Khóa luận Sư phạm Đà Nẵng: Phản ví dụ trọng yếu trong Giải tích và Topo

Khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu Bài mẫu khóa luận tốt nghiệp trường đại học sư phạm đà nẵng số 2 một số phản ví dụ trong giải tích, vận dụng lý thuyết vào thực tế, đề xuất giải

• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng
• Đề tài: Một Số Phản Ví Dụ Trong Giải Tích Và Topo
• Loại tài liệu: Khóa Luận Tốt Nghiệp
• Địa điểm: Đà Nẵng

Mục lục chi tiết

• Lời cam đoan
• Lời cảm ơn
• MỞ ĐẦU
• 1. Chương 1: Một số phản thí dụ trong Giải tích
• 1.1. Một số phản thí dụ về dãy số và chuỗi số
• 1.2. Một số phản thí dụ về tính liên tục của hàm số
• 1.3. Một số phản thí dụ về tính khả vi của hàm số
• 1.4. Một số phản thí dụ về tính khả tích của hàm số và độ đo Lebesgue
• 2. Chương 2: Một số phản thí dụ trong Tôpô
• 2.1. Các phản thí dụ trong tôpô tập hợp
• 2.2. Các phản thí dụ trong các tiên đề tách
• 2.3. Các phản thí dụ về ánh xạ liên tục
• 2.4. Các phản thí dụ về tính liên tục đều của hàm số
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về Phản ví dụ trong Giải tích và Tôpô

Phản ví dụ trong giải tích và tôpô là những công cụ quan trọng trong toán học hiện đại. Luận văn sư phạm toán này tập hợp và xây dựng hệ thống phản ví dụ giúp sinh viên hiểu sâu hơn các khái niệm toán học phức tạp. Từ dãy số đến hàm số, từ tính liên tục đến tính khả vi, mỗi phản ví dụ đều minh họa những tính chất đặc biệt mà các định lý cổ điển có thể bỏ qua. Công trình này do Phommavong Chanthaphone thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Nhụy tại Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng năm 2018, nhằm cung cấp tài liệu tham khảo tiếng Việt chất lượng cao cho các học viên toán giải tích.

1.1. Khái niệm và tầm quan trọng của phản ví dụ

Phản ví dụ là những trường hợp đặc biệt không thỏa mãn điều kiện của một mệnh đề toán học. Chúng giúp làm rõ ranh giới của các định lý và nguyên lý toán học. Trong giải tích, phản ví dụ minh họa những hạn chế của các tính chất hàm số. Trong tôpô, chúng cho thấy mối quan hệ phức tạp giữa các tiên đề tách và cấu trúc không gian.

1.2. Cấu trúc và phạm vi nghiên cứu của luận văn

Luận văn được chia thành hai phần chính: Giải tích và Tôpô. Phần giải tích bao gồm 22 phản ví dụ về dãy số, chuỗi số, tính liên tục, khả vi, khả tích và độ đo Lebesgue. Phần tôpô trình bày 23 phản ví dụ về tôpô tập hợp, tiên đề tách, ánh xạ liên tục và tính liên tục đều.

II. Phản ví dụ trong Giải tích

Phần giải tích của luận văn cung cấp những minh họa sáng tạo cho các khái niệm cốt lõi của toán học cao cấp. Các phản ví dụ về dãy số và chuỗi số (5 ví dụ) cho thấy những tính chất bất ngờ của sự hội tụ và phân kỳ. Các phản ví dụ về tính liên tục (9 ví dụ) minh họa những trường hợp hàm số có tính chất không tưởng. Tính khả vi (5 ví dụ) và tính khả tích (2 ví dụ) cũng được phân tích chi tiết, cùng với các ví dụ về độ đo Lebesgue. Những phản ví dụ này không chỉ giúp sinh viên nắm vững lý thuyết mà còn phát triển tư duy phê phán về toán học.

2.1. Phản ví dụ về dãy số chuỗi số và tính liên tục

Các phản ví dụ về dãy số minh họa những dãy không hội tụ theo cách thông thường. Chuỗi số có những tính chất phức tạp như hội tụ có điều kiện nhưng không hội tụ tuyệt đối. Tính liên tục của hàm số được minh họa qua những hàm số liên tục nhưng không khả vi, hoặc những hàm số gián đoạn tại một tập hợp dày đặc.

2.2. Phản ví dụ về khả vi khả tích và độ đo Lebesgue

Khả vi được phân tích qua những hàm số khiêu vũ nhưng không khả vi. Khả tích Lebesgue và độ đo Lebesgue có những tính chất đặc biệt, như những tập hợp có độ đo bằng 0 nhưng lực lượng liên tục, hoặc những hàm số khả tích Lebesgue nhưng không khả tích Riemann.

III. Phản ví dụ trong Tôpô

Tôpô là lĩnh vực mà phản ví dụ đặc biệt quan trọng để hiểu rõ các tiên đề tách và cấu trúc không gian. Luận văn trình bày 7 phản ví dụ trong tôpô tập hợp minh họa những tính chất bất ngờ của các không gian tôpô. Các tiên đề tách (7 ví dụ) như T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ được phân tích thông qua các không gian không thỏa mãn các điều kiện này. Ánh xạ liên tục (7 ví dụ) và tính liên tục đều (2 ví dụ) cho thấy những khác biệt tinh tế trong các định nghĩa tôpô. Đặc biệt, phản ví dụ 2.20 là một đóng góp mới chưa từng được giới thiệu trong các tài liệu tôpô khác.

3.1. Phản ví dụ về tôpô tập hợp và tiên đề tách

Tôpô tập hợp cung cấp nền tảng cho việc hiểu các không gian trừu tượng. Tiên đề tách (T₀ đến T₄) được minh họa qua những không gian cụ thể không thỏa mãn các điều kiện này. Những ví dụ này giúp làm rõ mối quan hệ giữa các tiên đề và cấu trúc của không gian tôpô.

3.2. Phản ví dụ về ánh xạ liên tục và tính liên tục đều

Ánh xạ liên tục trong tôpô có những tính chất khác so với giải tích cổ điển. Phản ví dụ cho thấy những ánh xạ liên tục nhưng không liên tục đều, hoặc những không gian mà mọi ánh xạ liên tục đều là liên tục đều. Phần này minh họa sự phong phú của cấu trúc tôpô.

IV. Ứng dụng và ý nghĩa của luận văn

Luận văn Phản ví dụ trong Giải tích và Tôpô có ý nghĩa khoa học và thực tiễn quan trọng. Nó là tài liệu tham khảo tiếng Việt quý báu cho sinh viên sư phạm toán và những người học toán giải tích. Các phản ví dụ được tuyển chọn kỹ lưỡng không chỉ giúp làm sâu sắc kiến thức về giải tích toán học mà còn phát triển tư duy toán học phê phán. Với 45 phản ví dụ được trình bày chi tiết, luận văn này cung cấp công cụ giảng dạy hiệu quả cho các giáo viên sư phạm. Ngoài ra, nhiều phản ví dụ trong tài liệu này là mới, mở ra hướng nghiên cứu tiếp theo về các ứng dụng thực tiễn của giải tích và tôpô trong giáo dục toán học.

4.1. Giá trị trong giáo dục sư phạm toán

Luận văn này là công cụ dạy học mạnh mẽ cho các giáo viên sư phạm toán. Phản ví dụ giúp học sinh hiểu rõ ranh giới và điều kiện của các định lý. Tài liệu tiếng Việt này cải thiện khả năng tiếp cận kiến thức cao cấp cho sinh viên địa phương.

4.2. Đóng góp mới và hướng nghiên cứu tiếp theo

Luận văn đóng góp những phản ví dụ mới, đặc biệt là phần tôpô với ví dụ 2.20 chưa được công bố trong các tài liệu khác. Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể phát triển ứng dụng các phản ví dụ này trong giảng dạy và xây dựng các ví dụ mới cho các lĩnh vực toán học khác.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. Một số phản thí dụ trong giải tích 1. Một số phản thí dụ về dãy số và chuỗi sô. Một số phản thí dụ vẻ tính liên tục của hàm số.

Một số phản thí dụ về tính khả vi của ham so. Một số phản thí dụ về tính khả tích của hàm số và độ đo Lebesgue. Một số phản thí dụ trong tôpô 2. Các phản thí dụ trong tôpô tập hợp.

Các phản thí dụ trong các tiên đề tách. Các phản thí dụ về ánh xạ liên tục. Các phản thí dụ về tính liên tục đêu của hàm so. Ket luận Tài liệu tham khảo Đề thuận lợi cho quá trình dạy và học, chúng tôi đã lựa chọn và xây dựng một số phản thí dụ trong Giải tích cõ điển và Tôpô đại cương, đồng i 2 thời sắp xếp chúng theo nội dung Toán học tương ứng, tạo một tư liệu giảng dạy và nghiên cứu cho người dạy và một nguồn tài liệu học tập cho người học.

Sau đây là một số phản thí dụ trong từng nội dung. CHUONG1 MỘT SỐ PHÁN THÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH 1. Một số phản thí dụ về dãy số và chuỗi số Phản thí dụ 1.1 Đây số b‡ chăn nhưng không hột tụ. Day số {z„} được gọi là hội fụ đến + € R nếu với mọi ¢ > 0 cho trước, ton tai ng € N sao cho |#„ — #z| < e Vn 3 nạ.

Dãy số {z„} được gọi là b‡ chặn nếu tôn tai M > 0 sao cho |x,,| < M, Yn > 1. Dễ dàng chứng minh được rằng: Nếu {z„} hội tụ đến z € ® thì {z„} bị chặn. Thật vậy, vì z„ —> z nên |z„a| > |r|. Chon ¢ = 1, ta có số tự nhiên no thỏa mãn ||[#„| — |#+|| < 1.

hay|#„| < |z| + 1, Vn > nạ. Dat M = max {|x| + 1; \2,|: 1 <n < no}, ta duge |a2,,| <M, Vn > 1. Câu hỏi: Liệu điều ngược lại có đúng không? Tức là nếu dãy số {z„} bị chặn có suy ra nó hội tụ không? 2.1 Tồn tại dãy só bị chăn nhưng không hội tụ trong R. Vn > 1 nên dãy số {z„} bị chặn.

Giả sử {z„} hội tụ đến + € R. Với mọi n > 1 ta có: |#n+n có | 2 1 2 — n+ a n| < Í#m+q " | + [Zn - z| = Cn — | > l mâu thuẫn với giả thiết x, > x. Vậy {z„} bị chặn nhưng không hội tụ. 7 x Phan thi du 1.2 Day sé {u,,} héi tu vé 0 nhung chudi s6 Š” uạ phan n=Ì kì.

Ta lập dãy số mới S1 = uy So = uy + Uy sidnS Saaz Hư Sn = > tị: k=l nm Thiết lập day tong riéng {S,}*~ ¡ với S, = 32 ue va goi tong hình thức k=l S= up, là một chuối số. _ £ n=l x Nếu lim Š„ tồn tại và {S„} hội tụ đến S thi ta néi chudi s6 © u,, hoi noo n=l x tu va dinh nghia 3° u, = S. nel x Nếu dãy {S„} không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số `” u, phan n=—Ì kì. - x Ta có thể chứng mình được: Nếu chuỗi Š” ư„ hội tụ thì dãy số ứ„ hội tụ.

Khi dé u, = S, — S,-; 7 S-S=0 n=l khi n > oo. Câu hỏi: Điều ngược lại có đúng không? Tức là nếu dãy số ứ„ => Ú có x suy ra chudi sO $> u, hdi tu khong? n=1 > ` aC 2.2 Tôn tại dãy số {u„} héi tu vé 0 nhung chudi s6 > u, n=l phan ki.4 Tôn tại hai chuối số thỏa trân điều kiện của Dấu »x hiệu so sánh thứ nhất (đặc biệt |uạ| < |bạ|,Vn), chuỗi Š” 0ạ hột tụ nhưng n=] oO chuối >> u, phan ki. Xét chuỗi số 3” tự và Д oạ trong đó: n=] n=Ì Ta có = |v,|,Vn € N*. = \|— lA 1 | x x a+ Chuỗi số Š” „ = Š ——— hội tụ theo đấu hiện Leibniz, nhưng chuỗi * — l a0 e =.

* * n=l n=1 x x số $3 v, = ¥ + phan ki vi no 1a chudi điều hòa. n=1 n=1 Phan thi du 1.5 Hai chudi sé théa man diéu kién ciia Dau hiéu so sánh thứ hat (túc ln ”+ —= œ > (| hữu hạn) nhưng không cùng hột tụ hoặc n 300 Un phan ki. Dấu hiệu so sánh thứ hai nói rằng, nếu hai dãy số x» x dương Š” ứ„ và Š” vu, thỏa mãn điều kiện lim = =a > 0, thi n=1 n=l = oo ĐO x (a) Nếu < œ < œ thì hai chuỗi Д „ va SY v, cing hdi tụ hoặc n=l n=l phan ki. oo x (b) Neua=0va ¥ v, hội tụ thì Y” wu, cing hdi tu.

n=l n=l % x (c) Nếu œ = œ và Д œ„ phân kì thì S> wu, phân kì. n=l n=l Câu hỏi: Liên giả thiết dương của hai chuỗi số có bắt buộc không? 2.5 Tồn tại hai chuỗi số thỏa mãn điều kiện của Dấu hiệu so sánh thứ hai (tite lim = = a > (Ì hữu hạn) nhưng không cùng hội tụ #¬aằœc “= hoặc phân kì. 11 OO »x Chứng tránh. Xét hai chudi s6 S> u, và Š” tạ, trong đó n=l n=l ln = — + ˆ và Up = =nĨ.

Véi moi n > ] ta có 4a — @ + GY -+ a khi n > ov. Un Chuỗi số s¬ cỤ2 ~ hoi tu theo dấu hiệu Leibniz. ==] SO Tuy nhiên chuỗi ee "` + 1 phân kì vì chuỗi 3) ~ phân kì, còn chuỗi (— a)" l = ` Py, ‘ z- 1 ~ ` ` b xe n° n=] n=l Cự - hội tụ theo dấu hiệu Leibniz, nên tổng của nó > [ao v4 1 n=l _ kì. Một số phản thí dụ về tính liên tục của hàm số Phan thi du 1.6 Ham số liên tục tuyệt đối trên tập số thực R nhưng hàm sô đó gián đoạn tại mọi điểm trên tap nay.

Dat van dé. Ham sé f : R > được gọi là liên fục tại xp € R nếu với mọi £ > Ú, tồn tại ổ > 0 sao cho véi moi « € R ma |x — x9] < 6 thi lf (x) — f (x0)| <€ Nếu ƒ liên tục tại mọi điểm thuộc 8 thì ta nói ƒ liên tục trên R. Ta nhận thấy rằng nếu một hàm ƒ : 8 —> R liên tục trén R thì nó tuyệt đối liên tục trên , tức hàm số | ƒ| : R —> R liên tục. Thật vậy giả sử ƒ liên tục tại zg € 8 vàe > Ö là số cho trước.

Khi đó ton tai d > Ú sao cho |ƒ (#)— ƒ (ze)| < £ với mọi + € 8, |z —. Vay véi x € R va |x — 29| < 6, ta cd ||f (x)| — |f (xo)|| < |f (v7) — f (20)| < vậy ƒ liên tục tuyệt đối tai rg € R. Câu hỏi: Nếu ƒ tuyệt đối liên tục trên 8 thì ƒ có liên tục trên tập này không? 12 2.6 Tén tai ham sé f :R > R tuyét doi lién tuc, nhung f khéng lién tuc tai bat ct diém nado cia tap nay. Xét hàm ƒ : R —> lR cho bởi mm néu 2 € Q f(z) = = nếu z € R\Q, ở đây Q 1a tập số hữu tỉ trên đường thắng thực R.

Khi đó | ƒ (z)| = 1 với moi z € ïR, tức | ƒ| là một hằng hàm, nên nó liên tục với mọi z € R. Tuy nhiên, ta thấy rằng hàm ƒ không liên tục tại bất kỳ điểm nào thuộc 8. Trong khi đó trong lân cận tùy ý của #g U (xo) = {x € R|: rz — ro| < 4}, luôn tén tai day {2,}", C U (2p) gồm các điểm võ tỉ, tức z„ € R\Q, ta có ƒ(#„) = —1 với mọi ?. Vậy thì ƒ(z„) = —l A 1= f (xo), tite x 1a điểm gián đoạn của ƒ.

(b) Nếu zạ € R\Q, tức zạ là điểm võ tỉ. Lập luận tương tự khi lấy một dãy {z„},)- ¡ các điểm hữu tỉ trong lân cận VÝ của #g V (zạ) = {z € RỊ: r — zọ| < ð}. vậy ƒ gián đoạn của x9. Tóm lại, ƒ gián đoạn tại mọi zg € 8.

Phan thí dụ 1.7 Hàm số liên tục tại du nhất một điểm. Thông thường ta xét hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập hợp. trên toàn bộ, đường thắng v. Câu hỏi: Liệu có hàm số nào chỉ liên tục tại một điểm duy nhất không? 2.7 Tôn tại hàm số chỉ liên tục duụ nhất một điểm.

Xét ham sé f : R > R cho bai 13 _ fax nếuz€(Q f(z) = ‘« nếu z € R\Q. Ta thay ham ƒ này chỉ liên tục duy nhất tại z = 0. Trước hết ta chỉ ra ƒ liên tuc tai rg = 0, gid sử £ > Ú cho trước, ta chọn ð = £. Khi đó với mọi z € R mà |z — 0| = |z| < 6 = « thì lz| nếuz€\Q |ƒ (z) — ƒ(0)| = |ƒ (+)| = f nếu z € R\Q.

Trong cả hai trường hợp này ta đều có — ƒ(0)| < s khi |z — 0| < ð. \f (x) Vậy ƒ liên tục tại zạ = 0. Tiếp theo ta sẽ chỉ ra ƒ không liên tục (gián doan) tai moi x # 0. (a) Nếu z € R\Q thì theo tính trù mật của tập số thực, sẽ tồn tại dãy {Z„}j-¡ C Q sao cho #„ —> #.

Do z„ € Q nên ƒ(z„) = z„, Vn > 1. tức ƒ(z„) # ƒ(z) khi n > of mac dh In > 2. Vậy ƒ không liên tuc trén R\Q. Khi đó do tính trù mật của tập số vô tỉ trên 8, nên tỏn tại dãy {z„},`¡ C IR\Q sao cho z„ > x.

Như vậy ƒ(z„) & ƒ (z) khi n => <, mặc dù rang x, > x. Do dé, ƒ không liên tục (gián đọan) trên Ợ (tập các số hữu tì). Tóm lại, ƒ không liên tục tại mọi # # 0Ú hay nói khác tí, ƒ chỉ liên tục tại rp = 0. Phan thí dụ 1.8 Hàm số liên tục tại một điểm thì liên tục trên toàn bộ không gian.

Nói chung, hàm số liên tục tại một điểm thì không thể suy ra hàm số liên tục tại các điểm khác. Phản thí dụ 1.7 cho thấy tôn tại hàm số liên tục chỉ tại một điểm (và không liên tục tại các điểm khác). 14 Câu hỏi: Có lớp hàm nào mà liên tục tại một điểm thì kéo theo sự liên tục trên toàn bộ không gian hay không? 2.8 Tôn tai lép hàm rnà sự liên tục tại một điểm kéo theo sự liên tục của nó trên toàn bộ không gian.