Mathematics and Its History Third Edition - John Stillwell (Đại học San Francisco)

Khám phá lịch sử toán học qua cuốn "Mathematics and its History" ấn bản thứ ba của John Stillwell. Tìm hiểu sâu sắc về sự phát triển của các khái niệm toán học.

• Tác giả: John Stillwell
• Trường học: University of San Francisco
• Chuyên ngành: Mathematics
• Đề tài: The Theorem of Pythagoras
• Loại tài liệu: Undergraduate Texts in Mathematics
• Năm xuất bản: 2010
• Địa điểm: New York

Tóm tắt

I. Giới thiệu Giáo trình Toán học và Lịch sử Tái bản lần 3

Giáo trình Toán học và Lịch sử, ấn bản tái bản lần thứ 3, là điểm khởi đầu lý tưởng cho hành trình khám phá mối liên hệ sâu sắc giữa hai lĩnh vực tưởng chừng như अलग. Ấn bản này không chỉ là sự cập nhật kiến thức mà còn là sự kết nối các chủ đề rời rạc, mang đến cái nhìn toàn diện hơn về Toán học trong Lịch sử và ngược lại. Từ định lý Pythagoras, chúng ta sẽ thấy được ba dòng chảy tư tưởng lớn của toán học: số học, hình học và vô cùng. Dòng số học bắt đầu với bộ ba Pythagorean; dòng hình học bắt đầu với việc giải thích a², b² và c² là các hình vuông trên các cạnh của một tam giác vuông với các cạnh a, b và cạnh huyền c. Dòng vô cực bắt đầu với khám phá ra rằng √2, cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh khác có độ dài 1, là một số vô tỉ. Ba dòng chảy này được theo dõi riêng biệt thông qua toán học Hy Lạp trong các Chương 2, 3 và 4. Ấn bản lần 3 này hướng đến việc tăng cường cả chiều rộng và chiều sâu của kiến thức, đồng thời củng cố sự liên kết giữa các chủ đề. Những chủ đề trước đây có vẻ không liên quan đến nhau, như hình học xạ ảnh và nhóm hữu hạn, hay giải tích và tổ hợp, giờ đây được kết nối một cách chặt chẽ hơn. Giáo trình bổ sung hai chương mới về nhóm đơn giản và tổ hợp, cùng với nhiều phần mới trong các chương đã có. Các phần mới này lấp đầy những khoảng trống và cập nhật những lĩnh vực có tiến bộ gần đây, chẳng hạn như phỏng đoán Poincare. Chương về nhóm đơn giản bao gồm một số tài liệu về nhóm Lie, qua đó khắc phục một trong những thiếu sót mà tôi hối tiếc trong ấn bản đầu tiên của cuốn sách này. Việc trình bày lý thuyết nhóm hiện đã tăng từ 17 trang và 10 bài tập trong ấn bản đầu tiên lên 61 trang và 85 bài tập trong ấn bản này. Như trong ấn bản thứ hai, các bài tập thường tương đương với các chứng minh của các định lý lớn, được chia thành các bước nhỏ. Bằng cách này, chúng tôi có thể đề cập đến một số định lý nổi tiếng, chẳng hạn như định lý điểm bất động Brouwer và sự đơn giản của A5, nếu không sẽ chiếm quá nhiều không gian. Mỗi chương giờ đây bắt đầu bằng phần “Xem trước” nhằm định hướng cho người đọc bằng động lực, phác thảo nội dung của nó và, khi thích hợp, các kết nối với các chương trước và sau. Tôi hy vọng điều này sẽ hỗ trợ những độc giả thích có một cái nhìn tổng quan trước khi đi sâu vào chi tiết, và cả những người hướng dẫn đang tìm kiếm một con đường xuyên suốt cuốn sách đủ ngắn cho một khóa học một học kỳ. Có nhiều con đường khác nhau, ở nhiều cấp độ khác nhau. Đến Chương 10, cấp độ nên thoải mái cho hầu hết sinh viên năm thứ ba hoặc năm cuối; sau đó, các chủ đề trở nên khó khăn hơn, nhưng cũng có nhiều sự quan tâm hiện tại hơn.

1.1. Mục tiêu Tái bản lần 3 Cập nhật và kết nối kiến thức

Mục tiêu chính của ấn bản lần thứ 3 là cập nhật những tiến bộ mới nhất trong lĩnh vực Toán học và Lịch sử, đồng thời kết nối các chủ đề khác nhau để tạo ra một bức tranh toàn diện hơn. Điều này giúp người đọc hiểu rõ hơn về sự phát triển của Toán học trong Lịch sử và vai trò của nó trong các lĩnh vực khác nhau.

1.2. Đối tượng mục tiêu Học sinh sinh viên và nhà nghiên cứu

Giáo trình này phù hợp với nhiều đối tượng khác nhau, từ học sinh trung học phổ thông đến sinh viên đại học và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Toán học và Lịch sử. Nội dung được trình bày một cách rõ ràng và dễ hiểu, giúp người đọc dễ dàng tiếp cận và nắm bắt kiến thức.

1.3. Cấu trúc giáo trình Giới thiệu vấn đề giải pháp ứng dụng

Giáo trình được cấu trúc theo một trình tự logic, bắt đầu từ giới thiệu tổng quan về chủ đề, sau đó đi sâu vào các vấn đề và thách thức liên quan. Tiếp theo là các phương pháp và giải pháp chính, cùng với các ứng dụng thực tiễn và kết quả nghiên cứu. Cuối cùng là phần kết luận và nhìn nhận về tương lai của chủ đề.

II. Thách thức giảng dạy Toán học qua lăng kính Lịch sử

Việc giảng dạy Toán học thông qua lăng kính Lịch sử đặt ra nhiều thách thức. Một trong những thách thức lớn nhất là làm thế nào để kết hợp hai môn học này một cách hiệu quả, tránh việc biến giờ học toán thành giờ học lịch sử khô khan. Ngoài ra, việc lựa chọn nội dung phù hợp và phương pháp giảng dạy sáng tạo cũng là yếu tố then chốt để thu hút sự chú ý của học sinh. Cần cân bằng giữa việc trình bày các khái niệm toán học một cách chính xác và việc kể những câu chuyện lịch sử một cách hấp dẫn. Một thách thức khác là làm thế nào để giúp học sinh hiểu được bối cảnh lịch sử của các khái niệm toán học. Điều này đòi hỏi người giáo viên phải có kiến thức sâu rộng về cả hai lĩnh vực, cũng như khả năng phân tích và tổng hợp thông tin. Cần giúp học sinh nhận ra rằng Toán học không phải là một hệ thống kiến thức tĩnh tại, mà là một quá trình phát triển liên tục, gắn liền với những biến động của Lịch sử. Cần giúp học sinh thấy được sự ra đời và phát triển của các khái niệm, định lý toán học gắn liền với tên tuổi của các nhà Toán học và Lịch sử. Cuối cùng, việc đánh giá kết quả học tập của học sinh cũng là một thách thức không nhỏ. Cần xây dựng các tiêu chí đánh giá phù hợp, không chỉ tập trung vào khả năng giải toán mà còn đánh giá khả năng phân tích, tổng hợp và vận dụng kiến thức lịch sử để giải quyết các vấn đề liên quan đến Toán học.

2.1. Vượt qua sự khô khan trong kết hợp Toán học và Lịch sử

Để tránh sự khô khan, giáo viên cần sử dụng các phương pháp giảng dạy sáng tạo, như kể chuyện, trình chiếu video, tổ chức trò chơi và hoạt động nhóm. Quan trọng là phải tạo ra một môi trường học tập thoải mái và khuyến khích sự tương tác giữa học sinh.

2.2. Đảm bảo tính chính xác của kiến thức Toán học và Lịch sử

Giáo viên cần đảm bảo rằng kiến thức toán học và lịch sử được trình bày một cách chính xác và đầy đủ. Cần tham khảo các nguồn tài liệu uy tín và kiểm tra kỹ lưỡng thông tin trước khi truyền đạt cho học sinh.

2.3. Khuyến khích tư duy phản biện và khả năng liên hệ thực tế

Giáo viên cần khuyến khích học sinh đặt câu hỏi, suy nghĩ phản biện và liên hệ kiến thức với thực tế cuộc sống. Điều này giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa và tầm quan trọng của Toán học và Lịch sử.

III. Phương pháp hiệu quả giảng dạy Toán học liên kết Lịch sử

Có nhiều phương pháp có thể được sử dụng để giảng dạy Toán học thông qua lăng kính Lịch sử một cách hiệu quả. Một phương pháp phổ biến là sử dụng các câu chuyện lịch sử để giới thiệu các khái niệm toán học. Ví dụ, câu chuyện về việc khám phá ra số vô tỉ có thể được sử dụng để giới thiệu khái niệm về số thực. Hoặc câu chuyện về các nhà Toán học và Lịch sử cổ đại có thể được dùng để khơi gợi sự hứng thú của học sinh. Một phương pháp khác là sử dụng các bài toán có bối cảnh lịch sử. Ví dụ, các bài toán liên quan đến việc tính toán diện tích và thể tích của các công trình kiến trúc cổ đại có thể giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của Toán học trong Lịch sử. Các bài tập về lãi suất kép liên quan đến các giao dịch thương mại lịch sử có thể giúp học sinh liên hệ toán học với thực tế kinh tế. Ngoài ra, việc sử dụng các nguồn tài liệu lịch sử, như bản đồ cổ, thư từ và nhật ký của các nhà Toán học và Lịch sử, cũng có thể giúp học sinh hiểu rõ hơn về bối cảnh lịch sử của các khái niệm toán học. Quan trọng nhất là giáo viên cần linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp và điều chỉnh cho phù hợp với trình độ và sở thích của học sinh.

3.1. Sử dụng câu chuyện Lịch sử để minh họa khái niệm Toán học

Việc kể chuyện lịch sử không chỉ giúp học sinh nhớ lâu hơn mà còn giúp họ hiểu sâu hơn về ý nghĩa của các khái niệm toán học. Cần chọn những câu chuyện có liên quan trực tiếp đến nội dung bài học và trình bày một cách hấp dẫn và lôi cuốn.

3.2. Lồng ghép bài tập Toán học vào bối cảnh Lịch sử cụ thể

Các bài tập có bối cảnh lịch sử không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán mà còn giúp họ mở rộng kiến thức về lịch sử. Cần lựa chọn những bài tập có độ khó phù hợp và khuyến khích học sinh tìm hiểu thêm về bối cảnh lịch sử liên quan.

3.3. Khai thác tài liệu gốc để tăng tính trực quan và sinh động

Việc sử dụng tài liệu gốc giúp học sinh tiếp cận với Lịch sử một cách trực quan và sinh động hơn. Cần hướng dẫn học sinh cách phân tích và đánh giá thông tin từ các nguồn tài liệu khác nhau.

IV. Ứng dụng thực tiễn của Toán học trong các giai đoạn Lịch sử

Toán học đã đóng một vai trò quan trọng trong nhiều giai đoạn Lịch sử. Từ việc xây dựng các kim tự tháp ở Ai Cập cổ đại đến việc phát triển các công nghệ hiện đại, Toán học luôn là công cụ không thể thiếu. Trong thời cổ đại, Toán học được sử dụng để giải quyết các vấn đề thực tế như đo đạc đất đai, tính toán thuế và xây dựng công trình. Trong thời Trung cổ, Toán học tiếp tục phát triển ở các nước Ả Rập và Ấn Độ. Các nhà Toán học Ả Rập đã có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực đại số và lượng giác. Các nhà Toán học Ấn Độ đã phát minh ra hệ thống số thập phân và các khái niệm về số âm và số không. Trong thời kỳ Phục hưng, Toán học đã có một sự phục hưng mạnh mẽ ở châu Âu. Các nhà Toán học như Leonardo da Vinci, Nicolaus Copernicus và Galileo Galilei đã sử dụng Toán học để nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên và phát triển các lý thuyết khoa học mới. Trong thời đại ngày nay, Toán học tiếp tục đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực, như khoa học, kỹ thuật, kinh tế và tài chính.

4.1. Toán học trong kiến trúc cổ đại Kim tự tháp đền đài

Toán học đã được sử dụng để thiết kế và xây dựng các công trình kiến trúc vĩ đại như kim tự tháp, đền đài và các thành phố cổ đại. Các khái niệm về hình học, đo lường và tỷ lệ đã được áp dụng một cách sáng tạo để tạo ra những công trình bền vững và đẹp mắt.

4.2. Toán học trong thiên văn học Lịch bản đồ sao

Toán học đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển thiên văn học. Các nhà thiên văn học đã sử dụng Toán học để tính toán quỹ đạo của các hành tinh, lập lịch và tạo ra các bản đồ sao.

4.3. Toán học trong thương mại và tài chính Lãi suất thống kê

Toán học được sử dụng trong thương mại và tài chính để tính toán lãi suất, quản lý rủi ro và phân tích dữ liệu. Các khái niệm về thống kê và xác suất đã được áp dụng để đưa ra các quyết định kinh doanh sáng suốt.

V. Nghiên cứu chuyên sâu mối liên hệ Toán học và Lịch sử cổ đại

Nghiên cứu mối liên hệ giữa Toán học và Lịch sử cổ đại mở ra những hiểu biết sâu sắc về sự phát triển của Toán học và văn minh nhân loại. Các nền văn minh cổ đại như Ai Cập, Babylon, Hy Lạp và Ấn Độ đã có những đóng góp quan trọng vào sự phát triển của Toán học. Nghiên cứu cho thấy rằng Toán học không chỉ là một công cụ để giải quyết các vấn đề thực tế mà còn là một phần của văn hóa và triết học của các nền văn minh này. Ví dụ, Toán học của người Ai Cập cổ đại chủ yếu tập trung vào các vấn đề thực tế như đo đạc đất đai và xây dựng công trình. Toán học của người Babylon cổ đại phát triển hơn, với các khái niệm về đại số và lượng giác. Toán học của người Hy Lạp cổ đại mang tính trừu tượng và lý thuyết hơn, với các định lý và chứng minh chặt chẽ. Nghiên cứu cũng cho thấy rằng các nền văn minh cổ đại đã có sự giao thoa và ảnh hưởng lẫn nhau trong lĩnh vực Toán học.

5.1. So sánh Toán học Ai Cập Babylon Hy Lạp Ấn Độ

Mỗi nền văn minh cổ đại có những đặc điểm riêng trong phát triển Toán học. Nghiên cứu so sánh giúp hiểu rõ hơn về sự khác biệt và ảnh hưởng lẫn nhau giữa các nền văn minh.

5.2. Ảnh hưởng của Toán học đến văn hóa triết học cổ đại

Toán học không chỉ là công cụ mà còn là một phần của văn hóa và triết học. Nghiên cứu giúp hiểu rõ hơn về vai trò của Toán học trong việc hình thành thế giới quan và giá trị của các nền văn minh cổ đại.

5.3. Giao thoa và ảnh hưởng Toán học giữa các nền văn minh

Các nền văn minh cổ đại không phát triển độc lập mà có sự giao thoa và ảnh hưởng lẫn nhau trong lĩnh vực Toán học. Nghiên cứu giúp hiểu rõ hơn về quá trình truyền bá và phát triển của kiến thức toán học trong lịch sử.

VI. Kết luận và tầm quan trọng của Giáo trình Toán và Lịch sử

Giáo trình Toán học và Lịch sử tái bản lần 3 không chỉ cung cấp kiến thức chuyên sâu về hai lĩnh vực này mà còn giúp người đọc hiểu rõ hơn về mối liên hệ sâu sắc giữa chúng. Việc học Toán học thông qua lăng kính Lịch sử giúp học sinh và sinh viên có cái nhìn toàn diện hơn về sự phát triển của khoa học và văn minh nhân loại. Nó khuyến khích tư duy phản biện, khả năng liên hệ thực tế và sự sáng tạo. Giáo trình này là một nguồn tài liệu quý giá cho các nhà giáo dục, nhà nghiên cứu và bất kỳ ai quan tâm đến việc khám phá vẻ đẹp và sức mạnh của Toán học trong bối cảnh Lịch sử. Việc sử dụng giáo trình này trong giảng dạy sẽ giúp nâng cao chất lượng giáo dục và truyền cảm hứng cho thế hệ trẻ.

6.1. Giá trị của việc học Toán học qua Lịch sử

Việc học Toán học qua Lịch sử giúp người học hiểu sâu sắc hơn về nguồn gốc, sự phát triển và ứng dụng của Toán học, đồng thời nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề.

6.2. Giáo trình là nguồn tài liệu tham khảo hữu ích

Giáo trình cung cấp kiến thức chuyên sâu, phương pháp giảng dạy hiệu quả và các bài tập thực hành, giúp giáo viên và học sinh dễ dàng tiếp cận và nắm bắt kiến thức.

6.3. Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Toán học

Việc áp dụng giáo trình trong giảng dạy sẽ giúp tạo ra một môi trường học tập sáng tạo, khuyến khích sự tham gia tích cực của học sinh và góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Toán học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Undergraduate Texts in Mathematics Editorial Board S. Ribet For other titles published in this series, go to http://www.com/series/666 www.com John Stillwell Mathematics and Its History Third Edition 123 www.com John Stillwell Department of Mathematics University of San Francisco San Francisco, CA 94117-1080 USA [e-mail] Editorial Board S. Ribet Mathematics Department Mathematics Department San Francisco State University University of California at Berkeley San Francisco, CA 94132 Berkeley, CA 94720-3840 USA USA [e-mail] [e-mail] ISSN 0172-6056 ISBN 978-1-4419-6052-8 e-ISBN 978-1-4419-6053-5 DOI 10.1007/978-1-4419-6053-5 Springer New York Dordrecht Heidelberg London Library of Congress Control Number: 2010931243 Mathematics Subject Classification (2010): 01-xx, 01Axx c Springer Science+Business Media, LLC 2010 All rights reserved. This work may not be translated or copied in whole or in part without the written permission of the publisher (Springer Science+Business Media, LLC, 233 Spring Street, New York, NY 10013, USA), except for brief excerpts in connection with reviews or scholarly analysis.

Use in connection with any form of information storage and retrieval, electronic adaptation, computer soft- ware, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed is forbidden. The use in this publication of trade names, trademarks, service marks, and similar terms, even if they are not identified as such, is not to be taken as an expression of opinion as to whether or not they are subject to proprietary rights. Printed on acid-free paper Springer is part of Springer Science+Business Media (www.com To Elaine, Michael, and Robert www.com Preface to the Third Edition The aim of this book, announced in the first edition, is to give a bird’s- eye view of undergraduate mathematics and a glimpse of wider horizons. The second edition aimed to broaden this view by including new chapters on number theory and algebra, and to engage readers better by including many more exercises.

This third (and possibly last) edition aims to increase breadth and depth, but also cohesion, by connecting topics that were previ- ously strangers to each other, such as projective geometry and finite groups, and analysis and combinatorics. There are two new chapters, on simple groups and combinatorics, and several new sections in old chapters. The new sections fill gaps and update areas where there has been recent progress, such as the Poincaré conjec- ture. The simple groups chapter includes some material on Lie groups, thus redressing one of the omissions I regretted in the first edition of this book.

The coverage of group theory has now grown from 17 pages and 10 exercises in the first edition to 61 pages and 85 exercises in this one. As in the second edition, exercises often amount to proofs of big theorems, bro- ken down into small steps. In this way we are able to cover some famous theorems, such as the Brouwer fixed point theorem and the simplicity of A5 , that would otherwise consume too much space. Each chapter now begins with a “Preview” intended to orient the reader with motivation, an outline of its contents and, where relevant, connections to chapters that come before and after.

I hope this will assist readers who like to have an overview before plunging into the details, and also instruc- tors looking for a path through the book that is short enough for a one- semester course. Many different paths exist, at many different levels. Up to Chapter 10, the level should be comfortable for most junior or senior undergraduates; after that, the topics become more challenging, but also of greater current interest.com viii Preface to the Third Edition All the figures have now been converted to electronic form, which has enabled me to reduce some that were excessively large, and hence mitigate the bloating that tends to occur in new editions. Some of the new material on mechanics in Section 13.2 originally ap- peared (in Italian) in a chapter I wrote for Volume II of La Matematica, edited by Claudio Bartocci and Piergiorgio Odifreddi (Einaudi, Torino, 2008).

Likewise, the new Section 8.6 contains material that appeared in my book The Four Pillars of Geometry (Springer, 2005). Finally, there are many improvements and corrections suggested to me by readers. Special thanks go to France Dacar, Didier Henrion, David Kramer, Nat Kuhn, Tristan Needham, Peter Ross, John Snygg, Paul Stan- ford, Roland van der Veen, and Hung-Hsi Wu for these, and to my son Robert and my wife, Elaine, for their tireless proofreading. I also thank the University of San Francisco for giving me the opportu- nity to teach the courses on which much of this book is based, and Monash University for the use of their facilities while revising it.

John Stillwell Monash University and the University of San Francisco March 2010 www.com Preface to the Second Edition This edition has been completely retyped in LATEX, and many of the figures redone using the PSTricks package, to improve accuracy and make revision easier in the future. In the process, several substantial additions have been made. • There are three new chapters, on Chinese and Indian number theory, on hypercomplex numbers, and on algebraic number theory. These fill some gaps in the first edition and give more insight into later developments.

• There are many more exercises. This, I hope, corrects a weakness of the first edition, which had too few exercises, and some that were too hard. Some of the monster exercises in the first edition, such as the one in Section 2.2 comparing volume and surface area of the icosa- hedron and dodecahedron, have now been broken into manageable parts. Nevertheless, there are still a few challenging questions for those who want them.

• Commentary has been added to the exercises to explain how they relate to the preceding section, and also (when relevant) how they foreshadow later topics. • The index has been given extra structure to make searching easier. To find Euler’s work on Fermat’s last theorem, for example, one no longer has to look at 41 different pages under “Euler.” Instead, one can find the entry “Euler, and Fermat’s last theorem” in the index. • The bibliography has been redone, giving more complete publica- tion data for many works previously listed with little or none.

I have found the online catalogue of the Burndy Library of the Dibner In- stitute at MIT helpful in finding this information, particularly for ix www.com x Preface to the Second Edition early printed works. For recent works I have made extensive use of MathSciNet, the online version of Mathematical Reviews. There are also many small changes, some prompted by recent mathe- matical events, such as the proof of Fermat’s last theorem. (Fortunately, this one did not force a major rewrite, because the background theory of elliptic curves was covered in the first edition.) I thank the many friends, colleagues, and reviewers who drew my at- tention to faults in the first edition, and helped me in the process of revision.

Special thanks go to the following people. • My sons, Michael and Robert, who did most of the typing, and my wife, Elaine, who did a great deal of the proofreading. • My students in Math 310 at the University of San Francisco, who tried out many of the exercises, and to Tristan Needham, who invited me to USF in the first place. • Mark Aarons, David Cox, Duane DeTemple, Wes Hughes, Christine Muldoon, Martin Muldoon, and Abe Shenitzer, for corrections and suggestions.

John Stillwell Monash University Victoria, Australia 2001 www.com Preface to the First Edition One of the disappointments experienced by most mathematics students is that they never get a course on mathematics. They get courses in calculus, algebra, topology, and so on, but the division of labor in teaching seems to prevent these different topics from being combined into a whole. In fact, some of the most important and natural questions are stifled because they fall on the wrong side of topic boundary lines. Algebraists do not discuss the fundamental theorem of algebra because “that’s analysis” and analysts do not discuss Riemann surfaces because “that’s topology,” for example.

Thus if students are to feel they really know mathematics by the time they graduate, there is a need to unify the subject. This book aims to give a unified view of undergraduate mathematics by approaching the subject through its history. Since readers should have had some mathematical experience, certain basics are assumed and the mathe- matics is not developed formally as in a standard text. On the other hand, the mathematics is pursued more thoroughly than in most general histories of mathematics, because mathematics is our main goal and history only the means of approaching it.

Readers are assumed to know basic calcu- lus, algebra, and geometry, to understand the language of set theory, and to have met some more advanced topics such as group theory, topology, and differential equations. I have tried to pick out the dominant themes of this body of mathematics, and to weave them together as strongly as possible by tracing their historical development. In doing so, I have also tried to tie up some traditional loose ends. For example, undergraduates√ can solve quadratic equations.

Why not√cubics? They can integrate 1/ 1 − x2 but are told not to worry about 1/ 1 − x4. Why? Pursuing the history of these questions turns out to be very fruitful, leading to a deeper understanding of complex analysis and algebraic ge- ometry, among other things. Thus I hope that the book will be not only a xi www.com xii Preface to the First Edition bird’s-eye view of undergraduate mathematics but also a glimpse of wider horizons. Some historians of mathematics may object to my anachronistic use of modern notation and (fairly) modern interpretations of classical mathemat- ics.

This has certain risks, such as making the mathematics look simpler than it really was in its time, but the risk of obscuring ideas by cumber- some, unfamiliar notation is greater, in my opinion. Indeed, it is practically a truism that mathematical ideas generally arise before there is notation or language to express them clearly, and that ideas are implicit before they become explicit. Thus the historian, who is presumably trying to be both clear and explicit, often has no choice but to be anachronistic when tracing the origins of ideas. Mathematicians may object to my choice of topics, since a book of this size is necessarily incomplete.

My preference has been for topics with elementary roots and strong interconnections. The major themes are the concepts of number and space: their initial separation in Greek mathemat- ics, their union in the geometry of Fermat and Descartes, and the fruits of this union in calculus and analytic geometry. Certain important topics of today, such as Lie groups and functional analysis, are omitted on the grounds of their comparative remoteness from elementary roots. Others, such as probability theory, are mentioned only briefly, as most of their de- velopment seems to have occurred outside the mainstream.

For any other omissions or slights I can only plead personal taste and a desire to keep the book within the bounds of a one- or two-semester course. The book has grown from notes for a course given to senior undergrad- uates at Monash University over the past few years. The course was of half-semester length and a little over half the book was covered (Chapters 1–11 one year and Chapters 5–15 another year). Naturally I will be de- lighted if other universities decide to base a course on the book.

There is plenty of scope for custom course design by varying the periods or topics discussed. However, the book should serve equally well as general reading for the student or professional mathematician. Biographical notes have been inserted at the end of each chapter, partly to add human interest but also to help trace the transmission of ideas from one mathematician to another. These notes have been distilled mainly from secondary sources, the Dictionary of Scientific Biography (DSB) normally being used in addition to the sources cited explicitly.