Chương 1. Xác suất là gì hơn cửa nào, bởi vậy vào thời điểm ban đầu ta coi P (A) = P (B) = P (C) = 1/3. Nhưng sau khi cửa B được mở ra, thì ta có thêm một thông tin mới, là cửa B không có quà. Như vậy thông tin mới này làm thay đổi xác suất của B: bây giờ ta có P (B) = 0.
Không chỉ xác suất của B thay đổi, mà tổng xác suất của A và C bây giờ cũng thay đổi: P (A) + P (C) = 1 thay vì bằng 2/3 như trước. Như vậy ít ra một trong hai số P (A) hoặc P (C) thay đổi, hoặc là cả hai. Như vậy người chơi nên đổi cửa A lấy cửa C thì dễ thắng hơn. Để thấy rõ hơn việc cánh cửa còn lại có nhiều khả năng có quà hơn là cánh cửa mà người chơi chọn ban đầu, thay vì chỉ có 3 cửa, ta hãy hình dung có 100 cửa.
Sau khi bạn chọn 1 cửa, người dẫn chương trình mở 98 cửa không có quà trong số 99 cửa còn lại, chỉ để lại 1 cửa thôi. Khi đó, nếu được đổi, bạn sẽ giữ nguyên cửa của mình, hay là đổi lấy cái cửa còn lại kia ? Xác suất phụ thuộc vào điều kiện. Chúng ta sẽ bàn về xác suất có điều kiện và công thức tính xác suất có điều kiện ở một phần sau. Điều đáng chú ý ở đây là, mọi xác suất đều có thể coi là xác suất có điều kiện, và đều phụ thuộc vào những điều kiện nào đó, có thể được nói ra hoặc không nói ra (điều kiện hiểu ngầm).
Ví dụ, khi chúng ta nói “khi tung cái xúc sắc S, xác suất để hiện lên mặt có 3 chấm là 1/6”, chúng ta hiểu ngầm S là một cái xúc sắc đều đặn, các mặt đều có khả năng xuất hiện như nhau. Nhưng nếu S là một cái xúc sắc méo mó, nhẹ bên này nặng bên nọ (điều kiện khác đi), thì hoàn toàn 20 Sputnik Education 1. Xác suất là gì ? có thể là xác suất để khi tung hiện lên mặt có 3 chấm sẽ khác 1/6. Một ví dụ khác là xác suất xảy ra tai nạn khi lái ô tô: khi người lái xe khoe mạnh tỉnh táo, thì xác suất xảy ra tai nạn thấp, còn khi vẫn người lái đó bị say rượu hoặc buồn ngủ gật, thì xác suất xảy ra tai nạn cao hơn, v.
Khi chúng ta biết thêm một điều kiện mới, tức là có thêm một thông tin mới, bởi vậy sự phụ thuộc vào điều kiện của xác suất cũng có thể coi là sự phụ thuộc vào thông tin. Xác suất phụ thuộc vào người quan sát, hay là tính chủ quan của xác suất. Cùng là một sự kiện, nhưng hai người quan sát khác nhau có thể tính ra hai kết quả xác suất khác nhau, và cả hai đều “có lý”, bởi vì họ dựa trên những thông tin và phân tích khác nhau. Ví dụ như, có chuyên gia tài chính đánh giá rằng cổ phiếu của hãng Vinamilk có nhiều khả năng đi lên trong thời gian tới, trong khi lại có chuyên gia tài chính khác đánh giá rằng cổ phiếu của hãng đó có nhiều khả năng đi xuống ít khả năng đi lên trong thời gian tới.
Quay lại trò chơi truyền hình: với người chơi thì P (A) = 1/3, nhưng đối với người dẫn chương trình thì P (A) không phải là 1/3, mà là 0 hoặc 1, vì người đó biết ở đằng sau cửa A có quà hay không.4 Tính xác suất bằng thống kê Đối với những hiện tượng xảy ra nhiều lần, thì người ta có thể dùng thống kê để tính xác suất của sự kiện xảy ra hiện tượng đó. Công thức sẽ là N (A) P (A) = (1.5) N (total) Sputnik Education 21 Chương 1. Xác suất là gì Ở đây N (total) là tổng số các trường hợp được khảo sát, và N (A) là số các trường hợp được khảo sát thỏa mãn điều kiện xảy ra A. Cơ sở toán học cho việc dùng thống kê để tính xác suất, là luật số lớn và các định lý giới hạn, mà chúng ta sẽ tìm hiểu ở phía sau trong sách này.
Có một số số liệu sau đây về tai tạn ô tô và máy bay. Trong những năm 1989-1999, trên toàn thế giới, trung bình mỗi năm có khoảng 18 triệu chuyến bay, 24 tai nạn máy bay chết người, và 750 người chết trong tai nạn máy bay. Cũng trong khoảng thời gian đó, ở nước Pháp, trung bình mỗi năm có khoảng 8000 người chết vì tai nạn ô tô, trên tổng số 60 triệu dân. Từ các số liệu này, chúng ta có thể tính: Xác suất để một người ở Pháp bị chết vì tai nạn ô tô trong một năm là 8000/60000000 = 0,0133%.
Xác suất để đi một chuyến bay gặp tai nạn chết người là 24/18000000 = 0,000133%, chỉ bằng 1/100 xác suất bị chết vì tai nạn ô tô trong 1 năm. Nếu một người một năm bay 20 chuyến, thì xác suất bị chết vì tai nạn máy bay trong năm bằng quãng 20 × 0, 000133% = 0, 00266%, tức là chỉ bằng 1/5 xác suất bị chết vì tai nạn ô tô trong năm. Ông Gregor Mendel (1822-1884) là một tu sĩ người Áo (Austria) thích nghiên cứu sinh vật. Ông ta trồng nhiều giống đậu khác nhau trong vườn của tu viện, và ghi chép tỉ mẩn về các tính chất di truyền và lai giống của chúng.
Năm 1866 Mendel công bố một bài báo về các hiện tượng mà ông ta qua sát được, và lý thuyết của ông ta để giải thích các hiện tượng. Một trong những quan sát trong đó là về màu sắc: Khi lai đậu hạt vàng với đậu hạt xanh (thế hệ thứ nhất) thì các cây lai (thế hệ thứ hai) đều ra đậu hạt vàng, 22 Sputnik Education 1. Xác suất là gì ? nhưng tiếp tục lai các cây đậu hạt vàng thế hệ thứ hai này với nhau, thì đến thế hệ thứ ba xác suất ra đậu hạt xanh là 1/4. Con số 1/4 Hình 1.1: Lý thuyết di truyền của Mendel và xác suất trong lai giống đậu là do Mendel thống kê thấy tỷ lệ đậu hạt xanh ở thế hệ thứ ba gần bằng 1/4.
Từ đó Mendel xây dựng lý thuyết di truyền để giải thích hiện tượng này: màu của đậu được xác định bởi 1 gen, và gen gồm có hai phần. Thế hệ đầu tiên, cây đậu hạt vàng có gen thuần chủng “YY” còn hạt xanh có gen “yy” (tên gọi “Y” và “y” ở đây là tùy tiện). Khi lai nhau, thì một nửa gen của cây này ghép với một nửa gen của cây kia để tạo thành gen của cây con. Các cây thế hệ thứ hai đều có gen “Yy”, và màu hạt của gen “Yy” cũng là vàng.
Đến thế hệ thứ ba, Sputnik Education 23 Chương 1. Xác suất là gì khi lai “Yy” với “Yy” thì có 4 khả năng xảy ra : “YY”, “Yy”, “yY” và “yy”. Về lý thuyết, có thể coi 4 khả năng trên là có xác suất xảy ra bằng nhau. Bởi vậy xác suất để cây thế hệ thứ ba có gen “yy” (hạt màu xanh) là 1/4.
Trong rất nhiều năm sau khi công bố, công trình của Mendel không được các nhà khoa học khác quan tâm đến, nhưng ngày nay Mendel được coi là cha tổ của di truyền học.2 Mô hình toán học của xác suất 1.1 Không gian xác suất Không gian xác suất là một khái niệm toán học nhằm trừu tượng hóa 3 tiên đề phía trên về sự nhất quán của xác suất. Một không gian xác suất là một tập hợp Ω, cùng với: 1) Một họ S các tập con của Ω, thỏa mãn các tính chất sau: Ω ∈ S, và nếu A, B ∈ S thì A ∪ B ∈ S, A ∩ B ∈ S và A := Ω \ A ∈ S. Một họ như vậy được gọi là một đại số các tập con của Ω. Trong trường hợp Ω là một tập có vô hạn các phần tử, thì chúng ta sẽ đòi hỏi thêm điều kiện sau: Nếu Ai , i = 1, 2, 3,.
là một dãy vô hạn các phần tử của S, thì hợp ∞ i=1 Ai cũng thuộc họ S. Với thêm điều kiện này, S được gọi S là một sigma-đại số. Các phần tử của S được gọi là là tập hợp con đo được của không gian xác suất. 2) Một hàm số thực P : S → R trên S, được gọi là phân bố xác 24 Sputnik Education 1.
Mô hình toán học của xác suất suất hay độ đo xác suất trên Ω, thỏa mãn các tính chất sau: i) Với mọi A ∈ S, ta có 0 ≤ P (A) ≤ 1.7) iii) Nếu A ∩ B = ∅ thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B).8) Tổng quát hơn, nếu Ai , i = 1, 2, 3,. là một dãy các tập hợp con đo được không giao nhau thì (1. 1) Không gian xác suất Ω còn được gọi là không gian mẫu (sample space), và nó là mô hình toán học trừu tượng cho vấn đề tính toán xác suất đang được quan tâm. Mỗi phần tử của Ω có thể được gọi là một sự kiện thành phần (elementary event).
Nếu A là một phần tử của Ω thì ta cũng có thể viết P (A) và hiểu là P ({A}), trong đó {A} là tập con của Ω chứa duy nhất một phần tử A. Mỗi sự kiện là một tập con của Ω, và có thể gồm nhiều (thậm chí vô hạn) sự kiện thành phần. Không nhất thiết tập con nào của Ω cũng đo được (tức là nằm trong họ S), và chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến những tập con đo được. 2) Trong toán học, một đại số là một tập hợp với các phép tính cộng, trừ, và phép nhân (không nhất thiết phải có phép chia).
Các tính chất của họ S trong định nghĩa không gian xác suất khiến nó là một đại Sputnik Education 25 Chương 1. Xác suất là gì Hình 1. Kolmogorov số theo nghĩa như vậy: Phần tử 0 trong S là tập rỗng, phần tử đơn vị trong S là tập Ω, phép nhân trong S là phép giao: A × B := A ∩ B, và phép cộng trong S là phép A+B := (A∪B)\(A∩B) = (A\B)∪(B\A). Đại số này có số đặc trưng bằng 2, tức là 2A = A + A = 0 với mọi A (và bởi vậy phép cộng và phép trừ chẳng qua là một).
Chúng ta muốn S là một đại số chính là để cho việc làm các phép tính số học với xác suất được thuận tiện.9) được gọi là tính chất sigma của xác suất. Trong toán, chữ cái hy lạp sigma thường dùng để ký hiệu tổng, với hữu hạn hay vô hạn các thành phần. Tính chất sigma là tính chất cộng tính vô 26 Sputnik Education 1.