So Sánh Một Số Phương Pháp Xấp Xỉ và Mô Phỏng FFT Cho Hệ Số Dẫn Nhiệt Vật Liệu Không Đồng Nhất

Luận văn thạc sĩ phân tích các phương pháp xấp xỉ và mô phỏng FFT cho hệ số dẫn nhiệt vật liệu không đồng nhất trong kỹ thuật cơ khí.

• Tác giả: Nguyễn Thị Hải Duyên
• Người hướng dẫn: PGS. Phạm Đức Chính
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
• Đề tài: So Sánh Phương Pháp Xấp Xỉ và Mô Phỏng FFT Trong Nghiên Cứu Hệ Số Dẫn Nhiệt Vật Liệu Không Đồng Nhất
• Loại tài liệu: luận văn
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Hệ Số Dẫn Nhiệt Vật Liệu Không Đồng Nhất

Đồng nhất hóa vật liệu là một lĩnh vực phát triển mạnh mẽ. Vật liệu composite, với cấu trúc vi mô từ các thành phần vật liệu khác nhau, ngày càng được sử dụng rộng rãi trong khoa học, kỹ thuật và đời sống. Về mặt vĩ mô, chúng được xem là đồng nhất và có các tính chất hữu hiệu (mô đun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt, điện...) khác với tính chất của các thành phần cấu thành. Tính chất vĩ mô này phụ thuộc vào cả tính chất thành phần và hình học vi mô. Vì vậy, nghiên cứu các tính chất này rất cần thiết và có tính thời sự. Luận văn này tập trung xây dựng mối quan hệ giữa tính chất dẫn nhiệt vĩ mô và tính chất của các thành phần vi mô với các cấu trúc hình học khác nhau. Tính dẫn nhiệt đóng vai trò quan trọng trong chế tạo và ứng dụng vật liệu composite, ví dụ như vật liệu nền polyme cốt sợi trong hàng không, ô tô, hàng hải,...

1.1. Bài Toán Dẫn Nhiệt và Tầm Quan Trọng Thực Tiễn

Nghiên cứu hệ số dẫn nhiệt của vật liệu không đồng nhất có vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng kỹ thuật. Việc xác định chính xác tính chất này cho phép dự đoán và tối ưu hóa hiệu suất của vật liệu trong các điều kiện nhiệt độ khác nhau. Ví dụ, trong ngành hàng không, việc lựa chọn vật liệu composite có hệ số dẫn nhiệt phù hợp là yếu tố then chốt để đảm bảo an toàn và hiệu quả năng lượng cho máy bay. "Luận văn tập trung vào xây dựng mối quan hệ giữa tính chất dẫn nhiệt vĩ mô của vật liệu đồng nhất hóa với tính chất của các thành phần vi mô với các cấu trúc hình học vi mô khác nhau."

1.2. Ứng Dụng của Vật Liệu Composite và Bài Toán Truyền Nhiệt

Vật liệu composite, với sự kết hợp của nhiều thành phần, cho phép tạo ra vật liệu có tính chất đặc biệt, đáp ứng yêu cầu khắt khe của các ứng dụng kỹ thuật. Tuy nhiên, việc dự đoán hệ số dẫn nhiệt của chúng là một thách thức do sự không đồng nhất về cấu trúc. Bài toán truyền nhiệt trong vật liệu composite đòi hỏi các phương pháp tính toán chính xác để đảm bảo hiệu suất và độ tin cậy của sản phẩm.

II. Thách Thức Xác Định Hệ Số Dẫn Nhiệt Cho Vật Liệu Không Đồng Nhất

Việc xác định hệ số dẫn nhiệt hiệu quả của vật liệu không đồng nhất là một thách thức lớn. Tính chất này không chỉ phụ thuộc vào tính chất của từng thành phần mà còn bị ảnh hưởng bởi cấu trúc hình học vi mô của chúng. Các phương pháp truyền thống thường gặp khó khăn trong việc mô tả chính xác sự tương tác giữa các pha vật liệu, dẫn đến sai số trong kết quả tính toán. Do đó, cần có các phương pháp tiên tiến hơn để giải quyết bài toán này, đảm bảo độ chính xác và tin cậy của kết quả.

2.1. Ảnh Hưởng của Cấu Trúc Vi Mô Đến Tính Chất Vật Liệu

Cấu trúc vi mô của vật liệu composite đóng vai trò quyết định đến tính chất vật liệu vĩ mô. Sự phân bố, hình dạng và kích thước của các pha vật liệu ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng dẫn nhiệt của vật liệu. Việc mô tả chính xác cấu trúc vi mô là yếu tố then chốt để dự đoán hệ số dẫn nhiệt hiệu quả. Các phương pháp xấp xỉ và mô phỏng cần được lựa chọn và điều chỉnh phù hợp với từng loại cấu trúc vi mô cụ thể.

2.2. Giới Hạn của Các Phương Pháp Tính Toán Truyền Thống

Các phương pháp tính toán truyền nhiệt truyền thống, như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp sai phân hữu hạn (FDM), có thể gặp khó khăn trong việc mô phỏng vật liệu không đồng nhất phức tạp. Việc tạo lưới tính toán chi tiết cho cấu trúc vi mô có thể đòi hỏi tài nguyên tính toán lớn và thời gian xử lý dài. Ngoài ra, các phương pháp này có thể gặp vấn đề về hội tụ và độ chính xác khi xử lý các vật liệu có độ tương phản hệ số dẫn nhiệt cao giữa các pha.

2.3. Yêu Cầu Về Độ Chính Xác và Hiệu Quả Tính Toán

Trong nhiều ứng dụng kỹ thuật, việc xác định hệ số dẫn nhiệt với độ chính xác cao là rất quan trọng. Sai số trong kết quả tính toán có thể dẫn đến những hậu quả nghiêm trọng, ảnh hưởng đến hiệu suất và độ an toàn của sản phẩm. Đồng thời, cần có các phương pháp có hiệu quả tính toán cao để giảm thiểu thời gian và chi phí mô phỏng. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp cần cân nhắc giữa độ chính xác và hiệu quả tính toán.

III. Phương Pháp Xấp Xỉ Mori Tanaka và Phân Cực Cho Dẫn Nhiệt

Phương pháp xấp xỉ, dựa trên bài toán Eshelby, cung cấp một cách tiếp cận để xác định hệ số dẫn nhiệt vĩ mô. Một số xấp xỉ được sử dụng phổ biến với độ chính xác cao hơn các phương pháp cổ điển, bao gồm xấp xỉ Maxwell, xấp xỉ phân bố thưa, xấp xỉ Mori - Tanaka và xấp xỉ phân cực (PA). Các phương pháp này xây dựng các công thức gần đúng dựa trên tính chất của các pha và cấu trúc hình học.

3.1. Xấp Xỉ Mori Tanaka Ưu Điểm và Ứng Dụng

Xấp xỉ Mori-Tanaka (MTA) sử dụng kết quả của bài toán Eshelby để ước tính hệ số dẫn nhiệt hiệu quả. Phương pháp này đặc biệt hữu ích cho các vật liệu composite có cấu trúc vi mô phức tạp. MTA có thể được áp dụng cho các vật liệu có hình dạng pha bất kỳ, nhưng đòi hỏi kiến thức về phân bố các pha trong vật liệu.

3.2. Xấp Xỉ Phân Cực PA Tính Toán Hệ Số Dẫn Nhiệt Hiệu Quả

Xấp xỉ phân cực (PA) là một phương pháp khác để ước tính hệ số dẫn nhiệt hiệu quả của vật liệu không đồng nhất. Phương pháp này dựa trên việc mô tả sự phân cực nhiệt trong vật liệu do sự khác biệt về hệ số dẫn nhiệt giữa các pha. PA có thể cho kết quả chính xác hơn MTA trong một số trường hợp, đặc biệt khi có sự tương phản lớn về hệ số dẫn nhiệt giữa các pha.

IV. Mô Phỏng FFT Giải Pháp Số Cho Bài Toán Dẫn Nhiệt Phức Tạp

Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT) cung cấp một giải pháp số mạnh mẽ cho bài toán dẫn nhiệt trong vật liệu không đồng nhất. FFT cho phép giải quyết hiệu quả phương trình nhiệt trong không gian tần số, đặc biệt hiệu quả với cấu trúc tuần hoàn. Phương pháp này cho độ chính xác cao nhưng đòi hỏi tài nguyên tính toán đáng kể, đặc biệt với các cấu trúc phức tạp.

4.1. Ưu Điểm của FFT Trong Mô Phỏng Truyền Nhiệt

FFT có nhiều ưu điểm trong mô phỏng truyền nhiệt trong vật liệu không đồng nhất. Phương pháp này có thể xử lý các cấu trúc phức tạp với độ chính xác cao, đặc biệt là các cấu trúc tuần hoàn. FFT cũng cho phép giảm đáng kể thời gian tính toán so với các phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống.

4.2. Thuật Toán Lặp Giải Phương Trình Tích Phân Sử Dụng FFT

Để giải bài toán dẫn nhiệt bằng FFT, cần xây dựng một thuật toán lặp để giải phương trình tích phân. Thuật toán này bao gồm các bước biến đổi Fourier, tính toán gradient nhiệt độ và dòng nhiệt, và cập nhật trường nhiệt độ. Việc lựa chọn thuật toán lặp phù hợp có thể ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ và độ chính xác của kết quả.

4.3. Hiệu Quả Tính Toán và Yêu Cầu Tài Nguyên của FFT

Mặc dù FFT có nhiều ưu điểm, phương pháp này cũng đòi hỏi tài nguyên tính toán đáng kể, đặc biệt là bộ nhớ và CPU. Hiệu quả tính toán của FFT phụ thuộc vào kích thước của lưới tính toán và độ phức tạp của cấu trúc vật liệu. Cần cân nhắc kỹ lưỡng các yếu tố này để đảm bảo tính khả thi của việc sử dụng FFT cho các bài toán cụ thể.

V. So Sánh Xấp Xỉ So Với Mô Phỏng FFT Về Độ Chính Xác

Việc so sánh phương pháp xấp xỉ và mô phỏng FFT là rất quan trọng để đánh giá ưu nhược điểm của từng phương pháp. FFT (Fast Fourier Transform) thường cho độ chính xác cao hơn nhưng tốn kém về mặt tính toán. Các phương pháp xấp xỉ như Mori-Tanaka và phân cực có thể nhanh hơn nhưng độ chính xác có thể bị hạn chế, đặc biệt với các cấu trúc phức tạp.

5.1. Đánh Giá Độ Chính Xác Của Phương Pháp Xấp Xỉ

Độ chính xác của phương pháp xấp xỉ phụ thuộc vào nhiều yếu tố, bao gồm loại xấp xỉ được sử dụng, cấu trúc vật liệu, và sự khác biệt về tính chất giữa các pha. Cần thực hiện các nghiên cứu so sánh với các phương pháp chính xác hơn, như mô phỏng FFT, để đánh giá độ tin cậy của các phương pháp xấp xỉ trong các trường hợp cụ thể.

5.2. Đánh Giá Sai Số và Độ Tin Cậy Của Các Phương Pháp

Việc đánh giá sai số và độ tin cậy là yếu tố then chốt để lựa chọn phương pháp phù hợp. Cần xác định các nguồn gây sai số tiềm ẩn và đánh giá ảnh hưởng của chúng đến kết quả tính toán. Các kỹ thuật validation và verification cần được áp dụng để đảm bảo tính chính xác và tin cậy của các phương pháp mô phỏng.

5.3. So Sánh Thời Gian Tính Toán và Hiệu Quả Tính Toán

Bên cạnh độ chính xác, thời gian tính toán và hiệu quả tính toán cũng là những yếu tố quan trọng cần cân nhắc. Các phương pháp xấp xỉ thường có thời gian tính toán ngắn hơn so với mô phỏng FFT, nhưng có thể kém chính xác hơn. Cần lựa chọn phương pháp phù hợp dựa trên yêu cầu cụ thể của bài toán.

VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Mô Hình Hóa Vật Liệu Tương Lai

Nghiên cứu về hệ số dẫn nhiệt của vật liệu không đồng nhất vẫn là một lĩnh vực đầy thách thức nhưng cũng rất tiềm năng. Các phương pháp xấp xỉ và mô phỏng FFT đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết bài toán này. Sự phát triển của các phương pháp tính toán hiệu quả hơn và các kỹ thuật mô hình hóa vật liệu tiên tiến sẽ mở ra những hướng đi mới cho nghiên cứu và ứng dụng vật liệu composite.

6.1. Tóm Tắt Kết Quả Nghiên Cứu và Đóng Góp Mới

Luận văn đã trình bày một so sánh chi tiết giữa phương pháp xấp xỉ và mô phỏng FFT trong việc xác định hệ số dẫn nhiệt của vật liệu không đồng nhất. Kết quả nghiên cứu cung cấp những thông tin hữu ích cho việc lựa chọn phương pháp phù hợp với từng loại vật liệu và ứng dụng cụ thể. Đóng góp mới của luận văn có thể là việc đề xuất các kỹ thuật cải tiến cho phương pháp xấp xỉ hoặc mô phỏng FFT, hoặc việc áp dụng các phương pháp này cho các loại vật liệu composite mới.

6.2. Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo và Ứng Dụng Tiềm Năng

Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc phát triển các phương pháp tính toán hiệu quả hơn và chính xác hơn cho vật liệu không đồng nhất phức tạp. Các kỹ thuật học máy và trí tuệ nhân tạo có thể được áp dụng để mô hình hóa vật liệu và dự đoán hệ số dẫn nhiệt hiệu quả. Các ứng dụng tiềm năng của nghiên cứu này bao gồm thiết kế vật liệu composite cho các ứng dụng năng lượng, hàng không vũ trụ, và xây dựng.

6.3. Vai Trò của Phần Mềm Mô Phỏng Nhiệt Trong Nghiên Cứu

Phần mềm mô phỏng nhiệt, như MATLAB, COMSOL, ANSYS, và OpenFOAM, đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu hệ số dẫn nhiệt của vật liệu không đồng nhất. Các phần mềm này cung cấp các công cụ mạnh mẽ để xây dựng mô hình vật liệu, thực hiện mô phỏng truyền nhiệt, và phân tích kết quả. Việc lựa chọn phần mềm mô phỏng nhiệt phù hợp phụ thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán và kinh nghiệm của người sử dụng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. Tổng quan bài toán dẫn. Một số phương pháp xấp xỉ. Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT) cho một số mô hình có cấu trúc tuần hoàn Chương 4.

Ví dụ, so sánh một số phương pháp xấp xỉ và phương pháp số FFT Phần cuối là kết luận và kiến nghị, tham khảo.605201 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. TỔNG QUAN BÀI TOÁN DẪN 1. TÍNH CHẤT DẪN VĨ MÔ CỦA VẬT LIỆU ĐỒNG NHẤT HÓA Để đánh giá tính dẫn nhiệt vĩ mô của vật liệu đồng nhất hóa, ta đánh giá dựa trên phần tử đặc trưng V. Xét phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) của vật liệu tổ hợp, phần tử đặc trưng phải đủ lớn so với các cấu trúc vi mô để đại diện cho các tính chất của vật liệu thành phần đồng thời phải đủ nhỏ so với kích thước vật thể để việc xác định tính chất vĩ mô có ý nghĩa.

1 Phần tử đặc trưng RVE Phần tử đặc trưng V được cấu thành bởi n thành phần chiếm không gian V  V và có các hệ số dẫn C ,   1,. Phần tử đặc trưng V (thể tích V được coi là bằng 1) được gắn với hệ tọa độ Đề các  x1 , x2 . Khi các thành phần cấu thành phân bố hỗn độn hay đều theo mọi hướng trong không gian ta có thể coi vật liệu là đẳng hướng vĩ mô, các kích thước vi mô là đủ lớn so với kích thước phân tử để có thể được coi là môi trường liên tục. Có nhiều tính chất cơ-lý của vật liệu mà khoa học hiện nay cần quan tâm, tuy nhiên do phạm vi nghiên cứu nên trong luận văn này chỉ đề cập đến tính dẫn nhiệt và một số tính dẫn có tính chất tương tự.

Hệ số dẫn nhiệt C(x) là tensor bậc hai đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật liệu, nói chung là khác nhau cho các hướng khác nhau đối với vật liệu dị hướng, C(x)=C nếu x V ,   1,. Với điều kiện chịu nhiệt của vật thể, trường vectơ dòng nhiệt J cần phải thỏa mãn phương trình cân bằng:  J(x)  0, x  V (1.1) Với liên kết lý tưởng trên mặt ngăn cách giữa các pha: x V , J   n  J   n (liên tục về dòng nhiệt), T   x   T   x  (liên tục về nhiệt độ) với, n (x) là pháp tuyến ngoài biên trên.605201 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.605201 11 Trường dòng J(x) quan hệ với trường gradient nhiệt E(x)= T (x) thông qua định luật Fourier J(x)=-C(x)  E(x) (1.2) Điều kiện biên có thể cho trước là trường nhiệt độ T (x)  T0 (x) , hoặc dòng nhiệt J (x)  n(x)  q (x) , T0 (x) và q (x) là các giá trị cho trước. Trong trường hợp vật 0 0 liệu đẳng hướng ta có C  CI , trong đó I là tensor đơn vị bậc hai và C là giá trị vô hướng thể hiện hệ số dẫn đẳng hướng. Từ các phương trình (1.2) ta nhận được phương trình Laplace: T  0 (1.3) Một số tính dẫn khác có cấu trúc tính toán tương tự tính dẫn nhiệt: Hệ số tán xạ D đặc trưng cho khả năng lan truyền của dòng vật chất được xác định thông qua định luật Fick 1: J = -D  (1.4) trong đó J là dòng lan truyền thỏa mãn phương trình cân bằng (1.1),  là mật độ vật chất.

Hệ số dẫn điện c thỏa mãn định luật Ohm J (x) = -c(x) E(x)  -c(x)  ( x) (1.5) trong đó J là trường dòng điện thỏa mãn phương trình cân bằng (1.1),  là trường điện thế. Hệ số thấm k được xác định thông qua định luật Darcy: k q(x)   P(x) (1.6)  trong đó P là áp lực nước,  là hệ số nhớt của nước, q là trường dòng( tỉ lệ với tốc độ thấm v và độ rỗng của môi trường vật chất  , q   v ) thỏa mãn phương trình cân bằng   q  0. Hệ số điện môi (thấm điện) 𝜖 đặc trưng cho tính chất điện của môi trường điện môi được xác định qua phương trình: Q(x)   E(x) (1.7) trong đó Q là vectơ dịch chuyển điện từ thỏa mãn phương trình cân bằng   Q  0 , E là trường điện từ.605201 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.605201 12 Hệ số thấm từ (độ từ thẩm)  là đại lượng đặc trưng cho tính thấm từ của từ trường ngoài, thỏa mãn phương trình: B(x)   H(x) (1.8) trong đó B là cảm ứng từ thỏa mãn phương trình cân bằng  B  0 , H là cường độ từ trường. Tất cả các tính dẫn trên đều có chung một cấu trúc toán học, đều dẫn tới thỏa mãn phương trình Laplace và các kết quả đều có thể sử dụng chung với các hệ số tương ứng cho từng trường hợp cụ thể.

Do đó trong luận văn chỉ xét đến bài toán dẫn nhiệt. Có nhiều phương pháp tiếp cận để xác định tính chất dẫn vĩ mô của vật liệu như phương pháp đánh giá, phương pháp xấp xỉ, phương pháp số. Các phương pháp có độ phức tạp khác nhau và cũng đưa đến những kết quả có mức độ chính xác khác nhau. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN VĨ MÔ CỦA VẬT LIỆU ĐỒNG NHẤT HÓA.

Hướng tiếp cận cơ bản để xác định tính chất cơ-lý hiệu quả của vật liệu nhiều thành phần có thể chia thành 2 hướng chính: Đường hướng giải phương trình: giải trực tiếp các phương trình vi phân, tích phân mô tả làm việc của vật liệu và Đường hướng năng lượng (Biến phân): tìm lời giải bài toán thông qua việc tìm cực trị của các phiếm hàm năng lượng. Cụ thể, có ba phương pháp chính đó là phương pháp đánh giá, phương pháp xấp xỉ và phương pháp số. Phương pháp đánh giá là phương pháp xác định hệ số dẫn hiệu quả thông qua việc tìm cực trị của các phiếm hàm năng lượng trên phần tử đặc trưng V mà cụ thể là tìm cách đánh giá cận trên, cận dưới của các tính chất bằng cách xuất phát từ nguyên lý năng lượng cực tiểu. Nguyên lý năng lượng cực tiểu để tìm đánh giá trên hệ số dẫn nhiệt cho vật liệu đẳng hướng vĩ mô n pha C eff E0  E0  inf 0  E  C  Edx  E  E V (1.9) và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (nguyên lý biến phân đối ngẫu) để tìm đánh giá dưới (C eff ) 1 J 0  J 0  inf 0  J  C1  Jdx  J  J V (1.605201 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.9) là vector gradient của một hàm liên tục trên V, E0 là vector 1 V V hằng,    là trung bình thể tích trên V,    dx.

Trường dòng J trong (1.10) thỏa mãn điều kiện cân bằng  J  0 Nổi bật trong các nghiên cứu theo phương pháp này là nghiên cứu của Voigt-Reuss (đánh giá bậc một), Hashin-Strikman (đánh giá bậc hai), Milton, Phạm Đức Chính. Voight đã đưa ra công thức trung bình cộng số học [34] và Reuss đưa ra trung bình cộng điều hòa [33] để tính xấp xỉ các tính chất vĩ mô của các loại vật liệu tổ hợp n thành phần với hình học pha và tỉ lệ thể tích bất kì ở các pha. Đối với hệ số dẫn vật liệu đẳng hướng (tổng theo  chạy từ 1 đến n): C eff   v C  C V (1.11) 1  v  hoặc C eff    CR (1.12)   C  Các biểu thức trung bình cộng số học (1.11) và trung bình cộng điều hòa (1.12) có các giá trị khác nhau, các kết quả này chỉ gần nhau khi tính chất các thành phần gần nhau. Với cách xây dựng đánh giá theo đường lối biến phân có thể chỉ ra rằng (1.12) chính là các đánh giá trên và đánh giá dưới đối với tính chất hiệu quả của vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần với cấu trúc hình học pha bất kì của vật liệu.

Nguyên lý năng lượng cực trị lần đầu tiên được đề xuất bởi [20] trong nghiên cứu tính chất hiệu quả của vật liệu và chọn trường khả dĩ hằng số, ông đã chứng minh được tính chất hiệu quả luôn nằm giữa trung bình cộng số học CV và trung bình cộng điều hòa CR, đối với hệ số dẫn của vật liệu tổ hợp đẳng hướng n thành phần: CR  C eff  CV (1.13) Nghiên cứu [18] đã xây dựng tính chất hiệu quả dựa trên nguyên lý biến phân riêng dẫn tới trường khả dĩ phân cực (polarization fields) với các giá trị trung bình khác nhau trên các pha khác nhau. Đánh giá của Hashin- Strickman (HS) tốt hơn của Hill khi nó nằm trong đánh giá này. Đánh giá HS cho hệ số dẫn vĩ mô cho vật liệu nhiều thành phần trong không gian 2 chiều được biểu diễn: PC  Cmin   C eff  PC  Cmax  (1.605201 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail., Cn  , Cmax  max C1 ,., Cn  , Đánh giá Hashin- Shtrikman ở trên đúng với mọi vật liệu tổ hợp đẳng hướng bất kỳ, không phụ thuộc cấu trúc hình học pha như thế nào. Với tính chất vật liệu cho trước C và tỷ lệ thể tích pha v cũng cho được biểu thức đánh giá.

Các đánh giá hẹp hơn đánh giá HS có chứa thêm các thông tin bậc cao về hình học pha của vật liệu đã được xây dựng bởi các tác giả khác nhau, như Milton (1981), Miller (1969), Phạm D. Trong nghiên cứu [2, 29] hệ số dẫn C eff được xác định theo (1.16)    0 , x V Trường khả dĩ phân cực E trong (1.9) được chọn như sau: 1 C0  Ei  Ei 0  p '  ,ij , j i  1, 2.17)  Trong đó p '  p   p  với trường véc tơ phân cực p   p   (x) :  1  2C0     0     p  1   E (1.18) ta có đánh giá trên như sau: C eff  PC  C0   C** (1.19) trong đó C0 là số dương tùy ý, 1    PC (C0 )      C0 (1.21) 1  X     C  C0 C  C0 A  là các hệ số hình học mô tả xấp xỉ bậc ba hình học của vật liệu [30] (LUAN.605201 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.