BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- TRẦN ĐÌNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2016 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ …….***………… TRẦN ĐÌNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: GS. ĐẶNG QUANG Á Hà Nội – 2016 LÍI CAM ĐOAN Luªn án được hoàn thành dưới sự hướng dan của GS. Tôi xin cam đoan nhǎng ket quả trình bày trong luªn án là mới, trung thực và chưa tàng được công bo trong bat kỳ công trình của ai khác, các ket quả thực nghi»m đã được kiem tra bang các chương trình do chính tôi thiet ke và kiem thả trên môi trường Matlab, so li»u là hoàn toàn trung thực. Nhǎng ket quả viet chung với Thay hướng dan đã được sự đong ý khi đưa vào luªn án.
Nghiên cáu sinh Tran Đình Hùng i LÍI CẢM ƠN Trước het, tôi xin bày tỏ lòng biet ơn chân thành và sâu sac tới Thay hướng dan, GS. Tôi vô cùng biet ơn sự giúp đơ tªn tình, quí báu mà Thay đã dành cho tôi trong suot quá trình thực hi»n luªn án. Thay đã dành cho tôi rat nhieu sự quan tâm, chỉ dan và đ®ng viên giúp tôi cảm thay tự tin hơn, vượt qua được nhǎng khó khăn, vat vả trong suot quá trình nghiên cáu. Nhờ nhǎng ý tưởng mà Thay đã gợi ý, nhǎng tài li»u bő ích mà Thay đã cung cap cùng với sự hướng dan, chỉ bảo nhi»t tình của Thay ve công vi»c nghiên cáu, tôi đã hoàn thành đe tài của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thay và các cán b® nghiên cáu trong Vi»n Công ngh» thông tin. Trong thời gian qua, Vi»n CNTT đã tạo cho tôi môi trường làm vi»c het sác thuªn lợi và thường xuyên có nhǎng lời đ®ng viên, nhac nhở giúp tôi thực hi»n tot công vi»c nghiên cáu đe tài. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biet ơn đen lãnh đạo Trường Đại hoc Sư Phạm, Đại hoc Thái Nguyên, Ban chủ nhi»m khoa Toán cùng toàn the giáo viên trong khoa, các bạn bè đong nghi»p, đen gia đình và người thân đã đ®ng viên khuyen khích, giúp đơ tôi trong suot quá trình nghiên cáu. Xin chân thành cảm ơn.
ii Danh mnc các chfi viet tat và các kj hi»u ABC Đieu ki»n biên nhân tạo (Artificial Boundary Condition) NRBC Đieu ki»n biên không phản xạ (Non-Reflecting Boundary Condition) UG Lưới đeu (Uniform Grid) Lr Lưới không đeu với các bước lưới tăng dan xi+1 = xi + hi+1, i = 0, 1, ., r > 1 ^ ^ ^ HG Lưới tựa đeu hyperbol (Hyperbolic Grid) LG Lưới tựa đeu logarithm (Logarithmic Grid) TG Lưới tựa đeu tangent (Tangential Grid) h¯ Bước lưới nhỏ nhat trong lưới không đeu h¯ = minh ^ i. i≥1 h^ Bước lưới lớn nhat trong lưới không đeu h^ = maxhi. i≥1 error Sai so ∆ Toán tả Laplace q 2 S Ma trªn (sij)M−1 1 , sij = sin M ijπ ,Mi, j = 1, 2, ., M − 1 Λ Ma trªn đường chéo [λ1, λ2, ., M − 1 M iii Danh sách hình vẽ Đo thị hàm α 2.2 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới đeu với h = 0.3 Đo thị các nghi»m xap xỉ trong Ví dụ 2.4 βi trên lưới đeu với h = 0.5 βi trên lưới Lr với τ = 0.6 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới Lr với τ = 0.7 βi trên lưới Lr với τ = 0.8 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới Lr với τ = 0.9 βi trên lưới Lr với τ = 0.10 Đo thị các nghi»m xap xỉ trong Ví dụ 2.11 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới đeu với N = 160 trong Ví iv dụ 2.12 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới Lr với N = 55 trong Ví dụ 2.13 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới tựa đeu HG với Nq = 55 t r o n g V í d ụ 2.14 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới đeu với N = 258 trong Ví dụ 2.15 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới Lr với N = 59 trong Ví dụ 2.16 Đo thị nghi»m xap xỉ trên lưới tựa đeu HG với Nq = 100 t r o n g V í d ụ 2.1 Các đieu ki»n biên.2 Đo thị hàm β với j = 1, 2, .3 Đo thị nghi»m xap xỉ với h1 = 0.1 trong Ví Đo dụ thị3.1 trong Đo thị hàmví dụ 3.01 trong Đo thị hàmví dụ 3.7 Đo thị nghi»m xap xỉ với h1 = 0.1 trong ví Đodụ thị3.9 Đo thị các nghi»m xap xỉ trong Ví dụ 3.10 Các đieu ki»n biên hon hợp và mien con.11 Đo thị hàm với j = 1, 2, .12 Đo thị hàm β (10) với j = 1, 2, ., N và hàm xap xỉ ∂y (x^ ∂ i , 0), i = 1, 2, ., N và hàm xap xỉ ∂y (x^ ∂ i , 0), i = 1, 2, ., N và hàm xap xỉ ∂y (x^ ∂ i , 0), i = 1, 2, ., N và hàm xap xỉ ∂y (x^ ∂ i , 0), i = 1, 2, .17 Đo thị hàm β 1 i,j β 0 i,j 1 , − i,j 0 và đo thị nghi»m xap xỉ với h2 = − i,j 0.18 Đo thị hàm β i,j β i,j 1 , − i,j 0 và đo thị nghi»m xap xỉ với h2 = − i,j 0.19 Đo thị hàm β i,j β i,j 1 , − i,j 0 và đo thị nghi»m xap xỉ với h2 = − i,j 0.102 vii Danh sách bảng 1.1 Ket quả kiem tra đ® chính xác của hàm RC0000.2 Ket quả kiem tra đ® chính xác của hàm RC0001.3 Ket quả kiem tra đ® chính xác của hàm RC0002.10 Sự h®i tụ của phương pháp với γ1 = 1, γ2 = 10 trong Ví dụ 3.11 Sự h®i tụ của phương pháp với γ1 = 10, γ2 = 1 trong Ví dụ 3.102 ix Mnc lnc Líi cam đoan.ii Danh mnc các chfi viet tat và các kj hi»u. Mët so kien thfíc chuan bị và ket quả bo trñ.
Phương pháp truy đuői (phương pháp khả đuői) giải h» phương trình vô hướng ba điem 8 1. Phương pháp truy đuői tà phải. Phương pháp truy đuői tà hai phía. Tính khả thi và őn định của phương pháp.
H» vô hạn phương trình đại so tuyen tính. Các định lý so sánh. H» chính quy và hoàn toàn chính quy. Lưới tựa đeu.
Giới thi»u ve thư vi»n chương trình giải bài toán elliptic trong mien chǎ nhªt. Bài toán biên Dirichlet. Bài toán với đieu ki»n biên Neumann. Phương pháp h» vô hạn giải mët so bài toán biên tuyen tính mët chieu trên nfia trnc x.
Phương pháp ch°t cụt m®t loại phương trình sai phân ba điem 29 2. Phương pháp h» vô hạn giải bài toán dàng m®t chieu trên nảa trục 33 2. Mô tả phương pháp h» vô hạn. Sả dụng lưới không đeu và lưới tựa đeu.
Ket quả thả nghi»m và so sánh hai phương pháp h» vô hạn và lưới tựa đeu. Phương pháp h» vô hạn giải phương trình parabolic trên thanh nảa vô hạn. Mô tả phương pháp. Ket quả thả nghi»m và so sánh hai phương pháp h» vô hạn và lưới tựa đeu.
Phương pháp h» vô hạn giải phương trình dạng phác hợp. Phát bieu bài toán và mô tả phương pháp. Ví dụ so và so sánh các phương pháp. Phương pháp gan đúng giải mët so bài toán biên tuyen tính hai chieu trong nfia dải.
Phương pháp h» vô hạn giải m®t bài toán elliptic trong nảa dải 62 3. Xây dựng lược đo sai phân. Sự őn định và h®i tụ. Phương pháp giải.
So sánh phương pháp h» vô hạn trên lưới không đeu và phương pháp lưới tựa đeu. Phương pháp so giải phương trình elliptic với đieu ki»n biên hon hợp mạnh trong nảa dải. Phương pháp l°p. Phương pháp so giải m®t bài toán cho phương trình song đieu hòa trong nảa dải.
Xây dựng lược đo sai phân. Phương pháp giải.99 Ket luªn chung.104 Danh mnc các công trình đã công bo.106 Tài li»u tham khảo.107 xii MÐ ĐAU Nhieu bài toán vªt lý, cơ hoc, môi trường,. được đ°t ra trong các mien không giới n®i (hay còn goi là các mien vô hạn), chȁng hạn, bài toán truyen nhi»t trong thanh dài vô hạn ho°c nảa vô hạn, bài toán lan truyen khí thải trong khí quyen, bài toán thăm dò địa chat bang đi»n trường, bài toán lan truyen sóng trong các lĩnh vực: âm hoc, khí đ®ng hoc, địa vªt lý chat ran, hải dương hoc, khí tượng hoc, đi»n tà,. Đe giải quyet các bài toán này, người ta thường hạn che xét bài toán trong mien giới n®i và sả dụng nhieu phương pháp đã có đe tìm nghi»m chính xác ho°c nghi»m gan đúng trong mien hǎu hạn này.
Khi đó m®t loạt van đe đ°t ra là xét mien r®ng bao nhiêu là đủ và đ°t đieu ki»n trên biên ảo như the nào đe thu được nghi»m gan đúng xap xỉ tot nghi»m của bài toán trong mien không giới n®i. Cách làm đơn giản nhat là chuyen nguyên đieu ki»n biên tại vô cùng vào biên ảo. Cách làm thô thien này tat nhiên có the dan đen sự sai khác lớn của nghi»m bài toán goc. Vì the, thay cho vi»c chuyen nguyên đieu ki»n biên người ta tìm cách đ°t đieu ki»n biên thích hợp trên biên ảo.
Nhǎng đieu ki»n biên này được goi là đieu ki»n biên nhân tạo hay đieu ki»n biên hap thụ (ABC) (artificial or absorbing boundary condition) khi m®t so "năng lượng" bị hap thụ trên biên [2]. Hi»n nay, hau het các ky thuªt được áp dụng đe thiet lªp ABC có the chia thành hai cách thực hi»n: Cách thá nhat (ABC toàn cục), ABC thường được cho dưới dạng các bieu 1 thác tích phân trên biên ảo. ABC toàn cục thường đạt được đ® chính xác cao và thuªt toán so tin cªy nhưng lại khá phác tạp và khó thực hi»n tính toán. Cách thá hai (ABC địa phương), ABC thường được cho dưới dạng m®t phương trình trên biên ảo.
ABC địa phương có thuªt toán đơn giản, de dàng thực hi»n giải so tuy nhiên chúng lại có đ® chính xác không cao bang. Tsynkov [53] đã thực hi»n so sánh m®t so bài toán đánh giá sự khác bi»t của hai cách thực hi»n trên. Neu nghi»m xap xỉ hạn che trên mien giới n®i trùng với nghi»m chính xác trên mien không giới n®i thì các ABC này được goi là các ABC chính xác hay đieu ki»n biên trong suot (transparent boundary condition). Trong các bài toán ve phương trình sóng (đi»n tà, âm thanh, địa chan,.