phần mở đầu của luận văn, hệ thống biểu đạt cho phép xác định, biểu diễn một đối tượng toán học và giải một bài toán toán học. Tuy nhiên mỗi hệ thống biểu đạt có ưu thế riêng trong việc khai thác một tính chất toán học nhất định, từ đó cung cấp một kỹ thuật tốt để giải một bài toán toán học. Với đối tượng là hàm số, có ít nhất 4 hệ thống biểu đạt sau: hệ thống biểu đạt đại số (biểu đạt bằng biểu thức giải tích hay công thức), hệ thống biểu đạt hình học (biểu thị hàm số bằng đồ thị, biểu đồ), hệ thống biểu đạt bằng lời và hệ thống biểu đạt số (biểu thị hàm số bằng bảng số). Tham khảo trong Trần Lương Công Khanh (2006) chúng tôi nhận thấy hệ thống biểu đạt dữ liệu tổng quát hơn hệ thống biểu đạt số, tác giải đã đưa ra ví dụ sau: 9 “Cho hàm số f xác định, có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như sau: 𝑥 −∞ 0 2 +∞ 2 3 𝑓(𝑥) -1 1 x Ta định nghĩa hàm số F xác định trên R bởi F(x) = f (t )dt.
Khảo sát sự biến 0 thiên của hàm số F trên R.” Bài toán trên sử dụng một ý tưởng trong tuyển tập các bài toán ôn thi tú tài do nhóm thanh tra chuyên môn của Bộ Giáo dục quốc gia Pháp phát hành năm 2004. Nó là dạng toán không quen thuộc đối với học sinh lớp 12 Pháp bởi hai điểm: hàm số dưới dấu tích phân được cho bằng bảng biến thiên và hàm số cần khảo sát sự biến thiên là một tích phân phụ thuộc cận trên. Đưa loại bài tập này vào tuyển tập các bài toán ôn thi tú tài, nhóm tác giả mong muốn nó sẽ trở thành dạng toán quen thuộc đối với học sinh lớp 12 Pháp. “Theo chương trình lớp 10 hiện hành ở Pháp, một hàm số có thể được “xác định bằng đồ thị, bằng bảng dữ liệu hoặc bằng công thức”.
Vì chương trình không quy định về bản chất của dữ liệu được cho trong bảng nên bảng biến thiên là có thể chấp nhận được. Như vậy, việc xác định một hàm số bằng bảng biến thiên1 là hợp thức đối với chương trình trung học phổ thông ở Pháp. Ngược lại, bảng dữ liệu nói chung và bảng biến thiên nói riêng không được sử dụng để xác định một hàm số ở chương trình trung học phổ thông Việt Nam. Bài toán 1 nói trên không những không quen thuộc mà còn phá vỡ hợp đồng sư phạm về khảo sát hàm số ở Việt Nam.”(Trần Lương Công Khanh, Tài liệu đã dẫn) Tuy nhiên, khảo sát trong các đề thi tốt nghiệp THPT 2017, 2018 và 2019, chúng tôi nhận thấy sự tồn tại của hàm số cho bằng bảng biến thiên.
Vì vậy, trong luận văn 1 Về mặt toán học, một bảng biến thiên không xác định một hàm số duy nhất mà xác định một lớp hàm số. 10 này chúng tôi sử dụng hệ thống biểu đạt dữ liệu (cụ thể là bảng biến thiên) thay cho hệ thống biểu đạt số khi nghiên cứu. Mỗi hệ thống biểu đạt có một vai trò nhất định. Tham khảo trong Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012), Trần Lương Công Khanh (2018) và Trần Trường Sinh (2012) chúng tôi tổng kết vai trò của các hệ thống biểu đạt theo bảng.
Vai trò của các hệ thống biểu đạt Các hệ thống Tầm quan trọng biểu đạt hàm số Hệ thống biểu đạt - Biểu đạt cô động và chính xác mối tương quan hàm; đại số (công thức) - Chỉ rõ các phép tính phải thực hiện với biến 𝑥 để tìm 𝑦(𝑥); - Tính toán, biến đổi trên biểu thức giải tích để chỉ ra các tính chất của hàm số một cách chặt chẽ, logic. Đặc biệt là dùng công cụ của giải tích để nghiên cứu các tính chất này. Hệ thống biểu đạt - Xác định nhanh chóng một số tính chất của hàm số: sự đồng hình học (đồ thị) biến hay nghịch biến; liên tục hay gián đoạn; cực trị hàm số; GTLN và GTNN;… - Xác định được sự tương giao giữa đồ thị các hàm số. Hệ thống biểu đạt Có một số hàm, hệ thống biểu đạt đại số, hình học và số không bằng lời thể biểu đạt được, khi đó hệ thống biểu đạt bằng lời là sự lựa chọn tối ưu.
Hệ thống biểu đạt Bảng biến thiên là công cụ quan trọng giúp các tính chất và dữ liệu quan hệ giải tích của hàm số được “dịch chuyển” sang ngôn (bảng biến thiên) ngữ hình học dễ dàng hơn. Dù không thể hiện chính xác đồ thị hàm số những bảng biến thiên cung cấp một số thông tin chính xác về hàm số: sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… Hệ thống biểu đạt Từ bảng có thể tra ngay giá trị hàm. Là công cụ tiện lợi để ghi số lại kết quả của các nghiên cứu thực nghiệm các quá trình, hiện (bảng số liệu) tượng biến thiên. 11 Qua bảng trên, chúng tôi nhận thấy mỗi một hệ thống biểu đạt có vai trò và tầm quan trọng nhất định.
Một hàm số có thể có nhiều hệ thống biểu đạt, tuy nhiên mỗi hệ thống biểu đạt sẽ là tối ưu đối với các trường hợp khác nhau. Cực trị hàm số ở lớp 10 và lớp 11 Qua việc phân tích sách Đại số 10 và tổng hợp những phân tích của tác giả Nguyễn Hồng Tú (2012) chúng tôi nhận thấy: Định nghĩa “Cực trị hàm số” không được đề cập trong sách Đại số 10 ở cả hai chương trình chuẩn và nâng cao. Trong bài “Hàm số bậc hai”, chúng tôi bắt gặp khái niệm đỉnh của Parabol. Trong phần Sự biến thiên của hàm số bậc hai, SGK10N đưa ra hai bảng biến thiên (SGK10N, tr.57) −𝑏 Từ bảng biến thiên, chúng tôi nhận thấy khi đi qua điểm 𝑥 = , đồ thị hàm số 2𝑎 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) đổi chiều chuyển động, sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao khẳng định: −b “Khi a > 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; ), đồng biến trên khoảng 2a −b −∆ −b ( ; +∞) và có giá trị nhỏ nhất là khi x =.
2a 4a 2a −b Khi a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; ), nghịch biến trên khoảng 2a −b −∆ −b ( ; +∞) và có giá trị lớn nhất là khi x = .57) Như vậy, đỉnh của Parabol được hiểu chính là GTLN của hàm số (a < 0) hoặc GTNN của hàm số (a > 0). Nghiên cứu SGK10C, chúng tôi nhận thấy không xuất hiện các 12 thuật ngữ “Giá trị lớn nhất” và “Giá trị nhỏ nhất” mà chỉ ngầm ẩn thông qua khái niệm đỉnh của Parabol. Bên cạnh đó, trong SGK10N và SGK10C, chúng tôi thấy sự xuất hiện của thuật ngữ cực trị của biểu thức trong bài đọc thêm “Một phương pháp tìm cực trị của biểu thức trên một miền đa giác lồi” ở SGK10N và bài đọc thêm “Phương pháp tìm cực trị của biểu thức trên một miền đa giác” ở SGK10C. Tuy nhiên, thuật ngữ này được hiểu theo nghĩa “Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất” “Tuy nhiên, trong nội dung các bài đọc thêm này chỉ nói đến GTLN, GTNN của biểu thức và không đề cập đến thuật ngữ cực trị của biểu thức nữa.
Chúng tôi cho rằng các tác giả viết SGK đã đề cập đến thuật ngữ cực trị theo nghĩa thông thường, tức là GTLN và GTNN.” (Nguyễn Hồng Tú, 2012, tr.69) Xét trong sách giáo khoa Vật lý 10, chúng tôi cũng nhận thấy sự xuất hiện của các khái niệm như: quãng đường xa nhất, độ cao cực đại, độ cao lớn nhất, động năng cực đại,…. ở đây, thuật ngữ cực đại được hiểu theo nghĩa. Nguyễn Hồng Tú (2012) nhận xét: “Thuật ngữ cực đại ở đây được hiểu theo ngôn ngữ thông thường, tức là GTLN. Ngoài ra chúng tôi còn phát hiện những thuật ngữ khác như động năng cực đại, thế năng đàn hồi cực đại, vận tốc cực đại đề mang nghĩa thông thường là GTLN.
Còn xét trong sách giáo khoa Vật lý 10, chúng tôi cũng phát hiện ra thuật ngữ cực đại trong các khái niệm như: lực ma sát nghỉ cực đại, động năng cực đại,… mà chúng đều được hiểu theo ngôn ngữ thông thường là GTLN.” (Nguyễn Hồng Tú, 2012, tr.68 – 69) Về các hệ thống biểu đạt hàm số, trước tiên chúng tôi nhận thấy công cụ tìm GTLN-GTNN ở lớp 10 là: đồ thị, bảng biến thiên, bất đẳng thức, thuật toán tìm GTLN-GTNN của một biểu thức bậc nhất hai biến trên một miền đa giác lồi2. Như vậy, đồ thị hàm số và bảng biến thiên là một trong những công cụ tìm GTLN-GTNN hàm số. Nói cách khác, hàm số có thể được cho bằng một biểu diễn đồ thị hoặc bảng 2 Xem (Nguyễn Hồng Tú, 2012, Phụ lục 4). 13 biến thiên để tìm GTLN-GTNN.
Tuy nhiên chúng tôi không tìm được hai cách cho hàm số này trong sách Đại số 10 ở cả chương trình chuẩn và chương trình nâng cao. Tất cả hàm số đều được cho bằng công thức. Ở lớp 11, các thuật ngữ GTLN-GTNN tiếp tục được đề cập trong cả hai chương trình chuẩn và nâng cao với công cụ là bất đẳng thức và tập giá trị 3. Như vậy công cụ đồ thị và bảng biến thiên không được sử dụng để tìm GTLN-GTNN hàm số ở lớp 11.
Các hàm số trong các bài tập liên quan đến tìm GTLN-GTNN đều được cho bằng công thức một cách tường minh. Tóm lại, chúng tôi nhận thấy: - Ở lớp 10, định nghĩa cực trị hàm số không được đề cập đến, thuật ngữ cực trị được hiểu theo nghĩa thông thường là GTLN và GTNN, cực đại là GTLN. HTBĐ hàm số trong các bài toán tìm GTLN-GTNN là HTBĐ ĐS. - Ở lớp 11, thuật ngữ cực trị không xuất hiện.
Thuật ngữ GTLN-GTNN tiếp tục xuất hiện. HTBĐ hàm số trong các bài toán tìm GTLN-GTNN ở lớp 11 là HTBĐ ĐS. Cực trị hàm số với các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số trong các câu hỏi tự luận của sách Giải tích 12 Cực trị hàm số được giảng dạy chính thức trong ở lớp 12, trong chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, đạo hàm là một công cụ quan trọng để xét cực trị của hàm số. Trong “Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán” năm 2018 do Bộ Giáo dục & Đào tạo ban hành, yêu cầu cần đạt về cực trị : “Nhận biết được tính đơn điệu, điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.