CHƯƠNG 1 Cơ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Khái niệm chứng minh toán học 1. Chứng minh Trong cuộc sống thường ngày của chúng ta cũng như trong mọi ngành khoa học, chứng minh là nhu cầu không thể thiếu. Chất lượng sống ngày càng cao đồng nghĩa với việc con người cần không ngừng nâng cao tư duy và nhận thức.
“Nhận thức suy cho cùng là sự kết họp giữa nhận thức trực quan cảm tính và nhận thức bằng tư duy lý tính. Nhận thức phải đi từ cái biết ít đến cái biết nhiều” [7, tr. Đe nâng cao nhận thức của mình, con người cần sử dụng những tri thức đã biết trước đó, đem kết họp lại với nhau đế tạo ra những giá trị tri thức mới. Tuy nhiên, đôi khi những điều kết họp đó không phải lúc nào cùng mang lại kết quả đúng như ta mong đợi.
Chẳng hạn có những luận điểm, tư tưởng khi con người đem nó để áp dụng vào thực tiễn lại dần đến thiếu co sở vững chắc và xa rời với nội dung hiện thực, và do đó, không những không đem lại hiệu quả cho hoạt động thực tiễn mà trái lại nhiều khi còn có tác dụng ngược trở lại. Vì vậy, vấn đề cần đặt ra là: con người trước khi tin tưởng và sử dụng một kết luận, một phán đoán hay một học lý nào đó thì bản thân chúng đòi hỏi phải được chứng minh. Đó là điều kiện để bảo đảm cho nhận thức của con người tránh được sai lầm khi tin tưởng và sừ dụng những nhận định không có căn cứ, cơ sở của chính bản thân mình. Nói một cách khác đi thì chứng minh là nhu cầu tất yếu của mọi hoạt động tư tưởng, nó thế hiện đúng cho nội dung qui luật “lý do đầy đủ” mà tư duy hình thức muốn phản ánh đúng thế giới thì cần phải tuân thủ.
Dân gian Việt Nam từ thời xưa đã truyền tai nhau câu: “ Nói có sách, mách có chứng”, yêu cầu về chứng minh được thể hiện rõ ở câu nói này, nghĩa là khi muốn khẳng định hay phủ định điều gì đều cần phái có căn cứ, mà căn cứ này phái đáng tin cậy và được mọi người thừa nhận chung. 268]: “Chứng minh là thao tác logic dùng đê lập luận tính chân thực của một luận điểm hay lý thuyết nào đó nhờ đã biết tính chân thực của những luận điểm hay lý thuyết khác mà nó có mối liên hệ hữu cơ với luận điểm hay lý thuyết ấy”. Ví dụ: Sắt có khả năng dẫn điện. Để chứng minh, nghĩa là lập luận nhằm khắng định rằng sắt có khả năng dẫn điện là hoàn toàn đúng đắn, ta dựa vào các phán đoán mà tính chân thực đã được xác nhận sau đây làm tiền đề: sắt là một nguyên tố kim loại.
Mọi nguyên tố kim loại đều có khả năng dẫn điện. Từ các tiền đề trên, chúng ta sắp xếp chúng theo một trật tự nhất định để rút ra luận điểm cần chứng minh: Mọi nguyên tố kim loại đều có khả năng dẫn điện, sắt là nguyên tố kim loại. Chứng tỏ sắt có khá năng dẫn điện. Khái niệm chứng minh toán học Đặc điểm độc đáo khiến toán học khác biệt với các ngành khoa học khác, với triết học, và thực tế là với tất cả các hình thức diễn ngôn trí tuệ khác, là việc sử dụng bằng chứng chặt chẽ.
Chính khái niệm chứng minh đã làm cho chủ đề trở nên mạch lạc, mang lại cho nó tính trường tồn theo thời gian và giúp nó có thể truyền tải tốt hơn. Không có ngành khoa học hay phân tích nào có thể sử dụng bàng chứng dễ dàng và thường xuyên như toán học, đây là công cụ làm cho toán học lý thuyết trở nên đặc biệt, chuỗi lý luận được đan kết chặt chẽ, tuân theo các quy tắc logic, dẫn đến một kết luận cụ thể một cách chắc chắn. Vậy chứng minh là gì? Theo Steven G. Krantz: “về mặt suy nghiệm, chứng minh là một công cụ tu từ để thuyết phục người khác rằng một phát biểu toán học là đúng hoặc họp lệ” [34, tr.
Đối với Ball và Bass, “kiến thức không họp lý là không họp lý và do đó dề trở nên không hợp lý”. Chứng minh là một phương pháp toán học quan trọng cho phép các nhà toán học, giáo viên và người học toán tạo ra mối liên hệ giữa các ý tưởng và các phần khác nhau của một lập luận, để đưa ra sự đảm bảo cho các 6 khẳng định và phong đoán, giải quyết tranh chấp và phát triển các ý tưởng toán học mới [31, tr. Là một ví dụ về quan điểm thứ ba về chứng minh, Hanna & Jahnke (1993) đã định nghĩa chứng minh là một “Chuỗi hữu hạn các công thức trong một hệ thống nhất định, mỗi công thức là một tiên đề hoặc có thể rút ra từ công thức trước đó bằng một quy tắc trong hệ thống” [42, tr. Khi nói về chứng minh toán học, theo quan điềm của Nguyễn Bá Kim, ông cho rằng việc chứng minh toán học xuất phát từ các mệnh đề đã được khẳng định là đúng, bằng các suy luận toán học ta dẫn đến một mệnh đề mới, và ta khẳng định được mệnh đề mới này là đúng.
Vậy trong toán học, chứng minh là một cách trinh bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đủng với mọi trường họp, không có ngoại lệ. Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một phỏng đoán.
Phát biểu đã được chứng minh thường được gọi là định lý. Một khi định lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các phát biểu khác. Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó được dự định dùng làm bước đệm đế chứng minh một định lý khác. Có thế nói rằng, chứng minh toán học là quá trình logic và lập luận để chứng minh rằng một định lý hoặc một tuyên bố toán học nào đó là đúng.
Quá trình này yêu cầu sự chặt chẽ, logic và có thế được thực hiện thông qua một loạt các bước từ các tiền đề và qưy tắc đã được chấp nhận. Trong phạm vi toán học nói chung, có thể hiểu, chứng minh là phép suy luận để thiết lập sự đúng hay sai của một khẳng định. Trong phạm vi toán học THCS nói riêng, chứng minh định lí là dùng các lập luận để suy luận tù’ 7 giá thiết ra kết luận. Tức là, nêu ra những khẳng định và vạch rõ vì sao, căn cứ vào đâu mà có những khẳng định đó.
Từ những điều trên, ta có thể rút ra điểm chung trong các quan niệm của hầu hết các tác giả về “chứng minh toán học”, đó là, đều có điểm xuất phát từ những mệnh đề đúng trước đó, bằng các suy luận toán học cùng với các mệnh đề này ta dẫn đến một mệnh đề mới. Theo ý kiến cá nhân tác giả, khái niệm chứng minh toán học tiếp cận theo quan niệm của tác giả Nguyễn Bá Kim là họp lí, bởi ở đó học sinh dễ dàng tim tòi được hướng chứng minh từ những kiến thức các em đã được học, từ đó hình thành khả năng tư duy logic và khả năng lập luận, học sinh học được cách trinh bày họp lí, dễ hiểu, khoa học nhất. Cấu trúc của một phép chứng minh Chứng minh có rất nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào mục đích, cơ sở và điều kiện cụ thể. Song mọi phép chứng minh đều cỏ cấu trúc chung, chúng bao gồm ba thành phần: luận đề, luận cứ và lập luận [14, tr.
Theo Nguyên Bá Kim, ông cho rằng một phép chứng minh toán học có cấu trúc gồm ba bộ phận: • Luận đề là mệnh đề cần chứng minh; • Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã biết; • Luận chứng là những phép suy luận được sử dụng trong chứng minh [19, tr. Luận đề Luận đề là phán đoán mà tính chân thực của nó cần phải chửng minh. Luận đề là thành phần chủ yếu của chứng minh và trả lời cho câu hỏi: Chứng minh cái gì? Luận đề có thể là một luận điểm khoa học, có thể là một phán đoán về thuộc tính, về quan hệ, về nguyên nhân của sự vật, hiện tượng của thế giới khách quan. 8 Trong phép chứng minh ở ví dụ trên, luận đê (cái cân phải chứng minh) là săt có khả năng dẫn điện.
Luận cứ Luận cứ là những phán đoán được dùng làm căn cứ đế chứng minh cho luận đề. Luận cứ chính là những tiền đề logic cùa chứng minh và trả lời cho câu hỏi: Dùng cái gì đế chứng minh? Luận cứ có thể là những luận điểm, những tư liệu đã được thực tiễn xác nhận, có thề là những tiền đề, định lý, những luận điểm khoa học đã được chứng minh. Trong phép chứng minh ở ví dụ trên, luận cứ (cái dùng để chứng minh) là hai phán đoán mà tính đúng đắn, chân thực đã được xác định: Sắt là một nguyên tố kim loại. Mọi nguyên tố kim loại đều có khả năng dần điện.
Lập luận (Luận chứng) Luận chứng là cách thức tồ chức sắp xếp các luận cứ theo những quy tắc và quy luật logic nhằm xác lập mối liên hệ tất yếu giữa luận cứ và luận đề. Luận chứng là cách thức chứng minh, nhằm vạch ra tính đúng đắn của luận đề dựa vào những luận cứ đúng đắn, chân thực. Luận chứng trả lời cho câu hỏi: Chứng minh như thế nào? Trong phép chứng minh ở ví dụ trên, luận chứng (cách thức chứng minh) là dựa vào các quy tắc tam đoạn luận để sắp xếp các luận cứ, sao cho từ hai luận cứ nói trên ta suy ra được tính tất yếu đúng đắn của luận đề. Đối với phép chứng minh toán học, một phép chứng minh logic cũng gồm ba bộ phận: - Luận đề: Mệnh đề phải chứng minh nghĩa là “Chứng minh cái gì?”.
- Luận cứ: Những mệnh đề đã được thừa nhận (định nghĩa, tiên đề, định lí) được đưa ra làm tiên đề trong mỗi suy luận nghĩa là “Chứng minh dựa vào cái gì?”. Ngoài ra luận cứ còn là các dữ kiện, các quan hệ đà cho trong bài toán. - Luận chứng: Là những quy tắc suy luận hợp logic tức là “Chứng minh như thế nào?”, “Theo những quy tắc suy luận nào?”. 9 Ta cùng xét các ví dụ sau: Ví dụ 1.
Chứng minh mệnh đề: “Mọi hình vuông đều là hình thoi”. • Luận đề: Mọi hình vuông đều là hình thoi.