Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học "Thuật toán giải một số lớp bài toán cân bằng và điểm bất động" do nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Thanh Hà thực hiện tại Học viện Kỹ thuật Quân sự (Hà Nội, năm 2021), thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng (mã số: 9 46 01 12), dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Bùi Văn Định và TS. Đào Trọng Quyết.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Khái niệm cân bằng (equilibrium) xuất hiện phổ biến trong nhiều ngành khoa học như vật lý, hóa học, sinh học, kỹ thuật và kinh tế học (tiêu biểu như cân bằng cơ học, cân bằng thủy tĩnh, cân bằng động lực, cân bằng di truyền, cân bằng giao thông và cân bằng thị trường cung - cầu). Trong toán học, bài toán cân bằng $EP(C, f)$ do Ky Fan khởi xướng cung cấp một khuôn khổ thống nhất bao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng: bài toán tối ưu hóa, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán bù và mô hình cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi không hợp tác.

Mặc dù lý thuyết và phương pháp giải bài toán cân bằng đã được nghiên cứu rộng rãi, tác giả chỉ ra ba khoảng trống nghiên cứu chính:

  1. Đa số các thuật toán hiện hành đều đòi hỏi giả thiết về tính đơn điệu hoặc đơn điệu suy rộng của song hàm. Các kết quả nghiên cứu giải bài toán cân bằng không đơn điệu còn rất hạn chế, trong khi nhiều bài toán thực tế phát sinh trong kinh tế học lại có cấu trúc không đơn điệu.
  2. Trong nghiên cứu về nghiệm chung của một họ bài toán cân bằng, một số công trình trước đây khẳng định rằng khi các song hàm là đơn điệu thì tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp bằng giao các tập nghiệm của từng bài toán thành phần. Tuy nhiên, luận án phát hiện giả thiết đơn điệu là chưa đủ để xác lập đẳng thức này.
  3. Đối với bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động, các phương pháp hiện có đòi hỏi phải ước lượng hoặc biết trước các hằng số kiểu Lipschitz của song hàm, gây trở ngại lớn cho việc áp dụng trong thực hành tính toán khi các tham số này khó xác định.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

Luận án xác định ba mục tiêu nghiên cứu cụ thể được đánh số như sau:

  • (i) Xây dựng thuật toán giải bài toán cân bằng không đơn điệu trong không gian Hilbert.
  • (ii) Nghiên cứu mối quan hệ giữa tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp với giao các tập nghiệm của một họ các bài toán cân bằng.
  • (iii) Thiết lập phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động.

Các nội dung nghiên cứu tương ứng bao gồm:

  • Nội dung 1: Xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng với song hàm không đơn điệu.
  • Nội dung 2: Chứng minh giả thiết các song hàm $f_i$ đơn điệu không đủ để tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp và giao các tập nghiệm của các bài toán cân bằng thành phần bằng nhau; từ đó thiết lập điều kiện đủ để hai tập nghiệm này trùng nhau.
  • Nội dung 3: Xây dựng thuật toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz (không cần biết trước hằng số) và tập các điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Bài toán cân bằng $EP(C, f)$, bài toán cân bằng Minty $MEP(C, f)$, hệ bài toán cân bằng $CSEP(C, f_i)$, bài toán cân bằng tổ hợp $CEP(C, \sum \alpha_i f_i)$, bài toán điểm bất động $FP(C, T)$ và bài toán tìm nghiệm chung $S = \text{Sol}(C, f) \cap \text{Fix}(T)$.
  • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết giải tích và thuật toán trong không gian Hilbert thực $H$; thực nghiệm tính toán số mô phỏng trên mô hình cân bằng thị trường điện bán độc quyền Nash-Cournot.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án điểm lại hệ thống tài liệu nghiên cứu liên quan đến lý thuyết cân bằng và bài toán điểm bất động:

  • Mô hình bài toán cân bằng tổng quát và trường hợp riêng: Khởi nguồn từ bất đẳng thức Ky Fan (1972) và bài toán Minty, bài toán cân bằng thống nhất các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân đơn trị $VIP(C, F)$, bất đẳng thức biến phân đa trị $MVIP(C, F)$, bài toán điểm bất động đơn trị $FP(C, F)$, bài toán điểm bất động đa trị $MEP(C, F)$ và mô hình cân bằng Nash $NEP$. Các nghiên cứu về sự tồn tại, cấu trúc và tính ổn định của tập nghiệm được khảo cứu qua công trình của M. Bigi và đồng tác giả (2013), Blum và Oettli (1994).
  • Các phương pháp giải bài toán cân bằng lồi và đơn điệu: Phương pháp hàm đánh giá (gap function method), phương pháp nguyên lý bài toán phụ (auxiliary subproblem principle method), phương pháp điểm gần kề (proximal point method), phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp chiếu và phương pháp đạo hàm tăng cường (extragradient method) của các tác giả P. Bigi, B. Muu, L. Quy, Iusem và Sosa.
  • Phương pháp giải bài toán cân bằng không đơn điệu: Các nghiên cứu của Strodiot và đồng tác giả (2013), D. Tran và đồng tác giả (2014) về kết hợp đạo hàm tăng cường với quy tắc tìm kiếm tia kiểu Armijo; Takahashi và đồng tác giả (2008) về phương pháp chiếu nhúng (shrinking projection method).
  • Hệ bài toán cân bằng và bài toán cân bằng tổ hợp: Các công bố của S. Kangtunyakarn (2012, 2013) cùng nhóm tác giả liên quan đã sử dụng giả thiết đơn điệu để đồng nhất tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp với giao các tập nghiệm thành phần.
  • Phương pháp tìm điểm bất động: Định lý ánh xạ co Banach; phương pháp lặp Mann (1953) cho ánh xạ không giãn; phương pháp lặp Ishikawa (1974) cho ánh xạ Lipschitz giả co; phương pháp lặp Halpern (1967) bảo đảm sự hội tụ mạnh.
  • Bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động: Các công trình của P. Ceng (2010), B. Dinh (2014), T. Thuy (2016), N. Vuong (2016), và đặc biệt là thuật toán dưới đạo hàm tăng cường Halpern (HSEM) của D. Hieu (2017) cho ánh xạ $k$-nửa co.

Vị trí của luận án được xác lập thông qua việc khắc phục tính hạn chế của giả thiết đơn điệu trong bài toán cân bằng, đính chính và bổ sung cơ sở lý thuyết cho hệ bài toán cân bằng tổ hợp, đồng thời cải tiến thuật toán tìm nghiệm chung mà không phụ thuộc vào việc biết trước hằng số Lipschitz.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và khái niệm sử dụng

Luận án xây dựng trên nền tảng các lý thuyết toán học cơ bản:

  1. Không gian Hilbert thực $H$: Trang bị tích vô hướng $\langle \cdot, \cdot \rangle$ và chuẩn $|x| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$. Khái niệm hội tụ mạnh ($x^k \to x^$) và hội tụ yếu ($x^k \rightharpoonup x^$).
  2. Giải tích lồi: Tập lồi, nón lồi, nón pháp tuyến ngoài $N_C(x^0) = {w \in H : \langle w, x - x^0 \rangle \le 0, \forall x \in C}$; phép chiếu metric $P_C(x) = \text{argmin}{|x - y| : y \in C}$; hàm lồi, lồi chặt, lồi mạnh (hệ số $\beta > 0$), tựa lồi; hàm nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên; đạo hàm Fréchet $\nabla f(x)$, đạo hàm theo hướng $f'(x; d)$, dưới vi phân $\partial f(x)$ và tính khả dưới vi phân.
  3. Tính chất của song hàm cân bằng $f: C \times C \to \mathbb{R}$ ($f(x, x) = 0, \forall x \in C$):
    • Đơn điệu mạnh (hằng số $\tau > 0$): $f(x, y) + f(y, x) \le -\tau |x - y|^2$.
    • Đơn điệu chặt: $f(x, y) + f(y, x) < 0$ ($x \neq y$).
    • Đơn điệu: $f(x, y) + f(y, x) \le 0$.
    • Giả đơn điệu: $f(x^, y) \ge 0 \implies f(y, x^) \le 0$.
    • Para-đơn điệu và Para-giả đơn điệu.
    • Thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz (hằng số $c_1, c_2 > 0$): $f(x, y) + f(y, z) \ge f(x, z) - c_1 |x - y|^2 - c_2 |y - z|^2$.
    • Giả thiết $(B_1)$: $f(x, \cdot)$ lồi trên $C$ với mọi $x \in C$; $(B_2)$: $f$ liên tục yếu đồng thời trên không gian mở chứa $C$.
  4. Các lớp ánh xạ trong bài toán điểm bất động $T: C \to H$: Ánh xạ co (hằng số $0 \le \kappa < 1$), ánh xạ không giãn, ánh xạ Lipschitz (hằng số $L > 0$), ánh xạ tựa không giãn ($|T(x) - y| \le |x - y|, \forall y \in \text{Fix}(T)$), ánh xạ giả co, ánh xạ $k$-nửa co ($k$-demicontractive).

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp giải tích lồi và giải tích hàm: Sử dụng các bất đẳng thức biến phân, tính chất của dưới vi phân và phép chiếu metric để phân tích cấu trúc tập nghiệm.
  • Phương pháp chiếu nhúng kết hợp tìm kiếm theo tia kiểu Armijo: Thiết lập các dãy lặp thu hẹp tập đóng lồi $C_{k+1} \subset C_k$ nhằm đạt được sự hội tụ mạnh trong bài toán không đơn điệu.
  • Phương pháp phản ví dụ (Counterexample): Xây dựng bài toán cụ thể để chứng minh sự không đồng nhất giữa tập nghiệm bài toán cân bằng tổ hợp và giao tập nghiệm các bài toán thành phần dưới giả thiết đơn điệu thông thường.
  • Phương pháp lặp kết hợp (Ishikawa + Dưới đạo hàm tăng cường): Xây dựng thuật toán giải bài toán nghiệm chung với quy tắc cập nhật bước tự thích nghi không cần hằng số Lipschitz.
  • Phương pháp thực nghiệm số: Lập trình tính toán trên môi trường phần mềm Matlab R2014a.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các kiến thức nền tảng phục vụ cho các kết quả nghiên cứu chính của luận án:

  • Giải tích lồi và phép chiếu: Trình bày chi tiết tính chất của tập lồi, nửa không gian, nón pháp tuyến ngoài và phép chiếu metric $P_C$. Nhắc lại các định nghĩa về hàm lồi, hàm tựa lồi, tính nửa liên tục và dưới vi phân. Đưa ra điều kiện tối ưu: $x^0$ là điểm cực tiểu của hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới $f$ trên tập lồi đóng $C$ khi và chỉ khi $0 \in \partial f(x^0) + N_C(x^0)$.
  • Bài toán cân bằng: Định nghĩa bài toán cân bằng $EP(C, f)$, bài toán cân bằng Minty $MEP(C, f)$. Trình bày phép quy đổi các bài toán cổ điển về dạng $EP(C, f)$:
    • Bài toán tối ưu: $f(x, y) = \varphi(y) - \varphi(x)$.
    • Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị: $f(x, y) = \max{\langle u, y - x \rangle : u \in F(x)}$.
    • Bài toán điểm bất động: $f(x, y) = \langle x - F(x), y - x \rangle$.
    • Bài toán cân bằng Nash: $f(x, y) = \sum_{i=1}^p [f_i(x[y_i]) - f_i(x)]$.
  • Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng: Nêu định lý tồn tại nghiệm dựa trên tính compact hoặc điều kiện tựa compact (tồn tại tập con compact $W \subset C$), cùng các điều kiện bảo đảm tính duy nhất nghiệm (tính đơn điệu chặt hoặc đơn điệu mạnh kết hợp tính lồi).
  • Bài toán điểm bất động và phương pháp giải: Phân loại các lớp ánh xạ và phân tích các phương pháp lặp: phép lặp Banach, phương pháp lặp Mann (hội tụ yếu), phương pháp lặp Ishikawa (hội tụ mạnh trên tập compact đối với ánh xạ Lipschitz giả co) và phương pháp lặp Halpern (hội tụ mạnh đối với ánh xạ không giãn).

Chương 2: Một số thuật toán giải bài toán cân bằng không đơn điệu

Chương 2 tập trung giải quyết bài toán $EP(C, f)$ trong không gian Hilbert thực $H$ khi song hàm $f$ không thỏa mãn tính đơn điệu, giả thiết $f$ thỏa mãn điều kiện $(B_1)$ (lồi theo biến thứ hai) và $(B_2)$ (liên tục yếu đồng thời), với tập nghiệm Minty $S_M \neq \emptyset$.

  • Thuật toán 2.1: Kết hợp thuật toán đạo hàm tăng cường với phương pháp chiếu nhúng và tìm kiếm theo tia kiểu Armijo:
    • Bước khởi tạo: $x^0 \in C$, $\gamma, l \in (0, 1)$, $\rho_k \in [\underline{\rho}, \bar{\rho}]$, $\mu_k \in [\underline{\mu}, \bar{\mu}] \subset (0, 2)$, đặt $C_0 = C$.
    • Bước 1: Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh $y^k = \text{argmin}{f(x^k, y) + \frac{1}{2\rho_k}|y - x^k|^2 : y \in C}$. Nếu $y^k = x^k$ thì dừng.
    • Bước 2 (Tìm kiếm Armijo): Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $m_k$ thỏa mãn: $$f(z^{k, m_k}, y^k) - f(z^{k, m_k}, x^k) \le -\frac{\gamma}{2\rho_k}|y^k - x^k|^2$$ với $\eta_k = l^{m_k}$, $z^k = z^{k, m_k} = (1 - \eta_k)x^k + \eta_k y^k$.
    • Bước 3: Chọn $w^k \in \partial_2 f(z^k, z^k)$, tính $\sigma_k = \frac{f(z^k, x^k)}{|w^k|^2}$, $u^k = P_C(x^k - \mu_k \sigma_k w^k)$.
    • Bước 4: Xây dựng $C_{k+1} = {x \in C_k : |x - u^k| \le |x - x^k|}$, tính $x^{k+1} = P_{C_{k+1}}(x^0)$, tăng $k := k + 1$.
  • Thuật toán 2.2: Đề xuất quy tắc tìm kiếm theo tia thay thế tại Bước 2: $$f(z^{k, m_k}, x^k) \ge \frac{\gamma}{2\rho_k}|y^k - x^k|^2$$ và bổ sung điều kiện dừng nếu $0 \in \partial_2 f(z^k, z^k)$.
  • Chứng minh hội tụ: Luận án chứng minh các quy tắc tìm kiếm tia là xác định tốt và dãy ${x^k}$, ${u^k}$ sinh bởi Thuật toán 2.1 và 2.2 đều hội tụ mạnh tới nghiệm $x^* = P_{\bigcap C_k}(x^0)$ của bài toán $EP(C, f)$.
  • Thực nghiệm tính toán số: Áp dụng Thuật toán 2.1 vào mô hình cân bằng thị trường điện bán độc quyền Nash-Cournot gồm $n^0 = 3$ công ty và $n^g = 6$ đơn vị phát điện:
    • Công ty 1 sở hữu đơn vị phát ${1}$; Công ty 2 sở hữu đơn vị ${2, 3}$; Công ty 3 sở hữu đơn vị ${4, 5, 6}$.
    • Hàm giá điện $p(x) = 378 - \sum_{i=1}^6 x_i$.
    • Hàm chi phí: $c_j(x_j) = \max{d_j(x_j), e_j(x_j)}$ với các hàm thành phần $d_j(x_j) = \alpha_j^0 x_j + \frac{\beta_j^0}{\beta_j^0 + 1} \gamma_j^0 (x_j)^{(\beta_j^0 + 1)/\beta_j^0}$ và $e_j(x_j) = \alpha_j^1 x_j + \frac{\beta_j^1}{\beta_j^1 + 1} \gamma_j^1 (x_j)^{(\beta_j^1 + 1)/\beta_j^1}$.

Các tham số kỹ thuật và chi phí được tổng hợp trong các bảng dữ liệu sau:

Bảng 1: Giới hạn sản lượng điện của các đơn vị phát ($x_j^{\min}, x_j^{\max}$)

Công ty (Com.) Đơn vị phát (Gen. $j$) $x_j^{\min}$ $x_j^{\max}$
1 1 0 80
2 2 0 80
2 3 0 50
3 4 0 55
3 5 0 30
3 6 0 40

Bảng 2: Tham số hàm chi phí của các đơn vị phát điện

Đơn vị phát ($j$) $\alpha_j^0$ $\beta_j^0$ $\gamma_j^0$ $\alpha_j^1$ $\beta_j^1$ $\gamma_j^1$
1 15.0 1.0 0.05 25.0 1.2 0.05
2 16.0 1.2 0.04 24.0 1.1 0.05
3 18.0 1.0 0.06 26.0 1.0 0.04
4 14.0 1.1 0.08 22.0 1.2 0.06
5 17.0 1.3 0.09 23.0 1.1 0.08
6 19.0 1.0 0.07 27.0 1.0 0.09

Thực nghiệm được lập trình trên Matlab R2014a (Laptop Intel Core i5-3230M 2.60 GHz, 4GB RAM) với tiêu chuẩn dừng $\frac{|x^{k+1} - x^k|}{\max{1, |x^k|}} < \varepsilon$ với $\varepsilon = 10^{-3}$, khẳng định thuật toán hội tụ ổn định từ các điểm khởi tạo khác nhau.

Chương 3: Hệ bài toán cân bằng và bài toán cân bằng tổ hợp

Chương 3 nghiên cứu mối liên hệ giữa tập nghiệm của bài toán tìm nghiệm chung của một họ bài toán cân bằng $CSEP(C, f_i)$ và bài toán cân bằng tổ hợp $CEP(C, \sum_{i \in I} \alpha_i f_i)$ với $\alpha_i \in (0, 1), \sum \alpha_i = 1$:

  • Chỉ ra thiếu sót trong các nghiên cứu trước: Phân tích kết quả của S. Kangtunyakarn (2012, 2013) cùng các bài báo liên quan vốn khẳng định đẳng thức: $$\text{Sol}\left(C, \sum_{i=1}^N \alpha_i f_i\right) = \bigcap_{i=1}^N \text{Sol}(C, f_i)$$ Luận án đưa ra phản ví dụ chứng minh rằng chỉ với giả thiết tính đơn điệu của các song hàm $f_i$, đẳng thức trên không xảy ra (tập nghiệm của bài toán tổ hợp có thể rộng hơn giao các tập nghiệm thành phần).
  • Thiết lập điều kiện đủ mới: Luận án sử dụng công cụ giải tích lồi để xây dựng và chứng minh điều kiện đủ bổ sung để đẳng thức tập nghiệm được bảo toàn.
  • Mở rộng cho trường hợp vô hạn: Thiết lập điều kiện đủ cho trường hợp họ vô hạn các bài toán cân bằng $I = {1, 2, \dots}$, cho phép chuyển việc giải hệ vô hạn bài toán cân bằng về một bài toán cân bằng tổ hợp duy nhất.

Chương 4: Một thuật toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động

Chương 4 nghiên cứu bài toán tìm phần tử chung $x^* \in S = \text{Sol}(C, f) \cap \text{Fix}(T)$:

  • Hạn chế của thuật toán HSEM (D. Hieu, 2017): Thuật toán HSEM đòi hỏi tham số $\lambda$ thỏa mãn $0 < \lambda < \min{\frac{1}{2c_1}, \frac{1}{2c_2}}$, do đó không áp dụng được khi hằng số kiểu Lipschitz $c_1, c_2$ không xác định được.
  • Đề xuất thuật toán mới: Kết hợp phương pháp dưới đạo hàm tăng cường với phương pháp lặp Ishikawa, giải bài toán với song hàm $f$ giả đơn điệu thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz (không cần biết trước hằng số) và ánh xạ $T$ tựa không giãn.
  • Thuật toán hệ quả và phân tích hội tụ: Chứng minh định lý hội tụ mạnh của dãy lặp về nghiệm chung $x^* \in S$; rút ra các thuật toán hệ quả cho các trường hợp riêng biệt.
  • Ví dụ số minh họa: Thực hiện các ví dụ số kiểm chứng tốc độ hội tụ trong không gian hữu hạn chiều và kiểm nghiệm mở rộng trên không gian Hilbert vô hạn chiều.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được 3 nhóm kết quả và đóng góp khoa học chính:

  1. Đề xuất thuật toán giải bài toán cân bằng không đơn điệu: Xây dựng thành công hai thuật toán kết hợp phép chiếu nhúng và tìm kiếm tia kiểu Armijo cho bài toán cân bằng không có tính đơn điệu trong không gian Hilbert thực; chứng minh sự hội tụ mạnh của các thuật toán đề xuất và áp dụng thành công vào giải mô hình thị trường điện bán độc quyền Nash-Cournot (công bố tại bài báo [CT1]).
  2. Làm rõ mối quan hệ tập nghiệm giữa hệ bài toán cân bằng và bài toán cân bằng tổ hợp: Bằng phương pháp phản ví dụ, chỉ ra giả thiết đơn điệu của các song hàm là chưa đủ để đồng nhất tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp với giao các tập nghiệm thành phần như một số tài liệu trước đây khẳng định; đồng thời thiết lập điều kiện đủ chặt chẽ để hai tập nghiệm bằng nhau cho cả trường hợp hữu hạn và vô hạn các song hàm (công bố tại bài báo [CT2]).
  3. Xây dựng thuật toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động không phụ thuộc hằng số Lipschitz: Đề xuất thuật toán kết hợp dưới đạo hàm tăng cường và phép lặp Ishikawa giải bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng giả đơn điệu kiểu Lipschitz và bài toán điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn; chứng minh dãy lặp hội tụ mạnh mà không cần giả thiết biết trước hằng số Lipschitz của song hàm (công bố tại bài báo [CT3]).

Các kết quả nghiên cứu trong luận án đã được công bố qua 03 bài báo khoa học chuyên ngành và báo cáo tại các diễn đàn học thuật:

  • Xêmina Bộ môn Toán và Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự.
  • Hội nghị Khoa học các nhà nghiên cứu trẻ lần thứ XV (20/02/2020), Học viện Kỹ thuật Quân sự.
  • Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 18 (20–22/8/2020), Hòa Lạc, Hà Nội.
  • Hội nghị các cựu học viên Viện Toán học – Một số vấn đề trong Toán học đương đại (11–12/9/2020), Hà Nội.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Theo nội dung trình bày tại phần "Hướng nghiên cứu tiếp theo" của văn bản luận án, các hướng nghiên cứu mở rộng bao gồm:

  • Mở rộng việc xây dựng và cải tiến thuật toán cho các lớp bài toán cân bằng suy rộng khác trong không gian Banach hoặc không gian metric.
  • Nghiên cứu giảm nhẹ các điều kiện ràng buộc kỹ thuật đối với dãy tham số bước và quy tắc tìm kiếm tia nhằm nâng cao tốc độ hội tụ tính toán.
  • Khảo sát các bài toán nghiệm chung khi ánh xạ điểm bất động thuộc các lớp tổng quát hơn (như ánh xạ nửa co, ánh xạ giả co) kết hợp với các song hàm không thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
  • Áp dụng các thuật toán đề xuất vào các bài toán thực tế phức tạp hơn trong xử lý tín hiệu, phục hồi ảnh và mạng phân bổ tài nguyên.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo có giá trị chuyên môn đối với:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên ngành Toán ứng dụng, Toán giải tích, Tối ưu hóa: Cung cấp kỹ thuật chi tiết về phép chiếu nhúng, kỹ thuật xử lý bài toán không đơn điệu và phương pháp chứng minh hội tụ mạnh trong không gian Hilbert.
  • Các nhà nghiên cứu mô hình kinh tế và vận trù học: Phần mô hình hóa bài toán cân bằng thị trường điện bán độc quyền Nash-Cournot tại Chương 2 cung cấp cách thức quy đổi một bài toán cạnh tranh kinh tế thực tế về bài toán cân bằng không đơn điệu và phương pháp giải bằng phần mềm tính toán số.
  • Các nhà nghiên cứu về giải tích phi tuyến và lý thuyết điểm bất động: Phần phản ví dụ và điều kiện đủ ở Chương 3 giúp tránh các nhầm lẫn lý thuyết khi nghiên cứu hệ bài toán cân bằng tổ hợp; thuật toán cải tiến ở Chương 4 cung cấp giải pháp xử lý thực hành khi hằng số Lipschitz không xác định được.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao luận án lại tập trung nghiên cứu bài toán cân bằng không đơn điệu trong Chương 2?

Phần lớn các phương pháp giải bài toán cân bằng kinh điển đều dựa trên giả thiết tính đơn điệu hoặc đơn điệu suy rộng của song hàm. Tuy nhiên, nhiều bài toán thực tế phát sinh trong kinh tế học (tiêu biểu như mô hình cân bằng thị trường điện bán độc quyền Nash-Cournot) có ma trận xác định không nửa xác định dương, dẫn đến song hàm cân bằng không thỏa mãn tính đơn điệu. Do đó, việc xây dựng thuật toán hội tụ mạnh cho lớp bài toán không đơn điệu đáp ứng yêu cầu cấp thiết về cả lý thuyết lẫn ứng dụng.

2. Phát hiện mới của luận án đối với công trình của S. Kangtunyakarn trong Chương 3 là gì?

Trong các công trình năm 2012 và 2013, S. Kangtunyakarn và các đồng tác giả khẳng định rằng với các song hàm $f_i$ đơn điệu thì tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp $\text{Sol}(C, \sum_{i=1}^N \alpha_i f_i)$ luôn trùng với giao tập nghiệm $\bigcap_{i=1}^N \text{Sol}(C, f_i)$. Luận án đã xây dựng phản ví dụ chứng minh khẳng định trên là chưa chính xác (tính đơn điệu chưa đủ), đồng thời thiết lập điều kiện đủ bổ sung để đẳng thức trên được thỏa mãn cho cả trường hợp hữu hạn và vô hạn song hàm.

3. Ưu điểm nổi bật của thuật toán trong Chương 4 so với thuật toán HSEM của D. Hieu (2017) là gì?

Thuật toán HSEM của D. Hieu đòi hỏi tham số $\lambda$ phải thỏa mãn điều kiện phụ thuộc trực tiếp vào các hằng số kiểu Lipschitz: $0 < \lambda < \min{\frac{1}{2c_1}, \frac{1}{2c_2}}$. Trong thực tế, các hằng số $c_1, c_2$ này thường rất khó ước lượng hoặc không biết trước. Thuật toán kết hợp dưới đạo hàm tăng cường và phép lặp Ishikawa của luận án khắc phục triệt để nhược điểm này, cho phép thuật toán hội tụ mạnh mà không cần biết trước các hằng số Lipschitz.

4. Dữ liệu thực nghiệm số trong Chương 2 được thiết lập như thế nào?

Thực nghiệm số giải bài toán cân bằng thị trường điện bán độc quyền Nash-Cournot gồm 3 công ty phát điện với tổng cộng 6 đơn vị phát ($n^0 = 3, n^g = 6$). Thuật toán 2.1 được lập trình trên phần mềm Matlab R2014a, thực hiện trên máy tính Intel Core i5-3230M CPU 2.60 GHz, RAM 4GB, sử dụng tiêu chuẩn dừng sai số $\varepsilon = 10^{-3}$ theo tỷ lệ khoảng cách giữa hai bước lặp kế tiếp trên chuẩn cực đại.

5. Những bài toán toán học nào được chứng minh là trường hợp riêng của bài toán cân bằng $EP(C, f)$ trong Chương 1?

Chương 1 chứng minh rằng bài toán cân bằng $EP(C, f)$ bao hàm: bài toán tối ưu hóa $(OP)$, bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị $VIP(C, F)$, bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị $MVIP(C, F)$, bài toán điểm bất động đơn trị $FP(C, F)$, bài toán điểm bất động đa trị $MEP(C, F)$ và bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác $(NEP)$.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Nguyễn Thị Thanh Hà đã giải quyết trọn vẹn ba vấn đề trọng tâm về mặt lý thuyết và thuật toán tính toán cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert. Các đóng góp bao gồm: đề xuất thuật toán chiếu nhúng tìm kiếm tia hội tụ mạnh cho bài toán cân bằng không đơn điệu kèm thực nghiệm trên mô hình Nash-Cournot; làm rõ điều kiện đủ đồng nhất tập nghiệm bài toán cân bằng tổ hợp; và xây dựng thuật toán tự thích nghi tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động không phụ thuộc hằng số Lipschitz. Toàn bộ các kết quả lý thuyết đều được chứng minh chặt chẽ và công bố trên các tạp chí chuyên ngành.