Tổng quan luận án
Luận án tiến sĩ toán học của tác giả Dương Việt Thông có tiêu đề "Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn", chuyên ngành Toán giải tích (mã số 62460102), được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Phạm Kỳ Anh và GS. Nguyễn Bường, hoàn thành vào năm 2014 và bảo vệ năm 2015.
Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu
Lý thuyết điểm bất động do L. Brouwer khởi xướng năm 1912 là một bộ phận quan trọng của giải tích phi tuyến. Trong hơn sáu thập kỷ qua, việc nghiên cứu điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn thu hút sự quan tâm rộng rãi do mối liên hệ chặt chẽ giữa cấu trúc hình học của không gian Banach, lý thuyết toán tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng. Đạo hàm dưới vi phân của một hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới trong không gian Banach phản xạ là một toán tử đơn điệu cực đại; việc tìm cực tiểu của hàm lồi dẫn về bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu. Mối liên hệ này càng rõ nét khi trong không gian Hilbert, nếu $T$ là ánh xạ không giãn thì toán tử $A := I - T$ là đơn điệu và tập điểm bất động $F(T)$ trùng với tập không điểm của $A$. Hơn nữa, việc giải nghiệm của bất đẳng thức biến phân $VIP(A, C)$ với toán tử $\alpha$-đơn điệu mạnh ngược cũng được quy về bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn thông qua toán tử chiếu $P_C(I - \lambda A)$.
Trong thực tế ứng dụng, nhiều vấn đề khoa học và kỹ thuật đòi hỏi tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn, tương ứng với bài toán chấp nhận lồi khi tập điểm bất động chung là giao của các tập lồi. Tuy nhiên, các phương pháp xấp xỉ cổ điển bộc lộ nhiều khoảng trống lý thuyết:
- Đối với các phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ (như Picard, Mann, Ishikawa, dãy lặp hai bước), rất ít công trình nghiên cứu và so sánh định lượng về tốc độ hội tụ của chúng trên từng lớp ánh xạ cụ thể; đặc biệt, câu hỏi so sánh tốc độ hội tụ giữa dãy lặp Mann, dãy lặp Ishikawa và dãy lặp hai bước cho lớp toán tử Zamfirescu vẫn chưa được giải quyết đầy đủ.
- Phương pháp lặp ẩn xoay vòng cổ điển (do Browder đề xuất năm 1967 và Ori phát triển năm 2001) chủ yếu được thiết lập cho họ hữu hạn các ánh xạ rời rạc. Việc mở rộng phương pháp lặp ẩn sang nửa nhóm ánh xạ một tham số liên tục ${T(t) : t \ge 0}$ (bao gồm nửa nhóm không giãn và nửa nhóm giả co chặt) với các hệ điều kiện hội tụ linh hoạt hơn cho dãy tham số ${t_n}$ và ${\alpha_n}$ là một bài toán mở.
- Phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation method) do Moudafi đề xuất năm 2000 giúp lựa chọn điểm bất động cụ thể giải bất đẳng thức biến phân, nhưng cần được tiếp tục mở rộng cho các nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz và các lược đồ lặp có chứa số hạng sai số ngẫu nhiên phát sinh trong tính toán thực tế.
Mục tiêu nghiên cứu
Luận án tập trung giải quyết 4 mục tiêu cụ thể, được đánh số theo văn bản:
- So sánh tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp (Picard, Mann, Ishikawa, dãy lặp hai bước) cho lớp ánh xạ Zamfirescu trong không gian Banach.
- Nghiên cứu phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và không gian Banach.
- Nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn và phương pháp xấp xỉ gắn kết hiện cho nửa nhóm ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz.
- Nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số cho nửa nhóm ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Điểm bất động chung của họ ánh xạ phi tuyến, cụ thể gồm nửa nhóm ánh xạ không giãn ${T(t) : t \ge 0}$, nửa nhóm ánh xạ giả co chặt, nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz, cùng các ánh xạ thỏa mãn điều kiện Zamfirescu.
- Phạm vi không gian: Không gian Hilbert thực và các lớp không gian Banach thực có cấu trúc hình học đặc thù (không gian lồi đều, không gian phản xạ, không gian có chuẩn khả vi Gâteaux hoặc Fréchet, không gian thỏa mãn điều kiện Opial).
- Phạm vi thời gian: Luận án tổng hợp các kết quả kinh điển từ năm 1912 đến thời điểm hoàn thành nghiên cứu (tháng 12 năm 2014) và công bố năm 2015.
Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án
Luận án điểm lại hệ thống tài liệu nghiên cứu qua các giai đoạn phát triển của giải tích phi tuyến và lý thuyết điểm bất động:
-
Các phương pháp lặp kinh điển và bài toán tốc độ hội tụ: Phép lặp Picard được mở rộng bởi Krasnoselskij (1955), Mann (1953) và Ishikawa (1974) nhằm khắc phục hiện tượng không hội tụ của phép lặp Picard đối với ánh xạ không giãn. Năm 2008, Zhiqun Xue tiến hành so sánh tốc độ hội tụ giữa dãy lặp Picard và dãy lặp Mann, Krasnoselskij và Ishikawa cho lớp toán tử Zamfirescu (Zamfirescu, 1972). Popescu nghiên cứu so sánh tốc độ hội tụ giữa dãy lặp Picard và dãy lặp Mann cho lớp ánh xạ tựa co. Berinde (2004, 2007) thiết lập định nghĩa hình thức về tốc độ hội tụ giữa hai dãy số và chứng minh rằng dãy lặp Picard hội tụ nhanh hơn dãy lặp Mann cho ánh xạ Zamfirescu. Şoltuz chứng minh sự tương đương về tính hội tụ giữa các phép lặp Picard, Mann và Ishikawa. Tiếp đó, Thianwan đưa ra dãy lặp hai bước và Isa Yildirim, Murat Ozdemir, Hukmi Kiziltunc (2009) chứng minh định lý hội tụ mạnh của dãy lặp hai bước cho lớp ánh xạ Zamfirescu.
-
Phương pháp lặp lai ghép (CQ method): Để khắc phục hạn chế phép lặp Mann chỉ hội tụ yếu, K. Nakajo và W. Takahashi (2003) đề xuất phương pháp lặp CQ (hay phép lặp lai ghép) để thu được sự hội tụ mạnh trong không gian Hilbert. Hướng nghiên cứu này được nhiều nhà toán học Việt Nam tiếp nối như Phạm Kỳ Anh, Phạm Ngọc Anh, Trần Quốc Bình, Nguyễn Bường, Lê Anh Dũng, Nguyễn Thị Thanh Hà, Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thu Thủy, Nguyễn Thị Thu Vân, Nguyễn Thế Vinh.
-
Phương pháp lặp ẩn cho họ ánh xạ: F. Browder (1967) đề xuất phép lặp ẩn $x_n = \alpha_n u + (1 - \alpha_n)Tx_n$ cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. R. Ori (2001) đưa ra lược đồ lặp ẩn xoay vòng $x_n = \alpha_n x_{n-1} + (1 - \alpha_n)T_n x_n$ cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn. M. Osilike (2004) mở rộng lược đồ này cho họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt, và sau đó R. Zhou (2006, 2008) phát triển cho họ hữu hạn ánh xạ giả co liên tục và giả co Lipschitz trong không gian Banach. Đối với nửa nhóm ánh xạ, T. Suzuki (2003) và H. K. Xu mở rộng thuật toán ẩn dạng Browder cho nửa nhóm ánh xạ không giãn ${T(t) : t \ge 0}$.
-
Phương pháp xấp xỉ gắn kết (Viscosity approximation methods): A. Moudafi (2000) đề xuất phương pháp xấp xỉ gắn kết trong không gian Hilbert kết hợp giữa ánh xạ co và ánh xạ không giãn. R. He (2006) nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn và hiện cho nửa nhóm ánh xạ không giãn; H. K. Xu phát triển cho nửa nhóm tiệm cận chính quy đều. Về phương pháp lặp có sai số, Hao (2007) nghiên cứu dãy lặp ẩn có thêm thành phần vector nhiễu $\gamma_n u_n$ cho họ hữu hạn ánh xạ giả co Lipschitz trong không gian Banach lồi đều; Khang tiếp tục khảo sát cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz.
Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết
Luận án định vị nghiên cứu vào việc lấp đầy các khoảng trống:
- Thiết lập sự so sánh tường minh về tốc độ hội tụ giữa dãy lặp Picard với dãy lặp hai bước, và giữa dãy lặp hai bước với dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa cho lớp ánh xạ Zamfirescu.
- Xây dựng và chứng minh sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh của thuật toán lặp ẩn xoay vòng dạng $x_n = \alpha_n x_{n-1} + (1 - \alpha_n)T(t_n)x_n$ áp dụng cho nửa nhóm ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt, thay thế các điều kiện chặt trước đây bằng các giả thiết mới về dãy bước ${t_n}$ (như trường hợp $\liminf t_n = 0 < \limsup t_n$).
- Thiết lập các định lý hội tụ cho phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn, xấp xỉ gắn kết hiện, và lược đồ lặp gắn kết có sai số đối với nửa nhóm ánh xạ không giãn cùng nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz trong không gian Banach và Hilbert.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Khung lý thuyết và các khái niệm sử dụng
Luận án vận dụng hệ thống các cấu trúc giải tích hàm phi tuyến và hình học không gian Banach:
-
Cấu trúc không gian Banach:
- Không gian lồi chặt: Với mọi $x, y \in X$ độc lập tuyến tính thì $|x + y| < |x| + |y|$.
- Không gian lồi đều: Hai dãy ${x_n}, {y_n}$ có $|x_n| = |y_n| = 1$ và $\lim |x_n + y_n| = 2$ thì $\lim |x_n - y_n| = 0$. Hàm môđun lồi $\delta(\epsilon) = \inf{1 - \frac{|x+y|}{2} : |x| \le 1, |y| \le 1, |x - y| \ge \epsilon}$. Không gian lồi đều luôn là không gian phản xạ.
- Điều kiện Opial: Mọi dãy ${x_n}$ hội tụ yếu về $x$ đều thỏa mãn $\liminf |x_n - x| < \liminf |x_n - y|$ với mọi $y \neq x$.
- Ánh xạ đối ngẫu: Ánh xạ đa trị $J : X \to 2^{X^}$ xác định bởi $J(x) = {f \in X^ : \langle x, f \rangle = |x|^2 = |f|^2}$.
- Tính khả vi của chuẩn: Chuẩn khả vi Gâteaux, Gâteaux đều, Fréchet, Fréchet đều (tương đương với không gian đối ngẫu $X^*$ lồi đều).
-
Các lớp toán tử và ánh xạ:
- Ánh xạ không giãn: $|Tx - Ty| \le |x - y|$. Nửa nhóm ánh xạ không giãn một tham số ${T(t) : t \ge 0}$ thỏa mãn $T(0) = I$, $T(t+s) = T(t)T(s)$, tính không giãn và tính liên tục theo tham số $t$.
- Ánh xạ giả co: $\langle Tx - Ty, j(x - y) \rangle \le |x - y|^2$ với $j(x - y) \in J(x - y)$, tương đương với việc $I - T$ là toán tử tăng trưởng.
- Ánh xạ giả co chặt: Tồn tại $\lambda \in (0, 1)$ sao cho $\langle Tx - Ty, j(x - y) \rangle \le |x - y|^2 - \lambda |(I - T)x - (I - T)y|^2$. Ánh xạ giả co chặt là ánh xạ Lipschitz với hằng số $(1+\lambda)/\lambda$ (trong không gian Hilbert là $(1+k)/(1-k)$).
- Ánh xạ Zamfirescu: Tồn tại $a \in (0, 1)$ và $b, c \in (0, 1/2)$ sao cho với mỗi cặp $(x, y)$, ít nhất một trong ba điều kiện sau thỏa mãn: (a) $d(Tx, Ty) \le a d(x, y)$; (b) $d(Tx, Ty) \le b[d(x, Tx) + d(y, Ty)]$; (c) $d(Tx, Ty) \le c[d(x, Ty) + d(y, Tx)]$. Khi đó $|Tx - Ty| \le \delta |x - y| + 2\delta |x - Tx|$ với $\delta = \max{a, \frac{b}{1-b}, \frac{c}{1-c}} \in (0, 1)$.
- Toán tử tăng trưởng, giải thức $J_\lambda = (I + \lambda A)^{-1}$ và xấp xỉ Yosida $A_\lambda = \frac{1}{\lambda}(I - J_\lambda)$.
Phương pháp nghiên cứu thực tế
Nghiên cứu thuần túy lý thuyết giải tích hàm và giải tích phi tuyến, tiếp cận theo các kỹ thuật suy luận suy diễn toán học:
- Phương pháp phân tích giải tích và đánh giá bất đẳng thức giải tích hàm trong không gian vô hạn chiều.
- Ứng dụng các nguyên lý nửa đóng (demiclosedness principle) của Brouwer, Göhde, Kirk và R. Zhou cho toán tử không giãn và toán tử giả co.
- Bổ đề giải tích dãy của T. Suzuki (2003) về việc trích xuất điểm tụ và xấp xỉ dãy tham số ${t_n}$.
- Các đồng nhất thức hình học trong không gian Hilbert: $|tx + (1 - t)y|^2 = t|x|^2 + (1 - t)|y|^2 - t(1 - t)|x - y|^2$.
- Tiêu chuẩn so sánh tốc độ hội tụ của hai dãy số theo Berinde: Dãy ${a_n}$ hội tụ về $a$ nhanh hơn dãy ${b_n}$ hội tụ về $b$ nếu $\lim_{n \to \infty} \frac{|a_n - a|}{|b_n - b|} = 0$.
Nguồn tư liệu và dữ liệu
Dữ liệu nghiên cứu là các văn bản công trình khoa học, định lý, bổ đề và các hệ thống tiên đề toán học được công bố trên các tạp chí toán học chuyên ngành quốc tế và trong nước. Toàn bộ các bước biến đổi được xây dựng thông qua chứng minh hình thức logic.
Nội dung chính theo từng chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 1 hệ thống hóa các định nghĩa, bổ đề về hình học không gian Banach, các lớp ánh xạ phi tuyến, và tập trung vào kết quả so sánh tốc độ hội tụ của các lược đồ lặp cho ánh xạ Zamfirescu.
Các lược đồ lặp được xem xét gồm:
- Dãy lặp Picard: $p_{n+1} = T p_n$.
- Dãy lặp Mann: $v_{n+1} = (1 - a_n) v_n + a_n T v_n$.
- Dãy lặp Ishikawa: $u_{n+1} = (1 - a_n) u_n + a_n T z_n$ với $z_n = (1 - b_n) u_n + b_n T u_n$.
- Dãy lặp hai bước (Thianwan): $x_{n+1} = (1 - a_n) x_n + a_n T y_n$ với $y_n = (1 - b_n) x_n + b_n T x_n$.
Luận điểm và các kết quả định lý cụ thể trong chương:
- Định lý 1.32 (Picard nhanh hơn dãy lặp hai bước): Cho $X$ là không gian Banach thực, $C$ là tập con lồi đóng, $T : C \to C$ là ánh xạ Zamfirescu với hằng số $\delta$. Giả sử ${p_n}$ xác định theo Picard và ${x_n}$ xác định theo lặp hai bước với ${a_n}, {b_n} \subset (0, \frac{1}{1+\delta})$ thỏa mãn: (i) $\sum_{n=0}^\infty a_n = \infty$; (ii) $\lim a_n = 0$; (iii) $\lim b_n = 0$. Khi đó dãy lặp Picard hội tụ nhanh hơn dãy lặp hai bước đến điểm bất động duy nhất $q$.
- Đánh giá cốt lõi: Tác giả thiết lập bất đẳng thức $|p_{n+1} - q| \le \delta^{n+1} |p_0 - q|$ và $|x_{n+1} - q| \ge \prod_{k=0}^n [1 - (1+\delta)a_k][1 - (1+\delta)b_k] |x_0 - q|$, từ đó chứng minh tỷ số giới hạn tiến về 0.
- Định lý 1.33 (Dãy lặp hai bước nhanh hơn dãy lặp Mann): Giả sử ${a_n} \subset (0, \frac{1}{1 + \frac{1+m}{\delta}})$ với $m > 0$ thỏa mãn $\sum a_n = \infty$, ${b_n} \subset (0, 1)$ và $\sum b_n = \infty$. Khi đó dãy lặp hai bước hội tụ nhanh hơn dãy lặp Mann đến điểm bất động của $T$.
- Đánh giá cốt lõi: Đưa về tích vô hạn $\prod_{k=0}^n (1+m)[1 - (1-\delta)b_k] \to 0$ khi $n \to \infty$.
- Định lý 1.34 (Dãy lặp hai bước nhanh hơn dãy lặp Ishikawa): Cùng các giả thiết về tham số ${a_n}, {b_n}$ như Định lý 1.33, dãy lặp hai bước hội tụ nhanh hơn dãy lặp Ishikawa đến điểm bất động của $T$.
- Ví dụ kiểm chứng: Tác giả xây dựng ví dụ hàm cụ thể $T : [0, 1] \to [0, 1]$ với $Tx = \frac{1}{2}x$, tham số $a_n = b_n = \frac{1}{n+2}$, thỏa mãn đầy đủ các điều kiện của các định lý trên với điểm bất động $x^* = 0$.
Bảng tổng hợp so sánh tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp cho lớp ánh xạ Zamfirescu:
| Phương pháp so sánh | Quan hệ tốc độ hội tụ | Điều kiện then chốt của dãy tham số |
|---|---|---|
| Picard vs. Hai bước | Picard nhanh hơn Hai bước | ${a_n}, {b_n} \subset (0, \frac{1}{1+\delta})$, $\sum a_n = \infty$, $\lim a_n = 0$, $\lim b_n = 0$ |
| Hai bước vs. Mann | Hai bước nhanh hơn Mann | ${a_n} \subset (0, \frac{1}{1 + \frac{1+m}{\delta}})$, $\sum a_n = \infty$, ${b_n} \subset (0, 1)$, $\sum b_n = \infty$ |
| Hai bước vs. Ishikawa | Hai bước nhanh hơn Ishikawa | ${a_n} \subset (0, \frac{1}{1 + \frac{1+m}{\delta}})$, $\sum a_n = \infty$, ${b_n} \subset (0, 1)$, $\sum b_n = \infty$ |
Chương 2: Phương pháp lặp ẩn
Chương 2 nghiên cứu thuật toán lặp ẩn đối với nửa nhóm ánh xạ liên tục một tham số ${T(t) : t \ge 0}$: $$x_0 \in C, \quad x_n = \alpha_n x_{n-1} + (1 - \alpha_n) T(t_n) x_n, \quad n \ge 1$$
Các định lý hội tụ chính:
- Định lý 2.5 (Hội tụ yếu trong không gian Hilbert): Cho $C$ là tập con lồi đóng của không gian Hilbert $H$, ${T(t) : t \ge 0}$ là nửa nhóm ánh xạ không giãn với $\bigcap_{t \ge 0} F(T(t)) \neq \emptyset$. Giả sử các dãy số thỏa mãn:
$${\alpha_n} \subset (0, b] \subset (0, 1), \quad t_n > 0, \quad \liminf_{n \to \infty} t_n = 0, \quad \limsup_{n \to \infty} t_n > 0, \quad \lim_{n \to \infty} (t_{n+1} - t_n) = 0$$
Khi đó dãy lặp ${x_n}$ hội tụ yếu tới một điểm thuộc tập điểm bất động chung $\bigcap_{t \ge 0} F(T(t))$.
- Bước chứng minh: (i) Chứng minh $\lim_{n \to \infty} |x_n - p|$ tồn tại với mọi $p \in \bigcap F(T(t))$, từ đó ${x_n}$ bị chặn; (ii) Chứng minh $\lim |T(t_n)x_n - x_n| = 0$ thông qua tính chất chuẩn trong Hilbert; (iii) Sử dụng Bổ đề Suzuki chọn dãy con ${t_{n_j}}$ sao cho $t_{n_j} \to 0$ và $\frac{1}{t_{n_j}} |x_{n_j} - T(t_{n_j})x_{n_j}| \to 0$; (iv) Khẳng định mọi điểm tụ yếu đều là điểm bất động chung bằng điều kiện Opial.
- Ví dụ về dãy bước: Luận án chỉ ra dãy $t_n = \frac{\pi}{\sqrt{2}} |\sin n|$ thỏa mãn hoàn toàn giả thiết của định lý.
- Định lý 2.6 (Hội tụ yếu trong không gian Banach có điều kiện Opial): Giả thiết được điều chỉnh thành ${\alpha_n} \subset (0, 1)$, $t_n > 0$, $\lim_{n \to \infty} t_n = 0$, và $\lim_{n \to \infty} \frac{\alpha_n}{t_n} = 0$. Kết luận dãy ${x_n}$ hội tụ yếu về một điểm bất động chung.
- Định lý 2.7 (Hội tụ mạnh trong không gian Banach): Khi $C$ là tập con lồi compắc của không gian Banach thực $X$, với điều kiện $\lim t_n = \lim \frac{\alpha_n}{t_n} = 0$, dãy ${x_n}$ hội tụ mạnh tới một phần tử thuộc $\bigcap_{t \ge 0} F(T(t))$.
- Định lý 2.8 (Mở rộng trong không gian Banach lồi đều): Mở rộng Định lý 2.5 sang không gian Banach lồi đều thỏa mãn điều kiện Opial, sử dụng hàm môđun lồi $\delta(\epsilon)$ để kiểm soát khoảng cách $|x_n - x_{n-1}| \to 0$ và suy ra $|T(t_n)x_n - x_n| \to 0$.
- Mục 2.2 - Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt: Luận án mở rộng lược đồ lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt ${T(t) : t \ge 0}$ thỏa mãn điều kiện tồn tại hàm $\lambda(t)$ với $\inf_{t \ge 0} \lambda(t) > 0$ và cận trên hằng số Lipschitz $M := \sup_{t \ge 0} L(t) < \infty$.
Bảng tổng hợp các điều kiện hội tụ của phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn:
| Không gian | Loại hội tụ | Điều kiện của dãy tham số ${\alpha_n}$ và ${t_n}$ |
|---|---|---|
| Hilbert $H$ | Hội tụ yếu | ${\alpha_n} \subset (0, b] \subset (0, 1)$; $\liminf t_n = 0 < \limsup t_n$; $\lim (t_{n+1} - t_n) = 0$ |
| Banach có tính chất Opial | Hội tụ yếu | ${\alpha_n} \subset (0, 1)$; $t_n > 0$; $\lim t_n = 0$; $\lim \frac{\alpha_n}{t_n} = 0$ |
| Banach, tập $C$ compắc | Hội tụ mạnh | ${\alpha_n} \subset (0, 1)$; $t_n > 0$; $\lim t_n = 0$; $\lim \frac{\alpha_n}{t_n} = 0$ |
| Banach lồi đều có tính chất Opial | Hội tụ yếu | ${\alpha_n} \subset (0, b] \subset (0, 1)$; $\liminf t_n = 0 < \limsup t_n$; $\lim (t_{n+1} - t_n) = 0$ |
Chương 3: Phương pháp xấp xỉ gắn kết
Chương 3 trình bày các kết quả về phương pháp xấp xỉ gắn kết, cho phép chọn điểm bất động cụ thể giải nghiệm một bất đẳng thức biến phân liên kết với ánh xạ co $f$.
Các thuật toán được nghiên cứu gồm:
- Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn: $$x_n = \alpha_n f(x_n) + (1 - \alpha_n) T(t_n) x_n, \quad n \in \mathbb{N}$$
- Phương pháp xấp xỉ gắn kết hiện: $$x_{n+1} = \alpha_n f(x_n) + (1 - \alpha_n) T(t_n) x_n, \quad n \in \mathbb{N}$$
- Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số: $$x_0 \in K, \quad x_n = \alpha_n f(x_n) + \beta_n T(t_n) x_n + \gamma_n u_n, \quad n \ge 1$$ trong đó ${u_n}$ là dãy bị chặn trong tập lồi đóng $K$, và các hệ số thỏa mãn $\alpha_n + \beta_n + \gamma_n = 1$.
Các kết quả chính của chương bao gồm:
- Thiết lập các định lý hội tụ mạnh của dãy lặp gắn kết ẩn và hiện cho nửa nhóm ánh xạ không giãn ${T(t) : t \ge 0}$ đến điểm $q \in \bigcap_{t \ge 0} F(T(t))$, trong đó $q$ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân: $$\langle (f - I)q, j(x - q) \rangle \le 0 \quad \forall x \in \bigcap_{t \ge 0} F(T(t))$$
- Mở rộng phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz một tham số trên tập lồi đóng. Bằng cách sử dụng toán tử tăng trưởng $A := I - T(t)$ và phép xấp xỉ giải thức, tác giả giải quyết tính không giãn suy rộng và chứng minh sự hội tụ mạnh của các thuật toán.
- Phân tích sự hội tụ của phương pháp lặp gắn kết ẩn có chứa sai số ${\gamma_n u_n}$. Dưới các điều kiện triệt tiêu thích hợp của dãy sai số và dãy tham số $\alpha_n, \beta_n, \gamma_n$, lược đồ vẫn duy trì sự hội tụ mạnh về điểm bất động chung.
Kết quả và những đóng góp mới
Đóng góp về mặt lý luận
- Làm rõ bức tranh tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp: Luận án lần đầu tiên đưa ra chứng minh toán học định lượng xác nhận: đối với lớp ánh xạ Zamfirescu trong không gian Banach, dãy lặp Picard hội tụ nhanh hơn dãy lặp hai bước, và dãy lặp hai bước hội tụ nhanh hơn cả dãy lặp Mann lẫn dãy lặp Ishikawa.
- Đề xuất cách tiếp cận mới cho phương pháp lặp ẩn trên nửa nhóm liên tục: Luận án đã mở rộng thuật toán lặp ẩn xoay vòng của Ori từ họ hữu hạn ánh xạ rời rạc sang nửa nhóm một tham số ${T(t) : t \ge 0}$ của ánh xạ không giãn và ánh xạ giả co chặt. Luận án đưa ra các giả thiết mới về dãy bước ${t_n}$ (thay vì bắt buộc dãy ${t_n}$ phải đơn điệu giảm về 0, tác giả chỉ yêu cầu $\liminf t_n = 0 < \limsup t_n$ và $\lim (t_{n+1} - t_n) = 0$), kết hợp cùng việc mở rộng không gian từ Hilbert sang không gian Banach lồi đều và không gian thỏa mãn điều kiện Opial.
- Phát triển phương pháp xấp xỉ gắn kết cho lớp nửa nhóm phức tạp hơn: Mở rộng thành công kỹ thuật xấp xỉ gắn kết (cả hai dạng hiện và ẩn) từ lớp ánh xạ không giãn sang nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz. Thiết lập định lý hội tụ cho lược đồ lặp gắn kết ẩn có sai số, bao quát trường hợp có nhiễu trong quá trình xấp xỉ nghiệm.
Đóng góp về mặt thực tiễn
Cung cấp cơ sở lý thuyết giải tích số để xây dựng các thuật toán giải bài toán chấp nhận lồi, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tìm cực tiểu hàm lồi thông qua việc chuyển hóa các bài toán tối ưu và phương trình toán tử tăng trưởng về bài toán tìm điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ.
Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp
Hạn chế được ghi nhận từ văn bản
- Vấn đề so sánh trực tiếp tốc độ hội tụ giữa hai dãy lặp Mann và Ishikawa cho lớp ánh xạ Zamfirescu vẫn chưa được giải quyết trong luận án (tác giả khẳng định câu hỏi này vẫn chưa có câu trả lời).
- Đối với không gian Banach tổng quát, việc khảo sát tính hội tụ mạnh của phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm không giãn vẫn đòi hỏi giả thiết tập xác định $C$ phải là tập compắc.
- Các kết quả về nửa nhóm ánh xạ giả co chặt đòi hỏi các điều kiện chặn đều về hệ số Lipschitz $M = \sup_{t \ge 0} L(t) < \infty$ và $\inf_{t \ge 0} \lambda(t) > 0$.
Hướng nghiên cứu tiếp theo
- Tiếp tục nghiên cứu so sánh tốc độ hội tụ giữa dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa đối với lớp ánh xạ Zamfirescu và các lớp ánh xạ tựa co mở rộng.
- Nghiên cứu mở rộng phương pháp lặp ẩn và phương pháp xấp xỉ gắn kết cho các lớp ánh xạ tổng quát hơn như nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận, nửa nhóm ánh xạ giả co liên tục không Lipschitz.
- Khảo sát việc loại bỏ điều kiện compắc của tập $C$ trong không gian Banach để thu được sự hội tụ mạnh thông qua việc kết hợp các kỹ thuật chiếu lai ghép (CQ method).
Giá trị tham khảo
Luận án là tài liệu tham khảo cho:
- Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng: Có thể tham khảo phương pháp luận kết hợp giữa hình học không gian Banach (môđun lồi, ánh xạ đối ngẫu, điều kiện Opial) và lý thuyết đơn điệu phi tuyến.
- Giảng viên và các nhà nghiên cứu chuyên sâu về lý thuyết điểm bất động: Đặc biệt có giá trị ở Chương 1 (các đánh giá bất đẳng thức giải tích để so sánh tốc độ hội tụ) và Chương 2 (kỹ thuật sử dụng Bổ đề Suzuki xử lý dãy tham số dao động không đơn điệu cho nửa nhóm liên tục).
- Các nhóm nghiên cứu về bài toán tối ưu và biến phân: Tham khảo cách thức quy đổi phương trình toán tử tăng trưởng và nghiệm bất đẳng thức biến phân $VIP(A, C)$ về điểm bất động của toán tử giải thức và lược đồ xấp xỉ gắn kết trong Chương 3.
Câu hỏi thường gặp
1. Luận án đã so sánh được tốc độ hội tụ giữa các phương pháp lặp nào cho lớp ánh xạ Zamfirescu?
Luận án đã chứng minh được: dãy lặp Picard hội tụ nhanh hơn dãy lặp hai bước (Định lý 1.32), dãy lặp hai bước hội tụ nhanh hơn dãy lặp Mann (Định lý 1.33), và dãy lặp hai bước hội tụ nhanh hơn dãy lặp Ishikawa (Định lý 1.34). Tuy nhiên, luận án chưa so sánh được tốc độ hội tụ trực tiếp giữa dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa.
2. Điểm mới căn bản trong điều kiện hội tụ của phương pháp lặp ẩn ở Chương 2 là gì?
Thay vì đòi hỏi dãy tham số bước ${t_n}$ phải hội tụ đơn điệu về 0 như các công trình trước, luận án chỉ yêu cầu điều kiện dao động tổng quát: $t_n > 0$, $\liminf_{n \to \infty} t_n = 0$, $\limsup_{n \to \infty} t_n > 0$, và $\lim_{n \to \infty} (t_{n+1} - t_n) = 0$. Tác giả đã chứng minh dãy $t_n = \frac{\pi}{\sqrt{2}} |\sin n|$ thỏa mãn các giả thiết này.
3. Nghiệm giới hạn của phương pháp xấp xỉ gắn kết trong Chương 3 có đặc điểm gì?
Dãy lặp xấp xỉ gắn kết (cả ẩn và hiện) hội tụ mạnh tới một điểm bất động chung $q \in \bigcap_{t \ge 0} F(T(t))$, trong đó $q$ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân liên kết với ánh xạ co $f$: $\langle (f - I)q, j(x - q) \rangle \le 0$ với mọi $x \in \bigcap_{t \ge 0} F(T(t))$.
4. Khái niệm ánh xạ Zamfirescu được định nghĩa như thế nào trong luận án?
Ánh xạ $T$ trên không gian metric được gọi là ánh xạ Zamfirescu nếu tồn tại các số $a \in (0, 1)$ và $b, c \in (0, 1/2)$ sao cho với mọi cặp điểm $x, y$, thỏa mãn ít nhất một trong ba điều kiện: $d(Tx, Ty) \le a d(x, y)$, hoặc $d(Tx, Ty) \le b[d(x, Tx) + d(y, Ty)]$, hoặc $d(Tx, Ty) \le c[d(x, Ty) + d(y, Tx)]$. Khi đó luôn dẫn đến bất đẳng thức $d(Tx, Ty) \le \delta d(x, y) + 2\delta d(x, Tx)$ với $\delta = \max{a, \frac{b}{1-b}, \frac{c}{1-c}} < 1$.
Kết luận
Luận án tiến sĩ của tác giả Dương Việt Thông là công trình nghiên cứu lý thuyết chuyên sâu trong chuyên ngành Toán giải tích, tập trung vào việc thiết lập các định lý hội tụ và tốc độ hội tụ cho các lược đồ lặp tìm điểm bất động chung của họ ánh xạ phi tuyến. Luận án đã giải quyết tường minh việc so sánh tốc độ hội tụ giữa dãy lặp Picard, dãy lặp hai bước, dãy lặp Mann và Ishikawa cho lớp ánh xạ Zamfirescu; đồng thời mở rộng thành công phương pháp lặp ẩn và phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ giả co chặt và nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz trên không gian Hilbert và không gian Banach. Các kết quả đạt được đã góp phần hoàn thiện cơ sở lý thuyết của giải tích phi tuyến và mở ra các khả năng áp dụng trong giải bài toán tối ưu lồi và bất đẳng thức biến phân.