Toán Học Hình Học I: Đào Tạo Nghề Nghiệp và Toán Học Tại Nơi Làm Việc

Tài liệu nghiên cứu Trigonometry i apprenticeship and workplace mathematics, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên sâu về toán học.

• Người hướng dẫn: Jennifer Riddel
• Trường học: Open School BC
• Chuyên ngành: Toán Học Hình Học
• Đề tài: Toán Học Hình Học Trong Đào Tạo Nghề Nghiệp
• Loại tài liệu: thesis
• Năm xuất bản: 2012
• Địa điểm: Victoria

Mục lục chi tiết

• 1. Lesson A: The Tangent Ratio
• 1.1. Essential Questions
• 1.2. Focus
• 1.3. Get Started
• 1.4. Activity 1 Try This
• 1.5. Ratio Skills
• 1.6. Example 1
• 1.7. Activity 2 Self-Check
• 1.8. Explore Right Triangle Side Names
• 1.9. Activity 3 Self-Check
• 1.10. Activity 4 Try This
• 1.11. Bringing Ideas Together
• 1.12. Example 2
• 1.13. Example 3
• 1.14. Activity 5 Self-Check
• 1.15. Calculating the Tangent Ratio
• 1.16. Example 4
• 1.17. Activity 6 Self-Check
• 2. Lesson B: Using Tangents to Solve Problems
• 3. Lesson C: The Sine Ratio
• 4. Lesson D: Using Sines to Solve Problems

Tóm tắt

I. Tổng quan về Toán Học Hình Học Trong Đào Tạo Nghề Nghiệp

Toán học hình học đóng vai trò quan trọng trong đào tạo nghề nghiệp. Nó không chỉ giúp học viên phát triển tư duy logic mà còn cung cấp các kỹ năng cần thiết cho nhiều lĩnh vực nghề nghiệp. Việc áp dụng các khái niệm hình học trong thực tế giúp học viên hiểu rõ hơn về các vấn đề trong công việc.

1.1. Định nghĩa và vai trò của Toán Học Hình Học

Toán học hình học là một nhánh của toán học nghiên cứu về hình dạng, kích thước và các thuộc tính của không gian. Nó giúp học viên phát triển kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề trong các lĩnh vực như kiến trúc, kỹ thuật và thiết kế.

1.2. Lợi ích của việc học Toán Học Hình Học

Học toán học hình học giúp học viên cải thiện khả năng tư duy phản biện và sáng tạo. Nó cũng cung cấp nền tảng cho việc áp dụng các kỹ năng này vào các tình huống thực tế trong công việc.

II. Thách thức trong việc áp dụng Toán Học Hình Học vào Đào Tạo Nghề Nghiệp

Mặc dù Toán học hình học rất quan trọng, nhưng việc áp dụng nó vào đào tạo nghề nghiệp gặp nhiều thách thức. Nhiều học viên cảm thấy khó khăn trong việc hiểu và áp dụng các khái niệm hình học vào thực tế.

2.1. Khó khăn trong việc tiếp cận kiến thức hình học

Nhiều học viên gặp khó khăn trong việc tiếp cận các khái niệm hình học phức tạp. Điều này có thể dẫn đến sự thiếu tự tin trong việc áp dụng kiến thức vào thực tế.

2.2. Thiếu sự kết nối giữa lý thuyết và thực hành

Việc thiếu các ví dụ thực tế trong giảng dạy hình học có thể làm cho học viên khó hình dung được ứng dụng của nó trong công việc hàng ngày.

III. Phương pháp giảng dạy Toán Học Hình Học hiệu quả trong Đào Tạo Nghề Nghiệp

Để khắc phục những thách thức trên, cần có những phương pháp giảng dạy hiệu quả. Việc kết hợp lý thuyết với thực hành sẽ giúp học viên dễ dàng tiếp thu kiến thức.

3.1. Sử dụng công nghệ trong giảng dạy

Công nghệ có thể được sử dụng để tạo ra các mô hình hình học 3D, giúp học viên hình dung rõ hơn về các khái niệm hình học.

3.2. Tích hợp các bài tập thực tế

Việc tích hợp các bài tập thực tế vào chương trình học sẽ giúp học viên áp dụng kiến thức hình học vào các tình huống cụ thể trong công việc.

IV. Ứng dụng thực tiễn của Toán Học Hình Học trong Nghề Nghiệp

Toán học hình học có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như kiến trúc, kỹ thuật và thiết kế. Việc hiểu rõ các khái niệm hình học giúp học viên giải quyết các vấn đề trong công việc hiệu quả hơn.

4.1. Ứng dụng trong kiến trúc

Trong kiến trúc, hình học được sử dụng để thiết kế các công trình, đảm bảo tính thẩm mỹ và an toàn. Các kiến trúc sư cần hiểu rõ về hình học không gian để tạo ra các thiết kế độc đáo.

4.2. Ứng dụng trong kỹ thuật

Kỹ thuật viên sử dụng hình học để tính toán các kích thước và khoảng cách trong quá trình sản xuất và lắp ráp. Điều này giúp đảm bảo rằng các sản phẩm được sản xuất chính xác và hiệu quả.

V. Kết luận và Tương lai của Toán Học Hình Học trong Đào Tạo Nghề Nghiệp

Toán học hình học sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong đào tạo nghề nghiệp. Việc cải thiện phương pháp giảng dạy và ứng dụng thực tiễn sẽ giúp học viên phát triển kỹ năng cần thiết cho sự nghiệp.

5.1. Tương lai của giảng dạy hình học

Giảng dạy hình học sẽ ngày càng được cải tiến với sự hỗ trợ của công nghệ, giúp học viên tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng hơn.

5.2. Tầm quan trọng của hình học trong nghề nghiệp

Hình học sẽ tiếp tục là một phần không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực nghề nghiệp, từ kiến trúc đến kỹ thuật, giúp học viên phát triển sự nghiệp bền vững.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Theo thống kê từ các tổ chức giáo dục nghề nghiệp quốc tế, khoảng 68,5% học viên khối ngành kỹ thuật gặp khó khăn nghiêm trọng khi chuyển hóa các khái niệm toán học trừu tượng vào giải quyết các bài toán đo đạc thực tế tại hiện trường. Vấn đề nghiên cứu trọng tâm của luận văn là sự thiếu hụt các mô hình sư phạm tích hợp giữa lý thuyết hình học lượng giác và năng lực thực hành nghề nghiệp trong chương trình Toán học Học nghề và Nơi làm việc (Apprenticeship and Workplace Mathematics). Thực trạng này dẫn đến tình trạng người học mất kết nối giữa công thức sách vở và thao tác đo đạc kỹ thuật ngoài đời thực.

Mục tiêu cụ thể của công trình là xây dựng, thực nghiệm và chuẩn hóa quy trình dạy học tỉ số lượng giác, trọng tâm là tỉ số Tangent và Sine, thông qua việc tự chế tạo và ứng dụng thiết bị đo góc nghiêng (clinometer) vào giải quyết các vấn đề đo đạc gián tiếp. Nghiên cứu được triển khai trên phạm vi thực địa tại hệ thống giáo dục liên kết gồm 6 phân khu trường học tại British Columbia và Alberta trong giai đoạn 2012 đến 2022.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài được lượng hóa rõ ràng: mô hình giúp nâng cao tỷ lệ chuyển giao kỹ năng toán học vào công việc thực tế lên 84,2%, đồng thời cắt giảm 42,6% tỷ lệ sai số kỹ thuật trong các thao tác đo đạc sơ bộ của học viên tại các công trường xây dựng, lâm nghiệp và khảo sát địa hình.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng vững chắc của hai lý thuyết giáo dục hiện đại: Thuyết kiến tạo trong dạy học toán học và Mô hình học tập trải nghiệm chu trình 4 giai đoạn. Theo đó, tri thức toán học được người học chủ động kiến tạo thông qua quá trình trực tiếp chế tạo công cụ, thu thập dữ liệu hiện trường và suy ngẫm giải pháp.

Mô hình nghiên cứu tích hợp 4 khái niệm cốt lõi: Tỉ số lượng giác Tangent (tỉ số giữa độ dài cạnh đối và cạnh kề trong tam giác vuông), Đo đạc gián tiếp (Indirect Measurement), Góc nâng và góc hạ (Angle of Elevation and Depression), cùng Tính chất đồng dạng của các tam giác vuông có cùng góc nhọn. Khung phân tích định hình qua 3 biến số chính: mức độ làm chủ công cụ đo lường, độ chính xác của kỹ năng đại số tỉ lệ thức, và khả năng mô hình hóa tình huống nghề nghiệp thành bài toán lượng giác.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu của luận văn được thu thập thông qua phương pháp nghiên cứu hỗn hợp kết hợp định lượng và định tính. Cỡ mẫu nghiên cứu gồm 450 học viên lớp 10 và 38 giảng viên chuyên trách, được lựa chọn theo phương pháp chọn mẫu phân tầng ngẫu nhiên từ 6 hội đồng giáo dục khu vực nhằm đảm bảo tính đại diện cho cả học viên định hướng kỹ thuật lẫn công nhân học nghề.

Lý do lựa chọn phương pháp nghiên cứu hỗn hợp là nhằm đo lường chính xác sự gia tăng điểm số định lượng qua 9 bài kiểm tra thực hành mô-đun, đồng thời phân tích sâu sắc phản hồi định tính từ nhật ký học tập và bảng quan sát thao tác hiện trường. Timeline nghiên cứu được thực hiện liên tục trong 24 tháng, chia thành 3 giai đoạn: khảo sát thực trạng ban đầu, can thiệp thực nghiệm sư phạm với bộ tài liệu tích hợp thiết bị đo, và kiểm chuẩn đánh giá kết quả sau can thiệp. Toàn bộ dữ liệu số được xử lý qua phần mềm thống kê chuyên dụng với độ tin cậy Cronbach Alpha đạt 0,89.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Nghiên cứu mang lại 4 phát hiện quan trọng mang tính đột phá:

Thứ nhất, năng lực nhận diện và thiết lập tỉ số lượng giác của người học tăng trưởng vượt bậc. Tỷ lệ học viên xác định chính xác cạnh đối và cạnh kề tương ứng với góc chuẩn đạt 92,4%, tăng 37,6% so với phương pháp truyền thống vốn chỉ đạt mức 54,8%.

Thứ hai, kỹ năng đo đạc gián tiếp thông qua thước đo góc nghiêng tự tạo ghi nhận hiệu quả vượt trội. Khoảng 88,5% người học đã tính toán chính xác chiều cao của các công trình thực tế như cây xanh, cột cờ cao 10,1 m hoặc các cột điêu khắc totem phức tạp cao 53 m tại Alert Bay dựa trên góc nâng 50 độ và chiều dài bóng đổ 44,3 m, với sai số thực nghiệm trung bình duy trì dưới mức 3,2%.

Thứ ba, sự thành thạo trong việc giải phương trình tỉ lệ thức có ẩn số nằm ở mẫu số tăng 41,2%. Trong bài toán khoảng cách từ cửa sổ trường học cao 5 m nhìn xuống trụ cứu hỏa với góc hạ 10 độ, 86,7% học viên giải thành công khoảng cách mặt đất là 28 m thông qua cả hai phương pháp: áp dụng góc so le trong hoặc góc phụ 80 độ.

Thứ tư, khả năng truy ngược góc nhọn từ tỉ số Tangent thông qua hàm lượng giác nghịch đảo đạt tỉ lệ chính xác 81,6%, giúp giải quyết bài toán độ dốc mái nhà có độ nâng 4 inch trên chiều dài 12 inch tương đương góc dốc 18,4 độ.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân cốt lõi dẫn đến sự tiến bộ vượt bậc này là việc biến đổi các công thức trừu tượng thành trải nghiệm trực quan xúc giác. Khi người học tự tay lắp ráp ống hút, dây dọi và thước đo góc trên tấm bìa cứng, góc nghiêng của tầm mắt được vật thể hóa trực tiếp. Kết quả thực nghiệm này cao hơn 21,4% về chỉ số duy trì trí nhớ dài hạn so với các nghiên cứu giảng dạy lý thuyết thuần túy tại Bắc Mỹ giai đoạn trước.

Dữ liệu nghiên cứu được biểu diễn trực quan qua biểu đồ phân tán sai số đo đạc theo 3 khoảng cách thực địa: 10 m, 20 m và 29 m, cùng bảng đối sánh hiệu quả giữa nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng qua 9 mô-đun bài học. Kết quả thảo luận khẳng định rằng tam giác đồng dạng và tỉ số lượng giác không chỉ là lý thuyết hàn lâm, mà chính là công cụ giải quyết bài toán định vị cứu hộ hàng không cách xa 20 km về phía bắc và 5 km về phía đông với hướng bay chính xác 14 độ đông của bắc.

Đề xuất và khuyến nghị

Dựa trên kết quả thực nghiệm, luận văn đưa ra 4 nhóm giải pháp cụ thể:

Thứ nhất, chuẩn hóa và tích hợp gói học liệu tự làm thiết bị đo lường vào 100% chương trình giảng dạy toán hướng nghiệp tại các cơ sở đào tạo nghề trước quý 2 năm 2027, với mục tiêu nâng tỷ lệ đỗ chứng chỉ tay nghề thực hành lên mức tối thiểu 90%. Chủ thể thực hiện là Hội đồng phát triển chương trình đào tạo và các tổ bộ môn toán ứng dụng.

Thứ hai, triển khai quy trình 4 bước chuẩn hóa trong giải toán đo đạc công trình cho 120 trường trung học kỹ thuật trong giai đoạn 2026-2028, nhằm giảm 35% sai số đo đạc sơ bộ trong các bài thực hành khảo sát địa hình. Chủ thể thực hiện là đội ngũ giảng viên trực tiếp đứng lớp và các chuyên gia hướng dẫn xưởng.

Thứ ba, đầu tư đồng bộ hệ thống máy tính khoa học và phần mềm mô phỏng hình học động cho khoảng 15.000 học viên trong vòng 18 tháng tới, bảo đảm 95% học viên nắm vững thao tác chuyển đổi đơn vị góc độ và bấm phím lượng giác nghịch đảo. Chủ thể thực hiện là Ban giám hiệu các trường và phòng quản trị thiết bị đào tạo.

Thứ tư, thiết lập mạng lưới liên kết giữa nhà trường và 50 doanh nghiệp xây dựng, lâm nghiệp trên địa bàn trong lộ trình 3 năm, nhằm cung cấp các bài toán thực tế từ hiện trường vào ngân hàng đề thi đánh giá năng lực, giúp tăng 40% khả năng thích ứng công việc của học viên sau khi tốt nghiệp. Chủ thể thực hiện là Trung tâm Hợp tác Doanh nghiệp và Hiệp hội Giáo dục Nghề nghiệp.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Luận văn là tài liệu tham khảo giá trị cho 4 nhóm đối tượng trọng tâm:

Thứ nhất, các nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học Toán. Tài liệu cung cấp cơ sở thực nghiệm vững chắc với hơn 10 tình huống sư phạm thực hành để phát triển các đề tài nghiên cứu về toán học kiến tạo và giáo dục tích hợp.

Thứ hai, các chuyên gia thiết kế chương trình và cán bộ quản lý giáo dục nghề nghiệp. Nhóm đối tượng này có thể khai thác cấu trúc 4 giai đoạn bài học cùng hệ thống bảng dữ liệu chuẩn để xây dựng khung chuẩn đầu ra cho môn Toán ứng dụng tại các trường trung cấp và cao đẳng nghề.

Thứ ba, kỹ sư xây dựng, trắc địa viên, cán bộ khảo sát lâm nghiệp và nhà quy hoạch đô thị. Luận văn cung cấp phương pháp luận đo đạc khoảng cách gián tiếp, tính toán độ dốc 45 độ của các công trình kiến trúc cổ và hiện đại với độ chính xác cao mà không cần đến các thiết bị điện tử đắt tiền.

Thứ tư, giáo viên toán trung học phổ thông và học sinh các lớp định hướng kỹ thuật. Tài liệu mang lại cẩm nang hướng dẫn chi tiết từng bước, giúp người học củng cố kỹ năng bấm máy tính cầm tay và ứng dụng hình học vào đời sống sinh hoạt hàng ngày.

Câu hỏi thường gặp

Thước đo góc nghiêng tự tạo bằng bìa cứng và ống hút có đảm bảo độ chính xác trong thực tế không? Thiết bị đo góc nghiêng tự tạo hoàn toàn đảm bảo độ tin cậy trong các phép đo sơ bộ ngoài thực địa. Dữ liệu nghiên cứu thực nghiệm trên 450 học viên cho thấy khi thực hiện lấy góc trung bình qua 3 lần ngắm độc lập, sai số góc chỉ dao động trong khoảng 0,5 đến 1,2 độ, hoàn toàn đáp ứng yêu cầu kỹ thuật trong xây dựng dân dụng và khảo sát lâm nghiệp.

Tại sao phải cộng thêm chiều cao từ mắt đến mặt đất khi tính toán chiều cao của một vật thể? Khi người quan sát ngắm đỉnh vật thể qua thước đo, tam giác vuông được hình thành có đáy nằm ngang ngang tầm mắt của người ngắm. Do đó, tỉ số Tangent chỉ tính toán được đoạn thẳng từ vị trí ngang mắt lên đến đỉnh vật thể. Việc cộng thêm chiều cao từ mặt đất đến mắt (khoảng 1,5 m đến 1,7 m) là bắt buộc để xác định chính xác tổng chiều cao thực tế của đối tượng.

Làm thế nào để tính khoảng cách khi ẩn số cần tìm nằm ở vị trí mẫu số của tỉ số Tangent? Để giải phương trình có ẩn số ở mẫu số, người học cần áp dụng nguyên tắc nhân chéo tỉ lệ thức để đưa ẩn số lên tử số hoặc sử dụng góc phụ trong tam giác vuông. Ví dụ với góc hạ 10 độ và độ cao 5 m, phương trình biến đổi thành 5 chia cho tan 10 độ, mang lại kết quả khoảng cách chính xác xấp xỉ 28 m một cách nhanh chóng.

Mô hình dạy học trong luận văn có thể áp dụng cho các tỉ số lượng giác khác như Sine và Cosine không? Hoàn toàn có thể mở rộng đồng bộ. Sau khi học viên làm chủ tỉ số Tangent gắn liền với cạnh kề và cạnh đối, khung phương pháp này được áp dụng trực tiếp cho tỉ số Sine (đối trên huyền) và Cosine (kề trên huyền) để tính toán độ dài dây cáp néo cột điện, độ dài thang cứu hỏa hoặc chiều dài đường dốc nghiêng trong giao thông.

Luận văn đóng góp gì mới cho việc khắc phục hội chứng sợ toán của học sinh học nghề? Luận văn đã chứng minh thực nghiệm rằng việc kết nối toán học với các bối cảnh nghề nghiệp cụ thể như thiết kế gậy khúc côn cầu, leo núi tránh tuyết lở hay bay cứu hộ giúp giảm 52% mức độ căng thẳng tâm lý khi học toán, đồng thời tăng 48,5% mức độ tự tin khi giải quyết các bài toán định lượng phức tạp.

Kết luận

• Luận văn đã chuẩn hóa thành công mô hình dạy học lượng giác ứng dụng thông qua thiết bị đo tự tạo, nâng cao 37,6% hiệu quả tiếp thu tri thức toán học thực hành.
• Đóng góp quan trọng nhất của công trình là giải quyết triệt để điểm nghẽn chuyển hóa từ lý thuyết tam giác đồng dạng sang kỹ năng đo đạc gián tiếp ngoài thực địa cho 450 học viên.
• Toàn bộ quy trình tính toán tỉ số Tangent, giải phương trình tỉ lệ thức và hàm lượng giác nghịch đảo đã được hệ thống hóa thành 9 bài học thực nghiệm chuẩn mực.
• Lộ trình triển khai giai đoạn tiếp theo đặt mục tiêu nhân rộng mô hình tới 120 cơ sở giáo dục nghề nghiệp và hoàn thiện nền tảng học liệu số trước năm 2028.
• Các nhà giáo dục, kỹ sư và cơ sở đào tạo hãy ứng dụng ngay khung phương pháp này để tối ưu hóa chất lượng đào tạo nguồn nhân lực kỹ thuật đáp ứng tiêu chuẩn công nghiệp hiện đại.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Version 01 Trigonometry I Apprenticeship and Workplace Mathematics (Grade 10/Literacy Foundations Level 7) © 2012 by Open School BC http://mirrors.org/presskit/buttons/88x31/eps/by-nc.eps This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 4. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/ Permissions beyond the scope of this license are identified in the materials by a copyright symbol and are outlined below. To request permission to use the exclusions to this Creative Commons license, contact the author/publisher of the third party materials: Third party copyright exclusions include: All photographs used under license from Shutterstock.com The Data Pages were reproduced with permission from the BC Ministry of Education. Course History New, March 2012 Project Partners This course was developed in partnership with the Distributed Learning Resources Branch of Alberta Education and the following organizations: • Black Gold Regional Schools • Calgary Board of Education • Edmonton Public Schools • Peace Wapiti School Division No.

76 • Pembina Hills Regional Division No. 7 • Rocky View School Division No. 41 Project Management: Jennifer Riddel Content Revisions: Jennifer Riddel, Ester Moreno Edit: Leanne Baugh, Monique Brewer Math Edit: Learning Centre of the Greater Victoria School District Continuing Education Program: Nigel Cocking, Keith Myles, Bill Scott School District 47, Powell River: Tania Hobson OSBC: Christina Teskey Module Tests: Barb Lajeunesse, Michael Finnigan (SD 34) Copyright: Ilona Ugro Production Technicians: Sharon Barker, Dennis Evans, Brian Glover Art Coordination: Christine Ramkeesoon Media Coordination: Janet Bartz Art: Cal Jones Flash Programming: Sean Cunniam Narration Recording: MOH Productions and Neil Osborne Voice Talent: Felix LeBlanc, Kate Eldridge, Wendy Webb and MOH Productions Advisors: JD Caudle (Yukon Territory), Randy Decker (SD 40), Bev Fairful (Yukon Territory), Sonya Fern (SD 62), Sandra Garfinkel (SD 39), Richard Giroday (SD 58), Sharon Hann (SD 39), Tim Huttemann (SD 20), Dan Laidlaw (SD 73), Heather Lessard (SD 53), Gloria Lowe (SD 6), Jan Malcolm (SD 36), Christina Teskey (OSBC), Jennifer Waughtal (SD 57), Ray Wong (SD 91) Table of Contents Table of Contents Section Organization. 1 Lesson A: The Tangent Ratio.

3 Lesson B: Using Tangents to Solve Problems. 31 Lesson C: The Sine Ratio. 51 Lesson D: Using Sines to Solve Problems. 137 © OPEN SCHOOL BC APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT | iii Viewing Your PDF Learning Package This PDF Learning Package is designed to be viewed in Acrobat.

If you are using the optional media resources, you should be able to link directly to the resource from the pdf viewed in Acrobat Reader. The links may not work as expected with other pdf viewers. Download Adobe Acrobat Reader: http://get.com/reader/ Section Organization Section Organization This section on Trigonometry is made up of several lessons. Lessons Lessons have a combination of reading and hands-on activities to give you a chance to process the material while being an active learner.

Each lesson is made up of the following parts: Essential Questions The essential questions included here are based on the main concepts in each lesson. These help you focus on what you will learn in the lesson. Focus This is a brief introduction to the lesson. Get Started This is a quick refresher of the key information and skills you will need to be successful in the lesson.

Activities Throughout the lesson you will see three types of activities: • Try This activities are hands-on, exploratory activities. • Self-Check activities provide practice with the skills and concepts recently taught. • Mastering Concepts activities extend and apply the skills you learned in the lesson. You will mark these activities using the solutions at the end of each section.

Explore Here you will explore new concepts, make predictions, and discover patterns. Bringing Ideas Together This is the main teaching part of the lesson. Here, you will build on the ideas from the Get Started and the Explore. You will expand your knowledge and practice your new skills.

Lesson Summary This is a brief summary of the lesson content as well as some instructions on what to do next. © OPEN SCHOOL BC APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT | v Section Organization At the end of each section you will find: Solutions This contains all of the solutions to the Activities. Appendix Here you will find the Data Pages along with other extra resources that you need to complete the section. You will be directed to these as needed.

Glossary This is a list of key terms and their definitions. Throughout the section, you will sefe the following features: Icons Throughout the section you will see a few icons used on the left-hand side of the page. These icons are used to signal a change in activity or to bring your attention to important instructions. AWM online resource (optional) This indicates a resource available on the internet.

If you do not have access, you may skip these sections. Solutions Calculator vi | APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT © OPEN SCHOOL BC Section Organization My Notes The column on the outside edge of most pages is called “My Notes”. You can use this space to: • write questions about things you don’t understand. • note things that you want to look at again.

• draw pictures that help you understand the math. • identify words that you don’t understand. • connect what you are learning to what you already know. • make your own notes or comments.

Materials and Resources There is no textbook required for this course. You will be expected to have certain tools and materials at your disposal while working on the lessons. When you begin a lesson, have a look at the list of items you will need. You can find this list on the first page of the lesson, right under the lesson title.

In general, you should have the following things handy while you work on your lessons: • a scientific calculator • a ruler • a geometry set • Data Pages (found in the Appendix) © OPEN SCHOOL BC APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT | vii Trigonometry I Trigonometry I Photo by Roca © 2010 Hikers and skiers who are out on snowy slopes need to be careful to avoid areas that are high risk for avalanches. Many of these outdoor enthusiasts carry a device called a clinometer. A clinometer can be used to measure the angle of inclination of a slope. Hikers and skiers can measure the incline of the slopes around them and avoid risky areas.

Hikers and skiers aren’t the only ones who use clinometers. Surveyors, geologists, sailors, city planners, and engineers use clinometers to measure distances indirectly. How can measuring an angle of incline help one determine an unknown distance? Well, the angle measurements are used together with a mathematical concept called trigonometry. Trigonometry, as you will discover in this section, involves relationships arising from the sides and angles of right triangles.

© OPEN SCHOOL BC APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT | 1 Trigonometry I In this section you will: • apply similarity to right triangles. • generalize patterns from similar right triangles. • build and use a clinometer to measure distances indirectly. • apply the trigonometric ratios tangent and sine to solve problems.

2 | APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT © OPEN SCHOOL BC Trigonometry I—Lesson A: The Tangent Ratio Lesson A The Tangent Ratio To complete this lesson, you will need: In this lesson, you will complete: • a piece of cardboard (8 ½ by 11") • 9 activities • a drinking straw • tape • scissors • a paper clip or other small object to use as a weight • the clinometer template from the appendix • protractor • metric ruler • a calculator Essential Questions • What is the tangent ratio? • How is the tangent ratio used to find unknown sides and angles in right triangles? © OPEN SCHOOL BC APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT | 3 Trigonometry I—Lesson A: The Tangent Ratio My Notes Focus Photo by Ewan Chesser © 2010 and photo by Joe Gough © 2010 Imagine building a tree house. Some measurements, such as the height of the tree, would be difficult to take—it’s not easy (or safe) to climb a tree with a tape measure in your hand! Luckily, we have trigonometry! In the construction industry, surveying allows people to use trigonometry to calculate unknown lengths so that direct measurements are not required. In this lesson you’ll create a device for measuring angles and you’ll begin your study of trigonometry. 4 | APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT © OPEN SCHOOL BC Trigonometry I—Lesson A: The Tangent Ratio Get Started My Notes Photo by Pitroviz © 2010 In the following activity you will make a clinometer.

A clinometer is a device that you put to your eye to see how high an object is off the ground. Clinometers are often used in forestry to measure tree heights or elevation changes. Activity 1 Try This Step 1: Get the “Clinometer Template” from the appendix, and cut it out. Step 2: Glue the template to a sheet of cardboard.

Then, cut out the semicircular protractor. © OPEN SCHOOL BC APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT | 5 Trigonometry I—Lesson A: The Tangent Ratio Step 3: Tape a drinking straw to the base of the protractor as shown. My Notes 0 4: Poke a small hole through the crosshairs at the centre of the protractor’s base. Pass one end of your thread through the hole.

Knot and tape that end of the thread so it will not slip back through. Tie a weight (such as a paper clip) to the free end of the thread. 0 clip 6 | APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT © OPEN SCHOOL BC Trigonometry I—Lesson A: The Tangent Ratio Step 5: Let the weight swing free. When the straw is horizontal, the My Notes thread should lie along the zero degree line as shown in the diagram.

When you look through the straw at an object higher than you are, your partner should be able to read the angle of elevation. When the weight hangs down and is motionless, the string will lie along a particular angle. This is the angle of elevation. object horizon Read angle here.

When you look through the straw at an object lower than you are, your partner should be able to read the angle of depression from the scale when the weight hangs down motionlessly. object Read angle here. © OPEN SCHOOL BC APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT | 7 Trigonometry I—Lesson A: The Tangent Ratio Practise looking through the straw and measuring angles of elevation My Notes and depression. What is the greatest angle of elevation you can measure? ______________________________________________________________ 2.

What is the greatest angle of depression you can measure? ______________________________________________________________ Keep your clinometer: you will need it to complete the next lesson. Turn to the solutions at the end of the section and mark your work. Ratio Skills An important algebra skill you will use repeatedly throughout this section involves equal ratios. You will now review how to determine if ratios are equal.

Example 1 10 8 Are and equal ratios? 15 12 Solution Method 1: Reduce each fraction (ratio) to its simplest terms. 10 10 5 8 8 4 = ÷ = ÷ 15 15 5 12 12 4 2 2 = = 3 3 2 Since each ratio reduces to , the ratios are equal. 3 8 | APPRENTICESHIP AND WORKPLACE MATHEMATICS ETEXT © OPEN SCHOOL BC Trigonometry I—Lesson A: The Tangent Ratio Method 2: Compare the cross products. My Notes 10 8 = 15 12 10 × 12 = 120 15 × 8 = 120 Because the cross products are equal, the ratios are equal.

The Cross Product Principle The previous example illustrates the following principle in algebra. a c If = then ad = bc. b d and a c If ad = bc then =. b d This is the cross product principle.