I. Đại Cương Về Phương Trình Một Ẩn
Phương trình một ẩn là mệnh đề chứa biến x dạng f(x) = g(x), trong đó f(x) và g(x) là hai biểu thức của cùng biến số. Để giải một phương trình, ta cần tìm tất cả các giá trị của ẩn số x thoả mãn điều kiện xác định (ĐKXĐ) và làm cho phương trình đúng. Số x₀ được gọi là nghiệm của phương trình nếu thay x = x₀ vào phương trình ta được một mệnh đề đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm được ký hiệu là T. Một phương trình có thể vô nghiệm (T = ∅), có một hay nhiều nghiệm, hoặc nghiệm đúng với mọi x (T = ℝ). Trong thực tế, ta cũng sử dụng khái niệm nghiệm gần đúng khi không tính được giá trị chính xác của nghiệm.
1.1. Khái Niệm Phương Trình Một Ẩn
Phương trình một ẩn f(x) = g(x) bao gồm ẩn số x và điều kiện xác định (ĐKXĐ) của nó. Điều kiện xác định là những yêu cầu để các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa. Nghiệm của phương trình là giá trị x₀ thoả mãn ĐKXĐ và làm cho f(x₀) = g(x₀) đúng. Quá trình tìm tập nghiệm gọi là giải phương trình.
1.2. Phân Loại Nghiệm Phương Trình
Phương trình vô nghiệm khi không tồn tại giá trị nào của x thoả mãn (T = ∅). Phương trình có nghiệm duy nhất khi chỉ một giá trị x thỏa điều kiện. Phương trình nghiệm đúng với mọi x (hay phương trình bất định) khi mọi x đều là nghiệm (T = ℝ). Nghiệm gần đúng là giá trị xấp xỉ khi không tính được chính xác.
II. Phương Trình Tương Đương Và Phép Biến Đổi Tương Đương
Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm T. Ký hiệu: f₁(x) = g₁(x) ⟺ f₂(x) = g₂(x). Phép biến đổi tương đương là các thao tác không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình. Theo Định lí 1, nếu cộng, trừ, nhân cả hai vế của một phương trình với cùng một biểu thức h(x) xác định với mọi x thuộc ĐKXĐ, ta được phương trình tương đương. Tuy nhiên, bình phương hai vế chỉ cho ta phương trình hệ quả (có thể xuất hiện nghiệm ngoại lai). Khi sử dụng các phép biến đổi cho phương trình hệ quả, cần thử lại nghiệm vào phương trình gốc để loại bỏ các nghiệm không thích hợp.
2.1. Định Nghĩa Phương Trình Tương Đương
Hai phương trình tương đương f₁(x) = g₁(x) và f₂(x) = g₂(x) có cùng tập nghiệm T. Khi nhấn mạnh điều kiện xác định, ta nói 'Với ĐKXĐ D, hai phương trình tương đương với nhau'. Phép biến đổi tương đương là những phép toán biến một phương trình thành phương trình tương đương khác.
2.2. Phương Trình Hệ Quả Và Nghiệm Ngoại Lai
Phương trình hệ quả f₂(x) = g₂(x) của f₁(x) = g₁(x) khi T₁ ⊆ T₂. Bình phương hai vế tạo phương trình hệ quả. Nếu hai vế luôn cùng dấu, bình phương là phép biến đổi tương đương. Phải thử lại nghiệm để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai.
III. Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, trong đó a và b là các hằng số. Để giải và biện luận phương trình bậc nhất, ta viết lại thành ax = -b và xét các trường hợp của a. Nếu a ≠ 0, phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất x = -b/a. Nếu a = 0 và b = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x (vô số nghiệm). Nếu a = 0 và b ≠ 0, phương trình bậc nhất là vô nghiệm. Phương trình bậc nhất là dạng phương trình cơ bản, được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán thực tế, từ các vấn đề kinh tế đến vật lý.
3.1. Định Dạng và Cách Giải
Phương trình bậc nhất ax + b = 0 được giải bằng cách biến đổi thành ax = -b. Nếu a ≠ 0, có nghiệm duy nhất x = -b/a. Quá trình giải phương trình bậc nhất đơn giản nhưng là nền tảng cho việc giải các phương trình phức tạp hơn.
3.2. Các Trường Hợp Biện Luận
Khi a ≠ 0: phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất x = -b/a. Khi a = 0, b = 0: phương trình nghiệm đúng với mọi x (hay phương trình bất định). Khi a = 0, b ≠ 0: phương trình bậc nhất vô nghiệm (mâu thuẫn).
IV. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax² + bx + c = 0 với a ≠ 0. Để giải phương trình bậc hai, ta sử dụng biệt thức Δ = b² - 4ac (hoặc Δ' = (b')² - ac nếu b = 2b'). Nếu Δ < 0, phương trình bậc hai vô nghiệm. Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép x₀ = -b/2a. Nếu Δ > 0, phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁,₂ = (-b ± √Δ)/2a. Định lí Vi-ét cho biết mối quan hệ giữa các nghiệm: S = x₁ + x₂ = -b/a và P = x₁·x₂ = c/a. Ngoài ra, nếu a + b + c = 0, phương trình có nghiệm x = 1.
4.1. Biệt Thức và Số Lượng Nghiệm
Biệt thức Δ = b² - 4ac quyết định số lượng nghiệm của phương trình bậc hai. Nếu Δ < 0: phương trình bậc hai vô nghiệm trên tập số thực. Nếu Δ = 0: phương trình có nghiệm kép duy nhất. Nếu Δ > 0: phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khác nhau.
4.2. Định Lí Vi ét Và Ứng Dụng
Định lí Vi-ét phát biểu: nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì tổng S = x₁ + x₂ = -b/a và tích P = x₁·x₂ = c/a. Định lí Vi-ét giúp tìm nhanh nghiệm phương trình bậc hai và là công cụ quan trọng trong biện luận phương trình bậc hai.
