Chương 1]). Có ba khó khăn chính trong việc giải các nghiệm xấp xỉ cho bài toán này: thứ nhất, với một tensor tính thấm không đồng nhất và không đẳng hướng đầy đủ, rất khó cho các phương pháp số để có được một nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm yêu của bài toán; thứ hai, rất khó để thiết kế các phương pháp số trên các lưới tổng quát; và phần lớn các phương pháp số không thỏa Nguyên lý cực đại rời rac. Vi phạm của NLCDRR có thé dẫn đến sự không ổn định nghiệm xấp xỉ. Phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm (FECC) được giới thiệu và trình bày chặt chẽ phan tích hội tụ trong [15].
Nó vượt qua khó khăn thứ nhất và thứ hai ở trên vì nó có thể áp dụng cho các bài toán khuếch tán không đồng nhất, không đẳng hướng trên các lưới tổng quát (có thể bị biến dạng). Ngoài ra, dựa trên một số kỹ thuật xấp xỉ thông lượng nhiều điểm và lưới kép, phương pháp FECC, thỏa mãn tính liên tục cục bộ của các thông lượng. Một phan mở rộng của phương pháp FECC, cu thể là phương pháp SC-FEM, cho các bài toán đàn hồi tuyến tính hai chiều, ba chiều tại trang thái nén và gần như không thể nén đã được nghiên cứu trong [1l 24]. Tuy nhiên, phương pháp FECC vi phạm NLCDRR, khi nó được ap dụng cho một bài toán khuếch tán không dang hướng mạnh (xem Muc[L.
Nhược điểm này cũng xuất hiện trong việc tìm nghiệm xấp xỉ của phương pháp thể tích hữu hạn 25] và phần tử hữu hạn cổ điển 26] cho các tensor khuếch tan không đẳng hướng mạnh và/hoặc các lưới bị biến dạng. Trong trường hợp xấp xỉ phần tử hữu hạn tuyến tính từng phần cho bài toán Poisson trên tam giác và tứ giác, chúng đủ để yêu cầu rằng tất cả các tam giác đều nhọn (tất cả các góc nhỏ hơn hoặc bằng z/2), và tất cả các tứ giác đều thuộc loại không phân nhánh [28] (tỷ lệ phương diện nhỏ hơn hoặc bằng V2). Tuy nhiên, trong [29], các tác giả chỉ ra rằng các phần tử hữu hạn bậc cao hơn không thỏa mãn NLCDRR trong phương pháp hình học. Dé bảo toàn NLCDRR, một lớp khác nhau trong phương pháp thể tích hữu hạn [30] [31] [32| được hiệu chỉnh bằng cách rời rac hóa phi tuyến.
Tuy nhiên, các phương pháp này được yêu cầu bởi các điều kiện trên hình học hoặc tỷ lệ không dang hướng để có được độ cưỡng bức. Bên cạnh đó, hiệu chỉnh thông lượng đại số được trình bày trong cung cấp một khung tổng quát để xây dựng sự rời rạc đơn điệu trên các lưới không cấu trúc. Phương pháp này sử dụng kết hợp các tiêu chí đại số và hình hoc để tuân theo NLCDRR. Mục đích của chương này là xây dựng phương pháp MNFECC, cải tiến từ phương pháp FECC, thỏa NLCDRR cho bài toán khuếch tán khong dang hướng mạnh, trong khi các tính chất quan trọng của nó bao gồm tính cưỡng bức, sự hội tụ vẫn được giữ lại mà không cần điều kiện về hình học.
Ngoài ra, hệ phương trình phi tuyến của MNFECC được giải bằng phương pháp lặp có thể được tính bằng các phần tử chưa biết của lưới ban đầu. Phần còn lại của chương này bao gồm 4 phần sau: trong Phần [L.2| chúng ta nhắc lại phương pháp FECC cho sự rời rac bài toán (1. Trong Phan 6 chúng ta trình bày phương pháp MNFECC với nghiệm của chúng được giải bằng phương pháp lặp (1. Hệ phương trình phi tuyến của nó chỉ liên quan đến các phần tử chưa biết, ma trận ghép đối xứng, xác định dương.4| chúng ta trình bày chứng minh sự tồn tại nghiệm, tính cưỡng bức, tính hội tụ va đáp ứng NLCDRR cho phương phép MNFECC.5| kết quả số cho thấy phương pháp được đề xuất có hiệu quả về mặt chính xác và theo nguyên lý cực đại rời rạc.2 Phuong pháp FECC Nhắc lại phương pháp FECC, đầu tiên chúng ta giới thiệu các ký hiệu va cấu trúc của lưới ban đầu M, lưới kép M* và lưới kép phụ M**: 1.1 Xây dựng lưới Với một miền đa giác O C R?, chúng ta xét một lưới ban đầu M của 9 sao cho 9 = Urey K.
Từ giờ chúng ta giả sử: mỗi phan tử K € M là một đa giác hình sao. Điểm lưới của nó là một điểm K € int(K), với int(X) là tập hợp các điểm trong của K. Tiếp theo, để xây dựng lưới kép M*, chúng ta có giả sử sau: đường nối hai điểm lưới của hai phan tử lân cận bất kỳ thì nằm bên trong © và giao với các cạnh chung của hai phần tử. Lưới kép M* được xây dựng dựa vào lưới ban đầu theo cách mà mỗi phan tử lưới của M* tương ứng với một đỉnh của M.
Chúng ta ký hiệu là tập hợp tất cả các nút hoặc đỉnh của M. Với mỗi phần tử K e M, chúng ta định nghĩa Vx := {K : K là một đỉnh của phần tử K}. Với mỗi M € V, ký hiệu 4M := {K €M: K chung đỉnh M}, là tập hợp các phần tử lưới có M là đỉnh. Chúng ta xét hai trường hợp (xem Hình [1.1): (a) Nếu M là một đỉnh trong, chúng ta nhận được phan tử lưới kép M liên kết với đỉnh M bằng cách nối các điểm lưới của các phần tử lân cận trong My.
Chúng ta chọn M là điểm lưới kép của M. Ký hiệu E C 0Kg và Ec OK; dé chi hai canh trên biên có M là đỉnh. Phan tử lưới kép M được định nghĩa bằng cách nối các điểm lưới của các phần tử lân cận trong My và điểm lưới của Kp (và Kg) với một điểm trong được chọn (vi dụ trung điểm) của E (và tương ứng). Chú ý rằng trong trường hợp này M có M là đỉnh của nó.
Chúng ta gọi điểm M là một điểm lưới kép của AM.1: Trái: Ví dụ của hai phần tử lưới kép tương ứng với một nút trong (xanh dương) và một nút biên (xanh ngọc) của lưới ban đầu M; Phải: lưới ban đầu M (đường liền nét) và lưới kép của nó M* (đường nét đứt). Tập hợp tất cả M định nghĩa một lưới kép M* sao cho 9= |J AM (chú ý chúng ta chọn đỉnh M của lưới ban đầu V là điểm lưới kép của phần tử lưới kép tương ứng M € '). Lay Y* là một tập gồm các đỉnh của các phần tử của M*. Với mỗi phần tử đối ngẫu M € M*, tập Vĩ, chứa tất cả các đỉnh của M.
Cuối cùng, chúng ta xây dựng lưới kép phụ M** dưới dang một lưới tam giác phụ của lưới kép ⁄ như sau: Với một phan tử M € M*, chúng ta xây dựng các phần tử M** bằng cách nối M với tất cả các đỉnh của M* (xem Hình [1. TeM** Lay Y** là tập hợp các đỉnh của các phần tử của M**. Lay P € V** bất kỳ, chúng ta định nghĩa tập Me = {T7 € M*, có chung đỉnh P} là tất cả các phan tử có chung đỉnh P, số lượng phần tử của tập hợp Ms được ký hiệu bởi card(M). Kích thước của ba lưới M, M* và M* lần lượt được định nghĩa bởi size(M) = max diam(ƒ€), size(M*) = max diam(Mf), h := size(M**) = max diam(7), với ke MeM* TcM** diam(#) là đường kính đường tròn ngoại tiếp của K.
Chú ý rằng, size(M), size(M*) và size(M**) sẽ được giả sử đồng thời tiến về 0, khi chúng ta chứng minh sự hội tụ của phương pháp số. Bang cách xây dựng, chúng ta có: (a) Với moi phan tử tam giác T € M* (nghĩa là ØTn09 =O), có nhiều nhất hai phan tử lướiK vi LEM sao cho Tñn K 40 uà Tn L FO. (b) V** bao gồm ba tập C, C* va V5 chứa các điểm lưới của các phan tử lưới ban đầu, các điểm lưới của các phan tử lưới kép va các điểm tương ứng nam trên biên: VY =C U CtU VS, (1.1) trong đóC = {K, VK € M}, C*:= {M, VM € AI} va Vet, = {P € V** NaN}. Chú ú rằng chúng ta ký hiệu điểm lưới K va M lần lượt tương ứng tới phần tủ lưới ban đầu K e M va phan tử lưới kép M € ME.
Với mỗi phần tử cơ sở £ € M và trung bình của tensor A được ký hiệu bởi Ax = a Se A(z)dz. Hon nữa, với T € M** bất ky, chúng ta định nghĩa Ar = Ag trên TOK 4 0. Mục đích của chúng ta là giải quyết trường hợp không đẳng hướng khong đồng nhất khi A không liên tục trên các phần tử cơ sở, nghĩa là: Ar #Ay, — với K,beM, Kz#L bất kỳ.2) Phương pháp FECC giải một nghiệm xấp xỉ của bài toán bằng cách tìm các giá trị của nó tại tất cả các nút P € Y**. Do đó, chúng ta định nghĩa: 9 Hình 1.2: Trái: Ví dụ về các phần tử tam giác của lưới kép phụ M** được tao từ các phần tử lưới kép được liên kết của lưới kép M*; Phải: lưới ban đầu M (đường liền nét) và lưới kép phụ M** (đường nét đứt).
Hy, là tập tất cả các vecto up, := (up)pcy. trong đó up được coi là giá trị xấp xi của nghiệm u(P) với mọi P € V**: Do Chú ý b), chúng ta có Un = (Up) pep = (ux) Kec; (Mw)Mec-› (MP)Pevz;) - (1.3) Ngoài ra, để xử lý các điều kiện biên Dirichlet thuần nhất, chúng ta cần phải tạo ra một tập con H? của ?(„, như sau: HY = {u, Hạ: up=0 VPCY}S}. Để nhận được công thức biến phân rời rac liên quan đến bai toán (1.3), chúng ta sẽ định nghĩa một toán tử chiếu ® và gradient rời rac VẠ trên H;, 6 phần tiếp theo.2 Toán tử chiếu và gradient rời rac Hai toán tử chiếu ® va gradient rời rac Vụ được định nghĩa trên mỗi phan tử của M**. Đặc biệt, toán tử chiếu ®(u„) là một ham trong L7(Q) va nó liên tục tuyến tinh từng phần trên mỗi phan tử T € M**; và gradient rời rac được định nghĩa trên mỗi phần tử lưới kép phụ tam giác T € M* khi hệ số A không liên tục (như trường hợp (1.
Chúng ta xét tam giác 7 = (MKL) ¢ M* khi K, L là hai điểm lưới của hai phan tử cơ sở K,L € M, và M là một điểm lưới của một phần tử lưới 10 M € M* (xem Hình 1. Ký hiệu o để chỉ cạnh chung của và L và Ở„ € ø là điểm giao nhau giữa đoạn [KH] vac. Với up, € Hy, bất kỳ, hạn chế của 6(u;) trên 7 được ký hiệu bởi ®r(u„), là một hàm liên tục và tuyến tính trên mỗi hai tam giác con (MKC,) và (MLC,).