Tài liệu rút gọn Đại số tuyến tính - Hướng dẫn ôn tập (ĐH Mỏ Địa Chất)

Tuyển tập bài tập đại số tuyến tính: tóm tắt lý thuyết và bài tập từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp ôn thi môn phục vụ đào tạo và n

• Trường học: Trường Đại học Mỏ Địa chất
• Chuyên ngành: Đại số tuyến tính
• Đề tài: Đại số tuyến tính: Tóm tắt lý thuyết và bài tập
• Loại tài liệu: Tài liệu nội bộ
• Năm xuất bản: 2019-2020

Mục lục chi tiết

• MỤC LỤC
• 1. CHƯƠNG 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
• 1.1. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
• 2. VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
• 2.1. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
• 3. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
• 3.1. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
• 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH,
• 4.1. GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG
• 4.2. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
• 5. KHÔNG GIAN EUCLID, DẠNG SONG TUYẾN TÍNH,
• 5.1. VÀ DẠNG TOÀN PHƢƠNG
• 6. CHƢƠNG 2. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
• 7. KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Tóm tắt

I. Đại Số Tuyến Tính Tổng Quan Lý Thuyết Ứng Dụng Tuyệt Vời

Đại số tuyến tính là một nhánh quan trọng của toán học, nền tảng cho nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Nó nghiên cứu về vector, ma trận, hệ phương trình tuyến tính và các biến đổi tuyến tính. Sự hiểu biết sâu sắc về đại số tuyến tính mở ra cánh cửa cho việc giải quyết các bài toán phức tạp trong khoa học máy tính, vật lý, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác. Các khái niệm như không gian vector, trị riêng, vector riêng đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng mô hình và phân tích dữ liệu. Tài liệu này cung cấp một tóm tắt lý thuyết cô đọng, đi kèm với các bài tập thực hành giúp củng cố kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề. Đại số tuyến tính không chỉ là một môn học, mà còn là một công cụ mạnh mẽ để hiểu và thao tác với thế giới xung quanh. Theo tài liệu gốc từ Trường Đại học Mỏ Địa Chất, đại số tuyến tính bao gồm các chủ đề chính như ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vector, ánh xạ tuyến tính, giá trị riêng, vector riêng, không gian Euclid và dạng song tuyến tính.

1.1. Giới thiệu về Vector và Không Gian Vector Rn

Vector là một khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính, được sử dụng để biểu diễn các đại lượng có hướng và độ lớn. Vector không gian Rn là tập hợp các bộ số có n thành phần, thường được biểu diễn dưới dạng cột hoặc hàng. Các phép toán cơ bản trên vector bao gồm phép cộng vector và phép nhân vector với một số vô hướng. Không gian vector, mở rộng khái niệm vector, là một tập hợp các đối tượng tuân theo một số tiên đề nhất định, cho phép thực hiện các phép toán tuyến tính. Ví dụ, tập hợp các đa thức bậc n hoặc nhỏ hơn, cùng với các phép toán cộng và nhân thông thường, tạo thành một không gian vector. Theo Trường Đại học Mỏ Địa Chất, không gian vector là một tập hợp với hai phép toán: phép cộng hai phần tử và phép nhân một phần tử với một số thực (hoặc phức), tuân theo các tiên đề nhất định.

1.2. Ứng dụng của Ma Trận trong Giải Quyết Vấn Đề Thực Tế

Ma trận là một mảng hai chiều các số, được sử dụng rộng rãi trong đại số tuyến tính để biểu diễn và thao tác dữ liệu. Ứng dụng của ma trận rất đa dạng, từ giải hệ phương trình tuyến tính đến biểu diễn các phép biến đổi hình học và xử lý ảnh. Ma trận cũng đóng vai trò quan trọng trong các thuật toán máy học, chẳng hạn như phân tích thành phần chính (PCA) và phân tích giá trị suy biến (SVD). Ví dụ, trong đồ họa máy tính, ma trận được sử dụng để biểu diễn các phép quay, co giãn và tịnh tiến đối tượng 3D. Trường Đại học Mỏ Địa Chất nhấn mạnh vai trò của ma trận trong việc giải hệ phương trình tuyến tính và các bài toán liên quan đến không gian vector.

II. Thách Thức Giải Pháp Với Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính, thường xuất hiện trong nhiều bài toán khoa học và kỹ thuật. Việc giải hệ phương trình tuyến tính có thể gặp nhiều thách thức, đặc biệt khi số lượng phương trình và ẩn số lớn. Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính bao gồm phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Jordan và sử dụng ma trận nghịch đảo. Việc biện luận số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính cũng là một kỹ năng quan trọng, giúp xác định tính khả thi của bài toán. Bên cạnh đó, định thức của ma trận đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính khả nghịch của ma trận và giải hệ Cramer.

2.1. Phương Pháp Gauss và Gauss Jordan Hiệu Quả Nhất

Phương pháp Gauss và phương pháp Gauss-Jordan là hai thuật toán cơ bản để giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách biến đổi ma trận hệ số về dạng bậc thang. Phương pháp Gauss biến đổi ma trận về dạng bậc thang trên, trong khi phương pháp Gauss-Jordan tiếp tục biến đổi về dạng bậc thang rút gọn. Mặc dù cả hai phương pháp đều cho kết quả tương tự, phương pháp Gauss-Jordan thường được ưu tiên hơn vì nó trực tiếp cho nghiệm của hệ phương trình. Theo tài liệu, phương pháp Gauss-Jordan biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang rút gọn, từ đó suy ra nghiệm của hệ.

2.2. Định Thức và Ma Trận Nghịch Đảo Bí Quyết Giải Hệ PT Tuyến Tính

Định thức của một ma trận vuông là một số vô hướng đặc trưng cho ma trận đó, được sử dụng để xác định tính khả nghịch của ma trận. Một ma trận khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác không. Ma trận nghịch đảo là ma trận mà khi nhân với ma trận ban đầu sẽ cho ma trận đơn vị. Ma trận nghịch đảo có thể được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, đặc biệt là hệ Cramer. Tài liệu từ Trường Đại học Mỏ Địa Chất cung cấp công thức tính ma trận nghịch đảo dựa trên phần bù đại số và nhấn mạnh rằng nếu định thức của ma trận bằng 0, thì ma trận không khả nghịch.

III. Không Gian Vector Cơ Sở Số Chiều Bài Tập Thực Hành

Không gian vector là một khái niệm trừu tượng hơn so với vector không gian Rn, nhưng nó cho phép chúng ta mở rộng các khái niệm về vector và phép toán tuyến tính sang nhiều đối tượng khác nhau. Các khái niệm quan trọng trong không gian vector bao gồm cơ sở của không gian vector, chiều của không gian vector, không gian con, hệ sinh. Việc tìm cơ sở và chiều của một không gian vector là một bài toán thường gặp, đòi hỏi kỹ năng biến đổi ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính. Chuẩn hóa Gram-Schmidt là một thuật toán hữu ích để tìm một cơ sở trực giao cho một không gian vector.

3.1. Cách Tìm Cơ Sở và Xác Định Chiều của Không Gian Vector

Cơ sở của không gian vector là một tập hợp các vector độc lập tuyến tính sao cho mọi vector trong không gian đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong cơ sở. Chiều của không gian vector là số lượng vector trong cơ sở. Để tìm cơ sở và chiều của một không gian vector, ta thường biến đổi ma trận tọa độ của các vector về dạng bậc thang, sau đó xác định các vector độc lập tuyến tính. Theo tài liệu, cơ sở là hệ vector độc lập tuyến tính và là hệ sinh của không gian, và số vector trong cơ sở là số chiều của không gian.

3.2. Chuẩn Hóa Gram Schmidt Tạo Cơ Sở Trực Giao Dễ Dàng

Chuẩn hóa Gram-Schmidt là một thuật toán để chuyển đổi một cơ sở bất kỳ của một không gian vector thành một cơ sở trực giao hoặc trực chuẩn. Thuật toán này bắt đầu bằng cách chọn một vector bất kỳ từ cơ sở ban đầu, sau đó chuẩn hóa nó để có độ dài bằng 1. Sau đó, thuật toán lặp lại cho các vector còn lại, trừ đi hình chiếu của vector đó lên các vector đã chuẩn hóa trước đó, và chuẩn hóa vector kết quả. Kết quả là một cơ sở trực giao hoặc trực chuẩn. Thuật toán Gram-Schmidt đặc biệt hữu ích trong các ứng dụng liên quan đến tích vô hướng và phép chiếu.

IV. Ánh Xạ Tuyến Tính Khái Niệm Tính Chất và Ứng Dụng

Ánh xạ tuyến tính là một hàm số giữa hai không gian vector, bảo toàn các phép toán cộng vector và nhân vector với một số vô hướng. Các khái niệm quan trọng liên quan đến ánh xạ tuyến tính bao gồm hạt nhân của ánh xạ tuyến tính, ảnh của ánh xạ tuyến tính, ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính. Ánh xạ tuyến tính đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc của không gian vector và các phép biến đổi tuyến tính. Các giá trị riêng và vector riêng của một ma trận là những khái niệm quan trọng liên quan đến ánh xạ tuyến tính và được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng.

4.1. Hạt Nhân và Ảnh của Ánh Xạ Tuyến Tính Giải Thích Chi Tiết

Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính là tập hợp tất cả các vector trong không gian nguồn mà ánh xạ biến thành vector không trong không gian đích. Ảnh của ánh xạ tuyến tính là tập hợp tất cả các vector trong không gian đích mà có thể nhận được bằng cách áp dụng ánh xạ lên một vector nào đó trong không gian nguồn. Hạt nhân và ảnh là các không gian con của không gian nguồn và không gian đích, tương ứng. Nghiên cứu hạt nhân và ảnh giúp hiểu rõ hơn về tính chất của ánh xạ tuyến tính.

4.2. Ma Trận Biểu Diễn Ánh Xạ Tuyến Tính Hướng Dẫn Chi Tiết

Một ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bằng một ma trận tương ứng, được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính. Để tìm ma trận biểu diễn, ta chọn một cơ sở cho không gian nguồn và không gian đích, sau đó tìm ảnh của các vector cơ sở trong không gian nguồn và biểu diễn chúng dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector cơ sở trong không gian đích. Các hệ số của tổ hợp tuyến tính tạo thành các cột của ma trận biểu diễn. Ma trận biểu diễn cho phép chúng ta thực hiện các phép toán trên ánh xạ tuyến tính bằng cách sử dụng các phép toán trên ma trận.

V. Giá Trị Riêng Vector Riêng Phân Tích Ứng Dụng Thú Vị

Giá trị riêng và vector riêng là những khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính, đặc biệt là trong việc phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến ma trận và ánh xạ tuyến tính. Một vector riêng của một ma trận là một vector mà khi nhân với ma trận đó, kết quả chỉ là một phép nhân vô hướng của vector đó. Hệ số nhân này được gọi là giá trị riêng tương ứng. Việc tìm giá trị riêng và vector riêng có nhiều ứng dụng, chẳng hạn như trong phân tích dao động, xử lý tín hiệu và phân tích dữ liệu. Phân tích SVD là một kỹ thuật mạnh mẽ dựa trên giá trị riêng và vector riêng.

5.1. Cách Tìm Giá Trị Riêng và Vector Riêng Của Ma Trận

Để tìm giá trị riêng của một ma trận, ta giải phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0, trong đó A là ma trận, λ là giá trị riêng và I là ma trận đơn vị. Nghiệm của phương trình đặc trưng là các giá trị riêng. Sau khi tìm được giá trị riêng, ta có thể tìm vector riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình (A - λI)v = 0, trong đó v là vector riêng. Vector riêng là nghiệm không tầm thường của hệ phương trình này.

5.2. Ứng Dụng Phân Tích SVD Singular Value Decomposition

Phân tích SVD (Singular Value Decomposition) là một kỹ thuật phân tích ma trận mạnh mẽ, cho phép phân tích một ma trận thành ba ma trận con có cấu trúc đặc biệt. SVD có nhiều ứng dụng, chẳng hạn như trong giảm chiều dữ liệu, nén ảnh, hệ thống gợi ý và tìm kiếm thông tin. Giá trị suy biến (singular value) của ma trận cho biết mức độ quan trọng của các thành phần khác nhau, cho phép chúng ta loại bỏ các thành phần ít quan trọng và giảm chiều dữ liệu.

VI. Ứng Dụng Đại Số Tuyến Tính Từ Khoa Học Đến Kỹ Thuật

Đại số tuyến tính có vô số ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Trong khoa học máy tính, đại số tuyến tính được sử dụng trong đồ họa máy tính, xử lý ảnh, máy học và khai phá dữ liệu. Trong vật lý, đại số tuyến tính được sử dụng trong cơ học lượng tử, điện động lực học và lý thuyết tương đối. Trong kinh tế, đại số tuyến tính được sử dụng trong mô hình hóa kinh tế, phân tích rủi ro và tối ưu hóa. Việc nắm vững đại số tuyến tính là một lợi thế lớn cho bất kỳ ai muốn theo đuổi sự nghiệp trong các lĩnh vực này.

6.1. Đại Số Tuyến Tính Trong Xử Lý Ảnh và Thị Giác Máy Tính

Trong xử lý ảnh và thị giác máy tính, đại số tuyến tính được sử dụng để biểu diễn và thao tác với ảnh, thực hiện các phép biến đổi hình học, trích xuất các đặc trưng và nhận dạng đối tượng. Ví dụ, một ảnh có thể được biểu diễn dưới dạng một ma trận, trong đó mỗi phần tử đại diện cho giá trị màu của một pixel. Các phép biến đổi ảnh, chẳng hạn như xoay, co giãn và làm mờ, có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các phép toán ma trận.

6.2. Ứng Dụng Trong Machine Learning và Khai Phá Dữ Liệu

Trong machine learning và khai phá dữ liệu, đại số tuyến tính được sử dụng để biểu diễn và xử lý dữ liệu, xây dựng mô hình học máy và tối ưu hóa các tham số của mô hình. Ví dụ, các thuật toán như hồi quy tuyến tính, phân loại tuyến tính, phân tích thành phần chính (PCA) và phân tích giá trị suy biến (SVD) đều dựa trên các khái niệm và kỹ thuật của đại số tuyến tính.

Trích đoạn nội dung tài liệu

TRƢỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT BỘ MÔN TOÁN HƢỚNG DẪN ÔN TẬP ĐẠI SỐ Tài liệu lưu hành nội bộ, không được sao chép 2019-2020 2 MỤC LỤC CHƢƠNG 1. 7 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC. 14 VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH.

29 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ. KHÔNG GIAN VÉC TƠ. 48 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH,.

57 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG. 69 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ. KHÔNG GIAN EUCLID, DẠNG SONG TUYẾN TÍNH,. 81 VÀ DẠNG TOÀN PHƢƠNG.

SỐ PHỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT  Các dạng biểu diễn: + Dạng chính tắc: , trong đó a, b  R, là đơn vị ảo thỏa mãn. + Dạng hình học: Số phức được biểu diễn bởi véc tơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hoặc bởi điểm trong mặt phẳng. + Dạng lượng giác: , trong đó | | √ là Module, và ̂ là Argument.  Tập các số phức được ký hiệu là.

 Phép toán dạng chính tắc: ̅̅̅̅̅̅̅̅ (  Phép toán dạng lượng giác: nếu thì [ ] [ ]  Công thức Moivre:  Căn bậc n: Số phức có n căn bậc n như sau √ ( * ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1. Biểu diễn hình học số phức thỏa mãn | | ̅ Lời giải. Bất phương trình tương đương | | (√ ) { hoặc {. Miền của thỏa mãn giả thiết là miền gạch sọc có kể biên.

Tìm căn bậc 3 của số phức √ 5 Lời giải. Từ các đẳng thức √ ( ) √ ( ), ta có √ ( ) ( ) ( ( * ( *+ √ ( ( * ( *) ( * √ √ Do đó, có 3 căn bậc 3 như sau √ ( + √ ( * ̅̅̅̅ √ Ví dụ 1. Tìm căn bậc 2 của số phức. Giả sử căn bậc hai của có dạng.

Vậy có 2 căn bậc 2 là và ). Giải phương trình ̅. Phương trình trở thành { Từ (2), hoặc. Thế vào (1), ta có 6 { hoặc {.

Vậy phương trình có 3 nghiệm hoặc. Biểu diễn , theo và. Áp dụng công thức Moivre. Khai triển vế trái theo nhị thức Newton +.

So sánh với vế phải ta có {. Biểu diễn hình học các số phức thỏa mãn a) | |. Đưa về dạng lượng giác các số phức a) b) c) √ √ √ √ 1. Tìm phần thực, phần ảo, căn bậc 3, bậc 4 của các số phức a) √.

Tìm số phức z thỏa mãn: a) z  (2  i)  10 và z. 2 2 g) z  1 và z 2  z  3, với z có phần thực dương, phần ảo âm. Tìm căn bậc 2 của các số phức a) b) c) 1. Giải phương trình a) ( √ ) √ b) √ c).

Cho là các nghiệm của , tính. Chứng minh rằng , nếu. Chứng minh rằng ( * 1. Biểu diễn a) theo ; b) theo.

HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 1. a) Hình tròn tâm 0 bán kính 2, không kể biên. b) Hình tròn tâm I(1,0), bán kính R=1, có kể biên. c) Hình tròn tâm I(1,1), bán kính R=1, không kể biên.

9 d) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền bên trong đường tròn tâm I(0; -1) bán kính 2, và bên trên trục hoành, không kể biên. e) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hypebol có phương trình: 2 2  1  1  x-   y-   2    2  = 1. 2 2 f) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền nằm ngoài hình tròn tâm I(1/2,0) , bán kính R=1/2 , không kể biên. g) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền nằm bên phải 0y, không kể 0y.

k) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là Ellipse (E) có hai tiêu điểm (0, 4) ; (0, 4) , trục lớn bằng 10, trục nhỏ bằng 6.   a) 1=cos0 + i sin0; i  cos  isin ; 2  2(cos+isin) ; 2 2 3 3 3i  3(cos  isin ). 4 4 Số phức z1 có 3 căn bậc 3 sau đây: 1  17 2k 17 2k  k  6 cos( + )+isin( + ) , k  0,1, 2. 2 36 3 36 3  Số phức z1 có 4 căn bậc 4 sau đây : 1  17 k 17 k  k  8 cos( + )+isin( + ) , k  0,1, 2,3.

4374 4374 Số phức z 2 có 3 căn bậc 3 sau đây: 6 2  17 2k 17 2k  k   cos( + )+isin( + ) , k  0,1, 2. 9 3 3 36 3 36 3  Số phức z 2 có 4 căn bậc 4 sau đây: 2 17 k 17 k  k  4 cos( + )+isin( + ) , k  0,1, 2,3. a) z có 2 căn bậc hai là - 2 + i và 2 - i. b) z có 2 căn bậc hai là 1 – 2i và -1 + 2i.

c) z có 2 căn bậc hai là 1 + 3i và -1 – 3i. a) cos5x  cos5 x  10cos3 x sin 2 x  5cos x sin 4 x. sin 5x  5cos4 x sin x  10cos2 x sin 3 x  sin 5 x. 5tan x  10 tan 3 x  tan 5 x b) tan 5x .

1  10 tan 2 x  5tan 4 x 13 CHƢƠNG 2. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2. Ma trận và phép toán  Ma trận cỡ là một bảng số gồm hàng và cột: =( ,. + Nếu thì là ma trận vuông cấp.

+ Nếu thì là ma trận chữ nhật hàng, cột. + Ký hiệu là tập các ma trận cỡ và là tập các ma trận vuông cấp.  Một số ma trận cơ bản: + Ma trận cột là ma trận chỉ có 1 cột. + Ma trận hàng là ma trận chỉ có 1 hàng.

+ Ma trận không:. + Ma trận đường chéo: với. + Ma trận đơn vị cấp n: với và. + Ma trận tam giác trên: với.

+ Ma trận tam giác dưới: với + Ma trận bậc thang là ma trận có phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng dưới nằm phía bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên.  Phép toán ma trận: 14 + Phép cộng và trừ:. + Phép nhân với mộthằng số thực hoặc phức:. + Phép nhân ma trận với ma trận: , trong đó,.

+ Phép chuyển vị: [ ] trong đó.  Tính chất phép nhân ma trận với ma trận: Giả sử các phép nhân ma trận dưới đây là thực hiện được. Khi đó, + Phép nhân nói chung không giao hoán. + Phép nhân có tính kết hợp:.

+ Phép nhân có tính phân phối: + Nhân với ma trận đơn vị, ma trận không:. + Chuyển vị của tích: 2. Định thức  Nghịch thế: Trong hoán vị ( của { }, một nghịch thế là một cặp số mà số bên trái lớn hơn số bên phải. Số các nghịch thế của hoán vị ( được ký hiệu là  Định thức: Cho Định thức của A được cho bởi | | ∑ tổng ở trên lấy theo tất cả các hoán vị của { }.

 Định thức cấp 2, cấp 3: + Định thức cấp 2: 15 | |. + Định thức cấp 3: | |.  Định lý Laplace: Giả sử và là ma trận thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng i và cột j. Khi đó, được gọi là phần bù đại số của phần tử.

+ Khai triển định thức theo hàng i:. + Khai triển định thức theo cột j:  Tính chất định thức: + Định thức không đổi khi chuyển vị ma trận. + Đinh thức đổi dấu khi đổi chỗ 2 hàng (cột). + Định thức bằng 0 khi có 1 hàng (cột) bằng 0.

+ Định thức nhân thêm k khi nhân 1 hàng (cột) với k. + Định thức bằng 0 khi có 2 hàng (cột) giống nhau. + Định thức bằng 0 khi có 2 hàng (cột) tỉ lệ. + Có thể tách định thức thành tổng theo từng hàng (cột).

+ Định thức không đổi khi cộng 1 hàng (cột) với k lần hàng (cột) khác. + Định thức ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. + Định thức của tích bằng tích các định thức. 16  Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp: + Các phép biến đổi sơ cấp: đổi chỗ 2 hàng (cột); nhân 1 hàng (cột) với ; cộng k lần một hàng (cột) vào một hàng (cột) khác.

+ Nguyên tắc tính định thức: Dùng các phép biến đối sơ cấp đưa ma trận đã cho về ma trận tam giác. Ma trận nghịch đảo  Định nghĩa: Cho. Nếu tồn tại sao cho thì được gọi là nghịch đảo của , ký hiệu: Khi đó, còn được gọi là ma trận khả nghịch hay khả đảo. + Nếu (tức suy biến) thì không khả nghịch.

+ Nếu (tức không suy biến) thì khả nghịch và có duy nhất một ma trận nghịch đảo là ới  Tính chất: 2. Hạng ma trận  Khái niệm: Cho. + Định thức của 1 ma trận con vuông (gồm các phần tử giao trên k hàng và k cột của , với { }) được gọi là 1 định thức con của ma trận A. + Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của A được gọi là hạng của , ký hiệu.

+ Nếu thì khi và chỉ khi.  Phương pháp tìm hạng: Biến đối sơ cấp ma trận về ma trận bậc thang. Khi đó, số hàng khác không của ma trận bậc thang đúng bằng. Hệ phƣơng trình tuyến tính  Hệ phương trình tuyến tính là hệ gồm phương trình và ẩn {.

 Hệ Cramer: + Hệ là hệ Cramer nếu vuông, không suy biến và B là véc tơ cột. + Hệ Cramer có duy nhất nghiệm. Hơn nữa, nếu là ma trận thu được từ khi thay cột bởi cột thì ̅̅̅̅̅ 18 + Phương pháp Gauss - Jordan giải hệ Cramer: Biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận hệ số mở rộng ̅ | về dạng |. Khi đó, nghiệm của hệ là + Hệ quả (phương pháp Gauss - Jordan tìm ma trận nghịch đảo): Nếu khả nghịch thì ta có thể biến đổi sơ cấp trên hàng ma trận | về dạng |.

 Hệ tổng quát: + Phương pháp Gauss giải hệ tổng quát: Biến đối sơ cấp ma trận ̅ | về dạng | sao cho là ma trận bậc thang, ta được hệ phương trình tương đương. Giải hệ mới từ dưới lên trên. + Biện luận số nghiệm của (I). Nếu ̅ thì hệ có duy nhất nghiệm.

Nếu ̅ thì hệ có vô số nghiệm.