Khám Phá Ứng Dụng Của Đa Chập Hartley Fourier Trong Luận Văn Tốt Nghiệp

Khóa luận đánh giá 1585 Đa Chập Hartley Fourier: Ứng Dụng Trong Luận Văn ..., tiếp cận đa chiều, kết quả có tính khả thi cao trong lĩnh vực chuyên

• Tác giả: Phí Thị Vân Anh
• Người hướng dẫn: Nguyễn Xuân Thảo
• Trường học: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán Giải tích
• Đề tài: Đa Chập Hartley-Fourier Và Ứng Dụng
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ toán học
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Giới thiệu về Đa Chập Hartley Fourier

Đa Chập Hartley Fourier là một kỹ thuật toán học quan trọng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và phân tích hệ thống. Phương pháp này kết hợp biến đổi Hartley và biến đổi Fourier để tạo ra một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán phức tạp. Luận văn tốt nghiệp này tập trung vào việc ứng dụng Đa Chập Hartley Fourier trong các nghiên cứu thực tế, đặc biệt là trong lĩnh vực toán học và công nghệ. Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trước đây.

1.1. Lịch sử và lý do chọn đề tài

Lý thuyết biến đổi tích phân đã ra đời từ rất sớm và đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học. Đa Chập Hartley Fourier xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế trong vật lý, cơ học, và y học. Phương pháp này được phát triển dựa trên nền tảng của biến đổi Fourier và biến đổi Hartley, mang lại hiệu quả cao trong việc phân tích và xử lý tín hiệu số. Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Xuân Thảo và TS. Nguyễn Minh Khoa, với mục tiêu ứng dụng Đa Chập Hartley Fourier vào các bài toán thực tế.

II. Phương pháp Hartley và biến đổi Fourier

Phương pháp Hartley và biến đổi Fourier là hai công cụ toán học cơ bản được sử dụng trong luận án. Biến đổi Hartley được định nghĩa như một phép biến đổi tích phân, trong khi biến đổi Fourier là công cụ mạnh mẽ để phân tích tín hiệu và hệ thống. Sự kết hợp của hai phương pháp này tạo ra Đa Chập Hartley Fourier, một kỹ thuật mới có khả năng giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Luận án đã trình bày chi tiết các định nghĩa, tính chất, và ứng dụng của hai phương pháp này trong nghiên cứu toán học.

2.1. Định nghĩa và tính chất của biến đổi Hartley

Biến đổi Hartley được định nghĩa như một phép biến đổi tích phân, với các tính chất quan trọng như tính tuyến tính và tính đối xứng. Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và phân tích hệ thống. Luận án đã trình bày chi tiết các định lý và bổ đề liên quan đến biến đổi Hartley, đồng thời ứng dụng chúng vào việc giải các bài toán tích phân và phương trình vi phân.

2.2. Ứng dụng của biến đổi Fourier trong nghiên cứu

Biến đổi Fourier là một công cụ mạnh mẽ trong phân tích tín hiệu và hệ thống. Luận án đã trình bày các ứng dụng của biến đổi Fourier trong việc giải các bài toán tích phân và phương trình vi phân. Phương pháp này cũng được sử dụng để phân tích các tín hiệu số và hệ thống động lực, mang lại hiệu quả cao trong các nghiên cứu thực tế.

III. Ứng dụng của Đa Chập Hartley Fourier trong luận văn tốt nghiệp

Đa Chập Hartley Fourier đã được ứng dụng rộng rãi trong luận văn tốt nghiệp để giải quyết các bài toán phức tạp. Phương pháp này được sử dụng để giải các lớp phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân, mang lại kết quả chính xác và hiệu quả. Luận án cũng trình bày các ứng dụng của Đa Chập Hartley Fourier trong việc phân tích tín hiệu số và hệ thống động lực, đồng thời đánh giá giá trị thực tiễn của phương pháp này trong các nghiên cứu thực tế.

3.1. Giải các lớp phương trình tích phân

Đa Chập Hartley Fourier đã được sử dụng để giải các lớp phương trình tích phân phức tạp. Phương pháp này mang lại hiệu quả cao trong việc tìm nghiệm chính xác của các phương trình tích phân, đồng thời giảm thiểu sai số trong quá trình tính toán. Luận án đã trình bày chi tiết các ứng dụng của Đa Chập Hartley Fourier trong việc giải các bài toán tích phân, đồng thời đánh giá giá trị thực tiễn của phương pháp này.

3.2. Phân tích tín hiệu số và hệ thống động lực

Đa Chập Hartley Fourier cũng được ứng dụng trong việc phân tích tín hiệu số và hệ thống động lực. Phương pháp này mang lại hiệu quả cao trong việc phân tích và xử lý các tín hiệu số phức tạp, đồng thời giúp hiểu rõ hơn về các hệ thống động lực. Luận án đã trình bày chi tiết các ứng dụng của Đa Chập Hartley Fourier trong lĩnh vực này, đồng thời đánh giá giá trị thực tiễn của phương pháp.

IV. Phân tích và đánh giá giá trị thực tiễn của Đa Chập Hartley Fourier

Luận án đã tiến hành phân tích và đánh giá giá trị thực tiễn của Đa Chập Hartley Fourier trong các nghiên cứu thực tế. Phương pháp này mang lại hiệu quả cao trong việc giải các bài toán phức tạp, đồng thời giảm thiểu sai số trong quá trình tính toán. Các kết quả nghiên cứu đã chứng minh rằng Đa Chập Hartley Fourier là một công cụ mạnh mẽ trong toán học và công nghệ, có khả năng ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau.

4.1. Phân tích hiệu quả của Đa Chập Hartley Fourier

Luận án đã tiến hành phân tích hiệu quả của Đa Chập Hartley Fourier trong việc giải các bài toán phức tạp. Phương pháp này mang lại hiệu quả cao trong việc tìm nghiệm chính xác của các phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân, đồng thời giảm thiểu sai số trong quá trình tính toán. Các kết quả nghiên cứu đã chứng minh rằng Đa Chập Hartley Fourier là một công cụ mạnh mẽ trong toán học và công nghệ.

4.2. Đánh giá giá trị thực tiễn của phương pháp

Luận án đã tiến hành đánh giá giá trị thực tiễn của Đa Chập Hartley Fourier trong các nghiên cứu thực tế. Phương pháp này mang lại hiệu quả cao trong việc giải các bài toán phức tạp, đồng thời có khả năng ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau. Các kết quả nghiên cứu đã chứng minh rằng Đa Chập Hartley Fourier là một công cụ mạnh mẽ trong toán học và công nghệ, có khả năng ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau.

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Phí Thị Vân Anh ĐA CHẬP HARTLEY-FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. NGUYỄN XUÂN THẢO 2. NGUYỄN MINH KHOA Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Xuân Thảo và TS.

Nguyễn Minh Khoa. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác. Tác giả Phí Thị Vân Anh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. Nguyễn Xuân Thảo TS.

Nguyễn Minh Khoa −1− LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của các Thầy PGS. Nguyễn Xuân Thảo và TS. Nguyễn Minh Khoa. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự tin, vượt qua được nhiều khó khăn để có được những kết quả như hôm nay.

Qua đây tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc và lòng quý mến đối với các Thầy. Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy và các bạn trong xemina Toán Giải tích thuộc Viện Toán Ứng dụng và Tin học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, do PGS. Nguyễn Xuân Thảo chủ trì; xemina Giải tích - Đại số Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, do GS. Nguyễn Văn Mậu chủ trì.

Các Thầy và các bạn đã tạo một môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này. Tại đây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, những góp ý quý báu cũng như một môi trường nghiên cứu sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận án của tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Giao thông Vận tải, các đồng nghiệp thuộc Bộ môn Đại số-Xác suất thống kê đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả được học tập, công tác và hoàn thành luận án. Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ, lòng biết ơn đến GS.

Vũ Kim Tuấn, người đã luôn có những trao đổi, những định hướng về chuyên môn cho tác giả cũng như cho cả nhóm xemina. Thầy luôn là biểu tượng của sự nhiệt tình, nghiêm túc và chính xác trong nghiên cứu khoa học. Qua đây, tác giả cũng xin bày tỏ sự biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Thanh Hồng, người đã luôn sẵn sàng, tận tình giúp đỡ về mặt chuyên môn cũng như cung cấp cho tác giả những kinh nghiệm, những tài liệu quý báu ngay từ những ngày đầu bước vào nghiên cứu và trong suốt thời gian nghiên cứu.

Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình bố mẹ, các anh chị em, cùng chồng, con và bạn bè. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã gặp sự cố về sức khỏe, nhưng tất cả các Thầy, các bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt là các thành viên trong gia đình, đã luôn sát cánh, động viên và ủng hộ tác giả. Đó là nguồn động lực to lớn giúp tác giả hoàn thành luận án của mình. Xin chân thành cảm ơn! Tác giả −2− MỤC LỤC Trang phụ bìa.

0 Lời cam đoan. 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 25 1.1 Biến đổi Fourier .1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier: .2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier .3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier .4 Định lý Young và bất đẳng thức Young .5 Định lý Saitoh và bất đẳng thức Saitoh .2 Biến đổi Fourier cosine .1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine .2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier cosine .3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier cosine .3 Phép biến đổi Fourier sine .1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine .2 Một số tích chập liên quan đến biến đổi Fourier sine .4 Phép biến đổi Hartley .1 Định nghĩa biến đổi Hartley .2 Một số tính chất của biến đổi Hartley .3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley .4 Một số tích chập có liên quan đến biến đổi Hartley .5 Một số định lý và bổ đề được sử dụng .1 Bất đẳng thức Hölder .2 Định lý nội suy Riesz. ĐA CHẬP LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HART- LEY, FOURIER COSINE VÀ FOURIER SINE 38 3 2.1 Đa chập đối với phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine .1 Định nghĩa đa chập H-Fc -Fs .2 Một số tính chất của đa chập H-Fc -Fs .3 Ứng dụng giải một lớp phương trình tích phân .4 Ứng dụng giải hệ hai phương trình tích phân .2 Đa chập đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier cosine .1 Định nghĩa đa chập H-Fc .2 Một số tính chất của đa chập H-Fc .3 Ứng dụng giải một lớp phương trình Toeplitz-Hankel .4 Ứng dụng giải một lớp hệ phương trình Toeplitz-Hankel 63 2.5 Đa chập H-Fc suy biến.

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP 70 3.1 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc -Fs .1 Tính unita trong không gian L2 (R) .2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2 (R) .3 Tính bị chặn của toán tử Tp1 ,p2 .2 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc .1 Tính unita trong không gian L2 (R) .2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2 (R) .3 Tính bị chặn của toán tử Tq1 ,q2 .1 Phương trình vi-tích phân .2 Hệ hai phương trình vi-tích phân. BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI ĐA CHẬP 99 4.1 Bất đẳng thức trong L1 .2 Bất đẳng thức trong Lα,β,γ s .3 Bất đẳng thức kiểu Young .4 Bất đẳng thức kiểu Saitoh .1 Phương trình tích phân .2 Phương trình vi phân. 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 122 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN.

128 −5− MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a. Các không gian hàm và chuẩn • R là tập tất cả các số thực. • C là tập tất cả các số phức. • C0 (R) là không gian Banach gồm các hàm liên tục trên R và triệt tiêu tại vô cùng với chuẩn sup.

• S là không gian Schwartz gồm tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên R và các đạo hàm của nó giảm nhanh ở vô cùng. • L∞ (R) là không gian gồm các hàm bị chặn trên R. −∞ Nếu thay R bởi R+ và tích phân trên thay cận từ 0 đến ∞ thì ta có không gian Lp (R+ ). • Lp (R, ρ), 1 6 p < ∞ là không gian các hàm số f (x) trên R sao cho Z∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, −∞ trong đó ρ(x) là một hàm trọng dương.

• Lα,βp (R+ ), α ∈ R, 0 < β ≤ 1, p ≥ 1 là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+ , sao cho Z∞ xα K0 (βx)|f (x)|p dx < ∞, 0 trong đó K0 (x) là hàm Bessel loại hai. −∞ 6 • kf kLp (R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi  Z∞  p1 p kf kLp (R) = |f (x)| dx. −∞ • kf kLp (R,ρ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R, ρ), xác định bởi  Z∞  p1 p kf kLp (R,ρ) = |f (x)| ρ(x)dx. −∞ α,β,γ • kf kLα,β,γ p (R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi  ∞ 1/p Z kf kLα,β,γ =  |x|α e−β|x|γ |f (x)|p dx.

Kí hiệu các phép biến đổi tích phân • F là phép biến đổi Fourier Z∞ 1 (F f )(y) := √ f (x)e−ixy dx, ∀y ∈ R. 2π −∞ • Fc là phép biến đổi Fourier cosine r Z∞ 2 (Fc f )(y) := f (x) cos(yx) dx, ∀y ∈ R+. π 0 • Fs là phép biến đổi Fourier sine r Z∞ 2 (Fs f )(y) := f (x) sin(yx) dx, ∀y ∈ R+. π 0 • H1 , H2 là các phép biến đổi Hartley Z∞ 1 (H1 f )(y) := √ f (x) cas(xy)dx, y ∈ R, 2π −∞ Z∞ 1 (H2 f )(y) := √ f (x) cas(−xy)dx, y ∈ R.

2π −∞ −7− • L là phép biến đổi Laplace Z∞ (Lf )(s) := f (t)e−ts dt, ∀s ∈ C. 0 • Hν là phép biến đổi Hankel được xác định bởi công thức Z∞ (Hν Φ)(t) := τ Jν (tτ )Φ(τ )dτ, 0 với Jν là hàm Bessel loại một. • Mi là phép biến đổi tích phân kiểu Mellin với chỉ số i được xác định bởi Z∞ y  dt (Mi f )(y) := ki f (t) , i = 0, 1, 2. Ký hiệu các hàm đặc biệt • Γ(z) là hàm Gamma Z∞ Γ(z) := tz−1 e−t dt, Re z > 0.

dx dx Nghiệm này liên hệ với hàm Bessel loại một bởi công thức Jn (x) cos (nπ) − J−n (x) Kn (x) =. sin(nπ) Trường hợp cụ thể Z∞ K0 (w) := e−wy cosh ydy. Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập • (· ∗ ·) (xem trang 12) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier. F • (· ∗ ·) (xem trang 28) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine.

Fc • (· ∗ ·) (xem trang 14) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi F sF c Fourier sine và Fourier cosine. • (· ∗ ·) (xem trang 30) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi F cF s Fourier cosine và Fourier sine. γ • (· ∗ ·) (xem trang 30) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sign y F F cF s đối với các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine và Fourier sine. • (· ∗ ·) (xem trang 35) là tích chập đối với phép biến đổi Hartley.

H • (· ∗ ·) (xem trang 35) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley. H12 −9− • (· ∗ ·) (xem trang 36) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley HF và biến đổi Fourier. • (· ∗ ·) (xem trang 36) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley HF c và Fourier cosine. • ∗(·, ·, ·) (xem trang 38) là đa chập đối với phép biến đổi Hartley, Fourier 1 cosine và Fourier sine.

• ∗(·, ·, ·) (xem trang 55) là đa chập đối với phép biến đổi Hartley và Fourier 2 cosine. • ∗(·, ·, ·) (xem trang 67) là đa chập suy biến đối với phép biến đổi Hartley 3 và Fourier cosine. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Lý thuyết biến đổi tích phân đã ra đời rất sớm, được phát triển và giữ một vị trí quan trọng trong lịch sử Giải tích toán học.