Luận Án Tiến Sĩ: Thiết Kế Mặt Đáp Ứng 3 Mức Với Tính Chất Hiệu Ứng Bậc Hai Trực Giao

Luận án tiến sĩ trình bày thiết kế mặt đáp ứng 3 mức với tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao, mang lại giải pháp tối ưu cho nghiên cứu.

• Tác giả: Phạm Đình Tùng
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Kỳ Nam
• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Lý Thuyết Xác Suất và Thống Kê Toán Học
• Đề tài: Thiết Kế Mặt Đáp Ứng 3-Mức Với Tính Chất Hiệu Ứng Bậc Hai Trực Giao
• Loại tài liệu: Luận Án Tiến Sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• Lời cam đoan
• Lời cảm ơn
• 1. CHƯƠNG 1: Giới thiệu phương pháp bề mặt đáp ứng
• 1.1. Thiết kế thí nghiệm
• 1.2. Phương pháp bề mặt đáp ứng
• 1.3. Mô hình bề mặt đáp ứng
• 1.4. Tối ưu bề mặt đáp ứng
• 1.5. Thiết kế thí nghiệm phù hợp mô hình bề mặt đáp ứng
• 1.6. Thí nghiệm sinh tổng hợp enzym Lipase
• 2. CHƯƠNG 2: Thiết kế Box-Behnken
• 2.1. Thiết kế Box-Behnken nhỏ với nhóm trực giao
• 2.2. Thiết kế Box-Behnken
• 2.3. Thiết kế nhóm không đầy đủ với cỡ nhóm khác nhau
• 2.4. Phương pháp xây dựng thiết kế Box-Behnken nhỏ
• 2.5. Thiết kế Box-Behnken nhỏ mới với các nhóm trực giao
• 2.6. Chia nhóm trực giao của các thiết kế bậc hai dựa trên IBD
• 2.7. Kết luận chương 2
• 3. CHƯƠNG 3: Thiết kế ước lượng tương đương SPLIT-PLOT
• 3.1. Thiết kế SPLIT-PLOT
• 3.2. Mô hình bề mặt đáp ứng cho thiết kế SPLIT-PLOT tổng quát
• 3.3. Cấu trúc mong muốn của ma trận thông tin của SPD
• 3.4. Thuật toán SPLIT
• 3.5. Kết quả và đánh giá. Các ví dụ minh chứng
• 3.6. Kết quả tính toán
• 3.7. Kết luận chương 3
• Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Thiết Kế Mặt Đáp Ứng 3 Mức

Thiết kế mặt đáp ứng 3 mức là một phương pháp quan trọng trong nghiên cứu và phân tích dữ liệu. Phương pháp này giúp tối ưu hóa các yếu tố ảnh hưởng đến kết quả thí nghiệm. Việc áp dụng hiệu ứng bậc hai trong thiết kế này cho phép các nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các biến. Điều này không chỉ giúp cải thiện chất lượng sản phẩm mà còn tiết kiệm thời gian và chi phí trong quá trình nghiên cứu.

1.1. Khái Niệm Về Thiết Kế Mặt Đáp Ứng

Thiết kế mặt đáp ứng (Response Surface Design) là một kỹ thuật thống kê được sử dụng để mô hình hóa và phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố đầu vào và đầu ra. Phương pháp này cho phép tối ưu hóa các yếu tố để đạt được kết quả mong muốn.

1.2. Lợi Ích Của Thiết Kế Mặt Đáp Ứng 3 Mức

Việc sử dụng thiết kế mặt đáp ứng 3 mức giúp các nhà nghiên cứu có thể kiểm soát và điều chỉnh các yếu tố một cách hiệu quả. Điều này dẫn đến việc cải thiện chất lượng sản phẩm và giảm thiểu chi phí nghiên cứu.

II. Vấn Đề Trong Thiết Kế Mặt Đáp Ứng 3 Mức

Mặc dù thiết kế mặt đáp ứng 3 mức mang lại nhiều lợi ích, nhưng cũng tồn tại một số thách thức. Các vấn đề này bao gồm việc xác định số lượng phép thử cần thiết và cách thức phân tích dữ liệu. Ngoài ra, việc lựa chọn các yếu tố phù hợp cũng là một thách thức lớn.

2.1. Thách Thức Trong Việc Xác Định Số Lượng Phép Thử

Xác định số lượng phép thử cần thiết là một trong những thách thức lớn nhất trong thiết kế mặt đáp ứng. Việc này ảnh hưởng trực tiếp đến độ chính xác của kết quả nghiên cứu.

2.2. Khó Khăn Trong Phân Tích Dữ Liệu

Phân tích dữ liệu từ thiết kế mặt đáp ứng 3 mức có thể phức tạp. Cần có các phương pháp thống kê phù hợp để đảm bảo kết quả chính xác và đáng tin cậy.

III. Phương Pháp Thiết Kế Mặt Đáp Ứng 3 Mức Hiệu Quả

Để tối ưu hóa thiết kế mặt đáp ứng 3 mức, có thể áp dụng một số phương pháp như thiết kế Box-Behnken và thiết kế SPLIT-PLOT. Những phương pháp này giúp cải thiện độ chính xác và hiệu quả của thí nghiệm.

3.1. Thiết Kế Box Behnken

Thiết kế Box-Behnken là một phương pháp phổ biến trong thiết kế mặt đáp ứng. Nó cho phép tối ưu hóa các yếu tố mà không cần thực hiện quá nhiều phép thử.

3.2. Thiết Kế SPLIT PLOT

Thiết kế SPLIT-PLOT được sử dụng khi có sự khác biệt giữa các yếu tố dễ thay đổi và khó thay đổi. Phương pháp này giúp tối ưu hóa các yếu tố trong điều kiện thực tế.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Thiết Kế Mặt Đáp Ứng 3 Mức

Thiết kế mặt đáp ứng 3 mức đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như nông nghiệp, công nghiệp thực phẩm và dược phẩm. Các ứng dụng này cho thấy tính hiệu quả và khả năng cải thiện chất lượng sản phẩm.

4.1. Ứng Dụng Trong Nông Nghiệp

Trong nông nghiệp, thiết kế mặt đáp ứng giúp tối ưu hóa các yếu tố như phân bón, nước và ánh sáng để đạt được năng suất cao nhất.

4.2. Ứng Dụng Trong Công Nghiệp Thực Phẩm

Trong ngành công nghiệp thực phẩm, phương pháp này giúp cải thiện quy trình sản xuất và chất lượng sản phẩm, từ đó tăng cường sự hài lòng của khách hàng.

V. Kết Luận Về Thiết Kế Mặt Đáp Ứng 3 Mức

Thiết kế mặt đáp ứng 3 mức với hiệu ứng bậc hai là một công cụ mạnh mẽ trong nghiên cứu và phát triển sản phẩm. Việc áp dụng phương pháp này không chỉ giúp tối ưu hóa quy trình mà còn nâng cao chất lượng sản phẩm. Tương lai của thiết kế mặt đáp ứng hứa hẹn sẽ còn phát triển hơn nữa với sự hỗ trợ của công nghệ.

5.1. Tương Lai Của Thiết Kế Mặt Đáp Ứng

Với sự phát triển của công nghệ, thiết kế mặt đáp ứng sẽ ngày càng trở nên chính xác và hiệu quả hơn. Các phần mềm phân tích dữ liệu sẽ hỗ trợ tốt hơn cho các nhà nghiên cứu.

5.2. Khuyến Nghị Cho Nghiên Cứu Tương Lai

Cần tiếp tục nghiên cứu và phát triển các phương pháp mới trong thiết kế mặt đáp ứng để đáp ứng nhu cầu ngày càng cao trong nghiên cứu và sản xuất.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Thiết kế thí nghiệm đóng vai trò quan trọng trong việc thu thập và phân tích dữ liệu nhằm tối ưu hóa các quy trình công nghệ, sản xuất trong công nghiệp, nông nghiệp và sinh học. Trong phương pháp bề mặt đáp ứng (Response Surface Methodology - RSM), việc mô hình hóa mối quan hệ giữa biến đáp ứng và các nhân tố đầu vào thường sử dụng hàm đa thức bậc hai. Tuy nhiên, khi số lượng nhân tố gia tăng, các thiết kế bậc hai cổ điển như thiết kế tổng hợp trung tâm (Central Composite Design - CCD) hay thiết kế Box-Behnken (Box-Behnken Design - BBD) bộc lộ hạn chế: CCD đòi hỏi tới 5 mức giá trị cho mỗi nhân tố, trong khi BBD đòi hỏi số lượng phép thử (runs) rất lớn. Bên cạnh đó, trong nhiều thí nghiệm công nghiệp thực tế xuất hiện các nhân tố khó thay đổi mức giá trị (Hard-to-Change - HTC) và nhân tố dễ thay đổi mức giá trị (Easy-to-Change - ETC), đòi hỏi phải áp dụng cấu trúc thiết kế Split-Plot (SPD). Việc phân tích SPD thông thường phức tạp do đòi hỏi phương pháp bình phương tối thiểu tổng quát (GLS), trừ khi thiết kế thỏa mãn tính chất ước lượng tương đương (Equivalent-Estimation Split-Plot Design - EE-SPD), nơi ước lượng OLS trùng với GLS.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả xác định gồm: (i) sự thiếu hụt các thiết kế 3-mức có số lượng phép thử nhỏ, cấu trúc ma trận thông tin trực giao và khả năng chia nhóm trực giao cho số lượng nhân tố bất kỳ; (ii) sự hạn chế về hiệu quả D ($D_{eff}$) và tính trực giao trong các thiết kế EE-SPD hiện có khi số lượng ô lớn (whole-plot) và kích cỡ ô thay đổi.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định cụ thể như sau:

1. Nghiên cứu bài toán tìm thiết kế bề mặt đáp ứng 3-mức tối ưu thỏa mãn đồng thời các tiêu chí: có tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao, có khả năng chia nhóm trực giao và tối ưu theo chỉ số hiệu quả D ($D_{eff}$).
2. Thiết lập lớp thiết kế Box-Behnken nhỏ (Small Box-Behnken Design - SBBD) 3-mức mới dựa trên các thiết kế nhóm không đầy đủ (Incomplete Block Design - IBD) có kích thước nhóm khác nhau, nhằm giảm số phép thử mà vẫn giữ nguyên tính chất ước lượng trực giao và chia nhóm trực giao.
3. Xây dựng thuật toán (SPLIT) để tạo ra các thiết kế Split-Plot bậc hai có tính chất ước lượng tương đương (EE-SPD), có hiệu ứng bậc hai trực giao và đạt chỉ số $D_{eff}$ cao.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

• Đối tượng nghiên cứu: Các thiết kế bề mặt đáp ứng bậc hai 3-mức, thiết kế Box-Behnken, thiết kế nhóm không đầy đủ (IBD, BIBD, PBIBD), thiết kế Split-Plot bậc hai (SPD) và thiết kế ước lượng tương đương (EE-SPD).
• Phạm vi nghiên cứu: Không gian thông số mô hình hồi quy đa thức bậc hai với các nhân tố định lượng ở 3 mức giá trị (mã hóa $-1, 0, 1$). Dữ liệu thực nghiệm minh họa được trích xuất từ bài toán sinh tổng hợp enzym Lipase trong nuôi cấy nấm men Pichia anomala VTCC Y0787; đánh giá thuật toán Split-Plot trên tập 111 trường hợp cấu hình thí nghiệm chuẩn trong tài liệu chuyên khảo.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lịch sử thiết kế thí nghiệm bắt đầu từ những năm 1920-1930 với các công trình của R. Fisher tại trạm thực nghiệm Rothamsted (Vương quốc Anh), xác lập ba nguyên lý nền tảng: ngẫu nhiên hóa (randomization), lặp lại (replication) và chia nhóm (blocking), cùng các đóng góp tiếp theo của F. Finney trong nông nghiệp và sinh học. Đến năm 1951, Box & Wilson đã mở rộng các kỹ thuật này sang lĩnh vực công nghiệp và công nghệ hóa học thông qua việc đề xuất phương pháp bề mặt đáp ứng (RSM) và thiết kế CCD. Năm 1960, Box & Behnken giới thiệu thiết kế BBD 3-mức dựa trên thiết kế nhóm không đầy đủ cân bằng (BIBD) hoặc bán cân bằng (PBIBD). Tính chất xoay quanh (rotatability) của thiết kế được Box & Hunter phân tích chi tiết vào năm 1957. Các công trình tổng kết hệ thống về RSM sau đó được thực hiện bởi Box & Draper (1987), Khuri & Cornell (1996), Myers & Montgomery (2002).

Về hướng nghiên cứu giảm số phép thử thí nghiệm: Draper & Lin (1990) và Nguyen & Lin (2011) đã phát triển thiết kế tổng hợp nhỏ (Small Composite Design - SCD); Morris (2000) đề xuất thiết kế tăng cặp (Augmented-Pair Design - APD); Nguyen & Borkowski (2008) cải tiến các thiết kế BBD từ IBD; Dey (2009) xây dựng thiết kế bậc hai 3-mức từ BIBD cỡ nhóm bằng 2; Zhang và đồng sự (2011) tạo ra các thiết kế Box-Behnken nhỏ (SBBD) nhưng không chia nhóm trực giao được; Dey & Kole (2013) phát triển thiết kế bậc hai 3-mức từ IBD cỡ 3 và thiết kế một phần nhân tố $2^{3-1}_{III}$ có thể chia nhóm, tuy nhiên ma trận thông tin không duy trì được cấu trúc đường chéo khối đầy đủ.

Về hướng nghiên cứu thiết kế Split-Plot: Vining và đồng sự (2005) đề xuất EE-SPD dựa trên BBD và CCD; Parker và đồng sự (2006, 2007) hoàn thiện điều kiện toán học cho tính tương đương OLS = GLS; Goos (2006) chỉ ra nhược điểm $D_{eff}$ thấp của các thiết kế này; Macharia & Goos (2010) khảo sát 111 cấu hình SPD; Jones & Goos (2012) đề xuất thuật toán hoán đổi điểm cải tiến cho 60 trường hợp; Mylona và đồng sự (2013) tiếp tục phát triển các cấu trúc SPD bậc hai. Tại Việt Nam, phương pháp RSM được ứng dụng trong các nghiên cứu công nghệ sinh học của Bui & Nguyen (2012), Huynh và đồng sự, Le và đồng sự.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết: Luận án khắc phục nhược điểm của các thiết kế do Zhang và đồng sự (2011) và Dey & Kole (2013) xây dựng bằng cách tạo ra các thiết kế SBBD mới có ma trận $X^TX$ dạng đường chéo khối, cho phép ước lượng trực giao các hiệu ứng chính và hiệu ứng tương tác, đồng thời có thể chia nhóm trực giao với số phép thử nhỏ. Đối với thiết kế Split-Plot, luận án giải quyết bài toán tìm kiếm các EE-SPD có cấu trúc ma trận thông tin trực giao ($SPD^*$) và cải thiện chỉ số $D_{eff}$ trên tập 111 trường hợp chuẩn so với kết quả của Jones & Goos (2012).

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án dựa trên khung lý thuyết của mô hình bề mặt đáp ứng bậc hai cho $m$ nhân tố: $$y = \beta_0 + \sum_{i=1}^m \beta_i x_i + \sum_{i=1}^m \beta_{ii} x_i^2 + \sum_{i=1}^{m-1} \sum_{j=i+1}^m \beta_{ij} x_i x_j + \varepsilon$$ với $p = (m+1)(m+2)/2$ tham số cần ước lượng, $\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)$.

Ma trận thiết kế mở rộng $X$ cấp $n \times p$ có hàng thứ $u$ là: $$x_u = (1, x_{u1}^2, \dots, x_{um}^2, x_{u1}, \dots, x_{um}, x_{u1}x_{u2}, \dots, x_{u, m-1}x_{um})$$ Vectơ hệ số ước lượng theo OLS là $\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^TY$. Cấu trúc ma trận thông tin mong muốn của thiết kế bậc hai có dạng đường chéo khối: $$X^TX = \begin{pmatrix} A & 0 \ 0 & D \end{pmatrix}$$ trong đó $A$ là ma trận vuông cấp $(m+1)$ gắn với hệ số chặn và các hiệu ứng bậc hai, còn $D$ là ma trận đường chéo cấp $m(m+1)/2$ gắn với các hiệu ứng chính và hiệu ứng tương tác.

Đối với thiết kế Split-Plot với $m_W$ nhân tố WP và $m_S$ nhân tố SP thực hiện trong $b$ ô lớn kích cỡ $k$ ($n = bk$), mô hình có dạng: $$Y = X\beta + Z\gamma + \varepsilon$$ Ma trận hiệp phương sai là $V = \sigma_\varepsilon^2 I_n + \sigma_\gamma^2 ZZ^T = \sigma_\varepsilon^2 I_n + \sigma_\gamma^2 J_b$. Điều kiện ước lượng tương đương ($\hat{\beta}{OLS} = \hat{\beta}{GLS}$) theo Parker và đồng sự (2007) là $trace(C^TC) = 0$, với $C = (I_n - X(X^TX)^{-1}X^T)J_bX$. Luận án chứng minh công thức rút gọn: $$C^TC = kB - B(X^TX)^{-1}B$$ trong đó $B = X^TJ_bX$, giúp tối ưu hóa tốc độ tính toán kiểm tra điều kiện tương đương.

Phương pháp nghiên cứu kết hợp giữa giải tích ma trận, quy hoạch tổ hợp và thuật toán tối ưu hóa số:

• Xây dựng IBD với cỡ nhóm khác nhau bằng kỹ thuật thêm hoặc bớt phần tử từ các BIBD tuần hoàn hoặc lưới cân bằng (balanced lattice), sau đó chồng chất các thiết kế nhân tố $2^k$ lên các phần tử của nhóm.
• Xây dựng thuật toán SPLIT: rút từng ô lớn, hoán đổi cặp mức giá trị của nhân tố SP để cực tiểu hóa hàm mục tiêu $f$ (tổng bình phương các phần tử ngoài đường chéo của ma trận thông tin). Thuật toán sử dụng công thức cập nhật nhanh ma trận thông tin: $M_{updated} = M \mp \frac{1}{k+1}(A_r - B_r)$.
• Đánh giá tối ưu dựa trên tiêu chuẩn $D$-tối ưu (cực đại hóa định thức ma trận thông tin), chỉ số hiệu quả D: $$D_{eff} = \left( \frac{|X^TX|}{|M_{opt}|} \right)^{1/p}$$ và chỉ số xoay quanh $Q^*$.

Nguồn tư liệu, công cụ và dữ liệu:

• Dữ liệu thực nghiệm sinh tổng hợp Lipase từ nuôi cấy nấm men Pichia anomala VTCC Y0787 của Bui & Nguyen (2012).
• Tập 111 cấu hình SPD chuẩn từ nghiên cứu của Macharia & Goos (2010) và Jones & Goos (2012).
• Phần mềm: Ngôn ngữ lập trình Java để thực thi thuật toán SPLIT; phần mềm Gendex (tác giả Nguyễn Kỳ Nam) với các mô-đun IBD, CIBD, CUT; phần mềm R với gói lệnh rsm để phân tích hồi quy và vẽ đồ thị đường vòng (contour plot), bề mặt đáp ứng (surface plot).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Giới thiệu phương pháp bề mặt đáp ứng

Chương 1 hệ thống hóa cơ sở lý thuyết về thiết kế thí nghiệm và phương pháp bề mặt đáp ứng. Tác giả trình bày quy trình thực hiện thí nghiệm liên tiếp gồm 4 giai đoạn: phỏng đoán, thiết kế, thí nghiệm và phân tích. Chương này phân tích chi tiết các mô hình đa thức bậc một, bậc hai, phương pháp xác định điểm dừng (stationary point) thông qua đạo hàm ma trận và phân loại điểm dừng (cực đại, cực tiểu, điểm yên ngựa) dựa trên dấu các giá trị riêng của ma trận hệ số $\hat{B}$.

Chương 1 cũng tổng kết các lớp thiết kế bậc một (FD $2^m$, FFD $2^{m-k}$, PBD) và bậc hai (CCD, BBD, APD, SCD), cùng các điều kiện để một thiết kế bậc hai có thể chia nhóm trực giao:

1. Mỗi nhóm phải là một thiết kế bậc một trực giao: $\sum x_i = 0$ và $\sum x_i x_j = 0$ trong từng nhóm.
2. Với mỗi nhân tố, tổng bình phương các mức giá trị trong mỗi nhóm phải tỷ lệ với kích cỡ của nhóm đó: $\sum_{i=1}^{n_l} x_i^2 = \frac{n_l}{n} \sum_{u=1}^n x_u^2$.

Điểm nhấn thực nghiệm của chương là việc tái phân tích dữ liệu nghiên cứu sinh tổng hợp enzym Lipase từ nấm men Pichia anomala VTCC Y0787 (Bui & Nguyen, 2012):

• Giai đoạn sàng lọc: Sử dụng thiết kế Plackett-Burman 12 phép thử cho 11 nhân tố đầu vào. Kết quả xác định 3 nhân tố có ảnh hưởng với $p$-value $< 0.003$ gồm: Chiết nấm men ($X_6$), Tỷ lệ giống ($X_{10}$) và Tỷ lệ dầu ăn ($X_{11}$).
• Giai đoạn tối ưu hóa: Sử dụng thiết kế CCD 5 mức gồm 20 phép thử với mô hình bậc hai.

Biến mã hóa	Tên nhân tố	Miền giá trị thực	Mức mã hóa $-1.68$	Mức mã hóa $0$	Mức mã hóa $+1.68$
$x_6$	Chiết nấm men (% w/v)	0.32 - 3.68	0.32	2.00	3.68
$x_{10}$	Tỷ lệ giống (% v/v)	0.82 - 4.18	0.82	2.50	4.18
$x_{11}$	Tỷ lệ dầu ăn (% v/v)	0.64 - 7.36	0.64	4.00	7.36

Kết quả phân tích phương sai (ANOVA) từ gói lệnh rsm trên R cho thấy mô hình có ý nghĩa thống kê cao ($p = 6.365 \times 10^{-6}$), hệ số xác định $R^2 = 0.9616$. Điểm dừng xác định tại tọa độ mã hóa $(x_6, x_{10}, x_{11}) = (1.180, -0.331, 1.361)$, tương ứng với các giá trị thực: chiết nấm men 3.180% w/v, tỷ lệ giống 2.331% v/v, tỷ lệ dầu ăn 4.361% v/v. Do toàn bộ các giá trị riêng của ma trận $\hat{B}$ đều âm, điểm dừng này chính là điểm cực đại của hàm lượng Lipase sinh tổng hợp.

Chương 2: Thiết kế Box-Behnken nhỏ với nhóm trực giao

Chương 2 trình bày phương pháp xây dựng các thiết kế Box-Behnken nhỏ (SBBD) 3-mức mới từ các thiết kế nhóm không đầy đủ (IBD) có kích thước nhóm khác nhau. Ý tưởng cốt lõi là tạo ra các IBD từ BIBD thông qua thao tác thêm hoặc bớt phần tử:

• Thêm 1 phần tử vào lưới cân bằng $2 \times 2$ (BIBD $(4,6,3)$) để thu được IBD $(5,8,4)$ có cỡ nhóm 2 và 3.
• Xóa 1 phần tử từ BIBD tuần hoàn $(7,7,3)$ để thu được IBD $(6,11,5)$ có cỡ nhóm 2 và 3.

Bằng cách chồng chất thiết kế nhân tố $2^2$ lên các nhóm cỡ 2 và $2^3$ lên các cặp nhóm cỡ 3, tác giả thiết lập được các thiết kế bậc hai 3-mức mới. Trừ trường hợp 11 nhân tố (sử dụng hai nửa của $2^4$), tất cả các thiết kế SBBD đều duy trì cấu trúc ma trận $X^TX$ dạng đường chéo khối, cho phép ước lượng trực giao tất cả các hiệu ứng chính và tương tác.

Tác giả công bố 7 thiết kế SBBD mới cho $m = 5, 6, 8, 10, 11, 12, 15$ nhân tố, được tổng hợp trong bảng đối sánh:

Số nhân tố ($m$)	Số tham số ($p$)	Cấu trúc IBD $(\nu, b, r)$	Số phép thử ($n$)	Số điểm tâm ($n_0$)	Chỉ số $D_{eff}$ (%)	Chỉ số xoay quanh $Q^*$
4*	15	(4, 6, 3)	27	3	83.56	1.0000
5	21	(5, 8, 4)	34	2	86.36	0.9701
6	28	(6, 11, 5)	46	2	87.65	0.9904
7*	36	(7, 7, 3)	58	2	87.35	1.0000
8	45	(8, 15, 6)	82	2	88.42	0.9934
9*	55	(9, 12, 4)	100	4	88.06	0.9959
10	66	(10, 15, 5)	122	2	88.35	0.9953
11	78	(11, 18, 6)	154	2	88.17	0.9942
12	91	(12, 21, 7)	178	2	89.04	0.9961
13*	105	(13, 13, 4)	210	2	89.09	0.9972
15	136	(15, 30, 8)	258	2	88.18	0.9974
16*	153	(16, 20, 5)	324	4	89.28	0.9974

(Ghi chú: Dấu * chỉ các thiết kế dựa trên BIBD đã có từ trước; các dòng còn lại là 7 thiết kế SBBD mới của tác giả).

So sánh về số phép thử thí nghiệm có chia nhóm trực giao:

• Với $m = 5$: SBBD cần 34 phép thử (2 nhóm), ít hơn BBD (42 phép thử) và thiết kế của Dey & Kole (42 phép thử).
• Với $m = 6$: SBBD cần 46 phép thử (2 nhóm), ít hơn BBD (50 phép thử) và thiết kế của Dey & Kole (51 phép thử).
• Với $m = 8 - 11$: Mặc dù thiết kế của Dey & Kole có số phép thử ít hơn, nhưng ma trận thông tin của Dey & Kole không có dạng đường chéo khối và chỉ số $D_{eff}$ thấp hơn.

Về khả năng chia nhóm trực giao, chương trình CUT phân hoạch các SBBD cho $m \le 7$ thành hai nhân tố chia nhóm độc lập (ví dụ phân hoạch 36 phép thử cho $m=5$ thành cấu trúc 2 hàng $\times$ 2 cột, ứng dụng trong thực nghiệm với 2 lò nướng ở 2 thời điểm khác nhau).

Chương 3: Thiết kế ước lượng tương đương SPLIT-PLOT

Chương 3 tập trung vào thiết kế SPLIT-PLOT bậc hai (SPD) trong các thí nghiệm có chứa nhân tố WP (HTC) và SP (ETC). Tác giả đề xuất lớp thiết kế $SPD^*$ có ma trận thông tin $M = X^TV^{-1}X$ dạng: $$M = \begin{pmatrix} M_{11} & 0 \ 0 & D \end{pmatrix}$$ với $M_{11}$ có cấp $(1 + m + m_W) \times (1 + m + m_W)$ và $D$ là ma trận đường chéo. Cấu trúc này đảm bảo $m_S$ hiệu ứng chính SP và tất cả $\binom{m}{2}$ hiệu ứng tương tác được ước lượng trực giao.

Tác giả xây dựng thuật toán SPLIT gồm 4 bước:

1. Xây dựng thiết kế đầu vào $D_0$ cấp $n \times m$ thỏa mãn tổng các mức của mỗi nhân tố SP trong từng ô lớn bằng 0.
2. Khởi tạo thiết kế $D$ bằng cách ngẫu nhiên hóa các mức của SP trong từng mức của WP, tính ma trận thông tin ban đầu $M$ và hàm mục tiêu $f$ (tổng bình phương các phần tử ngoài đường chéo của $M_{12}$ và $M_{22}$).
3. Rút ô lớn thứ $r$ ($r = 1, \dots, b$) ra khỏi $D$, cập nhật $M$ theo công thức $M_{updated} = M - \frac{1}{k+1}(A_r - B_r)$. Tìm kiếm cặp hoán đổi mức giá trị của nhân tố SP trong ô lớn đó để làm giảm $f$. Nếu tìm được, cập nhật $D, M, f$ và trả ô lớn về thiết kế.
4. Lặp lại bước 3 cho đến khi $f = 0$ (thiết kế đạt cấu trúc $SPD^*$) hoặc hàm mục tiêu không thể giảm thêm.

Thuật toán SPLIT cũng đưa ra quy tắc xác định cấu hình mức giá trị cho nhân tố WP ứng với số ô lớn $b = 7, 8, 9, 10, 11, 12$ dựa trên các điểm của thiết kế nhân tố $2^2$, $2^3$ và CCD.

Khi đánh giá trên 111 trường hợp cấu hình SPD từ nghiên cứu của Macharia & Goos (2010) và Jones & Goos (2012):

• Thuật toán SPLIT tạo ra các EE-SPD đạt chỉ số $D_{eff}$ cao hơn thiết kế của Jones & Goos (JG) trong 25 trường hợp cụ thể.
• Đảm bảo toàn bộ các mức giá trị của thiết kế là số nguyên $(-1, 0, 1)$, thuận lợi cho việc triển khai thực tế.
• Điển hình tại trường hợp 94 (2 nhân tố WP, 2 nhân tố SP, 10 ô lớn cỡ 3) và trường hợp 109 (2 nhân tố WP, 3 nhân tố SP, 8 ô lớn cỡ 6), thiết kế từ SPLIT đều đạt cấu trúc $SPD^*$ với chỉ số $D_{eff}$ vượt trội so với JG.

Kết quả và những đóng góp mới

Các đóng góp mới về mặt lý luận:

• Đưa ra phương pháp tổng quát xây dựng các thiết kế bậc hai 3-mức từ các thiết kế nhóm không đầy đủ (IBD) có kích thước nhóm khác nhau, chứng minh cấu trúc ma trận $X^TX$ dạng đường chéo khối giúp ước lượng trực giao các hiệu ứng chính và tương tác.
• Thiết lập và chứng minh công thức rút gọn kiểm tra điều kiện ước lượng tương đương trong mô hình Split-Plot: $C^TC = kB - B(X^TX)^{-1}B$, giảm khối lượng tính toán ma trận trung gian.
• Định nghĩa lớp thiết kế $SPD^*$ với cấu trúc ma trận thông tin khối chéo, bảo đảm tính chất trực giao cho các hiệu ứng của nhân tố ô nhỏ (SP) và hiệu ứng tương tác.

Các đóng góp mới về mặt thực tiễn:

• Cung cấp hệ thống 7 thiết kế Box-Behnken nhỏ (SBBD) mới cho $m = 5, 6, 8, 10, 11, 12, 15$ nhân tố, giúp giảm số lượng phép thử so với BBD truyền thống, đạt chỉ số $D_{eff}$ từ 70% đến 90% và chỉ số xoay quanh $Q^* > 0.97$.
• Cung cấp các phương án chia nhóm trực giao cho SBBD theo 1 hoặc 2 nhân tố chia nhóm (hàng - cột) thông qua chương trình CUT.
• Xây dựng thuật toán SPLIT cho phép tạo ra các thiết kế EE-SPD cải tiến hiệu quả D cho 25 cấu hình thí nghiệm phức tạp trong bộ benchmark 111 trường hợp của Jones & Goos (2012).
• Toàn bộ các thiết kế mới được tích hợp và công bố công khai trên hệ thống cơ sở dữ liệu trực tuyến tại địa chỉ http://designcomputing.net/blockedSBBD/ để phục vụ ứng dụng thực tế.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án:

• Chưa tìm được cấu trúc IBD phù hợp để xây dựng thiết kế Box-Behnken nhỏ cho trường hợp $m = 14$ nhân tố.
• Đối với trường hợp từ 8 đến 11 nhân tố, số phép thử của SBBD vẫn lớn hơn so với thiết kế của Dey & Kole (2013) (mặc dù thiết kế của Dey & Kole không đạt được tính trực giao chéo khối $D$).
• Thuật toán SPLIT vẫn dựa trên thiết kế đầu vào $D_0$ do người làm thí nghiệm lựa chọn thủ công thông qua phương pháp thử và sai (trial and error) đối với các nhân tố WP, chưa tự động hóa hoàn toàn việc sinh cấu hình WP tối ưu.

Hướng nghiên cứu tiếp theo:

• Tiếp tục tìm kiếm các cấu trúc IBD để hoàn thiện thiết kế SBBD cho $m = 14$ nhân tố và mở rộng cho số nhân tố $m > 16$.
• Phát triển thuật toán tự động hóa hoàn toàn việc thiết lập cấu hình mức giá trị cho các nhân tố WP trong bài toán Split-Plot.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên sâu cho:

• Nghiên cứu sinh, học viên cao học, giảng viên chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học, Toán ứng dụng: Tham khảo phương pháp xây dựng thiết kế tổ hợp, kỹ thuật xử lý đại số ma trận trong mô hình tuyến tính và thuật toán tối ưu hóa ma trận thông tin.
• Các nhà nghiên cứu, kỹ sư thực nghiệm trong các ngành Công nghệ sinh học, Hóa học, Công nghệ thực phẩm, Khoa học vật liệu và Kỹ thuật công nghiệp:
  • Tham khảo Chương 1 và quy trình phân tích RSM bằng gói lệnh rsm trên R để xử lý số liệu tối ưu hóa thực nghiệm.
  • Sử dụng trực tiếp bảng tra cứu các thiết kế SBBD ở Chương 2 khi cần tiến hành thí nghiệm 3-mức với số phép thử hạn chế và có phân nhóm thiết bị/thời gian.
  • Áp dụng thuật toán và các mẫu thiết kế EE-SPD ở Chương 3 cho các thí nghiệm có chứa nhân tố khó thay đổi (nhiệt độ lò, mật độ gieo trồng, áp suất) nhằm tiết kiệm chi phí vận hành mà vẫn đảm bảo tính chính xác khi phân tích bằng OLS.

Câu hỏi thường gặp

1. Thiết kế Box-Behnken nhỏ (SBBD) do tác giả đề xuất có ưu điểm gì so với thiết kế Box-Behnken (BBD) cổ điển và thiết kế của Dey & Kole (2013)? SBBD của tác giả có số phép thử ít hơn BBD cổ điển (ví dụ $m=5$ chỉ cần 34 phép thử thay vì 42; $m=6$ cần 46 phép thử thay vì 50), đồng thời vẫn giữ nguyên cấu trúc ma trận $X^TX$ dạng đường chéo khối để ước lượng trực giao các hiệu ứng chính và tương tác. So với thiết kế của Dey & Kole (2013), SBBD có chỉ số $D_{eff}$ cao hơn và có ma trận thông tin trực giao khối $D$, trong khi thiết kế của Dey & Kole chỉ có dạng tổng quát.

2. Thuật toán SPLIT giải quyết vấn đề gì trong thiết kế Split-Plot? Thuật toán SPLIT giải quyết bài toán tìm kiếm các thiết kế Split-Plot bậc hai có tính chất ước lượng tương đương (EE-SPD, tức OLS = GLS) và cấu trúc ma trận thông tin $SPD^*$. Thuật toán hoán đổi các mức giá trị của nhân tố SP trong từng ô lớn để cực tiểu hóa các phần tử phi chéo của ma trận thông tin, giúp nâng cao chỉ số $D_{eff}$ và đảm bảo các mức giá trị đều là số nguyên.

3. Điều kiện để một thiết kế Split-Plot đạt tính chất ước lượng tương đương (EE-SPD) được tính toán như thế nào trong luận án? Thiết kế đạt tính chất ước lượng tương đương khi $trace(C^TC) = 0$. Tác giả đã chứng minh và sử dụng công thức rút gọn $C^TC = kB - B(X^TX)^{-1}B$ (với $B = X^TJ_bX$) dựa trên tính chất lũy linh của ma trận $A = I_n - X(X^TX)^{-1}X^T$, giúp loại bỏ việc tính ma trận $C$ kích thước lớn và tăng tốc độ xử lý của thuật toán.

4. Kết quả tối ưu hóa bề mặt đáp ứng trong bài toán sinh tổng hợp Lipase ở Chương 1 đạt cực đại tại nồng độ nào? Điểm tối ưu cực đại đạt được tại tọa độ mã hóa $(x_6, x_{10}, x_{11}) = (1.180, -0.331, 1.361)$, tương ứng với nồng độ thực tế: Chiết nấm men 3.180% (w/v), Tỷ lệ giống 2.331% (v/v) và Tỷ lệ dầu ăn 4.361% (v/v). Mô hình giải thích được 96.16% biến thiên của hàm lượng enzym Lipase ($R^2 = 0.9616, p = 6.365 \times 10^{-6}$).

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Phạm Đình Tùng đã giải quyết bài toán xây dựng các thiết kế bề mặt đáp ứng 3-mức tối ưu theo tiêu chuẩn hiệu quả D và tính chất trực giao của ma trận thông tin. Tác giả đã đề xuất 7 thiết kế Box-Behnken nhỏ (SBBD) mới từ các thiết kế nhóm không đầy đủ có cỡ nhóm khác nhau, cho phép giảm số phép thử và hỗ trợ chia nhóm trực giao theo 1 hoặc 2 nhân tố. Đồng thời, luận án xây dựng thành công thuật toán SPLIT để thiết lập các thiết kế Split-Plot bậc hai đạt tính chất ước lượng tương đương OLS = GLS, cải thiện chỉ số $D_{eff}$ cho 25 trường hợp cấu hình thí nghiệm phức tạp so với các công bố quốc tế trước đó. Các kết quả nghiên cứu đã làm phong phú thêm hệ thống lý thuyết thiết kế thí nghiệm thống kê và mang lại công cụ hữu ích cho thực nghiệm công nghiệp và sinh học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Giới thiệu phương pháp bề mặt đáp ứng Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về thiết kế thí nghiệm, và tập trung giới thiệu về phương pháp bề mặt đáp ứng trong thiết kế thí nghiệm. Chúng tôi đưa ra mô hình, tiêu chuẩn D-tối ưu và các thiết kế phù hợp với mô hình. Các kiến thức này được tham khảo trong cuốn sách [32] và một số bài báo khác.1 Thiết kế thí nghiệm Thí nghiệm (Experiment) gồm một phép thử hoặc một tập hợp các phép thử. Các thí nghiệm được thực hiện trong các ngành công nghiệp, nông nghiệp để khai thác hoặc nhận thêm thông tin về hệ thống hoặc quá trình sản xuất.

Nhà thống kê Fisher là người đặt nền móng cho thí nghiệm qua những nghiên cứu của mình trong những năm đầu 1920. Ông nhận ra sự thiếu sót trong cách thực hiện thí nghiệm thường cản trở việc phân tích dữ liệu từ quá trình sản xuất nông nghiệp. Bằng sự kết hợp giữa khoa học nghiên cứu trên nhiều lĩnh vực, ông đề xuất ba nguyên lý cơ bản của việc thiết lập thí nghiệm đó là (i) ngẫu nhiên hóa (randomization), (ii) lặp lại nhiều lần (replication) và (iii) chia nhóm (blocking). Các thiết kế thí nghiệm có vai trò quan trọng trong việc thu thập dữ liệu từ hệ thống hoặc quá trình sản xuất trước khi phân tích thống kê dữ liệu.

Thiết kế thí nghiệm cần đảm bảo các yêu cầu sau: (i) phát hiện được ảnh hưởng của các nhân 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] tố trong quá trình, (ii) phù hợp với mô hình, (iii) bảo đảm giá trị dự báo đầu ra gần với giá trị thực, (iv) tối thiểu số phép thử của thí nghiệm, (v) đơn giản và dễ tính toán, (vi) giải thích các biến động trong mô hình một cách dễ dàng. Những năm đầu 1930, thiết kế thí nghiệm trong công nghiệp đã bắt đầu được khai thác nhờ sự phát triển của RSM do Box & Wilson [9] đưa ra. Các tác giả này đã chỉ ra sự khác biệt của thiết kế thí nghiệm trong công nghiệp so với nông nghiệp là các biến đầu ra của quá trình hay biến đáp ứng có thể quan sát ngay và người làm thí nghiệm có thể thu được thông tin quan trọng từ nhóm nhỏ các phép thử để thực hiện các thí nghiệm tiếp theo. Họ tổng kết lại thiết kế thí nghiệm gồm bốn bước: (i) phỏng đoán, (ii) thiết kế, (iii) thí nghiệm và (iv) phân tích.

Đầu tiên, một ý tưởng hoặc một phỏng đoán được thành lập liên quan đến một số nhân tố và đầu ra của một số quá trình sản xuất. Sau đó, người làm thí nghiệm tiến hành chọn thiết kế cho phù hợp với thí nghiệm và thực hiện. Các dữ liệu và kết quả sẽ được phân tích bằng các kỹ thuật hồi quy (regression technique), đưa ra điều kiện tối ưu hay ý tưởng mới về quá trình. Quá trình trên được thực hiện liên tiếp như Hình 1.1: Quá trình thực hiện thí nghiệm liên tiếp Trong giai đoạn đầu của thí nghiệm, người làm thí nghiệm cần xác định các nhân tố quan trọng ảnh hưởng chính đến kết quả đầu ra.

Khi đó, các nhân tố thường được thiết lập ở hai mức thấp nhất và cao nhất của miền giá trị và được mã hóa là ±1. Các thiết kế áp dụng trong giai đoạn này thường gọi là các thiết kế sàng lọc (screening design). Sau khi tìm được các nhân tố chính ảnh hưởng đến biến đáp ứng trong thí nghiệm, họ sẽ thiết kế các thí nghiệm để phù hợp và phân tích mô hình biểu diễn mối quan hệ giữa biến đáp ứng và các nhân tố. Trong giai đoạn tiếp theo, các nhân tố thường được thiết kế ở ba mức trở lên để phát 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] hiện được các tính chất tốt trong mô hình.

Điều này đặt ra cho các nhà thống kê một nhiệm vụ quan trọng là tìm các thiết kế tốt cho ta dễ dàng tính toán, có độ chính xác cao trong ước lượng hệ số mô hình và nâng cao sự mô tả về hệ số của mô hình bởi vì những thí nghiệm không tốt sẽ cho chúng ta rất ít thông tin về mô hình và sự biến động trong đó. Một cách tổng quát, thiết kế thí nghiệm là hệ thống cấu trúc các phép thử được thực hiện trên các nhân tố đầu vào để xác định kết quả ở các biến đầu ra, trong đó mỗi phép thử là một tổ hợp các giá trị của nhân tố. Các nhân tố trong thí nghiệm là điều kiện trong quá trình thực hiện thí nghiệm có ảnh hưởng đến kết quả đầu ra và được thiết lập ở các mức tương ứng với miền giá trị. Giá trị của nhân tố có thể là định lượng (quantitative) hoặc định tính (qualitative), có thể là ETC hoặc HTC.

Thông thường, với các nhân tố định lượng, mức giá trị thiết lập trong mỗi phép thử thường là các cận của miền giá trị hoặc các điểm nằm trong miền giá trị phụ thuộc vào kinh nghiệm của việc thực hiện các quá trình sản xuất. Các mức giá trị thiết lập cho thí nghiệm của mỗi nhân tố thường được mã hóa để đồng nhất thang đo, nghĩa là không còn đơn vị của mỗi biến. Cụ thể, nếu nhân tố định tính có hai mức thì thường được mã hóa thành −1 và 1, còn nhân tố định lượng có thể được mã hóa thành −1, 0 và 1. Kết quả đầu ra của thí nghiệm được gọi là biến đáp ứng (là biến phụ thuộc trong mô hình hồi quy).

Các sai số thường gặp trong thí nghiệm tạo ra bởi thiết bị sản xuất, thiết bị kiểm định, người thực hiện và các yếu tố ngẫu nhiên do một số nhân tố không tham gia vào mô hình được gọi chung là sai số thí nghiệm và thường được giả thiết là nhiễu trắng (white noise).2 Phương pháp bề mặt đáp ứng Phương pháp bề mặt đáp ứng là tập hợp các kỹ thuật được thực hiện để tìm giá trị tốt nhất của biến đáp ứng. Nếu giá trị tốt nhất hoặc các giá trị của biến đáp ứng đã biết đến, thì phương pháp này cho ta hiểu biết sâu hơn về hệ thống chung của biến đáp ứng. Các kỹ thuật này gồm thiết kế thí nghiệm và phân tích các dữ liệu của thí nghiệm bằng kỹ thuật hồi quy được đưa ra trong bài báo của Box & Wilson [9] năm 1951. Bài báo này có ảnh hưởng sâu sắc đến ứng dụng các thiết kế thí nghiệm trong công nghiệp và gợi ra nhiều ý tưởng nghiên cứu trong lĩnh vực này.

Nhiều công trình kết quả nghiên cứu về phương pháp bề mặt đáp ứng đã được viết thành sách Box & Draper [7] năm 1987, Khuri & Cornell [28] năm 1996 và Myers & Montgomery [32] năm 2002. Ở Việt Nam, 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] phương pháp bề mặt đáp ứng đã được sử dụng trong nhiều công trình nghiên cứu thực tế được công bố trên các tạp chí sinh học, tạp chí khoa học công nghệ như Bui & Nguyen [1], Huynh et al. [2] và Le et al.1 Mô hình bề mặt đáp ứng Trong thực tế, biến đáp ứng phụ thuộc vào giá trị của các nhân tố dưới dạng y = f (x1 , x2 , · · · , xm ) + ε, (1.1) trong đó hàm đáp ứng f chưa biết và sai số ε là sai số thí nghiệm được giả sử có phân bố chuẩn với trung bình 0 và phương sai σ 2. Trong phương pháp bề mặt đáp ứng, hàm f được xấp xỉ bởi các đa thức bậc thấp.

Khi đó, mô hình (1.1) được gọi là mô hình bề mặt đáp ứng và các thiết kế cho mô hình là thiết kế bề mặt đáp ứng. Nếu xấp xỉ hàm đáp ứng bằng đa thức bậc một thì m y = β0 + ∑ βi xi + ε, (1.2) i=1 được gọi là mô hình đa thức bậc một, trong đó các hệ số βi , i = 1, 2, · · · , m được gọi là hiệu ứng bậc một hoặc hiệu ứng chính. Mô hình đa thức bậc một thường được dùng trong bài toán hồi quy tuyến tính hoặc bài toán sàng lọc các nhân tố ảnh hưởng chính đến biến đáp ứng. Nếu hàm đáp ứng được xấp xỉ bởi đa thức bậc hai thì mô hình m m m−1 m y = β0 + ∑ βii xi2 + ∑ βi xi + ∑ ∑ βi j xix j + ε.3) i=1 i=1 i=1 j=i+1 được gọi là mô hình đa thức bậc hai, trong đó các hệ số βii , i = 1, · · · , m là các hiệu ứng bậc hai và βi j , i = 1, · · · , m, j = 2, · · · , m, i < j là các hiệu ứng tương tác giữa nhân tố thứ i và thứ j.

Các thiết kế phù hợp với mô hình đa thức bậc hai 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] được gọi là thiết kế bậc hai. Mô hình đa thức bậc hai rất linh hoạt và thường xuyên dùng trong việc xấp xỉ bề mặt đáp ứng. Các hiệu ứng chính βi đo mức độ ảnh hưởng của m nhân tố thông qua biến xi trong mô hình, các hiệu ứng tương tác βi j đo mức độ ảnh hưởng của nhân tố thứ i với nhân tố thứ j thông qua xi x j và bề mặt cong xuất hiện (tức là có biến xi2 trong mô hình) khi có ảnh hưởng của hiệu ứng bậc hai βii của nhân tố thứ i. Ước lượng các hệ số trong mô hình được tính toán đơn giản theo phương pháp bình phương tối thiểu.

Thực hiện thí nghiệm dưới dạng ma trận thiết kế   x11 · · · x1m    x21 · · · x2m  D=   .      xn1 · · · xnm và quan sát các giá trị biến đáp ứng yu , u = 1, · · · , n theo mỗi phép thử (xu1 , · · · , xum ) ta nhận được hệ phương trình sau m m m−1 m 2 yu = β0 + ∑ βii xui + ∑ βi xui + ∑ ∑ βi j xuixu j + εu.4) được viết lại dưới dạng ma trận như sau: Y = X β + , (1.     1 xn12 2 · · · xnm xn1 · · · xnm xn1 xn2 xn2 xn3 ··· là ma trận thiết kế mở rộng của mô hình. 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] Vecto hệ số 0 β = [β0 , β11 , · · · , βmm , β1 , · · · , βm , β12 , · · · , βm−1m ] được ước lượng bằng phương pháp bình phương tối thiểu β̂ = (X0 X)−1 X0 Y, có ma trận hiệp phương sai cov(β̂ ) = σ 2 (X0 X)−1 .