CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG • 2. Bài toán sản xuất • 2. Bài toán tiêu dùng • 2. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM SỐ • 2.
Khái niệm cực trị • 2. Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn • 2. Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn • 2. TỐI ƯU HOÁ VỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC • (CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN) 2.
Bài toán sản xuất • 2. Bài toán tiêu dùng 2. Bài toán sản xuất Giả sử xét một DN sản xuất ra sản phẩm hàng hoá. Để sản xuất ra sản phẩm đó, DN cần sử dụng n yếu tố đầu vào khác nhau.
Khi biết được chi phí cho mỗi một đơn vị yếu tố đầu vào sản xuất, lúc đó DN có thể gặp các tình huống sau: Một là, với số kinh phí đầu tư ấn định trước, DN muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao nhất - tối đa hoá sản lượng. Hai là, với mức sản lượng dự kiến sản xuất, DN phải tiêu tốn một khoản chi phí để thực hiện, đương nhiên là DN mong muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức chi phí là thấp nhất - cực tiểu hoá chi phí. Ba là, Với số kinh phí ban đầu, DN sản xuất sản lượng bao nhiêu để lợi nhuận đạt tối đa Bài toán sản xuất Trường hợp 1: Tối đa sản lượng Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với mức X1, …., Xn để sản xuất. Do biết được giá của mỗi đơn vị yếu tố đầu vào, ta có thể viết được hàm 𝑛 tổng chi phí sau: P1X1 + P2X2 +….+ PnXn = 𝑗=1 𝑃𝑗 𝑋𝑗 Khi đó bài toán trở thành: Xác định Xj≥ 0 (j = 1,…, n) để hàm số: Q = F (X 1, X2, …., Xn) → max (sản lượng cực đại) Nhưng với điều kiện ràng buộc về tổng chi phí sản xuất: 𝑛 𝑃𝑗 𝑋𝑗 = 𝐾 𝑗=1 Bài toán sản xuất Trường hợp 2: Cực tiểu chi phí Ta gọi Q0 là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất.
Khi đó bài toán trở thành: 𝑛 Xác định Xj≥0 (j = 1,…,n) để hàm số 𝑗=1 𝑃𝑗 𝑋𝑗 → 𝑚𝑖𝑛 (chi phí sản xuất nhỏ nhất) Nhưng với điều kiện ràng buộc về số đơn vị sản phẩm cầu SX: Q = F(X1, X2, …., Xn) = Q0 Đây là dạng bài toán liên quan đến hiệu quả chi phí. Các nhà sản xuất thường lưu ý tới trường hợp 2 làm sao để hạ giá thành sản phẩm mà chất lượng hàng hóa không đổi. Bài toán sản xuất Trường hợp 3: Tối đa lợi nhuận - Tối đa lợi nhuận trong trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo - Tối đa lợi nhuận trong trường hợp doanh nghiệp độc quyền 2. Bài toán tiêu dùng Tác nhân hoạt động trên lĩnh vực tiêu thụ hàng hóa gọi là người tiêu dùng.
Trong trường hợp hàng hóa được tiêu thụ là sản phẩm cuối cùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình. Trong phạm vi môn học, chúng ta sẽ đề cập tới hành vi của hộ giá đình. Hành vi của các hộ gia định trên thị trường hàng hóa là cách thức họ mua sắm, tiêu thụ các loại hàng hóa, từ đó hình thành mức cầu các loại hàng hóa của hộ gia đình. Hộ gia đình quyết định chọn loại hàng nào, mua với khối lượng bao nhiêu phụ thuộc vào: - Thị hiếu, sở thích - Thu nhập đem chi tiêu mua hàng hóa (ngân sách của hộ gia đình) - Giá cả của hàng hóa - Mục đích tiêu dùng Bài toán tiêu dùng Trường hợp 1: Ký hiệu: M là ngân sách tiêu dùng; P1, P2, …., Pn là giá các loại hàng U(X) là hàm thỏa dụng của hộ gia đình.
Khi hộ gia đình dự kiến mua giỏ hàng X = (X1, X2, …., Xn) thì sẽ 𝑛 đạt mức thỏa dụng U(X) = 𝑗=1 𝑃𝑗 𝑋𝑗 và cần chi tiêu một khoản. Từ các yêu cầu ở trên ta có mô hình: U (X) → Max 𝑛 Với điều kiện: 𝑗=1 𝑃𝑗 𝑋𝑗 = 𝑀 Như vậy: Với giá cả các loại hàng hóa và ngân sách tiêu dùng cho trước, hộ gia đình cần quyết định chọn mua loại hàng hóa nào, khối lượng bao nhiêu sao cho số chi tiêu không quá ngân sách tiêu dùng nhưng phải đáp ứng tốt nhất sở thích. Bài toán tiêu dùng Trường hợp 2: Người tiêu dùng cần đạt được mức lợi ích đã định trước U = U0 thì phải tổ chức mua sao cho chi phí tiêu dùng là thấp nhất. Hàm mục tiêu: P1X1 + P2X2 + ….+ PnXn →Min Ràng buộc: U = U(X1, X2, ….
Phương pháp tìm cực trị tự do của hàm số • 2. Khái niệm cực trị • 2. Cực trị hàm 1 biến số • 2. Cực trị hàm 2 biến số • 2.
Cực trị hàm 3 biến số 2. Khái niệm cực trị • Cho hàm số f xác định trên D; x0 là điểm thuộc D f đạt cực tiểu (địa phương) tại x0 nếu f(x) > f(x0) với mọi x ∈ D và đủ gần x0. Lúc đó f(x0) cũng được gọi là giá trị cực tiểu của f f đạt cực đại (địa phương) tại x0 nếu f(x) < f(x0) với mọi x ∈ D và đủ gần x0. Lúc đó f(x0) cũng được gọi là giá trị cực đại của f Khi f đạt cực tiểu hay cực đại tại x0 ta cũng nói f đạt cực trị tại x0 và f(x0) là giá trị cực trị của f 2.
Khái niệm cực trị • Cách tìm cực trị • Cho hàm số y. Tìm cực trị của y (nếu có) Bước 1: Tính đạo hàm y’ và y” = (y’)’ Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm (nếu có) • + Nếu y’ vô nghiệm thì kết luận hàm số không có cực trị. Thuật toán dừng • + Nếu y’ có nghiệm, chẳng hạn x 1 , x 2 ,… thì đó là những điểm dừng Bước 3: Kiểm tra điều kiện có cực trị tại từng điểm dừng • Chẳng hạn, xét điểm dừng x = a nào đó • Tính y”(a). Bước 4: Tóm tắt và kết luận về cực trị của hàm số đã cho 2.
Cực trị hàm một biến • Cho hàm số y = f(x). Tìm cực trị của f Bước 1: Tính đạo hàm y’ =f’(x). Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x1, x2,… (nếu có) Bước 3: Tính y’’ = [f’(x)]’ và các giá trị f’’(x1), f’’(x 2),… của f’’ tại các điểm x1 x2 ,… nếu tìm được chúng ở bước 2 Bước 4: Dựa vào dấu của f’’(x1), f’’(x 2),… suy ra tính chất cực trị của điểm x1, x2,… Ví dụ • Tìm cực trị của hàm: • y = x 3 – 6x2 + 9x +10 • y = x 4 - 18x 2 + 5 Ứng dụng cực trị hàm một biến trong phân tích kinh tế • Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đó Q D = D (P) • Hàm tổng chi phí: C = C(Q) • Xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Ứng dụng cực trị hàm một biến trong phân tích kinh tế • Ví dụ: Cho hàm sản xuất: Q = 120L2 - L3 ; L >0 • Xác định mức sử dụng lao động để sản lượng tối đa Ứng dụng cực trị hàm một biến trong phân tích kinh tế 5 • Ví dụ: Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn: 𝑄 = 100 𝐿3 ; • L >0 và giá của sản phẩm là 5USD, giá thuê lao động là 3USD. Tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa Ứng dụng cực trị hàm một biến trong phân tích kinh tế • Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm.
Biết hàm cầu là Q D = 656 -1/2P và hàm tổng chi phí TC(Q) = Q 3 – 77Q 2 +1000Q + 40000. Tìm mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa • Ứng dụng cực trị hàm một biến trong phân tích kinh tế 1 3 • Ví dụ: Cho biết hàm tổng lợi nhuận 𝜋(Q) = - Q + 3Q 3 2 - 15Q + 500 (Q ≥ 0). Tìm mức sản lượng Q để lợi nhuận cao nhất • Ứng dụng cực trị hàm một biến trong phân tích kinh tế • Bài toán thuế doanh thu • Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là Q D = D(P) (P là đơn giá) và hàm tổng chi phí là TC = TC(Q) (Q là sản lượng).
Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp • Ứng dụng cực trị hàm một biến trong phân tích kinh tế • Bài toán thuế doanh thu • Cách giải: Với một mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm, DN định mức sản lượng Q phụ thuộc vào thuế t sao cho đạt lợi nhuận tối đa. Với mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm thì DN cần phải bán theo một đơn giá P sao cho Q D = Q • Ta có: D(P) = Q P = P(Q) (P là hàm số theo biến Q) • Doanh thu của DN là: TR(Q) = P×Q = P(Q) × Q • Trong đó tiền thuế DN phải nộp là: T = Q × t • Lợi nhuận của DN là: 𝜋 𝑄 = TR(Q) – TC(Q) – T • Vậy yêu cầu bài toán: tìm Q = Q(t) sao cho 𝜋 𝑄 đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tiền thuế mà DN phải nộp là T = Q(t) × t. Ta cần tìm giá trị t >0 sao cho T= Q(t) × t đạt cực đại Ứng dụng cực trị hàm một biến trong phân tích kinh tế • Ví dụ: Một Doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm.
Biết hàm cầu là Q D = 2000 – P và hàm tổng chi phí TC(Q) = Q 2 + 1000Q + 50. Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ doanh nghiệp • 2.