I. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản trong không gian Hilbert. Định nghĩa về tích vô hướng và chuẩn trong không gian này là rất quan trọng. Các khái niệm như hội tụ yếu và hội tụ mạnh cũng được giới thiệu. Đặc biệt, bài toán điểm bất động và bất đẳng thức biến phân được nêu rõ, với các định nghĩa và điều kiện cần thiết. Các kết quả này sẽ là nền tảng cho việc áp dụng phương pháp lặp trong các chương sau. Định lý về sự tồn tại nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert được nhấn mạnh, cho thấy tầm quan trọng của các tập lồi và đóng trong việc tìm kiếm nghiệm.
1.1 Một số khái niệm và kết quả đặc trưng trong không gian Hilbert
Trong không gian Hilbert, các khái niệm như tích vô hướng và chuẩn được định nghĩa rõ ràng. Đặc biệt, bất đẳng thức Schwarz và các tính chất của không gian Hilbert được trình bày chi tiết. Các định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của điểm bất động trong không gian này cũng được nêu ra. Điều này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của không gian Hilbert mà còn tạo điều kiện cho việc áp dụng các phương pháp lặp trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến bất đẳng thức biến phân. Các khái niệm như hình chiếu mêtric và toán tử đơn điệu cũng được đề cập, làm rõ hơn về mối quan hệ giữa các khái niệm này trong việc tìm kiếm nghiệm.
II. Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
Chương này tập trung vào việc trình bày phương pháp lặp hữu hiệu để giải quyết bài toán tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert. Các phương pháp lặp được giới thiệu bao gồm phương pháp gradient tăng cường và các sơ đồ lặp khác. Đặc biệt, các kết quả hội tụ của các dãy được sinh ra từ các phương pháp này được phân tích kỹ lưỡng. Sự hội tụ yếu và mạnh của các dãy này cho thấy tính hiệu quả của các phương pháp lặp trong việc tìm kiếm nghiệm. Các ví dụ minh họa cụ thể cũng được đưa ra để làm rõ hơn về ứng dụng thực tiễn của các phương pháp này trong các bài toán toán học phức tạp.
2.1 Phương pháp gradient tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert
Mục này trình bày chi tiết về phương pháp gradient tăng cường trong việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động. Các sơ đồ lặp được giới thiệu, trong đó có sự kết hợp giữa ánh xạ T và ánh xạ A. Kết quả hội tụ của các dãy được sinh ra từ các phương pháp này được chứng minh, cho thấy tính khả thi và hiệu quả của phương pháp trong việc tìm kiếm nghiệm. Các điều kiện cần thiết cho sự hội tụ cũng được nêu rõ, giúp người đọc hiểu rõ hơn về cách thức hoạt động của phương pháp này trong không gian Hilbert. Điều này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và khoa học máy tính.
