CHƯƠNG I: TỔNG QUAN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU + ThS. Võ Minh Thiện, “Tính toán và mô phỏng khả năng mang dòng của cáp ngầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn,” LV ThS, GVHD: TS. Vũ Phan Tú – ĐHBK Tp. Nguyễn Việt, “Tính toán và mô phỏng khả năng mang dòng của cáp ngầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn thích nghi bậc cao,” LV ThS – GVHD: TS.
Vũ Phan Tú – ĐHBK Tp. Võ Văn Hoàng Long, “Tính toán và mô phỏng trường nhiệt và khả năng mang dòng của đường dây trên không và cáp ngầm bằng phương pháp số,” Đề tài nghiên cứu sinh, GVHD: TS. Vũ Phan Tú – ĐH SPKT Tp. Các bài báo khoa học đã đăng + Vũ Phan Tú, N.
Nguyen, “Calculation of Temperature and Ampacity of Underground Cables Using the Adaptive Finite Element Methods,” Journal of Technology and Science, No. Nguyen, “FE Solution of Temperature and Ampacity of Underground Cables Buried in Multi-layer soil” International Symposium on Advanced Engineering (ISAE 2009), Korea, 2009. Nguyen, Vũ Phan Tú, “Effects of Environmental Parameters on Thermal Fields of Underground Cables Calculated by the Adaptive Finite Element Method,” Journal of Technology and Science, No. + Vu Phan Tu, Nguyen Ngoc Khoa, Vu Pham Lan Anh, “Simulation of Thermal Fields of High-Voltage Underground Cables using the Adaptive hp- FEM,” Proceedings of International Conference on Advances in Computational Mechanics (ACOME 2012), HCM City, August 14-16, 2012.
-5- CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ CHƯƠNG 2 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ 2. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) đầu tiên được phát triển bởi A. Thom năm 1920 –[1]-[2] dưới tên gọi là “the method of squares” để giải các bài toán khí động học phi tuyến. Kể từ đó phương pháp này đã được phát triển và áp dụng vào rất nhiều lãnh vực kỹ thuật – [3 ]-[13].
Ý tưởng của kỹ thuật sai phân là thay thế các phương trình vi phân (Differential Equations -DE) bằng các phương trình sai phân hữu hạn (FDE - finite difference equations ) trên cơ sở của các xấp xỉ sai phân được phát triển từ chuỗi Taylor. Trình tự xác định lời giải sai phân hữu hạn như sau + Bước 1: Chia miền lời giải thành lưới con với các nút – Hình.1: Mô hình lưới con dùng trong SPHH. a) lưới vuông; b) lưới xiên; c) lưới tam giác; d) lưới tròn. -6- CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ + Bước 2: Xác định các xấp xỉ sai phân Từ chuỗi Taylor, chúng ta có thể xác định các xấp xỉ sai phân của các đạo hàm bậc một và bậc hai của một f ( x, y ) theo biến x như sau – [2] f f f i , j 1 i , j 1 , x 2x fi , j 1 2 f i , j f i , j 1 (2.
x 2 x 2 Và xấp xỉ sai phân của đạo hàm bậc một theo thời gian – [2] df i n f i n 1 f i n (2.2) dt t + Bước 3: Giải phương trình sai phân tương ứng với các điều kiện biên Sau khi thay thế các xấp xỉ sai phân vào phương trình vi phân đã cho, chúng ta sẽ giải hệ phương trình sai phần bằng hai cách: i) giải theo định thức ma trận, ii) Dùng phép lặp Gauss Seidel hoặc SOR (successive Over Relaxation) cho các phương trình dạng Laplace-Poisson 2D và 3D. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) lần đầu tiên được giới thiệu trong một bài giảng ứng dụng toán học bởi Courant vào năm 1940. Trong bài giảng trên, ông đã sử dụng việc gắn kết các phần tử tam giác như là một nguyên lý cơ bản trong việc cực tiểu hoá thế năng đối với vấn đề ứng suất St. Năm 1965, Zienkiewicz và Cheung đã đưa ra bằng chứng để chứng tỏ rằng PTHH có khả năng được phát triển và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiết kế các chi tiết cơ khí, kết cấu, các vấn đề truyền nhiệt, phân tích dòng chảy, tính toán trường điện từ…[14]-[30].1 Các bước cơ bản trong thủ tục phân tích PTHH Ý tưởng cơ bản của PTHH là rời rạc hóa miền phức tạp Ω của bài toán thành một số hữu hạn các miền con đơn giản hơn e (được gọi là các phần tử).
Các miền con này được liên kết với nhau tại các điểm nút. PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định Ω của nó mà chỉ tìm trong những miền con thuộc miền xác định của hàm. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm tại các điểm nút trên các phần tử. Các giá trị này chính là các ẩn số cần tìm của bài toán.
Có thể được mô tả cụ thể bởi bước như sau i. Rời rạc hóa hay chia nhỏ miền không gian khảo sát – Hình 2. Lựa chọn các hàm đa thức. Thiết lập hệ phương trình.
-7- CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ iv. Tìm lời giải số bằng việc giải hệ phương trình trên.2 – Các phần tử cơ bản: a) Phần tử 1D , b) Phần tử 2D, c) Phần tử 3D 2.2 Lưới thích nghi Thuật ngữ lưới Delaunay được tạo thành từ các tam giác hay “Delaunay triangulation” lần đầu tiên được Delaunay đưa ra vào năm 1934, cung cấp một công cụ hữu ích trong việc tạo lưới - [29] Hình 2.3a mô tả miền khảo sát được chia nhỏ bởi các phần tử tam giác có các cạnh gần bằng nhau sau khi hàm Delaunay phát sinh lần đầu để tạo được lưới thô (nghĩa là chúng ta có lưới Delaunay cổ điển).3b) thể hiện được tính thích nghi của lưới: Các phần tử nằm gần đường tròn có kích thước bé và mật độ các phần tử lớn nhất. Kích thước và mật độ này suy giảm theo hàm bậc hai khi càng tiến ra gần biên của hình vuông. Do vậy, có thể diễn tả hàm khoảng cách đối với các cạnh của phần tử tam giác như sau h ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 (2.3) -8- CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ với (xo,yo) là toạ độ của tâm đường tròn, và (x,y) là toạ độ của điểm nút.3 – Rời rạc hoá miền khảo sát bài toán Poisson a) Lưới Delaunay đều; b) Lưới Delaunay thích nghi Cả hai lưới đều được chia sao cho tổng số nút nằm trên đường tròn là như nhau và bằng 36.
Kết quả tính toán giá trị của f được thể hiện trên Hình 2.4 – Lời giải phương trình Poisson: a)Dùng lưới Delaunay thường; b)Dùng lưới Delaunay thích nghi -9- CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ 2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO THÍCH NGHI Phương pháp phần tử hữu hạn bậc cao thích nghi (hp-FEM) là trường hợp tổng quát của Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp số dùng để giải quyết phương trình vi phân riêng phần Ellipse bậc 2 (PDEs) dựa trên phép xấp xỉ đa thức từng phần (piecewise) mà phép xấp xỉ này sử dụng các yếu tố của biến số về kích thước (h) và bậc đa thức (p). Nguồn gốc của hp-FEM xuất phát từ công trình nghiên cứu của Ivo Babuska là những người tiên phong đã phát hiện ra rằng phương pháp phần tử hữu hạn hội tụ rất nhanh theo hàm mũ khi lưới được cải tiến, nghĩa là sử dụng sự kết hợp thích hợp giữa h-cải tiến h-refinements (chia các phần tử thành các phần tử nhỏ hơn) và p-cải tiến p-refinements (gia tăng bậc đa thức của chúng). Sự hội tụ theo cấp số mũ làm cho phương pháp này hấp dẫn rất nhiều trong sự lựa chọn so với hầu hết các phương pháp phần tử hữu hạn khác mà chúng chỉ hội tụ theo tỉ lệ đại số.
Sự hội tụ theo cấp số mũ của hp-FEM không chỉ dự đoán về mặt lý thuyết mà còn được nhận xét bởi nhiều nhà nghiên cứu độc lập.1 Hàm nội suy bậc cao a. Khái niệm: Hàm nội suy là phần vô cùng quan trọng trong phép phân tích phần tử hữu hạn. Có khá nhiều hàm nội suy như là: Lagrange, Hierarchical, Lobatto, …. Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu hàm hình dáng Lagrange bậc cao (Higher-Order Lagrange shape functions).
y p - 10 CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ Hình 2. Đơn thức tam giác Pascal (trong miền 2D) Hình 2. Đơn thức hình chóp Pascal (trong miền 3D) b. Dạng hàm hình dáng bậc 1 (phần tử tuyến tính) Từ phương trình (2.4), ví dụ là bậc 1 (p = 1), đa thức có thể có hệ số n = 3.
Chúng ta cần xem xét đến cấu trúc đa thức Lagrange tuyến tính bằng cách đặt lại các nút tại đỉnh của phần tử tam giác, vì vậy ta có: u e ( x, y ) a1e a2e x a3e y (2.5) - 11 CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ Với 3 hệ số của chúng a ej , j 1, 2,3 có thể được xác định bằng cách thay vào (2.7) u3e 1 x3 y3 a3e Khi chúng được thay vào (2.4), có thể viết lại: 3 u e ( x, y ) ie ( x, y )uie i 1, 2,3.8) i 1 Với hàm nội suy được cho bởi: 1 e 1i ie ( x, y) a e a2ei x a3ei y i 1, 2,3.9) 2 Trong đó: a1ei x ej yke xke y ej ; a2ei y ej yke ; a3ei xke x ej Khi đó (i, j , k ) (1, 2, 3), (2, 3,1) or (3,1, 2) 1 và e a21a32 a22a31 là diện tích của phần tử tam giác eth. Hàm hình dáng tuyến tính tại 3 đỉnh của tam giác - 12 CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ Hình 2. Hàm hình dáng của toàn miền c. Dạng hàm hình dáng bậc 2 –[30] Từ phương trình (2.4), ví dụ là bậc 2 (p = 2) đa thức có thể có hệ số n = 6.
Chúng ta cần xem xét đến cấu trúc đa thức Lagrange bậc 2 bằng cách đặt lại các nút tại đỉnh và trung điểm của phần tử tam giác, vì vậy ta có: u e ( x, y ) a1e a2e x a3e y a4e x 2 a5e xy a6e y 2 (2.10) Với 6 hệ số của chúng a ej , j 1, 2,., 6 có thể được xác định bằng cách thay vào (2.10) tại 6 nút: Khi chúng được thay vào (2.10), có thể viết lại: 6 u e ( x, y ) ie ( x, y )uie i 1, 2,.11) i 1 Với hàm nội suy được cho bởi: ie 2 Lei 1 Lei i 1, 2, 3 (2.12d) Với: 1 Lei ( x, y) 2 e a1ei a2ei x a3ei y i 1, 2,3 (2.
