Chương 1 Giới thiệu phương pháp bề mặt đáp ứng Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về thiết kế thí nghiệm, và tập trung giới thiệu về phương pháp bề mặt đáp ứng trong thiết kế thí nghiệm. Chúng tôi đưa ra mô hình, tiêu chuẩn D-tối ưu và các thiết kế phù hợp với mô hình. Các kiến thức này được tham khảo trong cuốn sách [32] và một số bài báo khác.1 Thiết kế thí nghiệm Thí nghiệm (Experiment) gồm một phép thử hoặc một tập hợp các phép thử. Các thí nghiệm được thực hiện trong các ngành công nghiệp, nông nghiệp để khai thác hoặc nhận thêm thông tin về hệ thống hoặc quá trình sản xuất.
Nhà thống kê Fisher là người đặt nền móng cho thí nghiệm qua những nghiên cứu của mình trong những năm đầu 1920. Ông nhận ra sự thiếu sót trong cách thực hiện thí nghiệm thường cản trở việc phân tích dữ liệu từ quá trình sản xuất nông nghiệp. Bằng sự kết hợp giữa khoa học nghiên cứu trên nhiều lĩnh vực, ông đề xuất ba nguyên lý cơ bản của việc thiết lập thí nghiệm đó là (i) ngẫu nhiên hóa (randomization), (ii) lặp lại nhiều lần (replication) và (iii) chia nhóm (blocking). Các thiết kế thí nghiệm có vai trò quan trọng trong việc thu thập dữ liệu từ hệ thống hoặc quá trình sản xuất trước khi phân tích thống kê dữ liệu.
Thiết kế thí nghiệm cần đảm bảo các yêu cầu sau: (i) phát hiện được ảnh hưởng của các nhân 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tố trong quá trình, (ii) phù hợp với mô hình, (iii) bảo đảm giá trị dự báo đầu ra gần với giá trị thực, (iv) tối thiểu số phép thử của thí nghiệm, (v) đơn giản và dễ tính toán, (vi) giải thích các biến động trong mô hình một cách dễ dàng. Những năm đầu 1930, thiết kế thí nghiệm trong công nghiệp đã bắt đầu được khai thác nhờ sự phát triển của RSM do Box & Wilson [9] đưa ra. Các tác giả này đã chỉ ra sự khác biệt của thiết kế thí nghiệm trong công nghiệp so với nông nghiệp là các biến đầu ra của quá trình hay biến đáp ứng có thể quan sát ngay và người làm thí nghiệm có thể thu được thông tin quan trọng từ nhóm nhỏ các phép thử để thực hiện các thí nghiệm tiếp theo. Họ tổng kết lại thiết kế thí nghiệm gồm bốn bước: (i) phỏng đoán, (ii) thiết kế, (iii) thí nghiệm và (iv) phân tích.
Đầu tiên, một ý tưởng hoặc một phỏng đoán được thành lập liên quan đến một số nhân tố và đầu ra của một số quá trình sản xuất. Sau đó, người làm thí nghiệm tiến hành chọn thiết kế cho phù hợp với thí nghiệm và thực hiện. Các dữ liệu và kết quả sẽ được phân tích bằng các kỹ thuật hồi quy (regression technique), đưa ra điều kiện tối ưu hay ý tưởng mới về quá trình. Quá trình trên được thực hiện liên tiếp như Hình 1.1: Quá trình thực hiện thí nghiệm liên tiếp Trong giai đoạn đầu của thí nghiệm, người làm thí nghiệm cần xác định các nhân tố quan trọng ảnh hưởng chính đến kết quả đầu ra.
Khi đó, các nhân tố thường được thiết lập ở hai mức thấp nhất và cao nhất của miền giá trị và được mã hóa là ±1. Các thiết kế áp dụng trong giai đoạn này thường gọi là các thiết kế sàng lọc (screening design). Sau khi tìm được các nhân tố chính ảnh hưởng đến biến đáp ứng trong thí nghiệm, họ sẽ thiết kế các thí nghiệm để phù hợp và phân tích mô hình biểu diễn mối quan hệ giữa biến đáp ứng và các nhân tố. Trong giai đoạn tiếp theo, các nhân tố thường được thiết kế ở ba mức trở lên để phát 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hiện được các tính chất tốt trong mô hình.
Điều này đặt ra cho các nhà thống kê một nhiệm vụ quan trọng là tìm các thiết kế tốt cho ta dễ dàng tính toán, có độ chính xác cao trong ước lượng hệ số mô hình và nâng cao sự mô tả về hệ số của mô hình bởi vì những thí nghiệm không tốt sẽ cho chúng ta rất ít thông tin về mô hình và sự biến động trong đó. Một cách tổng quát, thiết kế thí nghiệm là hệ thống cấu trúc các phép thử được thực hiện trên các nhân tố đầu vào để xác định kết quả ở các biến đầu ra, trong đó mỗi phép thử là một tổ hợp các giá trị của nhân tố. Các nhân tố trong thí nghiệm là điều kiện trong quá trình thực hiện thí nghiệm có ảnh hưởng đến kết quả đầu ra và được thiết lập ở các mức tương ứng với miền giá trị. Giá trị của nhân tố có thể là định lượng (quantitative) hoặc định tính (qualitative), có thể là ETC hoặc HTC.
Thông thường, với các nhân tố định lượng, mức giá trị thiết lập trong mỗi phép thử thường là các cận của miền giá trị hoặc các điểm nằm trong miền giá trị phụ thuộc vào kinh nghiệm của việc thực hiện các quá trình sản xuất. Các mức giá trị thiết lập cho thí nghiệm của mỗi nhân tố thường được mã hóa để đồng nhất thang đo, nghĩa là không còn đơn vị của mỗi biến. Cụ thể, nếu nhân tố định tính có hai mức thì thường được mã hóa thành −1 và 1, còn nhân tố định lượng có thể được mã hóa thành −1, 0 và 1. Kết quả đầu ra của thí nghiệm được gọi là biến đáp ứng (là biến phụ thuộc trong mô hình hồi quy).
Các sai số thường gặp trong thí nghiệm tạo ra bởi thiết bị sản xuất, thiết bị kiểm định, người thực hiện và các yếu tố ngẫu nhiên do một số nhân tố không tham gia vào mô hình được gọi chung là sai số thí nghiệm và thường được giả thiết là nhiễu trắng (white noise).2 Phương pháp bề mặt đáp ứng Phương pháp bề mặt đáp ứng là tập hợp các kỹ thuật được thực hiện để tìm giá trị tốt nhất của biến đáp ứng. Nếu giá trị tốt nhất hoặc các giá trị của biến đáp ứng đã biết đến, thì phương pháp này cho ta hiểu biết sâu hơn về hệ thống chung của biến đáp ứng. Các kỹ thuật này gồm thiết kế thí nghiệm và phân tích các dữ liệu của thí nghiệm bằng kỹ thuật hồi quy được đưa ra trong bài báo của Box & Wilson [9] năm 1951. Bài báo này có ảnh hưởng sâu sắc đến ứng dụng các thiết kế thí nghiệm trong công nghiệp và gợi ra nhiều ý tưởng nghiên cứu trong lĩnh vực này.
Nhiều công trình kết quả nghiên cứu về phương pháp bề mặt đáp ứng đã được viết thành sách Box & Draper [7] năm 1987, Khuri & Cornell [28] năm 1996 và Myers & Montgomery [32] năm 2002. Ở Việt Nam, 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com phương pháp bề mặt đáp ứng đã được sử dụng trong nhiều công trình nghiên cứu thực tế được công bố trên các tạp chí sinh học, tạp chí khoa học công nghệ như Bui & Nguyen [1], Huynh et al. [2] và Le et al.1 Mô hình bề mặt đáp ứng Trong thực tế, biến đáp ứng phụ thuộc vào giá trị của các nhân tố dưới dạng y = f (x1 , x2 , · · · , xm ) + ε, (1.1) trong đó hàm đáp ứng f chưa biết và sai số ε là sai số thí nghiệm được giả sử có phân bố chuẩn với trung bình 0 và phương sai σ 2. Trong phương pháp bề mặt đáp ứng, hàm f được xấp xỉ bởi các đa thức bậc thấp.
Khi đó, mô hình (1.1) được gọi là mô hình bề mặt đáp ứng và các thiết kế cho mô hình là thiết kế bề mặt đáp ứng. Nếu xấp xỉ hàm đáp ứng bằng đa thức bậc một thì m y = β0 + ∑ βi xi + ε, (1.2) i=1 được gọi là mô hình đa thức bậc một, trong đó các hệ số βi , i = 1, 2, · · · , m được gọi là hiệu ứng bậc một hoặc hiệu ứng chính. Mô hình đa thức bậc một thường được dùng trong bài toán hồi quy tuyến tính hoặc bài toán sàng lọc các nhân tố ảnh hưởng chính đến biến đáp ứng. Nếu hàm đáp ứng được xấp xỉ bởi đa thức bậc hai thì mô hình m m m−1 m y = β0 + ∑ βii xi2 + ∑ βi xi + ∑ ∑ βi j xix j + ε.3) i=1 i=1 i=1 j=i+1 được gọi là mô hình đa thức bậc hai, trong đó các hệ số βii , i = 1, · · · , m là các hiệu ứng bậc hai và βi j , i = 1, · · · , m, j = 2, · · · , m, i < j là các hiệu ứng tương tác giữa nhân tố thứ i và thứ j.
Các thiết kế phù hợp với mô hình đa thức bậc hai 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com được gọi là thiết kế bậc hai. Mô hình đa thức bậc hai rất linh hoạt và thường xuyên dùng trong việc xấp xỉ bề mặt đáp ứng. Các hiệu ứng chính βi đo mức độ ảnh hưởng của m nhân tố thông qua biến xi trong mô hình, các hiệu ứng tương tác βi j đo mức độ ảnh hưởng của nhân tố thứ i với nhân tố thứ j thông qua xi x j và bề mặt cong xuất hiện (tức là có biến xi2 trong mô hình) khi có ảnh hưởng của hiệu ứng bậc hai βii của nhân tố thứ i. Ước lượng các hệ số trong mô hình được tính toán đơn giản theo phương pháp bình phương tối thiểu.
Thực hiện thí nghiệm dưới dạng ma trận thiết kế x11 · · · x1m x21 · · · x2m D= . xn1 · · · xnm và quan sát các giá trị biến đáp ứng yu , u = 1, · · · , n theo mỗi phép thử (xu1 , · · · , xum ) ta nhận được hệ phương trình sau m m m−1 m 2 yu = β0 + ∑ βii xui + ∑ βi xui + ∑ ∑ βi j xuixu j + εu.4) được viết lại dưới dạng ma trận như sau: Y = X β + , (1. 1 xn12 2 · · · xnm xn1 · · · xnm xn1 xn2 xn2 xn3 ··· là ma trận thiết kế mở rộng của mô hình. 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vecto hệ số 0 β = [β0 , β11 , · · · , βmm , β1 , · · · , βm , β12 , · · · , βm−1m ] được ước lượng bằng phương pháp bình phương tối thiểu β̂ = (X0 X)−1 X0 Y, có ma trận hiệp phương sai cov(β̂ ) = σ 2 (X0 X)−1 .