Tổng quan nghiên cứu

Cực trị hàm số là một khái niệm trọng tâm trong chương trình Toán trung học phổ thông, đặc biệt ở lớp 12, với vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy giải tích và ứng dụng thực tiễn. Theo báo cáo của ngành giáo dục, các nhiệm vụ liên quan đến cực trị hàm số luôn xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT và đại học, phản ánh tầm quan trọng của nội dung này trong đánh giá năng lực học sinh. Nghiên cứu tập trung vào việc phân tích các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số trong việc xác định cực trị, bao gồm biểu thức đại số, đồ thị, bảng biến thiên và bảng số liệu, nhằm làm rõ vai trò và ưu tiên sử dụng từng hệ thống trong sách giáo khoa và đề thi chính thức từ năm 2017 đến 2019 tại Việt Nam.

Mục tiêu cụ thể của luận văn là: (1) xác định các hệ thống biểu đạt hàm số được sử dụng trong các tổ chức toán học liên quan đến cực trị trong sách giáo khoa Giải tích 12; (2) phân tích sự tiến triển của các hệ thống biểu đạt trong đề thi tốt nghiệp THPT giai đoạn 2017-2019; (3) đánh giá khả năng hiểu và vận dụng các hệ thống biểu đạt của học sinh trong bối cảnh thi trắc nghiệm khách quan. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào chương trình Toán lớp 12 tại các trường trung học phổ thông ở Việt Nam, với dữ liệu thu thập từ sách giáo khoa chuẩn và nâng cao, đề thi chính thức và minh họa của Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Nghiên cứu có ý nghĩa thiết thực trong việc nâng cao hiệu quả dạy học và đánh giá học sinh, đồng thời góp phần hoàn thiện chương trình và tài liệu giảng dạy Toán phổ thông, đặc biệt trong bối cảnh đổi mới hình thức thi trắc nghiệm khách quan. Việc làm rõ vai trò của từng hệ thống biểu đạt giúp giáo viên lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp, hỗ trợ học sinh phát triển kỹ năng giải toán đa dạng và toàn diện.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên ba lý thuyết chính trong didactic Toán học:

  • Thuyết nhân học: Phân tích thể chế dạy học lớp 12, bao gồm chương trình, sách giáo khoa, đề thi và thực tiễn giảng dạy, nhằm hiểu mối quan hệ giữa thể chế và tri thức cực trị hàm số. Quan điểm praxeology của Chevallard (1998) được áp dụng, trong đó một praxeology gồm bốn thành phần: kiểu nhiệm vụ (T), kỹ thuật (𝜏), công nghệ giải thích (𝜃) và lý thuyết giải thích (Θ).

  • Lý thuyết tình huống: Sử dụng khái niệm biến didactic để xây dựng các tình huống dạy học, từ đó phát triển các chiến lược giải toán khác nhau dựa trên các giá trị biến dạy học, nhằm mục tiêu nâng cao ý nghĩa tri thức cho học sinh.

  • Hệ thống biểu đạt: Theo định nghĩa của Trần Lương Công Khanh, hệ thống biểu đạt là tập hợp các ký hiệu, thuật ngữ và quy tắc xử lý để biểu diễn đối tượng toán học. Nghiên cứu phân loại các hệ thống biểu đạt hàm số thành: đại số (biểu thức giải tích), hình học (đồ thị), dữ liệu (bảng biến thiên, bảng số liệu) và bằng lời. Mỗi hệ thống có ưu thế riêng trong khai thác tính chất toán học và ảnh hưởng đến kỹ thuật giải bài toán.

Ba lý thuyết này tạo thành nền tảng để phân tích sâu sắc các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số trong sách giáo khoa và đề thi, đồng thời đánh giá khả năng vận dụng của học sinh.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp kết hợp:

  • Phân tích tài liệu: Thu thập và phân tích sách giáo khoa Giải tích 12 chuẩn và nâng cao, sách bài tập, sách giáo viên, các đề thi minh họa và đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2017, 2018, 2019. Thống kê số lượng và loại hệ thống biểu đạt hàm số trong các bài tập và câu hỏi liên quan đến cực trị.

  • Nghiên cứu thực nghiệm: Thực hiện phỏng vấn và khảo sát giáo viên, tổ chức thực nghiệm giảng dạy và thu thập sản phẩm học sinh tại một số trường trung học phổ thông tiêu biểu. Phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm nhằm đánh giá khả năng hiểu và vận dụng các hệ thống biểu đạt của học sinh.

  • Phân tích và tổng hợp lý thuyết: Đánh giá các công trình nghiên cứu liên quan, tổng hợp các khái niệm, định nghĩa và kỹ thuật giải toán về cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt khác nhau.

Cỡ mẫu nghiên cứu bao gồm toàn bộ các bài tập và câu hỏi liên quan đến cực trị trong sách giáo khoa và đề thi, cùng với khoảng 30 giáo viên và 150 học sinh tham gia thực nghiệm. Phương pháp chọn mẫu là chọn mẫu thuận tiện và mẫu mục tiêu nhằm đảm bảo tính đại diện cho các đối tượng nghiên cứu. Phân tích dữ liệu sử dụng phương pháp thống kê mô tả, so sánh tỷ lệ phần trăm và phân tích nội dung định tính.

Thời gian nghiên cứu kéo dài từ năm 2017 đến 2019, phù hợp với giai đoạn đổi mới chương trình và hình thức thi trắc nghiệm khách quan.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

  1. Ưu tiên sử dụng hệ thống biểu đạt đại số trong sách giáo khoa: Tất cả các bài tập liên quan đến cực trị trong sách Giải tích 12 chuẩn và nâng cao đều cho hàm số dưới dạng biểu thức giải tích (đại số). Ví dụ, trong chương trình chuẩn, 100% (42/42) bài tập kiểu nhiệm vụ tìm cực trị hàm số sử dụng biểu thức đại số. Hệ thống biểu đạt đồ thị và bảng biến thiên chỉ được dùng làm công cụ minh họa, không được dùng để cho hàm số trực tiếp.

  2. Sự xuất hiện hạn chế của bảng biến thiên và đồ thị trong đề thi: Phân tích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2017-2019 cho thấy hàm số chủ yếu được cho bằng biểu thức đại số. Mặc dù bảng biến thiên và đồ thị có vai trò trong việc minh họa, nhưng không được sử dụng phổ biến trong các câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến cực trị. Ví dụ, trong đề thi năm 2018, hơn 90% câu hỏi cực trị sử dụng biểu thức đại số, chỉ khoảng 5% sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên.

  3. Học sinh ưu tiên kỹ thuật giải dựa trên biểu thức đại số: Qua thực nghiệm và khảo sát, khoảng 85% học sinh lựa chọn giải bài toán cực trị bằng cách tính đạo hàm và giải phương trình, tức là sử dụng hệ thống biểu đạt đại số. Chỉ khoảng 10% học sinh vận dụng bảng biến thiên hoặc đồ thị để xác định cực trị, phản ánh sự quen thuộc và ưu tiên với biểu thức giải tích.

  4. Ảnh hưởng của hình thức thi trắc nghiệm khách quan: Việc chuyển sang thi trắc nghiệm khách quan từ năm 2017 đã làm tăng tần suất xuất hiện các câu hỏi cực trị với biểu thức đại số, đồng thời giảm sự xuất hiện của các hệ thống biểu đạt khác như bảng biến thiên. Điều này ảnh hưởng đến kỹ thuật giải và cách thức dạy học của giáo viên, buộc học sinh phải thành thạo kỹ năng tính toán đại số.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy sự thống trị của hệ thống biểu đạt đại số trong việc dạy và học cực trị hàm số ở bậc THPT tại Việt Nam. Điều này phù hợp với quan điểm của nhiều công trình nghiên cứu trước đây, đồng thời phản ánh thực trạng chương trình và sách giáo khoa hiện hành. Việc ưu tiên biểu thức đại số giúp học sinh phát triển kỹ năng tính toán và vận dụng đạo hàm một cách chính xác, tuy nhiên cũng hạn chế khả năng trực quan hóa và phát triển tư duy đa chiều khi giải toán.

So sánh với các nghiên cứu quốc tế, như chương trình trung học phổ thông ở Pháp, bảng biến thiên và các hệ thống biểu đạt dữ liệu được sử dụng rộng rãi hơn để xác định hàm số và cực trị, giúp học sinh phát triển kỹ năng đọc hiểu và phân tích trực quan. Ở Việt Nam, bảng biến thiên chưa được sử dụng phổ biến do chưa được coi là hệ thống biểu đạt chính thức để cho hàm số, dẫn đến hạn chế trong việc khai thác tính chất hàm số một cách trực quan.

Việc hình thức thi trắc nghiệm khách quan làm tăng áp lực về kỹ thuật giải dựa trên biểu thức đại số cũng là một điểm cần lưu ý. Giáo viên và học sinh cần được hỗ trợ để phát triển kỹ năng vận dụng đa dạng các hệ thống biểu đạt, nhằm nâng cao hiệu quả học tập và khả năng giải quyết vấn đề.

Dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ cột thể hiện tỷ lệ sử dụng các hệ thống biểu đạt trong sách giáo khoa và đề thi, bảng so sánh kỹ thuật giải được học sinh ưu tiên, giúp minh họa rõ ràng xu hướng và sự khác biệt giữa các hệ thống biểu đạt.

Đề xuất và khuyến nghị

  1. Đa dạng hóa hệ thống biểu đạt trong giảng dạy: Giáo viên cần tích cực sử dụng kết hợp các hệ thống biểu đạt như đồ thị, bảng biến thiên và bảng số liệu bên cạnh biểu thức đại số để giúp học sinh phát triển tư duy trực quan và kỹ năng phân tích toàn diện. Mục tiêu tăng tỷ lệ vận dụng hệ thống biểu đạt đồ thị và bảng biến thiên lên ít nhất 30% trong vòng 2 năm.

  2. Cập nhật và hoàn thiện sách giáo khoa: Bộ Giáo dục và Đào tạo nên xem xét bổ sung các bài tập và ví dụ cho hàm số được cho bằng bảng biến thiên và đồ thị trong sách giáo khoa Giải tích 12, nhằm tạo điều kiện cho học sinh làm quen và vận dụng đa dạng hệ thống biểu đạt. Thời gian thực hiện trong 1-2 năm tới.

  3. Đào tạo nâng cao năng lực giáo viên: Tổ chức các khóa tập huấn chuyên sâu về phương pháp dạy học đa hệ thống biểu đạt, kỹ thuật giải toán cực trị hàm số đa dạng, đặc biệt trong bối cảnh thi trắc nghiệm khách quan. Mục tiêu 80% giáo viên Toán THPT được đào tạo trong 3 năm.

  4. Phát triển tài liệu hỗ trợ và phần mềm trực quan: Xây dựng tài liệu hướng dẫn và ứng dụng công nghệ thông tin hỗ trợ vẽ đồ thị, lập bảng biến thiên, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và vận dụng các hệ thống biểu đạt khác nhau. Triển khai trong 2 năm, phối hợp với các trường đại học và trung tâm công nghệ giáo dục.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

  1. Giáo viên Toán trung học phổ thông: Nghiên cứu giúp giáo viên hiểu rõ vai trò và ưu tiên các hệ thống biểu đạt trong dạy học cực trị hàm số, từ đó áp dụng phương pháp giảng dạy hiệu quả, nâng cao chất lượng bài giảng và hỗ trợ học sinh phát triển kỹ năng giải toán đa dạng.

  2. Nhà quản lý giáo dục và biên soạn sách giáo khoa: Cung cấp cơ sở khoa học để điều chỉnh chương trình, sách giáo khoa và đề thi phù hợp với xu hướng phát triển và yêu cầu đổi mới hình thức thi, đồng thời nâng cao tính trực quan và đa dạng trong dạy học Toán.

  3. Học sinh lớp 12 và sinh viên sư phạm: Giúp học sinh và sinh viên hiểu sâu sắc về các hệ thống biểu đạt hàm số, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức trong học tập và thi cử, đồng thời chuẩn bị tốt cho công tác giảng dạy trong tương lai.

  4. Các nhà nghiên cứu giáo dục Toán học: Cung cấp dữ liệu thực nghiệm và phân tích lý thuyết về hệ thống biểu đạt trong dạy học cực trị hàm số, làm nền tảng cho các nghiên cứu tiếp theo về phương pháp dạy học và đánh giá năng lực học sinh.

Câu hỏi thường gặp

  1. Cực trị hàm số là gì và tại sao quan trọng trong chương trình THPT?
    Cực trị hàm số là điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cục bộ trên một khoảng. Đây là kiến thức nền tảng giúp học sinh phát triển kỹ năng khảo sát hàm số, giải các bài toán ứng dụng trong vật lý, kinh tế và kỹ thuật. Ví dụ, cực trị giúp xác định điểm tối ưu trong bài toán tối ưu hóa.

  2. Các hệ thống biểu đạt hàm số phổ biến là gì?
    Bao gồm biểu thức đại số (công thức), đồ thị (hình học), bảng biến thiên (dữ liệu) và bảng số liệu. Mỗi hệ thống có ưu thế riêng, ví dụ biểu thức đại số giúp tính toán chính xác, đồ thị giúp trực quan hóa, bảng biến thiên hỗ trợ phân tích biến thiên hàm số.

  3. Tại sao sách giáo khoa ưu tiên biểu thức đại số trong dạy cực trị?
    Biểu thức đại số cho phép học sinh vận dụng đạo hàm và các quy tắc giải tích một cách chính xác và hệ thống, phù hợp với yêu cầu thi cử và phát triển tư duy logic. Đồng thời, biểu thức đại số dễ dàng áp dụng trong các kỹ thuật giải bài toán.

  4. Hình thức thi trắc nghiệm khách quan ảnh hưởng thế nào đến việc dạy học cực trị?
    Thi trắc nghiệm khách quan làm tăng yêu cầu về kỹ thuật giải nhanh, chính xác dựa trên biểu thức đại số, giảm sự xuất hiện của các hệ thống biểu đạt khác như bảng biến thiên. Điều này đòi hỏi học sinh phải thành thạo kỹ năng tính toán và vận dụng đạo hàm.

  5. Làm thế nào để học sinh nâng cao khả năng vận dụng đa dạng hệ thống biểu đạt?
    Học sinh cần được tiếp cận bài tập và tình huống học tập đa dạng, được hướng dẫn sử dụng đồ thị, bảng biến thiên và bảng số liệu song song với biểu thức đại số. Việc sử dụng phần mềm hỗ trợ vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên cũng giúp nâng cao kỹ năng trực quan và phân tích.

Kết luận

  • Luận văn đã làm rõ các hệ thống biểu đạt hàm số được sử dụng trong dạy học cực trị hàm số ở THPT, trong đó biểu thức đại số được ưu tiên hàng đầu.
  • Phân tích đề thi tốt nghiệp THPT giai đoạn 2017-2019 cho thấy sự thống trị của biểu thức đại số trong các câu hỏi liên quan đến cực trị.
  • Khả năng vận dụng các hệ thống biểu đạt khác như đồ thị, bảng biến thiên của học sinh còn hạn chế, ảnh hưởng bởi chương trình và hình thức thi trắc nghiệm khách quan.
  • Đề xuất đa dạng hóa hệ thống biểu đạt trong giảng dạy, cập nhật sách giáo khoa, đào tạo giáo viên và phát triển tài liệu hỗ trợ nhằm nâng cao hiệu quả dạy học và học tập.
  • Các bước tiếp theo bao gồm triển khai các giải pháp đề xuất, đánh giá hiệu quả qua thực nghiệm giảng dạy và điều chỉnh chính sách giáo dục phù hợp.

Hành động ngay: Giáo viên và nhà quản lý giáo dục nên áp dụng kết quả nghiên cứu để cải tiến phương pháp dạy học và tài liệu giảng dạy, đồng thời khuyến khích học sinh phát triển kỹ năng giải toán đa dạng, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay.