Đặc Sản Toán Học và Tuổi Trẻ Số 8: Tuyển Tập Bài Giải Chọn Lọc

Đặc sản Toán học & Tuổi trẻ số 8: Khám phá những bài toán chọn lọc, độc đáo, khơi gợi đam mê toán học. Dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên.

• Người hướng dẫn: PTS. Nguyễn Văn Hữu
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Giải Bài Tập Hay
• Loại tài liệu: Tạp chí
• Năm xuất bản: 2013

Mục lục chi tiết

• I. MUOI CHU SO
• T. RUT GQN PHAN SO. PHAN SO TOI GIAN
• SO SAXH PHAN SO
• CAC PIIEP T'NH VE PHAN SO
• GrA TRI NHO NHAr, GrA rR.iN so
• *fni dU 6. Cho ddy cac sa viOt theo quv
• Bai tQp Co bdn
• TAr NlrA TRANG (1$ - L4,lg,l20t3)
• Bdi tQp Ndng cao
• NGUYEN THANH TOAN (Gy rHCS VA Vdn, VA Thd, Th6iBinh)
• BAI TAP
• TOAN HOf VUI
• rOX c1 6 0 cstl r * M r, E I
• DAN QUrNH SO NAO TRONG HiXU TRON ?
• OE TTTT TUYNN SINH LOP 10 THPT TP. HA NOI NAM HQC 2013-2014
• Bni I.
• Bni IIII.
• Bni IV.
• Grdr rrrrftu BAr rrrim rna Prsa

Tóm tắt

I. Khám phá Đặc Sản Toán Học Tuổi Trẻ số 8 Tổng hợp

Chuyên mục 'Đặc Sản' của Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ (THTH) từ lâu đã trở thành một nguồn tài liệu quý giá cho học sinh và giáo viên yêu toán. Số 8 tiếp tục truyền thống này bằng việc giới thiệu một tuyển tập bài toán hay, đa dạng về thể loại và có độ khó cao. Nội dung chính của số này không chỉ dừng lại ở việc đưa ra đề bài, mà còn cung cấp lời giải chi tiết THTH, đi kèm với những bình luận sâu sắc về phương pháp và ý tưởng. Các bài toán được lựa chọn kỹ lưỡng, bao gồm nhiều lĩnh vực cốt lõi như Số học, Hình học phẳng, Đại số và các bài toán phương trình, hệ phương trình. Mỗi bài toán đều là một thử thách trí tuệ, đòi hỏi người đọc phải vận dụng kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo. Điểm nhấn của số này là cách trình bày logic, từ việc phân tích các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa đến việc phát triển thành những bài tập nâng cao, giúp người học xây dựng một tư duy giải toán có hệ thống. Ấn phẩm này không chỉ là một tài liệu tham khảo để tìm đáp án Toán Học và Tuổi Trẻ, mà còn là một công cụ hiệu quả để rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, một yếu tố quan trọng trong việc luyện thi học sinh giỏi toán và các kỳ thi quan trọng khác.

1.1. Giới thiệu giá trị của chuyên mục Đặc Sản THTH

Chuyên mục Đặc Sản THTH không đơn thuần là nơi đăng tải các bài toán khó. Giá trị cốt lõi của chuyên mục nằm ở việc tuyển chọn những bài toán chọn lọc có khả năng khơi gợi tư duy sáng tạo. Các bài toán này thường có vẻ ngoài đơn giản nhưng lại ẩn chứa những ý tưởng toán học sâu sắc, buộc người giải phải nhìn nhận vấn đề từ nhiều góc độ. Chuyên mục này đóng vai trò như một cầu nối giữa toán học phổ thông và toán học cao cấp, giúp học sinh làm quen với các phương pháp chứng minh và lập luận chặt chẽ. Hơn nữa, việc theo dõi và giải các bài toán trong chuyên mục này giúp học sinh cập nhật các xu hướng ra đề thi và các kỹ thuật giải toán mới, tạo ra lợi thế cạnh tranh lớn.

1.2. Các dạng toán đặc sắc được đề cập trong số 8

Số 8 của THTH bao quát nhiều các dạng toán đặc sắc và quan trọng. Nổi bật là mảng kiến thức về Phân số, với các ví dụ chi tiết về chứng minh phân số tối giản và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tài liệu gốc trình bày rõ: 'Để chứng minh một phân số tối giản, ta chứng minh tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1'. Bên cạnh đó, phần Hình học gây ấn tượng mạnh với phương pháp khai thác một bài toán gốc từ Sách giáo khoa Hình học lớp 9, phát triển thành một chuỗi các bài toán mới phức tạp hơn. Các chuyên đề về giải phương trình, hệ phương trình chứa căn thức cũng được trình bày bài bản với nhiều phương pháp như nhân liên hợp, đặt ẩn phụ, giúp người đọc hệ thống hóa kiến thức hiệu quả.

II. Thách thức thường gặp khi giải bài tập Đặc Sản THTH

Việc chinh phục các bài toán trong 'Đặc Sản' THTH số 8 không phải là một nhiệm vụ dễ dàng. Thách thức lớn nhất đến từ độ phức tạp và tính độc đáo của các vấn đề được đặt ra. Các bài toán này không chỉ kiểm tra kiến thức nền tảng mà còn yêu cầu khả năng tư duy trừu tượng và kỹ năng biến đổi linh hoạt. Nhiều bài tập nâng cao đòi hỏi người giải phải nhận ra các 'mấu chốt' ẩn giấu, thường là một bất đẳng thức quen thuộc, một tính chất hình học đặc biệt, hoặc một cách đặt ẩn phụ thông minh. Việc không nhận ra những gợi ý này có thể dẫn đến lời giải dài dòng, phức tạp hoặc thậm chí là bế tắc. Một khó khăn khác là áp lực về mặt thời gian và tâm lý. Các bài toán này thường không có một 'công thức' giải sẵn, khiến học sinh dễ nản lòng. Việc phân tích bài toán khó đòi hỏi sự kiên nhẫn và phương pháp tiếp cận có hệ thống. Học sinh cần phải thử nhiều hướng đi, phân tích các giả thiết, và kết nối các dữ kiện một cách logic. Thiếu một trong những kỹ năng này sẽ là rào cản lớn khi tiếp cận với kho tàng kiến thức của tạp chí toán học và tuổi trẻ.

2.1. Phân tích bài toán khó và yêu cầu tư duy đa chiều

Điểm khác biệt của các bài toán trong 'Đặc Sản' là chúng hiếm khi được giải quyết bằng một phương pháp đơn lẻ. Thay vào đó, chúng là sự kết hợp của nhiều ý tưởng và kiến thức từ các phân môn khác nhau. Ví dụ, một bài toán về phương trình chứa căn có thể đòi hỏi cả kỹ năng biến đổi đại số, kỹ năng sử dụng bất đẳng thức (như Cauchy-Schwarz) để đánh giá, và cả kỹ năng sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Việc phân tích bài toán khó do đó yêu cầu một tư duy đa chiều, không bị giới hạn trong một lĩnh vực cụ thể. Người giải phải có khả năng 'dịch' bài toán từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác để tìm ra cách tiếp cận hiệu quả nhất.

2.2. Các lỗi sai phổ biến khi tiếp cận bài tập nâng cao

Khi đối mặt với bài tập nâng cao, một số lỗi sai phổ biến thường xuất hiện. Lỗi đầu tiên là ngộ nhận điều kiện hoặc áp dụng định lý một cách máy móc mà không kiểm tra các giả thiết cần thiết. Ví dụ, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số chưa chứng minh là không âm. Lỗi thứ hai là biến đổi quá phức tạp, làm mất đi cấu trúc đẹp của bài toán. Thay vì tìm kiếm một lời giải hay toán học, người giải có xu hướng 'cơ bắp hóa' bài toán bằng các phép tính cồng kềnh. Tài liệu gốc cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của việc khai thác các tính chất đặc biệt. Như trong bài toán hình học, việc nhận ra tam giác đều hay các góc bằng nhau là chìa khóa để có một lời giải ngắn gọn.

III. Hướng dẫn giải bài tập Phân số trong Đặc Sản THTH số 8

Chuyên đề về Phân số trong THTH số 8 cung cấp một cái nhìn toàn diện và sâu sắc, từ các khái niệm cơ bản đến các bài toán vận dụng cao. Nội dung trình bày một cách có hệ thống các phương pháp quan trọng, là nền tảng vững chắc để giải quyết các bài toán liên quan. Một trong những kỹ thuật trọng tâm là chứng minh tính tối giản của một phân số. Tài liệu đã đưa ra một hướng dẫn giải bài toán mẫu mực thông qua 'Ví dụ 1: Chứng minh rằng phân số (2n+1)/(4n²+1) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.' Phương pháp cốt lõi là sử dụng phản chứng, giả sử tồn tại một ước chung nguyên dương d > 1 của tử và mẫu, sau đó thông qua các phép biến đổi logic để suy ra mâu thuẫn. Ngoài ra, chuyên đề còn đi sâu vào kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức phân thức. Các ví dụ được lựa chọn không chỉ minh họa cho phương pháp mà còn giúp người đọc rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và đánh giá biểu thức, đây là những kỹ năng thiết yếu trong chương trình toán phổ thông và các kỳ thi chuyên.

3.1. Phương pháp chứng minh phân số tối giản hiệu quả

Để chứng minh một phân số là tối giản, phương pháp chính được giới thiệu là chứng minh ước chung lớn nhất của tử và mẫu bằng 1. Lời giải chi tiết THTH trong 'Ví dụ 2' cho bài toán 'Tìm các số nguyên n để phân số (2n+3)/(3n+7) là phân số tối giản' đã làm rõ điều này. Lời giải bắt đầu bằng việc giả sử d là ước chung của 2n+3 và 3n+7. Sau đó, thực hiện các phép biến đổi để khử n: 'Ta có 2n+3 ⋮ d và 3n+7 ⋮ d nên 3(2n+3) - 2(3n+7) ⋮ d'. Phép biến đổi này dẫn đến -5 ⋮ d, tức là d chỉ có thể là 1 hoặc 5. Để phân số là tối giản, ta cần d ≠ 5, tức là tử và mẫu không cùng chia hết cho 5. Từ đó tìm ra điều kiện của n. Đây là một phương pháp rất mạnh và tổng quát.

3.2. Kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của phân số

Việc tìm GTLN, GTNN của phân số được bình luận lời giải rất kỹ lưỡng. Kỹ thuật chung là biến đổi phân số về dạng có tử là hằng số hoặc tách phần nguyên. 'Ví dụ 4' yêu cầu tìm n nguyên để phân số A = (7-3n)/(n+1) có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Lời giải đã biến đổi A thành 'A = -3 + 10/(n+1)'. Từ đó, việc tìm cực trị của A quy về việc tìm cực trị của 10/(n+1). Để A lớn nhất, n+1 phải là số nguyên dương nhỏ nhất (n+1=1). Để A nhỏ nhất, n+1 phải là số nguyên âm lớn nhất (n+1=-1). Cách tiếp cận này đơn giản hóa bài toán một cách đáng kể và cho thấy tầm quan trọng của kỹ năng biến đổi đại số.

IV. Bí quyết khai thác và phát triển bài toán Hình học THTH

Phần Hình học trong THTH số 8 mang đến một phương pháp học tập cực kỳ hiệu quả: khai thác và phát triển một bài toán gốc. Thay vì giải quyết một bài toán duy nhất, tác giả Nguyễn Thanh Toàn đã xuất phát từ một 'Bài toán gốc' trong SGK Toán 9 Tập 2, trang 134, và từ đó xây dựng nên một hệ thống gồm 8 bài toán mới liên quan. Cách tiếp cận này không chỉ cung cấp lời giải hay toán học cho từng vấn đề cụ thể mà còn chỉ ra mối liên hệ sâu sắc giữa chúng. Quá trình này giúp người đọc hiểu được bản chất của vấn đề, cách các giả thiết tác động lẫn nhau và cách một ý tưởng nhỏ có thể được mở rộng thành một lý thuyết lớn hơn. 'Bài toán gốc' yêu cầu chứng minh các tính chất của tam giác đều ABC với các điểm D, E di động trên AB, AC sao cho góc DOE=60°. Từ các nhận xét sau mỗi lời giải, tác giả đã khéo léo đặt ra các câu hỏi mới, dẫn dắt người đọc khám phá các tính chất về đường tròn bàng tiếp, chu vi không đổi, và các tứ giác nội tiếp. Đây chính là tinh thần của việc học toán sáng tạo, một kỹ năng quan trọng để chinh phục các bài tập nâng cao.

4.1. Từ bài toán gốc đến các bài toán phát triển tư duy

Quá trình phát triển bài toán được thể hiện rõ qua từng bước. Sau khi giải quyết ý b của bài toán gốc (chứng minh ΔBOD ~ ΔOED), tác giả đưa ra 'Nhận xét 1' và từ đó hình thành 'Bài toán 1': 'Chứng minh rằng điểm O là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ADE'. Tương tự, từ kết quả chu vi tam giác ADE không đổi, 'Bài toán 3' được đặt ra: 'Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng nửa chu vi tam giác ABC'. Mỗi bài toán mới đều là một sự kế thừa và nâng cấp từ kết quả của bài toán trước đó, tạo thành một chuỗi logic chặt chẽ, giúp người học củng cố kiến thức một cách tự nhiên và sâu sắc.

4.2. Ứng dụng tính chất tiếp tuyến và tứ giác nội tiếp

Các lời giải chi tiết THTH trong chuỗi bài toán này vận dụng thành thạo các tính chất của tiếp tuyến và tứ giác nội tiếp. Ví dụ, trong 'Bài toán 4', để chứng minh tứ giác OKDP nội tiếp, lời giải đã dựa vào tính chất góc tạo bởi hai tiếp tuyến và các góc nội tiếp. Cụ thể, 'Nhận xét 4' chỉ ra: '...ta có ∠APQ = ∠DOE = 60°, suy ra tứ giác OKDP nội tiếp'. Việc nhận biết và sử dụng các tứ giác nội tiếp là chìa khóa để chứng minh các quan hệ vuông góc và đồng quy trong 'Bài toán 5'. Cách tiếp cận này cho thấy tầm quan trọng của việc nắm vững các định lý hình học cơ bản và khả năng áp dụng chúng một cách sáng tạo để giải quyết các vấn đề phức tạp.

V. Giá trị của Đặc Sản THTH số 8 trong luyện thi học sinh giỏi

Ấn phẩm THTH số 8, đặc biệt là chuyên mục 'Đặc Sản', là một tài liệu không thể thiếu trong quá trình luyện thi học sinh giỏi toán. Các bài toán được đưa ra có độ khó và cấu trúc tương tự như các đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố và thậm chí là cấp quốc gia. Việc thường xuyên rèn luyện với các dạng bài này giúp học sinh làm quen với áp lực, nâng cao tốc độ tư duy và hình thành phản xạ giải toán. Nội dung của tạp chí không chỉ cung cấp đề và đáp án THTH, mà quan trọng hơn là quá trình phân tích và bình luận lời giải. Các tác giả thường chỉ ra nhiều cách tiếp cận cho cùng một bài toán, so sánh ưu nhược điểm của từng phương pháp và nhấn mạnh những ý tưởng cốt lõi. Điều này giúp học sinh không chỉ biết cách giải một bài toán cụ thể mà còn học được phương pháp luận để giải quyết một lớp các bài toán tương tự. Hơn nữa, các bài toán trong THTH thường mang tính cập nhật, phản ánh các xu hướng mới trong toán học sơ cấp, giúp học sinh và giáo viên luôn bắt kịp với sự phát triển của lĩnh vực này.

5.1. Nâng cao kỹ năng giải toán cho các kỳ thi chuyên

Các kỳ thi chuyên và học sinh giỏi luôn đòi hỏi thí sinh phải có nền tảng kiến thức vững chắc và tư duy đột phá. Các bài toán chọn lọc trong THTH số 8 đáp ứng hoàn hảo yêu cầu này. Ví dụ, các bài toán về phương trình, hệ phương trình đòi hỏi kỹ năng biến đổi và đánh giá tinh tế, trong khi các bài toán hình học lại yêu cầu khả năng quan sát và vận dụng các định lý một cách thông minh. Việc giải quyết thành công những bài toán này giúp học sinh xây dựng sự tự tin và tích lũy kinh nghiệm quý báu, tạo nền tảng vững chắc để đạt kết quả cao trong các kỳ thi quan trọng.

5.2. Tìm kiếm đáp án và các lời giải hay toán học ở đâu

Để tận dụng tối đa giá trị của THTH, việc tìm kiếm đáp án Toán Học và Tuổi Trẻ cùng các lời giải tham khảo là rất quan trọng. Nguồn chính thống nhất là các số tạp chí tiếp theo, nơi ban biên tập thường đăng lời giải cho các bài toán ở số trước. Ngoài ra, các diễn đàn toán học uy tín như Diễn đàn Toán học (VMF), MathScope, hoặc các nhóm học tập trên mạng xã hội cũng là nơi quy tụ nhiều học sinh, sinh viên và giáo viên giỏi. Tại đây, mọi người cùng nhau thảo luận, đưa ra các lời giải hay toán học và phân tích sâu hơn về các bài toán. Việc tham gia vào các cộng đồng này không chỉ giúp tìm được đáp án mà còn mở rộng tư duy và học hỏi được nhiều phương pháp giải toán mới từ các thành viên khác.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Tru sd: 1878 Giing Vo. sd8 CIT Eien t&p: {04i 35121607; &T - Fax phathAnh, Tr"i srr: i04) 35121606 Hmail: [e-mail] Website: |rttp:llwww"nxbgd,vn/toanhoctuoitre .:: !, KHÔNG THAY THẾ CHO ĐS TH&TT TRUYỀN THỐNG ! I. MUOI CHU SO Tim mudi chfr s6 khfc nhau, chfi s6 n nhb nhdt vd a < b < c < d <,e., 1,,: , thtc sau ld ilirng oUr" d" = ghk*". Z;,'HE[ nnffiil VlEll Bl NCUYEN VAN HIEU (SO S0 Dudng Xudn 68 TP.

Hue, Thira ThiAn-Hu€) ? a Hinh 4 )(o 1,,1 ,, , \-l-l l1]:::l' ' E , ,.,,,PIIAM QuYUH gido dqtc Hd N|i) KHÔNG THAY THẾ CHO ĐS TH&TT TRUYỀN THỐNG ! T. RUT GQN PHAN SO. PHAN SO TOI GIAN *fni dq 2. Tim cdc so nguvOn n dd phan sd a 2n+3 o Phdn s6 li sO c6 dpng lu phan so toi gian.

-volavabla b 3n+ I t^ nhirng so nguyen. Gi6 su 2n + 3 vd 3n + 7 ctng chia LN. Mu6n rut ggn phin s6, ta chia ci ttr vd m6u hi5t cho s6 nguy6n duong d. cira phdn s6 cho cirng mQt u6c chung (trrh6c 1 Tac6 2n+3:.d vd 3n+7id n€n vd -l ).

d o PhAn sO tOi gi6n ld ph6n s6 md tu vd m6u = d e{ 1 ; 5 }. chi c6 u6c chung ld 1 vd -1. 2n+3 Neu phdn sO ^- rut ggn dugc thi tu vi. E6 chimg minh mQt phdn s6 tOi gthn, ta ' 3n+7 chimg minh tu vd m6u chi c6 udc chung m6u phAi chia hiit cho 5.

D6 tim s5 nguyen n sao cho -phdn so l(u)- o 2(n -l):. ld phdn sd t6i gian, ta ldm nhu sau: - Gi6 su A(n) vd B(n) d6u chia htit cho s6 Do d6 voi n+Sk+l(keZ\thi ohdn so -1 n+3 nguy6n ducrng d ' 3n+7 ld ph6n sO tOi giar,. SO SAXH PHAN SO - Tim n AC,l1n1vd B(n) chia ht5t cho d. D6 so s6nh hai phdn sd mi kh6ng quy d6ng - Phir dinh k6t qui tr6n, ta dugc c6c gi6 tri cira mAu cira chfng, ta thucrng dtng c6c c6ch sau: n d0 ph6n sO tOi gian.

- Quy d6ng tu (ntiu hai phdn s6 c6 th€ quy *rni dg l. Ch{rng minh rang phdn ,6 + d6ng tu d5 ddng): Trong hai phdn s6 c6 cing 4l+l tu, tu vdr mdu d6u ducrng, phdn s6 ndo c6 miu la phan : :. so toi gian voi moi so ttt nhien n. nh6 hon thi phdn sO dO lcrn hcrn.

Gi6 sri 2n + I vd 4n2 + 1 ctng chia - Dirng phdn s6 trung gian: Ph0n s6 trung gian h6tcho s5 nguydn duongd. ho6c ld mQt phin si5 Ta c6 2n+l:. J J suy ra 2n(2n+l)-(2n+l)i d>4n2 -lid. c6 1i6n quan d6n tu vd m6u cira hai phdn s5 cdn so s5nh.

Ta l4i c6 4n2+lid n€n (4n2+l)-(4n2-l)id - Dirng phAn bri dt5n don vi (n0u hai ph0n s6 >2i. cing nh6 hcrn 1): Phdn sd ndo c6 phin bt d6n don vinho hcrn thi phdn s6 d6 lOn hon. Do dld u6c cua s6rcZn + I n€n d*2. D6 so s6nh hai phdn s6, c6 trudng hqp ta )-+l Yiry d: l" nrc ld "'" ld nhdn s5 t6i sian.( cdn g6p cA hai phAn sO d6 16n ctng mQt sd 4i+1 lAn.

KHÔNG THAY THẾ CHO ĐS TH&TT TRUYỀN THỐNG ! *fni dg 3" &r .sanh t'ac phan sd 2ln-3 7(3n-l)+4 4 27 .17 3n-l 3n-l 3n-1 a) 50 96 ()0 2-l a) Al1nnfrAt tiri vi chi l*ti34 lon nh6t. n n+l 415+1 4lr+l ,4 C) 3A lon nhAt e lon nhAt e 3n-l lit 1tr3 n 12 4t' +l 4rl +[ 3n-l t^ s6 nguydn duong nh6 nhdt. 272s 14847 2747 ) - 's0s029696'"s096 Ybi 3n-1:1 thi n=i, khong ld s6 nguydn J L\ 4l_40_ I _2_l. "' 60- 60 ' 60 3 ' 60' 24 24' 24 3' 24' Yoi 3n*l: 2 thi n: 7, khi d6 l:3.

60 24 b)l nh6nhdt e 3l nh6nhet. n n+l 44 nho nhdt <; c) ^<^ (so s6nh hai phdn s6 ctng mdu) lon nhat n+J n+J 3n -l 7-3n n+l n+1 (so s6Lnh hai phdn s6 cirng tu, til o1-3n ld s6 nguyCn duong-nho nh6t. -]^< n+3 n+2- YOi 1-3n=l thl n: 0, khi d6 A: l. vi m6u d6u du<rng) Vfly min A: 1 tai n:0.

CAC PIIEP T'NH VE PHAN SO n+3 n+2. CAn ^l ! - cdc quy t6c c6ng, bri, nhdn, -<-. n6m virng d)' l:4rs+l +16A-417 +16 l5 chia phdn s6 vd thri t.u thgc hipn c6c ph6p tinh. +l 4t7 417 +l -r* 4t7 +l , o Khi tinh todn vdi cdc phdn s6 vi6t theo quy 412 +t 4ta +16 luat, c6n chri 1f d6n c6ch bi6n d6i sau: B= ' ' ')168:' ' '" -lr '" 15 414 +l 4ra +l 414 +l - Khi c6ng, trt ph0n s6, cA, tpo ra c6c phdn s5 doi nhau.a 15 15 " 417 +1 414 +l - Khi nhdn, chia phdn s6, cAn tqo ru c6c phdn Yqy A < B.17 s5 nghich d6o nhau, tuc li t1o ra o s,5 bi chia vd s5 chia nhirng thua s6 gi5ng nhau.

GrA TRI NHO NHAr, GrA rR.iN so '*rni o+ s. c'h,, A=]-++-,*-+-,- *t| Khi tim gi6 tri nh6 nhAt, gi6 tri lcrn nh6t cira -r -)- J J -1- phdn s6, cdn chri f d6n kiiin thtc sau: : .4r; ( hutrg tnirth t'urtg ,I. N6u mQt phAn sd c6 trl ld hing s6 ducrng thi phdn sO d6 lon nfr6t mri mdu ld s5 nguy6n Hrdng gidi. Tathay Jng 3A vit 4 c6 nhirng ,t , .: ducrng nh6 nh6t.

so h4ng giong nhau. Do d6 dC xudt hi6n c6c *f'nl tlg 4.so ngu"v,An n de phan so phdn s6 di5i nhau, tatinh 3A-A. t_- in*l Ldi gidi./ 3n-1 -: a) I o gra ln lrn nhal'.i tri ttlto ttltrit. \r -3s0 ) 3s0 I LN gi,rti.sfit*#$ TQfiN - cltudtw \wr KHÔNG THAY THẾ CHO ĐS TH&TT TRUYỀN THỐNG ! *fni dU 6.

Cho ddy cac sa viOt theo quv Huhng. Xdt s6 s6ch To6n, s5 s6ch Vdn, t6ng s6 s6ch hai loai trong hai trucrng t,,nt, t!. hqp lric d6u vd lfic sau, ta thdy chi c6 s6 s6ch Vdn ld kh6ng cl6i trong hai trudng hqp.t, v'ih ftp vao chi. ,s6 thu' ,sdu theo ta 16y n6 ldm don vi il6 so s6nh.v luat ctiu dd.

-r bang _ so ,J 9 LCt grut. ^t A b) Tim so rhir 50 cila ddv. 5o sacn I oan luc dau l' "20 c) L'hfutg trtinh rang tich cia 50 so ddu tien c:t.iu tli)' rtlto hon 3.: phdn phdn sd cta 5 s6 s6ch o ngin s6ch n6n bdng " -ll s6 sdch V[n. a) Vi6t dAu ti6n cua dly nhu ,uu l,:,:,tr,* * rU s6ch 6 ng[n nu, 56 s6ch To6n hic sau bing'18 410182840 22222 ^ bins ,r 7 a 1.8'' Phdn phdn s6 ti6p theo ld sdch n€n " -11 so s6ch Vdn.

56 s6ch To6n hic dAu nhi6u hon hic sau: ::3=+.9 54 27 V6y sO ttri s6u cira day ld 11. ' 27 071 ,IL, 11 l1 *1l (sd s6ch V[n) hay l2 cuon.: b) So thft 50 cria ddy so 15 1a---1-=1. c) Ggi Aldtichcua 50 s6 eiu ti6n cua diy.1 ' S5 s6ch To6n hic ddu c6 66.-=-r Bdi tQp Co bdn 4 10 18 2650 1. Rut gon c6c bi6u thric (bing c6ch nhanh 2.26 \" BAI TOAN \'E PHAN SO a)' _: b)' _.

So s6nh c6c phdn s6 md kh6ng quy d6ng b m6u hoflc tu a i,r a 14 17 n n+l o cna m6t s6 bdng A thi s6 d6 bdng A:-. -beQb a)' -vd-, 41 54 b)- -va:-(neN). ivl6t ngdn sach t:ia rhu, r,i€n 44 5 8 gim hai loai sach Todn vd Vdn. Ltic diu, sr) 4.

KhOi 6 cira mQt truong c6 ba lop 6A,68,6C.9 ,sat'lt Toarr bartg * sd sach cila ngdn. Suu 56 hgc sinh 6,{ aine I "l0 '15 sO hoc sinh cd kh6i khi thu vi€n cho tntro'n l2 cudn sach Todn thi ! ., ,: 7 , SO hec sinh 68 Uirg * s5 hqc sinh 6,{.snt'lt -, loun tt rrgtitt tich hdnX so sach 4 U sinh 6C nhi6u hon sO hoc sinh 68 ld 8 ngudi. ('ttu ng(in.stit'h |'outt t'i lilt dutr. Tinh s6 hqc sinh cta mdi lcrp.

13 T0f,N HQC lri*re**o*r.*oaflro - Glfu,$ika KHÔNG THAY THẾ CHO ĐS TH&TT TRUYỀN THỐNG ! TAr NlrA TRANG (1$ - L4,lg,l20t3) plai h6i Todn hqc ViQt Nam ld HOi nghi quan Th6ng tin, TP.Nha Trang (Kh6nh Hod) -EJ7s6n hgc toirn qudc 16n nh6t cira c6ng do HQi To6n hgc ViQt Nam, ViQn Nghi6n cuu d6ng to6n hgc ViQt Nam. EAy la dip tl6 c6c I t''. Cao cdp ve To6n, ViQn To6n hgc vd Trucrng nhd nghiCn cuu, img dirng vd giing d4y to6n ST quan Thdng tin ph6i hqp t6 chric. Chuong tr6n cA nu6c trinh bdy nhirng k6t quA khoa trinh trgng di6m Qu6c giaphfittri6n To6n hgc hgc cua minh trong vong 5 n[m gAn ddy.

Ddy vd Vi6n Khoa hgc vd C6ng nghQ ViQt Nam li cfrng ld noi.dO cQng d6ng.to6n hoc trao d6i, hai don vi tdi tro chinh cho Eai hOi lAn ndy.nhirng vAn d6 thgi rU cdp thi6t trong ph6t tri6n to6n hgc cua ddt nu6c. Chucrng trinh cira Dai hQi To6n hgc ViQt Nam ldn tht VIII sE bao g6m cdc b6o c6o mdi Theo truydn thdng, Dai hQi sE clugc chia phiOn todn th6 oia cdc nhd to6n hgc: Philng thdnh 8 Ti6u ban: HO Hdi, Dinh Nho Hdo (YrQn To6n hqc, ViQn Dai s6 - Hinh hoc - T6 p0; Gi6i tich to6n hgc; KH&CNVi0I Nam), Phan Qudc Khanh (DH Phucrng trinh .vi phAn vd Phuong trinh dao Qu6c TC - DHQG TP H6 Chi Minh), Trdn Vil hdm ri6ng; T6i, uu vi Tinh to6n khoa hoc; Khanh (DH Tdn Tpo) vi Phqm Hrru TiQp (DH X6c sudt vi Th6ng k0 to6n hgc; To6n rdi rac Arizona); d6ng thdi m5i ti6u ban sE c6 6 b6o vd Co so to6n trong Tin hgc; {-Ing dung to6n c5o mdi. hqc; Gi6ng d4y vd Lich sri To6n hoc. NhAn dip ndy, D4i hQi Torin hqc ViQt Nam sE Dai hQi To6n hoc ViQt Nam lAn thri VIII duoc t6 chric m6t bu6i Dai hoi dpi bitiu Hoi Torin diSn ra tu ngdy lO- l4l8l2\13 tai Truong ST hoc Vi6t Nam.

PV Bdi tQp Ndng cao 821 r.- ,2n-7 khi nhAn n6 voi -1sho[c 36 - thi c5c k6t qud 5. Tim so lA ^ 3n+2 d6u ld c6c sO t. Tim sd nguydn r d6 phdn s6 ill-L 8j;l ' 2n-l 6. So s5nh c5c phdn 15 8e + ?7 ,e H 8r0 _1 a) C6 gi6 tri lon nhdq b) C6 gi6trinho nh6t.

Hai m6y ciry ldm vi6c tr6n mOt c6nh cl6ng. A ,, ndu cd hai m6y cung.cdy thi 10 gid xong c6ng (t z 3 rB re\fr rr r r\ vi6c.t6 hai m6y chi cirng ldm b)'\19 I -+-+-+. 18t7 2l)\234 t9n) vi6c trong 7 gio ddu, sau tt6 m6y thri *rat ei cdy noi kh6c nOn m6y thri hai pha.i ldm ti6p 9 gicr 8. chirng minh ring + i 1+ 246 8 3.1 80 9 nfra m6i xong c6ng viqc.

Hoi n6u m5y thri hai ldm vi6c m6t minh thi trong bao lAu ciry xong 9. Tim s6 nguy6n duong a nh6 nh6t, biet ring c6nh tl6ng? -ctrudiibe T$frN HQ( &{*o.fus&?&8 Sfl KHÔNG THAY THẾ CHO ĐS TH&TT TRUYỀN THỐNG ! ,i". 'i, ,t, N E* sAfH ErArr_:KHCIA ^!' JIJ*MSf.