đổi theo thời gian, khi đó gia tốc góc của vật được xác định như sau dw dé 1) = ar = ae ~(t) = una) — = —.2 Một điểm trên vat quay cách truc quay một khoảng R có van tốc tiếp tuyến F 4 ls "—— dt eal Bang 1.1 thể hiện su so sánh (tương ứng) giữa hai loại chuyển động quay và chuyển động tinh tiến. Để giải các bài toán chuyển động quay thì tương tự như trong chuyển động tịnh tiến, ta cần giải phương trình vi phân cấp hai d°0 72 +, 6,w), (1.4) với điều kiên đầu: @(tg) = A và w{tp) = wo. Khi gia tốc góc + = +(f) là hàm phụ thuộc tường minh vào thời gian ¢ Bảng 1.1: So sánh chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. Chuyển động Tinh tiến Quay Vị trí x{t) A(t) Vân tốc v(t) = dx/dt w(t) = d8/di Gia tốc a(t) = du/dt = dx/dt? — +(t) = dw/dt = d6/dt? thì ta có thể giải phương trình vi phân bằng tích phân trưc tiếp w(t) = w(to) + / +() dt, (1.6) Trong trường hợp đặc biệt, với chuyển đông có vận tốc góc không đối, ta có: A(t) = A{tg) + wit — tạ).7) Nếu chuyển động có gia tốc góc không đổi, ta có: w(t) = œ(fo) + +(t — to), (1.9) Tong quát, chuyển động quay xảy ra quanh một trục được cho bởi vector vận tốc góc &.
Khi đó, vận tốc của một điểm trên vật quay tại vị trí F là V=UxXT.10) Gia téc tai mét diém trén vat quay tại vị trí £ là 8=3x7?+ởx (ở xr). Chuyển động quay của vật rắn Một vật rắn có thể chuyển động tịnh tiến hoặc chuyển động quay nhưng khoảng cách giữa hai điểm bất kì trên vật rắn không thay đối. Đại lượng đặc trưng cho quán tính trong chuyển động quay là moment or quán tính. Moment quán tính của một hệ quanh một truc là lọ =_ mip, (1.12) i trong đó m; là khối lượng của chất điểm 7 và p; là khoảng cách từ chat điểm i đến trục quay O.
Moment quán tính của vat rắn với khối lượng riêng pay quanh trục O là lọ = lÏsue (1.13) trong đó ø là khoảng cách từ phần tử dV đến trục O. Các moment quán tính được cộng theo nguyên lý chồng chat: Moment. quan tính của hai hệ A và quanh trục O là tổng của các moment quan tính của mỗi hệ lo An = lo.14) Khi thay đổi truc quay, moment quán tính được xác định thông qua định lý Steiner-Huygens (định lý trục song song hay đình lý đời trục). Định ly Steiner-Huygens: Moment quan tính To của một vật quanh trục O có thể được xác định từ moment quán tinh của vật quanh một trục song song đi qua khối tam J, của vat lo = Tem + ma, (1.15) trong đó d là khoảng cách giữa trục O va khối tam (hình 1.2 đưa ra các công thức moment quán tính đỗi với trục quay đi qua khối tam của một số vật rắn thường gặp có hình dang đặc biết.
Tương tu như trong chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay cũng có cơ năng bao gồm động năng quay và thế năng. Minh họa định lý Steiner-Huygens. Động năng của một vật rắn quay quanh một trục Ở cố định là -_1, 2 .16) trong đó w là vận tốc góc quanh trục O. Thế năng của vật rắn trong trọng trường đều là U =mgz, (1.2: Moment quán tính của một số vật thể đồng chất có trục quay đi qua khối tâm.
fat thể lẫn Thanh thang (1/12)M L? Vong day / Trụ rỗng MR? Dia / Tru dac (1/2)M R? Quả cau đặc (2/5)M R? Quả cầu rỗng (2/3)M R° trong đó z là vị trí theo phương thắng đứng của khối tâm hệ so với mốc thé năng. lộng lực học vật ran Moment của lực BF tại điểm cách trục quay đi qua O một khoảng 7 là F=Fx F.18) Các moment luc có thể được cộng để xác định moment tổng quanh một trục cho trước. Moment của trọng lực đối với trục quay bắt kì tác dụng lên vật rắn là T=ƑXx mỹ, (1.19) trong đó # là vị trí khối tâm của vật (vector nổi từ trục quay đến khối tâm). Với một vật rắn quay quanh một trục cố định (trục Oz) đi qua khối tâm, gia tốc tịnh tiến của khối tâm là » F, = mda, (1.20) 3 gia tốc góc quanh khối tâm là > te = 1,4, (1.21) j trong đó 7) = Tom X Fj là moment lực 7 tác dung tại điểm Fem.
¡ 80 VỚI khối tâm, và J, là moment quán tính của vật quanh trục Oz đi qua khối tâm. Moment động lượng của một chat điểm với động lượng (tinh tiến) p tai vị trí đối với điểm O là Ù=fxỹ.22) Moment động lượng của hệ quanh điểm O là Lo = oF x muỗi.23) i Định luật hai Newton cho chuyển động quay của hệ quanh điểm O cố đỉnh là Moment động lượng của hệ quanh khối tâm của nó là lợn = > From x Trt;D.25) ‡ Dinh luật hai Newton cho chuyển động quay của hệ quanh khối tam của nó là dL. —~ rt = = " » Tom X Fy = Tem: (1.26) Moment động lượng của vat rắn quay quanh trục có định là Lo,: = lo:ä.27) Moment động lượng của vật rắn quay quanh một trục cỗ định đi qua khối tâm là Deca, " | en L3 (1.28) Ta có thể tóm tắt quy trình giải một bài toán động lực trong cơ học vật ran gồm 4 bước [1] 9 1. Nhận dang: Xác đình góc Ø(£) (chọn hệ quy chiếu).
Tìm các điều kiện dau (ta) và w(t). M6 hình: Tim các lực tác dụng lên vật ran. Xác định moment lực cho mỗi lực. Áp dụng định luật hai Newton cho chuyển động quay để tìm + = 7(8,w,t).
Giải: Ta giải phương trình vi phân ¬ = +(6,w,t), (1.29) với các điều kiện đầu. Ta có thể giải bằng các ki thuật giải tích hoặc giải số. Phân tích: Kiểm tra tính đúng dan của Ø(#) va w(t). Đánh giá quá trình chuyển động.
10 Chương 2 Phương pháp tính toán Chương này sẽ trình bày cách giải một phương trình vi phân với các điều kiện ban đầu. Với các phương trình đơn giản, ta có thể dé dang tìm được nghiệm giải tích của chúng. Tuy nhiên một số phương trình vi phân không thể hoặc chưa có lời giải chính xác, khi đó ta cần đến sự tính toán của máy tính với các phương pháp khác nhau nhằm đưa ra nghiệm giải số. Từ đó, các đại lượng vat lý trong hệ vật rắn có thể được biểu dién bằng đồ thi.
Trong khóa luận này, phương pháp Runge-Kutta bậc 4 được sử dụng để đưa ra nghiệm giải số. Nội dung chương này được tham khảo từ tài liêu (4, 3]. Bai toán Cauchy Một phương trình vi phan bac hai có thể được viết dưới dang y(t) = f(t, y(t), y'(), (2.1) trong đó ta có thể tìm được ham y(t) từ các dao hàm của nó. Một phương trình vi phân có vô số nghiệm riêng cau thành nên nghiêm tổng quát, chúng khác nhau bởi một hằng số.
Với các hằng số được xác 11 định, ta thu được nghiêm riêng từ nghiêm tổng quát. Khi cho trước giá trị ban dau yo của ham y(t) tai tp ta sẽ nhận được một nghiệm riêng của phương trình. Bài toán Cauchy còn được gọi là bài toán giá trị ban đầu. Xét phương trình vi phân cap hai thỏa 2 điều kiên được biểu dién như sau y"(t) = ƒ/(.
Bat kì một phương trình vi phan bac cao luôn có thé đưa được về hệ phương trình vi phân bậc nhất. Phương trình vi phân cap hai (2.2) có thể đưa vẻ phương trình vi phân cấp 1 bằng cách biến đổi sau y(t) = 7,(t), (2.5) với điều kiện dau của phương trình (2. Với bat kì một phương pháp giải số nào, ta luôn phải rời rac hóa các thành phan trong phương trình. Dé tìm nghiệm gan đúng của bài toán 2.2) ta chia đoạn [a,b] thành ø đoạn nhỏ bằng nhau với khoảng chia At =h = (b— a)jn.
Khi đó các điểm chia là ty = a, th = to +k- h với k= 0,1,2,. Giá trị gan đúng cần tìm của hàm tại điểm tp, được kí hiệu là yp. Phương pháp Runge-Kutta Trong kĩ thuật giải số, phương pháp Runge-Kutta được sử dung dé gan đúng nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính. Phương pháp này được phát triển từ những năm đầu của thế kỉ trước bởi hai nhà toán học người Dức Carl Runge và Wilhelm Kutta.
Phương pháp Euler là phương pháp giải số bậc nhất cho phương trình vi phân toàn phan với một điều kiện dau. Nó thuộc nhóm phương pháp Runge-Kutta đơn giản với bac thấp nhất [6]. Ở các bac cao hơn, ta có các phương pháp Runge-Kutta bac 2 và bac 4. So sánh giữa phương pháp Euler và phương pháp Runge-Kutta trong việc giải phương trình vi phân bac 2 và bậc 4 được trình bày cu thé và chỉ tiết trong tài liệu [7].
Phương pháp Runge-Kutta bac 2 Nếu nghiệm là một hàm liên tục và kha vi thì nó có thể được biếu diễn dưới dang khai triển chuỗi Taylor với giá trị xuất phat là yf = f(t;, 0,) như sau Yer =ytyAt oh peep TỦ | hh+ Oh"), (2.6) trong đó phan du O(h") được viết dưới dang phan du Peano, khoảng chia đều h = t;,¡ — ty. Do y,; là nghiệm của phương trình y' = f(f.) nên ta hoàn toàn có thể 13 xác đình các giá trì đao hàm bậc cao như sau tị = [(h vò: (2.