I. Mở đầu
Các đa tạp đại số là đối tượng nghiên cứu chính trong Hình học đại số. Bên cạnh các phương pháp của Hình học đại số và Giải tích cổ điển, các phương pháp hiện đại mang đến nhiều cách tiếp cận hiệu quả hơn. Một trong các cách tiếp cận hiện đại đó là dựa vào lý thuyết giao. Lý thuyết giao của đa tạp đại số được các nhà Toán học xây dựng một cách hệ thống và trình bày nhiều ứng dụng vào việc nghiên cứu các bất biến của các đa tạp đại số. Ví dụ điển hình nhất trong phương pháp tiếp cận này là nghiên cứu các số giao trên đa tạp Grassmann. Cách tiếp cận này đã được nhiều nhà Toán học quan tâm và gần đây đã đem đến nhiều kết quả thú vị. Các nghiên cứu liên quan đến đa tạp Grassmann được bắt đầu từ thế kỷ 19 với tên tuổi của nhiều nhà Toán học như Schubert, Grassmann. Gần đây, bằng cách sử dụng một biến thể của đa thức nội suy cho các đa thức đối xứng bậc bị chặn, Hiep đã chỉ ra các đồng nhất thức liên quan đến các đa thức đối xứng. Kết quả này cung cấp công cụ cho việc lập trình tính toán hình thức, cơ sở để thiết lập những công thức mới liên quan đến những bất biến của đa tạp đại số.
II. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, các định nghĩa và kết quả cơ bản được trình bày, mang tính chất chuẩn bị cho các lập luận ở các phần sau của luận án. Các kiến thức cơ sở của Hình học đại số, cơ sở của lý thuyết giao, phép tính Schubert, đa thức đối xứng và lý thuyết giao đẳng biến được giới thiệu. Đa tạp xạ ảnh là một trong những khái niệm quan trọng trong Hình học đại số. Không gian xạ ảnh n chiều trên C, ký hiệu là Pn(C), là tập tất cả các không gian con một chiều của không gian vectơ Cn+1. Mỗi phần tử trong không gian xạ ảnh Pn được gọi là một điểm trong không gian xạ ảnh Pn. Một điểm p trong không gian xạ ảnh Pn được xem như là một lớp tương đương. Các tập Ui này gọi là các phủ mở của không gian xạ ảnh Pn. Đặc biệt, các đa tạp xạ ảnh được xác định bởi các đa thức thuần nhất bậc một gọi là đa tạp tuyến tính.
2.1. Cơ sở của Hình học đại số
Cơ sở của Hình học đại số bao gồm các khái niệm và định nghĩa cơ bản về đa tạp xạ ảnh. Định nghĩa không gian xạ ảnh n chiều trên C, ký hiệu là Pn(C), là tập tất cả các không gian con một chiều của không gian vectơ Cn+1. Mỗi phần tử trong không gian xạ ảnh Pn được gọi là một điểm trong không gian xạ ảnh Pn. Một điểm p trong không gian xạ ảnh Pn được xem như là một lớp tương đương. Các tập Ui này gọi là các phủ mở của không gian xạ ảnh Pn. Đặc biệt, các đa tạp xạ ảnh được xác định bởi các đa thức thuần nhất bậc một gọi là đa tạp tuyến tính.
III. Bậc của đa tạp Fano
Nghiên cứu về bậc và giống của đa tạp Fano là một trong những mục tiêu chính của luận án. Bậc của đa tạp đại số phụ thuộc vào phép nhúng của nó vào một không gian xạ ảnh. Bậc của đa tạp xạ ảnh phức X là số giao điểm của X với một đa tạp tuyến tính tổng quát. Nếu đa tạp xạ ảnh được cho bởi phương trình đa thức, thì bậc của nó có thể được tính bằng kỹ thuật cơ sở Gröbner. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, việc xác định phương trình định nghĩa một đa tạp xạ ảnh là cực kỳ khó khăn. Khi đó, bậc có thể được tính bằng các công cụ của lý thuyết giao được phát triển bởi William Fulton. Một ví dụ điển hình cho trường hợp này là đa tạp Fano của các không gian con tuyến tính trên các siêu mặt xạ ảnh hoặc giao đầy đủ xạ ảnh.
3.1. Đặc trưng tổ hợp cho bậc của đa tạp Fano
Đặc trưng tổ hợp cho bậc của đa tạp Fano được thiết lập thông qua hệ số của một đơn thức đặc biệt trong khai triển của một đa thức đối xứng. Kết quả này không chỉ cung cấp thông tin về bậc mà còn liên quan đến giống của đa tạp Fano. Đặc biệt, trong trường hợp chiều của đa tạp Fano bằng 1, một công thức liên hệ giữa giống và bậc được chỉ ra. Các nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong việc phân loại các lớp đa tạp này.
IV. Đặc trưng Euler của phân thớ Tango
Đặc trưng Euler của phân thớ Tango là một trong những nội dung quan trọng trong luận án. Phân thớ vectơ trên không gian xạ ảnh thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học. Một phân thớ vectơ được gọi là không phân tách được nếu nó không thể phân tích thành tổng trực tiếp của các phân thớ vectơ có hạng nhỏ hơn. Xây dựng các phân thớ vectơ không phân tách được trên không gian xạ ảnh là một vấn đề khó trong Hình học đại số. Đặc trưng Euler của phân thớ Tango có thể được xác định thông qua đặc trưng Chern và lớp Todd của phân thớ vectơ. Kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc nghiên cứu các bất biến của đa tạp đại số.
V. Bậc đại số trong quy hoạch nửa xác định
Bậc đại số trong quy hoạch nửa xác định là một bài toán quan trọng trong Quy hoạch toán học. Bài toán này có ứng dụng rất đa dạng trong Tối ưu lồi, Lý thuyết điều khiển và Tối ưu hóa tổ hợp. Bậc đại số δ(m, n, r) trong quy hoạch nửa xác định chỉ được định nghĩa tốt nếu bộ ba (m, n, r) thỏa mãn bất đẳng thức Pataki. Các tọa độ của ma trận tối ưu là các nghiệm của các đa thức một biến. Nếu các dữ liệu là tổng quát thì bậc của các đa thức này chỉ phụ thuộc vào hạng r của ma trận tối ưu. Kết quả của định lý này cung cấp một phương pháp tổ hợp để tính bậc đại số trong quy hoạch nửa xác định.
