Chương 11: Lý thuyết đường truyền sóng và các thông số R L G C phân bố

Tìm hiểu lý thuyết trường điện từ trong Chapter 11. Tổng hợp kiến thức về hệ phương trình Maxwell, sóng điện từ và ứng dụng truyền dẫn năng lượng.

• Chuyên ngành: Điện từ học
• Đề tài: Đường truyền sóng
• Loại tài liệu: Giáo trình

Tóm tắt

I. Tổng quan lý thuyết đường truyền Chapter 11 trường điện từ

Nội dung Chapter 11 trường điện từ mở đầu cho việc nghiên cứu sóng dẫn hướng. Cấu trúc dẫn hướng truyền tải năng lượng điện từ từ nguồn đến tải một cách định hướng. Khác với sóng lan truyền tự do trong không gian vô hạn, đường truyền sóng giới hạn trường điện từ trong phạm vi vật lý hẹp. Mô hình đường truyền bao gồm hai hoặc nhiều dây dẫn song song đặt cạnh nhau. Các dạng phổ biến gồm cáp đồng trục, đường dây song hành, đường dây phẳng và vi dải. Ở tần số thấp, lý thuyết mạch tập trung giải quyết tốt các bài toán điện áp và dòng điện. Tuy nhiên, khi kích thước mạch tương đương bước sóng ở tần số cao, hiệu ứng lan truyền sóng trở nên vượt trội. Lý thuyết đường truyền kết hợp lý thuyết trường điện từ Maxwell và lý thuyết mạch điện cổ điển. Sự kết hợp này mô tả chính xác sự dịch pha và tổn hao dọc theo chiều dài đường dây. Mỗi đoạn vi phân được biểu diễn bằng các thông số sơ cấp gồm điện trở, điện cảm, điện dung và điện dẫn. Việc nắm vững nguyên lý cơ bản giúp giải quyết triệt để các bài toán truyền dẫn tín hiệu.

1.1. Khái niệm và cấu trúc hình học của đường truyền sóng

Đường truyền sóng là hệ thống gồm các dây dẫn song song dùng để truyền tải tín hiệu điện từ. Trong thực tế, các cấu trúc phổ biến nhất bao gồm cáp đồng trục, đường dây hai dây song song, dây dẫn trên mặt phẳng đất và đường vi dải. Cáp đồng trục có cấu trúc hai dây dẫn đồng tâm, ngăn chặn bức xạ ra ngoài môi trường. Đường vi dải gồm dải kim loại hẹp đặt trên đế điện môi, thường xuất hiện trong vi mạch tích hợp cao tần. Mỗi cấu trúc hình học quyết định trực tiếp phân bố trường điện từ và thông số điện môi xung quanh. Sự lựa chọn loại đường truyền phụ thuộc vào dải tần số hoạt động, yêu cầu chống nhiễu và công suất truyền tải.

1.2. Các thông số phân bố và hệ phương trình vi phân truyền sóng

Đường truyền được mô hình hóa bằng bốn thông số phân bố trên đơn vị độ dài gồm R, L, G và C. Điện trở R đại diện cho tổn hao dẫn điện. Điện cảm L phản ánh từ trường xung quanh dây dẫn. Điện dẫn G thể hiện độ rò qua chất điện môi. Điện dung C đo lường điện trường giữa hai dây dẫn. Dựa trên định luật Kirchhoff cho đoạn vi phân chiều dài dz, hệ phương trình vi phân đường truyền được thiết lập. Nghiệm của phương trình cho thấy điện áp và dòng điện lan truyền dưới dạng sóng tới và sóng phản xạ. Vận tốc pha và hằng số truyền sóng phụ thuộc trực tiếp vào tần số cũng như các thông số phân bố này.

II. Phân tích sóng phản xạ mất phối hợp Chapter 11 trường điện từ

Khi sóng điện từ lan truyền đến cuối đường dây, nếu trở kháng tải không bằng trở kháng đặc tính, sự phản xạ sóng sẽ xảy ra. Sóng tới và sóng phản xạ giao thoa với nhau dọc theo đường truyền. Hiện tượng này tạo nên hệ sóng đứng với các vị trí cực đại và cực tiểu điện áp. Sự xuất hiện sóng phản xạ dẫn đến việc suy giảm công suất truyền tới tải. Phần năng lượng bị phản hồi ngược về nguồn có thể làm nóng mạch phát hoặc gây biến dạng tín hiệu. Mức độ bất đối xứng trở kháng được định lượng qua hệ số phản xạ điện áp Gamma và tỷ số sóng đứng SWR. Khi tải ngắn mạch hoặc hở mạch, toàn bộ sóng bị phản xạ hoàn toàn, tạo ra sóng đứng thuần túy. Ngoài ra, trở kháng vào thay đổi tuần hoàn theo chu kỳ nửa bước sóng dọc theo chiều dài đường dây. Điều này gây khó khăn lớn cho việc ghép nối các khối mạch cao tần. Phân tích chi tiết sóng phản xạ giúp kỹ sư xác định chính xác tổn hao và mức độ méo tín hiệu trên hệ thống truyền dẫn.

2.1. Cơ chế phản xạ sóng và tỷ số sóng đứng SWR

Hệ số phản xạ điện áp tại tải biểu thị tỷ lệ giữa biên độ sóng phản xạ và sóng tới. Đại lượng này là một số phức, phụ thuộc vào trở kháng tải ZL và trở kháng đặc tính Z0. Khi ZL khác Z0, sóng phản xạ xuất hiện và can nhiễu với sóng tới. Tỷ số giữa điện áp cực đại và điện áp cực tiểu trên đường truyền gọi là tỷ số sóng đứng SWR. Giá trị SWR nằm trong khoảng từ 1 đến vô cùng. Giá trị SWR bằng 1 phản ánh trạng thái phối hợp trở kháng lý tưởng, không có phản xạ. Giá trị SWR càng lớn thể hiện sự mất phối hợp nghiêm trọng, gây lãng phí năng lượng truyền phát.

2.2. Biến đổi trở kháng vào và hiện tượng quá độ tín hiệu

Trở kháng vào tại một vị trí bất kỳ trên đường dây phụ thuộc vào khoảng cách tới tải và hệ số lan truyền. Khi di chuyển dọc đường truyền, giá trị trở kháng vào biến đổi liên tục và lặp lại sau mỗi chu kỳ nửa bước sóng. Đối với tín hiệu xung số, hiện tượng quá độ xuất hiện do thời gian trễ lan truyền hữu hạn. Các cạnh xung vuông phản xạ qua lại giữa nguồn và tải nhiều lần trước khi đạt trạng thái xác lập. Hiện tượng phản xạ quá độ gây ra rung chuông tín hiệu, méo xung và suy giảm tính toàn vẹn dữ liệu trong các đường bus vi xử lý tốc độ cao.

III. Phương pháp dùng đồ thị Smith trong Chapter 11 trường điện từ

Để khắc phục các bài toán tính toán số phức phức tạp trên đường truyền, đồ thị Smith được giới thiệu như một công cụ đồ họa trực quan và hiệu quả. Đồ thị Smith xây dựng dựa trên phép biến đổi ánh xạ mặt phẳng hệ số phản xạ sang mặt phẳng trở kháng chuẩn hóa. Cấu trúc đồ thị gồm hai họ đường tròn trực giao: họ đường tròn điện trở thuần r và họ đường tròn điện kháng x. Mọi điểm trên đồ thị biểu diễn một giá trị trở kháng chuẩn hóa cụ thể. Tâm đồ thị tương ứng với điểm phối hợp trở kháng lý tưởng, nơi hệ số phản xạ bằng 0. Khi dịch chuyển dọc đường truyền về phía máy phát hoặc tải, trạng thái trở kháng quay đều quanh tâm theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ. Phương pháp phối hợp trở kháng bằng dây chêm (stub matching) là giải pháp thực tế phổ biến nhất. Dây chêm đơn hoặc dây chêm kép được mắc song song với đường truyền nhằm triệt tiêu thành phần phản kháng. Nhờ đó, toàn bộ công suất từ nguồn truyền trọn vẹn đến tải mà không gặp sóng phản xạ.

3.1. Cấu trúc hình học và nguyên lý đọc đồ thị Smith

Đồ thị Smith gồm các vòng tròn đẳng điện trở r và các cung tròn đẳng điện kháng x. Các vòng tròn r có tâm nằm trên trục hoành thực và luôn đi qua điểm cực phải (1, 0). Các cung tròn x có tâm nằm trên đường thẳng đứng x = 1, phân nhánh phía trên cho cảm kháng và nhánh dưới cho dung kháng. Vòng tròn ngoài cùng tương ứng với r = 0, đại diện cho đường truyền không tổn hao. Khi quay quanh đồ thị theo hướng về máy phát, khoảng cách chuyển dịch tương ứng với 0.5 bước sóng cho một vòng quay 360 độ hoàn chỉnh. Việc đọc đồ thị giúp xác định nhanh trở kháng vào và hệ số phản xạ.

3.2. Kỹ thuật phối hợp trở kháng bằng dây chêm Stub Matching

Phối hợp trở kháng bằng dây chêm là kỹ thuật sử dụng đoạn đường truyền ngắn mạch hoặc hở mạch ghép song song với đường truyền chính. Mục tiêu là biến đổi phần dẫn nạp thực tại vị trí phối hợp về giá trị 1 và triệt tiêu hoàn toàn phần dung dẫn hoặc cảm dẫn. Kỹ thuật dây chêm đơn xác định hai thông số quan trọng: vị trí đặt dây chêm cách tải khoảng d và chiều dài dây chêm l. Kỹ thuật dây chêm kép khắc phục hạn chế về tính cố định của vị trí ghép nối, cho phép điều chỉnh dễ dàng hơn trên thiết bị thực tế. Phương pháp này đảm bảo sóng truyền không phản xạ tại đầu vào nguồn.

IV. Ứng dụng kỹ thuật và thực tiễn của Chapter 11 trường điện từ

Lý thuyết đường truyền sóng trong Chapter 11 trường điện từ đóng vai trò nền tảng trong thiết kế hệ thống viễn thông và phần cứng máy tính hiện đại. Kiến thức về thông số phân bố cho phép tối ưu hóa kết nối từ tần số vô tuyến RF đến dải sóng milimet. Trong công nghệ truyền thông, cáp đồng trục truyền dẫn tín hiệu truyền hình cáp và kết nối anten với máy thu phát công suất lớn mà không gây nhiễu môi trường. Trong công nghiệp bán dẫn, các đường vi dải (microstrip line) trên bo mạch in PCB giúp kết nối các vi mạch tích hợp mật độ cao. Kỹ sư sử dụng mô hình đường truyền để tính toán độ trễ lan truyền, kiểm soát trở kháng vi sai và ngăn ngừa hiện tượng suy hao điện môi. Tóm lại, Chapter 11 cung cấp hệ thống công cụ phân tích toàn diện cho kỹ thuật điện và điện tử. Việc làm chủ lý thuyết sóng đứng, đồ thị Smith và kỹ thuật phối hợp trở kháng bảo đảm tính toàn vẹn tín hiệu trên các hệ thống số tốc độ cao.

4.1. Thiết kế đường truyền trong công nghệ vi mạch và mạch in cao tần

Trong các bo mạch vi sóng và hệ thống mạch tích hợp bán dẫn (MMIC), đường vi dải là giải pháp kết nối quan trọng nhất. Dải kim loại dẫn điện được chế tạo chính xác trên bề mặt đế điện môi có hằng số điện môi xác định. Kỹ sư thiết kế phải tính toán độ rộng dải và độ dày đế để đạt trở kháng đặc tính tiêu chuẩn 50 Ohm. Đường vi dải giúp tối thiểu hóa kích thước mạch, giảm thiểu tổn hao bức xạ và duy trì băng thông rộng. Các linh kiện thụ động như bộ chia công suất, bộ lọc và bộ ghép định hướng đều ứng dụng nguyên lý này.

4.2. Bảo đảm tính toàn vẹn tín hiệu trong mạng truyền dữ liệu cao tốc

Khi xung nhịp máy tính vượt ngưỡng Gigahertz, các đường mạch đồng trên bo mạch chủ hoạt động tương tự đường truyền sóng. Hiện tượng phản xạ xung và dịch chuyển pha gây hiện tượng méo tín hiệu và trễ thời gian. Việc áp dụng mô hình phân tích quá độ giúp kỹ sư kiểm soát hiện tượng phản xạ nhiều lần giữa nguồn và tải. Các giải pháp như kết thúc tải điện trở (termination) được áp dụng để triệt tiêu sóng phản xạ. Nhờ đó, chất lượng mắt tín hiệu (eye diagram) được cải thiện, đảm bảo dữ liệu truyền qua các chuẩn giao tiếp PCI Express hay Ethernet luôn chính xác.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chapter 1 7 TRANSMISSION LINES There is a story about four men named Everybody, Somebody, Anybody, and Nobody. There was an important job to be done, and Everybody was asked to do it. Everybody was sure that Somebody would do it. Anybody could have done it, but Nobody did it.

Somebody got angry about that, because it was Everybody's job. Everybody thought that Anybody could do it, and Nobody realized that Everybody wouldn't do it. It ended up that Everybody blamed Somebody, when actually Nobody did what Anybody could have done.1 INTRODUCTION Our discussion in the previous chapter was essentially on wave propagation in unbounded media, media of infinite extent. Such wave propagation is said to be unguided in that the uniform plane wave exists throughout all space and EM energy associated with the wave spreads over a wide area.

Wave propagation in unbounded media is used in radio or TV broadcasting, where the information being transmitted is meant for everyone who may be interested. Such means of wave propagation will not help in a situation like telephone con- versation, where the information is received privately by one person. Another means of transmitting power or information is by guided structures. Guided structures serve to guide (or direct) the propagation of energy from the source to the load.

Typical examples of such structures are transmission lines and waveguides. Waveguides are discussed in the next chapter; transmission lines are considered in this chapter. Transmission lines are commonly used in power distribution (at low frequencies) and in communications (at high frequencies). Various kinds of transmission lines such as the twisted-pair and coaxial cables (thinnet and thicknet) are used in computer networks such as the Ethernet and internet.

A transmission line basically consists of two or more parallel conductors used to connect a source to a load. The source may be a hydroelectric generator, a transmitter, or an oscillator; the load may be a factory, an antenna, or an oscilloscope, respectively. Typical transmission lines include coaxial cable, a two-wire line, a parallel-plate or planar line, a wire above the conducting plane, and a microstrip line. These lines are portrayed in Figure 11.

Notice that each of these lines consists of two conductors in parallel. Coaxial cables are routinely used in electrical laboratories and in connecting TV sets to TV antennas. Mi- crostrip lines (similar to that in Figure 11. le) are particularly important in integrated circuits where metallic strips connecting electronic elements are deposited on dielectric substrates.

Transmission line problems are usually solved using EM field theory and electric circuit theory, the two major theories on which electrical engineering is based. In this 473 474 Transmission Lines (e) Figure 11.1 Cross-sectional view of typical transmission lines: (a) coaxial line, (b) two-wire line, (c) planar line, (d) wire above conducting plane, (e) microstrip line. chapter, we use circuit theory because it is easier to deal with mathematically. The basic concepts of wave propagation (such as propagation constant, reflection coefficient, and standing wave ratio) covered in the previous chapter apply here.

Our analysis of transmission lines will include the derivation of the transmission-line equations and characteristic quantities, the use of the Smith chart, various practical appli- cations of transmission lines, and transients on transmission lines.2 TRANSMISSION LINE PARAMETERS It is customary and convenient to describe a transmission line in terms of its line parame- ters, which are its resistance per unit length R, inductance per unit length L, conductance per unit length G, and capacitance per unit length C. Each of the lines shown in Figure 11.1 has specific formulas for finding R, L, G, and C. For coaxial, two-wire, and planar lines, the formulas for calculating the values of R, L, G, and C are provided in Table 11.1 The di- mensions of the lines are as shown in Figure 11. Some of the formulas1 in Table 11.1 were derived in Chapters 6 and 8.

It should be noted that 1. The line parameters R, L, G, and C are not discrete or lumped but distributed as shown in Figure 11. By this we mean that the parameters are uniformly distrib- uted along the entire length of the line. 'Similar formulas for other transmission lines can be obtained from engineering handbooks or data books—e.

Guston, Microwave Transmission-line Impedance Data. London: Van Nos- trand Reinhold, 1972.2 TRANSMISSION LINE PARAMETERS 475 TABLE 11.1 Distributed Line Parameters at High Frequencies* Parameters Coaxial Line Two-Wire Line Planar Line R (fl/m) 2x8(7,. b /i , d — ln- — cosh — 2ir a •7T 2a w G (S/m) ow ~d in6 cosh- - a 2a C (F/m) 2TTE BW d 1 h ^ cosh" — (w » aO 2a *6 = — j = = skin depth of the conductor; cosh ' — = In — if — \Ar/"n n 2a a I 2a 2. For each line, the conductors are characterized by ac, /*c, ec = eo, and the homoge- neous dielectric separating the conductors is characterized by a, fi, e.

G + MR; R is the ac resistance per unit length of the conductors comprising the line and G is the conductance per unit length due to the dielectric medium separating the conductors. The value of L shown in Table 11.1 is the external inductance per unit length; that is, L = Lext. The effects of internal inductance Lm (= Rlui) are negligible as high frequencies at which most communication systems operate. For each line, G a LC = /lie and —; = — (H.l) C £ As a way of preparing for the next section, let us consider how an EM wave propagates through a two-conductor transmission line.

For example, consider the coaxial line connect- ing the generator or source to the load as in Figure 11. When switch S is closed, Figure 11.2 Common transmission lines: (a) coaxial line, (b) two-wire line, (c) planar line. 476 Transmission Lines series R and L shunt G and C Figure 11.3 Distributed parameters of a two-conductor transmission line. the inner conductor is made positive with respect to the outer one so that the E field is ra- dially outward as in Figure 11.

According to Ampere's law, the H field encircles the current carrying conductor as in Figure 11. The Poynting vector (E X H) points along the transmission line. Thus, closing the switch simply establishes a disturbance, which appears as a transverse electromagnetic (TEM) wave propagating along the line. This wave is a nonuniform plane wave and by means of it power is transmitted through the line.

S I I—WV • • generator — coaxial line- (a) -»-| r load • E field H field (b) Figure 11.4 (a) Coaxial line connecting the generator to the load; (b) E and H fields on the coaxial line.3 TRANSMISSION LINE EQUATIONS 477 11.3 TRANSMISSION LINE EQUATIONS As mentioned in the previous section, a two-conductor transmission line supports a TEM wave; that is, the electric and magnetic fields on the line are transverse to the direction of wave propagation. An important property of TEM waves is that the fields E and H are uniquely related to voltage V and current /, respectively: V = - E • d\, I = <p H • d\ (11.2) In view of this, we will use circuit quantities V and / in solving the transmission line problem instead of solving field quantities E and H (i., solving Maxwell's equations and boundary conditions). The circuit model is simpler and more convenient. Let us examine an incremental portion of length Az of a two-conductor transmission line.

We intend to find an equivalent circuit for this line and derive the line equations.3, we expect the equivalent circuit of a portion of the line to be as in Figure 11. The model in Figure 11.5 is in terms of the line parameters R, L, G, and C, and may represent any of the two-conductor lines of Figure 11. The model is called the L-type equivalent circuit; there are other possible types (see Problem 11. In the model of Figure 11.5, we assume that the wave propagates along the +z-direction, from the gen- erator to the load.

By applying Kirchhoff's voltage law to the outer loop of the circuit in Figure 11.3) Az dt I(z,t) •y —A/W -+ - ••— —o To generator To load V(z + Az, t) V(z, t) GAz • : CAz r z z + Az Figure 11.5 L-type equivalent circuit model of a differential length Az of a two-conductor transmission line. 478 Transmission Lines Taking the limit of eq.3) as Az -> 0 leads to (11.4) dt Similarly, applying Kirchoff's current law to the main node of the circuit in Figure 11.5 gives I(z, t) = I(z + Az, t) + A/ dV(z + Az,t) = I(z + Az, t) + GAz V(z + Az, t) + C Az - dt or (11.5) dt As A^ —> 0, eq.6) at If we assume harmonic time dependence so that V(z, t) = Re [Vs(z) eJu"] I(z, t) = Re [Is(z) eJ"'] (11.7b) where Vs(z) and Is(z) are the phasor forms of V(z, i) and I(z, t), respectively, eqs.6) become _dV^ = (R + juL) I3 ) dz uQ Vs dz In the differential eqs.9), Vs and Is are coupled. To separate them, we take the second derivative of Vs in eq.8) and employ eq.9) so that we obtain juL)(.G + jo>Q Vs dz or (ll.3 TRANSMISSION LINE EQUATIONS 479 where | 7 = a + jf3 = V(R + juL)(G + ju (11.11) By taking the second derivative of Is in eq.9) and employing eq.12) We notice that eqs.12) are, respectively, the wave equations for voltage and current similar in form to the wave equations obtained for plane waves in eqs. Thus, in our usual notations, y in eq.11) is the propagation constant (in per meter), a is the attenuation constant (in nepers per meter or decibels2 per meter), and (3 is the phase constant (in radians per meter).

The wavelength X and wave velocity u are, re- spectively, given by 2ir X = (11.14) The solutions of the linear homogeneous differential equations (11.12) are similar to Case 2 of Example 6.16) where Vg, Vo, 7tt, and Io are wave amplitudes; the + and — signs, respectively, denote wave traveling along +z- and -z-directions, as is also indicated by the arrows. Thus, we obtain the instantaneous expression for voltage as V(z, t) = Re [Vs(z) eM] = V+ e'az cos (oit - fa) + V~ eaz cos {at + /3z) (11.17) The characteristic impedance Zo of the line is the ratio of positively traveling voltage wave to current wave at any point on the line. 2 Recall from eq. 480 Transmission Lines Zo is analogous to 77, the intrinsic impedance of the medium of wave propagation.

By sub- stituting eqs.9) and equating coefficients of terms eyz and e~lz, we obtain V R + jo)L (11.18) 1 or R + juL = Ro+jXo I (11.19) where Ro and Xo are the real and imaginary parts of Zo. Ro should not be mistaken for R— while R is in ohms per meter; Ro is in ohms. The propagation constant y and the character- istic impedance Zo are important properties of the line because they both depend on the line parameters R, L, G, and C and the frequency of operation. The reciprocal of Zo is the char- acteristic admittance Yo, that is, Yo = 1/ZO.

The transmission line considered thus far in this section is the lossy type in that the conductors comprising the line are imperfect (ac =£ °°) and the dielectric in which the con- ductors are embedded is lossy (a # 0). Having considered this general case, we may now consider two special cases of lossless transmission line and distortionless line. Lossless Line (R = 0 = G) A transmission line is said lo be lossless if the conductors of the line are perfect (<rt.