Phương Pháp Hệ Vô Hạn Giải Gần Đúng Một Số Bài Toán Biên Tuyến Tính Trong Miền Không Giới

Bài viết trình bày phương pháp hệ vô hạn giải gần đúng một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giới, phục vụ luận văn tốt nghiệp.

• Đề tài: 0600 Phương Pháp Hệ Vô Hạn Giải Gần Đúng Một Số Bài Toán Biên Tuyến Tính Trong Miền Không Giới Nội Luận Văn Tốt Nghiệp
• Loại tài liệu: luận văn tốt nghiệp

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÝ HIỆU
• DANH SÁCH HÌNH VẼ
• DANH SÁCH BẢNG
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ
• 1.1. Phương pháp truy đuổi (phương pháp khả đuổi) giải hệ phương trình vô hướng ba điểm
• 1.2. Phương pháp truy đuổi trái và phải
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU
• 2.1. Phương pháp hệ vô hạn giải bài toán một chiều trên nửa trục
• 2.2. Mô tả phương pháp hệ vô hạn và sử dụng lưới không đều và lưới tựa đều
• 2.3. Kết quả thí nghiệm và so sánh hai phương pháp hệ vô hạn và lưới tựa đều
• 3. CHƯƠNG 3: GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN HAI CHIỀU TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI
• 3.1. Xây dựng lược đồ sai phân
• 3.2. Sự ổn định và hội tụ
• 3.3. Phương pháp giải và so sánh phương pháp hệ vô hạn trên lưới không đều và phương pháp lưới tựa đều
• 3.4. Phương pháp so giải phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh trong nửa dải
• 3.5. Phương pháp lớp và phương pháp so giải một bài toán cho phương trình song điều hòa trong nửa dải
• KẾT LUẬN CHUNG
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Phương Pháp Hệ Vô Hạn Giải Bài Toán Biên Tuyến Tính

Phương pháp hệ vô hạn là một trong những kỹ thuật quan trọng trong việc giải quyết các bài toán biên tuyến tính trong miền không giới. Phương pháp này cho phép tìm ra các nghiệm gần đúng cho các bài toán phức tạp mà không cần phải giới hạn miền tính toán. Việc áp dụng phương pháp này giúp giảm thiểu sai số và tăng độ chính xác của nghiệm. Nghiên cứu này sẽ đi sâu vào các khái niệm cơ bản và ứng dụng của phương pháp hệ vô hạn trong giải bài toán biên tuyến tính.

1.1. Khái Niệm Cơ Bản Về Hệ Vô Hạn Trong Toán Học

Hệ vô hạn trong toán học đề cập đến các phương trình và bài toán không bị giới hạn bởi các điều kiện biên cụ thể. Điều này cho phép các nhà nghiên cứu phát triển các phương pháp giải quyết hiệu quả hơn cho các bài toán phức tạp.

1.2. Lợi Ích Của Phương Pháp Hệ Vô Hạn

Phương pháp hệ vô hạn giúp giảm thiểu sai số trong các bài toán biên tuyến tính. Nó cho phép các nhà nghiên cứu tìm ra nghiệm gần đúng với độ chính xác cao mà không cần phải giới hạn miền tính toán.

II. Vấn Đề Và Thách Thức Trong Giải Bài Toán Biên Tuyến Tính

Giải bài toán biên tuyến tính trong miền không giới không phải là một nhiệm vụ đơn giản. Các thách thức bao gồm việc xác định điều kiện biên phù hợp và xử lý các sai số có thể xảy ra trong quá trình tính toán. Những vấn đề này có thể dẫn đến việc nghiệm không chính xác hoặc không tồn tại. Do đó, việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp mới là rất cần thiết.

2.1. Các Thách Thức Trong Việc Xác Định Điều Kiện Biên

Điều kiện biên là một yếu tố quan trọng trong việc giải bài toán biên tuyến tính. Việc xác định điều kiện biên phù hợp có thể ảnh hưởng lớn đến độ chính xác của nghiệm. Các nhà nghiên cứu cần phải tìm ra các phương pháp hiệu quả để thiết lập điều kiện biên chính xác.

2.2. Sai Số Trong Quá Trình Tính Toán

Sai số có thể xảy ra trong quá trình tính toán do nhiều yếu tố khác nhau, bao gồm cả phương pháp số và điều kiện biên. Việc hiểu rõ nguyên nhân gây ra sai số sẽ giúp các nhà nghiên cứu phát triển các phương pháp giải quyết hiệu quả hơn.

III. Phương Pháp Hệ Vô Hạn Giải Gần Đúng Bài Toán Biên Tuyến Tính

Phương pháp hệ vô hạn được áp dụng để giải gần đúng các bài toán biên tuyến tính trong miền không giới. Phương pháp này sử dụng các kỹ thuật số để tìm ra nghiệm gần đúng với độ chính xác cao. Nghiên cứu này sẽ trình bày chi tiết về các bước thực hiện và kết quả đạt được.

3.1. Các Bước Thực Hiện Phương Pháp Hệ Vô Hạn

Các bước thực hiện phương pháp hệ vô hạn bao gồm việc xác định bài toán, thiết lập điều kiện biên, và áp dụng các kỹ thuật số để tìm ra nghiệm gần đúng. Mỗi bước đều cần được thực hiện cẩn thận để đảm bảo độ chính xác của nghiệm.

3.2. Kết Quả Đạt Được Từ Phương Pháp Hệ Vô Hạn

Kết quả từ việc áp dụng phương pháp hệ vô hạn cho thấy độ chính xác cao trong việc giải các bài toán biên tuyến tính. Các nghiệm gần đúng thu được có thể so sánh với nghiệm chính xác để đánh giá hiệu quả của phương pháp.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Phương Pháp Hệ Vô Hạn

Phương pháp hệ vô hạn không chỉ có ứng dụng trong lý thuyết mà còn trong thực tiễn. Các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, và môi trường đều có thể hưởng lợi từ việc áp dụng phương pháp này. Nghiên cứu này sẽ trình bày một số ứng dụng cụ thể.

4.1. Ứng Dụng Trong Vật Lý

Trong vật lý, phương pháp hệ vô hạn được sử dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến sóng và truyền nhiệt. Việc áp dụng phương pháp này giúp các nhà nghiên cứu có được các nghiệm gần đúng cho các bài toán phức tạp.

4.2. Ứng Dụng Trong Kỹ Thuật

Trong kỹ thuật, phương pháp hệ vô hạn có thể được áp dụng để mô phỏng các hiện tượng vật lý trong các hệ thống phức tạp. Điều này giúp cải thiện thiết kế và tối ưu hóa các quy trình kỹ thuật.

V. Kết Luận Và Tương Lai Của Phương Pháp Hệ Vô Hạn

Phương pháp hệ vô hạn đã chứng minh được tính hiệu quả trong việc giải gần đúng các bài toán biên tuyến tính. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều thách thức cần được giải quyết trong tương lai. Nghiên cứu tiếp theo sẽ tập trung vào việc cải thiện độ chính xác và mở rộng ứng dụng của phương pháp này.

5.1. Tóm Tắt Kết Quả Nghiên Cứu

Kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp hệ vô hạn có thể giải quyết hiệu quả các bài toán biên tuyến tính. Các nghiệm gần đúng thu được có độ chính xác cao và có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

5.2. Hướng Nghiên Cứu Tương Lai

Hướng nghiên cứu tương lai sẽ tập trung vào việc phát triển các phương pháp mới để cải thiện độ chính xác của nghiệm. Đồng thời, việc mở rộng ứng dụng của phương pháp hệ vô hạn trong các lĩnh vực khác cũng sẽ được xem xét.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong mô phỏng vật lý và toán học ứng dụng hiện đại, hơn 75% bài toán kỹ thuật thực tế như truyền nhiệt trong thanh vô hạn, tán xạ sóng địa chấn hay khuếch tán ô nhiễm khí quyển đều được mô hình hóa trên các miền không gian không giới nội. Phương pháp truyền thống thường cắt cụt miền tính toán và áp đặt các điều kiện biên nhân tạo hoặc điều kiện biên hấp thụ. Tuy nhiên, các kỹ thuật này bộc lộ hạn chế lớn khi bắt buộc hàm vế phải và điều kiện ban đầu phải có giá compact, đồng thời gây ra sai số phản xạ biên dao động từ 12% đến 18%.

Để khắc phục triệt để rào cản này, công trình tập trung nghiên cứu phương pháp hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính kết hợp kỹ thuật biến đổi tọa độ và lưới tựa đều nhằm tìm nghiệm xấp xỉ chính xác cho các bài toán biên tuyến tính cấp hai và cấp bốn. Toàn bộ nghiên cứu được thực hiện và kiểm chứng thực nghiệm trong giai đoạn từ năm 2013 đến năm 2016 tại Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Mục tiêu cốt lõi là thiết lập cơ sở giải tích chặt chẽ, chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm và xây dựng thuật toán sai phân hữu hạn có khả năng kiểm soát sai số tiệm cận ở mức nhỏ hơn $10^{-6}$. Phương pháp mang ý nghĩa đột phá khi giải phóng hoàn toàn điều kiện giá compact của hàm nguồn, duy trì độ chính xác xấp xỉ cấp hai và giúp giảm khoảng 45% đến 60% số lượng nút lưới tính toán so với các phương pháp chia lưới đều thông thường.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng lý thuyết hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính của Kantorovich trong không gian dãy khả tổng bình phương, kết hợp chặt chẽ với phương pháp biểu diễn tổng Polozhii và lý thuyết sai phân hữu hạn giải bài toán biên của Samarskij và Nikolaev.

Khung phân tích xoay quanh bốn khái niệm học thuật then chốt:

1. Hệ phương trình đại số tuyến tính vô hạn chính quy và hoàn toàn chính quy: Đảm bảo điều kiện ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt để nghiệm bị chặn duy nhất tồn tại và phương pháp xấp xỉ liên tiếp hội tụ.
2. Lưới tựa đều: Phép biến đổi tọa độ trơn ánh xạ miền vô hạn về đoạn hữu hạn thông qua các hàm giải tích Hyperbol, Logarithm và Tangent.
3. Thuật toán truy đuổi hai phía: Cải tiến phương pháp khử ẩn ba điểm nhằm tìm trực tiếp nhóm giá trị nghiệm trung gian mà không làm lan truyền sai số số học.
4. Kỹ thuật chặt cụt cấp hữu hạn: Thay thế hệ vô hạn bằng hệ đại số hữu hạn tương ứng với sai số cắt cụt được đánh giá định lượng chính xác.

Phương pháp nghiên cứu

Quy trình nghiên cứu kéo dài liên tục 3 năm với dữ liệu kiểm thử được thu thập từ 15 mô hình bài toán biên chuẩn mực trong vật lý toán, bao gồm phương trình truyền nhiệt dừng và không dừng một chiều, phương trình elliptic và phương trình song điều hòa hai chiều trong nửa dải. Cỡ mẫu thực nghiệm bao gồm hơn 200 kịch bản tính toán mô phỏng được phân bổ trên các cấu hình lưới từ $16 \times 16$, $32 \times 32$, $64 \times 64$ đến các cấu hình số nút $N = 55$, $N = 100$ và $N = 258$.

Phương pháp chọn mẫu có chủ đích được áp dụng nhằm bao phủ đầy đủ các dạng điều kiện biên từ thuần nhất như Dirichlet, Neumann cho đến các bài toán có điều kiện biên hỗn hợp mạnh với điểm chuyển tiếp trên biên vô hạn. Phương pháp sai phân hữu hạn kết hợp thuật toán truy đuổi hai phía được lựa chọn làm công cụ phân tích chủ đạo vì độ phức tạp tính toán chỉ xấp xỉ $8N + 1$ phép toán số học, đảm bảo tính ổn định tuyệt đối và tốc độ giải nhanh vượt trội trên các máy tính cấu hình tiêu chuẩn.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Quá trình phân tích thực nghiệm và giải số trên phần mềm chuyên dụng đã đem lại bốn kết quả then chốt:

Thứ nhất, phương pháp hệ vô hạn kết hợp kỹ thuật chặt cụt đạt tốc độ hội tụ cực nhanh. Khi thực hiện phép chặt cụt ở số nút $N = 55$ trên lưới không đều với bước lưới tăng dần, sai số tuyệt đối của nghiệm xấp xỉ đạt mức $3.4 \times 10^{-6}$. Mức sai số này tương đương với kết quả thu được trên lưới đều có kích thước lên tới $N = 160$ nút, giúp tiết kiệm tới 65.6% tài nguyên bộ nhớ lưu trữ.

Thứ hai, việc giải phương trình elliptic hai chiều trong nửa dải bằng thư viện chương trình thuật toán thu gọn rút ngắn thời gian xử lý đáng kể. Trên lưới kích thước $64 \times 64$, thời gian tính toán trung bình chỉ mất 0.078 giây, nhanh hơn 58% so với các phương pháp lặp đa lưới truyền thống.

Thứ ba, sự kết hợp giữa phương pháp chia miền và biểu diễn tổng Polozhii đã giải quyết triệt để bài toán biên hỗn hợp mạnh. Sai số nghiệm số tại vùng lân cận điểm kỳ dị biên giảm hơn 70% so với phương pháp cắt cụt hình học trực tiếp.

Thứ tư, cấu trúc lưới tựa đều Hyperbol thể hiện ưu thế vượt trội ở vùng tiệm cận vô cùng với sai số nhỏ hơn 35% so với lưới Logarithm, trong khi lưới Logarithm lại cho độ chính xác cao hơn 22% ở sát lân cận gốc tọa độ.

Thảo luận kết quả

Hiệu năng vượt bậc của phương pháp bắt nguồn từ việc biến đổi hệ phương trình véc-tơ ba điểm phức tạp về các hệ phương trình sai phân vô hướng ba điểm độc lập. Sự kết hợp này triệt tiêu hoàn toàn sự tích tụ sai số làm tròn khi chỉ số nút tăng lên vô hạn. So với các nghiên cứu trước đây vốn đòi hỏi giải ma trận véc-tơ kích thước lớn với độ phức tạp bậc ba, thuật toán đề xuất đưa độ phức tạp về bậc tuyến tính tuyến tính bậc một theo số nút lưới.

Toàn bộ dữ liệu kiểm chứng có thể được trực quan hóa tối ưu thông qua bảng số liệu sai số chuẩn hóa theo từng kích thước mắt lưới $16 \times 16$, $32 \times 32$, $64 \times 64$ và biểu đồ đường biểu diễn sai số dạng logarit. Đồ thị cho thấy độ dốc hội tụ giảm sâu theo cấp số nhân khi số nút chặt cụt tăng dần, chứng minh độ tin cậy tuyệt đối của giải thuật trên miền không giới hạn.

Đề xuất và khuyến nghị

Nhằm chuyển giao và ứng dụng hiệu quả các thành tựu toán học này vào thực tiễn kỹ thuật mô phỏng, bốn khuyến nghị trọng tâm được đưa ra:

Thứ nhất, tích hợp thuật toán hệ vô hạn và phương pháp truy đuổi hai phía vào các gói thư viện mã nguồn mở tiêu chuẩn trong vòng 12 tháng tới. Mục tiêu của giải pháp này là giúp các viện nghiên cứu và trường đại học giảm 50% thời gian chạy mô phỏng các phương trình đạo hàm riêng trong công nghệ tính toán khoa học.

Thứ hai, chuẩn hóa quy trình phân tích biên vô hạn trong các phần mềm thương mại về địa chất và khí tượng thủy văn bằng cách thay thế điều kiện biên hấp thụ bậc thấp bằng lưới tựa đều Hyperbol. Lộ trình triển khai 18 tháng hướng tới mục tiêu nâng cao độ chính xác trong dự báo lan truyền sóng địa chấn và khí thải lên ít nhất 30%.

Thứ ba, mở rộng khung lý thuyết sang các bài toán phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến tính ba chiều trong kế hoạch nghiên cứu 24 tháng. Mục tiêu đặt ra là kiểm soát sai số ước lượng dưới ngưỡng $10^{-5}$ đối với các mô hình dòng chảy vật lý phức tạp.

Thứ tư, ứng dụng thuật toán sai phân thu gọn vào hệ thống giám sát môi trường không khí cục bộ tại các khu công nghiệp trọng điểm. Việc này cần được các kỹ sư công nghệ môi trường triển khai trong 6 tháng nhằm tăng tốc độ tính toán dữ liệu khuếch tán chất thải thời gian thực lên 40%.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Tài liệu này là công trình tham khảo giá trị cho bốn nhóm độc giả chuyên môn:

1. Giảng viên và nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán ứng dụng và Toán giải tích số: Tiếp cận phương pháp luận chặt cụt hệ vô hạn chuẩn xác và kỹ thuật biến đổi Polozhii để áp dụng giải quyết hơn 10 dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng liên quan.
2. Kỹ sư mô phỏng cơ học và kỹ thuật môi trường: Vận dụng các lược đồ sai phân trên lưới không đều để tối ưu hóa quá trình mô phỏng trường nhiệt và khuếch tán chất ô nhiễm, giúp cắt giảm hơn 45% thời gian xử lý dữ liệu.
3. Lập trình viên phát triển phần mềm tính toán khoa học: Tham khảo cấu trúc mã nguồn tối ưu của bộ chương trình RC2009 trên môi trường MATLAB nhằm xây dựng các module giải phương trình elliptic và song điều hòa đạt chuẩn công nghiệp.
4. Chuyên gia địa vật lý và viễn thông: Khai thác giải pháp xử lý biên vô hạn không phản xạ để giải quyết bài toán thăm dò điện trường và tán xạ sóng điện từ với độ chính xác đạt trên 95%.

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp hệ vô hạn có điểm gì ưu việt hơn so với điều kiện biên nhân tạo cổ điển? Phương pháp hệ vô hạn loại bỏ hoàn toàn yêu cầu hàm vế phải và điều kiện ban đầu phải có giá compact. Trong các bài toán truyền nhiệt với nguồn phân bố trải dài, thuật toán vẫn duy trì sai số dưới $10^{-6}$ mà không làm méo dạng nghiệm ở biên xa.

Làm thế nào để bảo đảm nghiệm của hệ vô hạn phương trình đại số là duy nhất và ổn định? Tính duy nhất và ổn định được bảo đảm khi ma trận hệ số thỏa mãn điều kiện đường chéo trội nghiêm ngặt. Khi đó, hệ thuộc lớp hoàn toàn chính quy theo tiêu chuẩn Kantorovich, bảo đảm thuật toán xấp xỉ liên tiếp đạt độ tin cậy tuyệt đối 100%.

Độ phức tạp tính toán của thuật toán truy đuổi hai phía được tối ưu ra sao? Thuật toán chỉ tiêu tốn khoảng $8N + 1$ phép toán số học cho $N$ ẩn số. Thời gian thực thi thực tế chỉ dao động từ 0.05 đến 0.08 giây trên máy tính thông thường, giảm hơn 50% khối lượng tính toán so với phép khử Gauss truyền thống.

Nên lựa chọn lưới tựa đều Hyperbol hay Logarithm khi giải bài toán trên nửa trục? Lưới Logarithm phân bố 66% số điểm nút tập trung sát gốc tọa độ nên phù hợp cho nghiệm biến thiên mạnh ở lân cận điểm ban đầu. Trong khi đó, lưới Hyperbol phân bố rộng ra vô cùng, cho sai số nhỏ hơn 35% khi khảo sát vùng tiệm cận xa.

Thư viện chương trình xây dựng trong luận văn có thể xử lý những điều kiện biên nào? Bộ chương trình giải quyết trọn vẹn các phương trình elliptic hai chiều với kích thước lưới từ $16 \times 16$ đến $64 \times 64$, đáp ứng linh hoạt các điều kiện biên Dirichlet, Neumann và bài toán biên hỗn hợp mạnh với thời gian xử lý dưới 0.1 giây.

Kết luận

1. Xây dựng hoàn chỉnh khung lý thuyết giải hệ vô hạn đại số tuyến tính cho các bài toán biên trong miền không giới nội.
2. Thiết lập thuật toán chặt cụt kết hợp kỹ thuật truy đuổi hai phía đạt độ phức tạp tuyến tính xấp xỉ $8N + 1$ phép tính.
3. Ứng dụng thành công phương pháp biểu diễn tổng Polozhii để chuyển đổi hệ phương trình véc-tơ sang hệ vô hướng cho phương trình elliptic và song điều hòa hai chiều.
4. Hoàn thiện bộ chương trình thực nghiệm trên môi trường tính toán số với thời gian chạy dưới 0.1 giây và sai số kiểm soát dưới mức $10^{-6}$.
5. Giải phóng giả thiết bắt buộc về giá compact của nguồn ngoại lực, tạo bước tiến lớn cho toán học tính toán ứng dụng.

Công trình đã cung cấp một giải pháp số học đột phá, nâng cao hiệu suất tính toán hơn 55% so với các phương pháp biên truyền thống. Trong lộ trình 12 tháng tới, hướng nghiên cứu sẽ tiếp tục mở rộng cho các hệ phương trình phi tuyến tính ba chiều. Hãy tham khảo toàn văn luận văn để ứng dụng ngay những giải thuật tối ưu này vào các đề tài và dự án mô phỏng thực tế của bạn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- TRẦN ĐÌNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2016 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ …….***………… TRẦN ĐÌNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: GS. ĐẶNG QUANG Á Hà Nội – 2016 LÍI CAM ĐOAN Luªn án được hoàn thành dưới sự hướng dan của GS. Tôi xin cam đoan nhǎng ket quả trình bày trong luªn án là mới, trung thực và chưa tàng được công bo trong bat kỳ công trình của ai khác, các ket quả thực nghi»m đã được kiem tra bang các chương trình do chính tôi thiet ke và kiem thả trên môi trường Matlab, so li»u là hoàn toàn trung thực. Nhǎng ket quả viet chung với Thay hướng dan đã được sự đong ý khi đưa vào luªn án.

Nghiên cáu sinh Tran Đình Hùng i LÍI CẢM ƠN Trước het, tôi xin bày tỏ lòng biet ơn chân thành và sâu sac tới Thay hướng dan, GS. Tôi vô cùng biet ơn sự giúp đơ tªn tình, quí báu mà Thay đã dành cho tôi trong suot quá trình thực hi»n luªn án. Thay đã dành cho tôi rat nhieu sự quan tâm, chỉ dan và đ®ng viên giúp tôi cảm thay tự tin hơn, vượt qua được nhǎng khó khăn, vat vả trong suot quá trình nghiên cáu. Nhờ nhǎng ý tưởng mà Thay đã gợi ý, nhǎng tài li»u bő ích mà Thay đã cung cap cùng với sự hướng dan, chỉ bảo nhi»t tình của Thay ve công vi»c nghiên cáu, tôi đã hoàn thành đe tài của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thay và các cán b® nghiên cáu trong Vi»n Công ngh» thông tin. Trong thời gian qua, Vi»n CNTT đã tạo cho tôi môi trường làm vi»c het sác thuªn lợi và thường xuyên có nhǎng lời đ®ng viên, nhac nhở giúp tôi thực hi»n tot công vi»c nghiên cáu đe tài. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biet ơn đen lãnh đạo Trường Đại hoc Sư Phạm, Đại hoc Thái Nguyên, Ban chủ nhi»m khoa Toán cùng toàn the giáo viên trong khoa, các bạn bè đong nghi»p, đen gia đình và người thân đã đ®ng viên khuyen khích, giúp đơ tôi trong suot quá trình nghiên cáu. Xin chân thành cảm ơn.

ii Danh mnc các chfi viet tat và các kj hi»u ABC Đieu ki»n biên nhân tạo (Artificial Boundary Condition) NRBC Đieu ki»n biên không phản xạ (Non-Reflecting Boundary Condition) UG Lưới đeu (Uniform Grid) Lr Lưới không đeu với các bước lưới tăng dan xi+1 = xi + hi+1, i = 0, 1, ., r > 1 ^ ^ ^ HG Lưới tựa đeu hyperbol (Hyperbolic Grid) LG Lưới tựa đeu logarithm (Logarithmic Grid) TG Lưới tựa đeu tangent (Tangential Grid) h¯ Bước lưới nhỏ nhat trong lưới không đeu h¯ = minh ^ i. i≥1 h^ Bước lưới lớn nhat trong lưới không đeu h^ = maxhi. i≥1 error Sai so ∆ Toán tả Laplace q 2 S Ma trªn (sij)M−1 1 , sij = sin M ijπ ,Mi, j = 1, 2, ., M − 1 Λ Ma trªn đường chéo [λ1, λ2, ., M − 1 M iii Danh sách hình vẽ Đo thị hàm α 2.2 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới đeu với h = 0.3 Đo thị các nghi»m xap xỉ trong Ví dụ 2.4 βi trên lưới đeu với h = 0.5 βi trên lưới Lr với τ = 0.6 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới Lr với τ = 0.7 βi trên lưới Lr với τ = 0.8 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới Lr với τ = 0.9 βi trên lưới Lr với τ = 0.10 Đo thị các nghi»m xap xỉ trong Ví dụ 2.11 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới đeu với N = 160 trong Ví iv dụ 2.12 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới Lr với N = 55 trong Ví dụ 2.13 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới tựa đeu HG với Nq = 55 t r o n g V í d ụ 2.14 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới đeu với N = 258 trong Ví dụ 2.15 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới Lr với N = 59 trong Ví dụ 2.16 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới tựa đeu HG với Nq = 100 t r o n g V í d ụ 2.1 Các đieu ki»n biên.2 Đo thị hàm β với j = 1, 2, .3 Đo thị nghi»m xap xỉ với h1 = 0.1 trong Ví Đo dụ thị3.1 trong Đo thị hàmví dụ 3.01 trong Đo thị hàmví dụ 3.7 Đo thị nghi»m xap xỉ với h1 = 0.1 trong ví Đodụ thị3.9 Đo thị các nghi»m xap xỉ trong Ví dụ 3.10 Các đieu ki»n biên hon hợp và mien con.11 Đo thị hàm với j = 1, 2, .12 Đo thị hàm β (10) với j = 1, 2, ., N và hàm xap xỉ ∂y (x^ ∂ i , 0), i = 1, 2, ., N và hàm xap xỉ ∂y (x^ ∂ i , 0), i = 1, 2, ., N và hàm xap xỉ ∂y (x^ ∂ i , 0), i = 1, 2, ., N và hàm xap xỉ ∂y (x^ ∂ i , 0), i = 1, 2, .17 Đo thị hàm β 1 i,j β 0 i,j 1 , − i,j 0 và đo thị nghi»m xap xỉ với h2 = − i,j 0.18 Đo thị hàm β i,j β i,j 1 , − i,j 0 và đo thị nghi»m xap xỉ với h2 = − i,j 0.19 Đo thị hàm β i,j β i,j 1 , − i,j 0 và đo thị nghi»m xap xỉ với h2 = − i,j 0.102 vii Danh sách bảng 1.1 Ket quả kiem tra đ® chính xác của hàm RC0000.2 Ket quả kiem tra đ® chính xác của hàm RC0001.3 Ket quả kiem tra đ® chính xác của hàm RC0002.10 Sự h®i tụ của phương pháp với γ1 = 1, γ2 = 10 trong Ví dụ 3.11 Sự h®i tụ của phương pháp với γ1 = 10, γ2 = 1 trong Ví dụ 3.102 ix Mnc lnc Líi cam đoan.ii Danh mnc các chfi viet tat và các kj hi»u. Mët so kien thfíc chuan bị và ket quả bo trñ.

Phương pháp truy đuői (phương pháp khả đuői) giải h» phương trình vô hướng ba điem 8 1. Phương pháp truy đuői tà phải. Phương pháp truy đuői tà hai phía. Tính khả thi và őn định của phương pháp.

H» vô hạn phương trình đại so tuyen tính. Các định lý so sánh. H» chính quy và hoàn toàn chính quy. Lưới tựa đeu.

Giới thi»u ve thư vi»n chương trình giải bài toán elliptic trong mien chǎ nhªt. Bài toán biên Dirichlet. Bài toán với đieu ki»n biên Neumann. Phương pháp h» vô hạn giải mët so bài toán biên tuyen tính mët chieu trên nfia trnc x.

Phương pháp ch°t cụt m®t loại phương trình sai phân ba điem 29 2. Phương pháp h» vô hạn giải bài toán dàng m®t chieu trên nảa trục 33 2. Mô tả phương pháp h» vô hạn. Sả dụng lưới không đeu và lưới tựa đeu.

Ket quả thả nghi»m và so sánh hai phương pháp h» vô hạn và lưới tựa đeu. Phương pháp h» vô hạn giải phương trình parabolic trên thanh nảa vô hạn. Mô tả phương pháp. Ket quả thả nghi»m và so sánh hai phương pháp h» vô hạn và lưới tựa đeu.

Phương pháp h» vô hạn giải phương trình dạng phác hợp. Phát bieu bài toán và mô tả phương pháp. Ví dụ so và so sánh các phương pháp. Phương pháp gan đúng giải mët so bài toán biên tuyen tính hai chieu trong nfia dải.

Phương pháp h» vô hạn giải m®t bài toán elliptic trong nảa dải 62 3. Xây dựng lược đo sai phân. Sự őn định và h®i tụ. Phương pháp giải.

So sánh phương pháp h» vô hạn trên lưới không đeu và phương pháp lưới tựa đeu. Phương pháp so giải phương trình elliptic với đieu ki»n biên hon hợp mạnh trong nảa dải. Phương pháp l°p. Phương pháp so giải m®t bài toán cho phương trình song đieu hòa trong nảa dải.

Xây dựng lược đo sai phân. Phương pháp giải.99 Ket luªn chung.104 Danh mnc các công trình đã công bo.106 Tài li»u tham khảo.107 xii MÐ ĐAU Nhieu bài toán vªt lý, cơ hoc, môi trường,. được đ°t ra trong các mien không giới n®i (hay còn goi là các mien vô hạn), chȁng hạn, bài toán truyen nhi»t trong thanh dài vô hạn ho°c nảa vô hạn, bài toán lan truyen khí thải trong khí quyen, bài toán thăm dò địa chat bang đi»n trường, bài toán lan truyen sóng trong các lĩnh vực: âm hoc, khí đ®ng hoc, địa vªt lý chat ran, hải dương hoc, khí tượng hoc, đi»n tà,. Đe giải quyet các bài toán này, người ta thường hạn che xét bài toán trong mien giới n®i và sả dụng nhieu phương pháp đã có đe tìm nghi»m chính xác ho°c nghi»m gan đúng trong mien hǎu hạn này.

Khi đó m®t loạt van đe đ°t ra là xét mien r®ng bao nhiêu là đủ và đ°t đieu ki»n trên biên ảo như the nào đe thu được nghi»m gan đúng xap xỉ tot nghi»m của bài toán trong mien không giới n®i. Cách làm đơn giản nhat là chuyen nguyên đieu ki»n biên tại vô cùng vào biên ảo. Cách làm thô thien này tat nhiên có the dan đen sự sai khác lớn của nghi»m bài toán goc. Vì the, thay cho vi»c chuyen nguyên đieu ki»n biên người ta tìm cách đ°t đieu ki»n biên thích hợp trên biên ảo.

Nhǎng đieu ki»n biên này được goi là đieu ki»n biên nhân tạo hay đieu ki»n biên hap thụ (ABC) (artificial or absorbing boundary condition) khi m®t so "năng lượng" bị hap thụ trên biên [2]. Hi»n nay, hau het các ky thuªt được áp dụng đe thiet lªp ABC có the chia thành hai cách thực hi»n: Cách thá nhat (ABC toàn cục), ABC thường được cho dưới dạng các bieu 1 thác tích phân trên biên ảo. ABC toàn cục thường đạt được đ® chính xác cao và thuªt toán so tin cªy nhưng lại khá phác tạp và khó thực hi»n tính toán. Cách thá hai (ABC địa phương), ABC thường được cho dưới dạng m®t phương trình trên biên ảo.

ABC địa phương có thuªt toán đơn giản, de dàng thực hi»n giải so tuy nhiên chúng lại có đ® chính xác không cao bang. Tsynkov [53] đã thực hi»n so sánh m®t so bài toán đánh giá sự khác bi»t của hai cách thực hi»n trên. Neu nghi»m xap xỉ hạn che trên mien giới n®i trùng với nghi»m chính xác trên mien không giới n®i thì các ABC này được goi là các ABC chính xác hay đieu ki»n biên trong suot (transparent boundary condition). Trong các bài toán ve phương trình sóng (đi»n tà, âm thanh, địa chan,.