phần mở đầu dành 13 cho việc đặt bài toán, nhắc lại một thuật toán hiện có để sử dụng cho các nghiên cứu tiếp theo. Trên cơ sở đó và với một số giả thiết, trong Phần 4.2 chúng tôi kết hợp thuật toán dưới đạo hàm tăng cường kết hợp với phương pháp lặp Ishikawa để đưa ra thuật toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng với song hàm là giả đơn điệu thỏa mãn điều kiện kiểu Lipsehitz và tập các điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn. Tiếp theo chúng tôi chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật toán và đưa ra các thuật toán hệ quả trong một số trường hợp đặc biệt. Phần cuối của chương là Phần 4.3 dành để trình bày một số ví dụ số minh họa cho thuật toán đề xuất, ví dụ cuối cùng được thực hiện trong không gian Hilbert vô hạn chiều cũng cho kết quả khá khả quan.
14 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt A (xử) AxB min,ec ƒ(#) arg min{ f(x)| © € C} dom f = {x EC: f(x) < +00} epi f = {(#,7) €C xR: f(x) <7} #(z) = Vự(z) 0¿() Oo f (x, x) ak +x ak a lim = lim sup lim = lim inf Tập hợp các số tự nhiên Tập hợp các số thực Tập hợp các số thực mở rộng Không gian Euelide thực ø chiều Khong gian Hilbert thực Khong gian véc tơ tô pô thực Tích vô hướng của hai véc tơ x va y Chuẩn của véc tơ z véc tơ hàng là chuyển vị của véc tơ cột z Ma trận chuyển vị của ma tran A Ánh xạ đồng nhất Tích Đề-Các của hai tập hợp A và B Giá trị cực tiểu của ƒ trên tập C Tập các điểm cực tiểu của hàm ƒ trên Œ Miền hữu hiệu của hàm số ƒ Trên đồ thị của hàm số ƒ Dao ham (gradient) cia ham ¢ tai x Dưới vi phân của hàm y» tai x Dưới vi phân của ham f(z,.) tai x Dãy + hội tụ mạnh tới z. Dãy + hội tụ yếu tới z Giới hạn trên Giới hạn dưới MEP(C, f) CSEP CEP(C, 3, aifi) VIP(C, F) FP(C, F) Sol(C, f) Su Sol(C. S3} ,a,f) Sol(C, F) Fix(T) S = Sol(C, f) N Fix(T) 15 Khoảng cách từ z đến tap C Hình chiếu của z lên tập Œ Nón pháp tuyến ngoài của Ở tại z Bài toán cân bằng được xác định bởi tập Œ và song hàm ƒ Bài toán cân bằng Minty Bài toán tìm điểm chung của một họ các bài toán cân bằng Bài toán cân bằng tổ hợp được xác định bởi tập Œ và tổ hợp lồi các song hàm fi,i=1N Bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) được xác định bởi tập C va ánh xạ Bài toán điểm bất động được xác định bởi tập Œ và ánh xạ ` Tập nghiệm của bài toán EP(Œ, ƒ) Tập nghiệm của bài toán MEP(Œ, ƒ) Tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp Tập nghiệm của bài toán VIP(Œ, #) Tập các điểm bất động của ánh xạ 7. Tập nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động 16 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số kết quả cần thiết nhất được sử dụng cho các chương tiếp theo.
Chương này gồm có ba phần. Phần thứ nhất dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả của giải tích lồi. Phần thứ hai chúng tôi giới thiệu bài toán cân bằng và một số trường hợp riêng, cũng như sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. Những kiến thức này có thể tìm thấy trong các tài liệu [3, 4, 10-13, 27, 38, 45, 64, 77].
Phần cuối cùng của chương dành cho việc trình bày bài toán điểm bất động và một số phương pháp tìm điểm bất động. Các kiến thức về phương pháp điểm bất động có thể tham khảo trong các tài liệu [10, 28, 29, 34, 52, 86].1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản Giả sử HÍ là một không gian Hilbert thực, với tích vô hướng (-,-) và chuẩn tương ứng được xác định bởi ||z|| = J (a, 2), Va € H. Day {x"} C H được gọi là hội tụ tmạnh tới «* € H, k¥ hiéu x > z*, nếu ||+ — z*|| > 0. Day {x*} C H được gọi là hội tụ yếu tới z* e HỈ, ký hiệu z — z*, nếu (u,ø — z*) —> 0, Vu € HH.
Giả sử X là một không gian véc to trén R, tap C c X được gọi là: a. lổi nếu với mọi z, € Œ và 0 < À < 1 thì Az + (1— À) € Œ; b. nón c6 dinh tai 0 néu Ax € C, voi moi « € C, va \ > 0; c. nớn lồi nếu nó vừa là nón có đỉnh tại 0 vừa là một tập lồi.
7ập hợp Ơ C X là lồi khi uà chỉ khá Ơ chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó. Tức là, Ơ lồi khi uà chỉ khi k k Vk EN VAL Ae 20: SOA) = 1 Val, a8 CS So Ajo! EC. j=l j=l Các tập lồi là đóng kín đối với một số phép toán như phép giao, phép cộng, phép nhân với một số thực. Tức là, nếu Œ và D là hai tập lồi trong X thì ŒnD, œŒ+ 8D cũng là các tập lồi với mọi a, 8 e IR.
Giả sử Œ là một tập lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực HH và z9 e Ơ. véc tơ œø € H được gọi là pháp tuyến của Œ tại z0 e Ơ nếu (ø,œ — 2°) <0, Va EC. Khi đó tap Nc(#9) ={w eH : (w,x—2°) <0, Ve € C} được gọi là nón pháp tuyến ngoài (normal cone) của C tại z0 và tap —Nc(2x°) được gọi là nón pháp tuyến trong của Ở tại z0. Rõ ràng 0€ No(z9) và từ định nghĩa trên ta thấy Wo(zÐ) là một nón lồi đóng.
Giả sử Œ là một tập khác rỗng (không nhất thiết lồi) trong không gian Hilbert H va véc to bat ky « € H, dat dc(«) = inf ||x — yl, ola) = inf lle = 9Ì) ta nói do(z) la khodng cach tit « dén C. Néu tén bại z* € Ở sao cho do(z) = lle — #*l| thì z* được gọi là hành chiếu của + trên Œ và ký hiệu là z* = Po(+). Từ định nghĩa trên ta thấy hình chiếu của + e II trên Œ là điểm thuộc Œ gần + nhất được xác định bởi Fe(z) = argmin{||e — yl|: y € C}. 18 Nếu Œ là một tập lồi, đóng, khác rỗng của HI, khi đó với mỗi z e H, PFc(z) luôn tồn tại và là phần tử duy nhất thuộc Œ thỏa mãn |z~ Pe()l< llz gll.
Chẳng han, néu C = H = {y € HH: (a,u) +b < 0}, với a e H và be RR, là một nửa không gian, thì ta có x nếu x € H, Pn(z) = — cara nếu « ¢ H. x Ta Phép chiếu trên tập lồi, đóng có một số tính chất sau. Giả sử Ở là một tập cơn lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H. hành chiếu Po() của + trên Ơ luôn tồn tại va duy nhat vdi moi x; b.
\Po(e) — Poly)IP2 < le = w|? = lle = Pole) —y + Polw)IP, Vey € HL Dinh nghia 1. Gia sit C C H 1a mét tap 1di dong, khac réng va ham s6 f:C > RU {+00}, khi dé ta ndi a. hàm ƒ được gọi là lồi (conuez ƒunction) trên C néu Z@z + (—A)Jø) <Aƒf(ø) + (1— À)ƒ(w), V+, y € ©, VÀ € |0; 1]; b. hàm ƒ dude goi 1a loi chat (strictly conver function) trén C néu f(r + (1= dy) < Ve) + (=F (W), Very EC, 2 Fy, VV € (051); c.
ham f 1a loi manh (strongly convex function) trén C véi hé sé 6 > 0 néu /(A+(1—A)#) < Af@)+(1—A)f()~A(1—A)E lle-vl8, Ye,y€ Ơ, VA € [0 1] 19 d. ham f 1a twa lồi (guasiconoez) trên Ở nếu f(Av + (1—A)y) < max{ f(x), f(y)}, Ve. các tập dom f = {x €C: f(x) < +}, epi f = {(t,y) €C xR: f(a) < 9}, tương ứng được gọi là miền hữu hiệu (effecHue domain) và trên đồ thị (epigraph) cua f; g. ham f : C > RU {+00} duoc goi la chinh thudng (proper function) néu ƒ(z) > —œ với mọi z € Œ và domf £ 9.
Giả sử hàm số ƒ : H -› R. f được gọi là mửa liên tục dưới (louer semicontinuous) tại z € H nếu V{z*}CM: zÈ — z thì f(z) < lim inf f(x Ry. ƒ được gọi là nửa liên tục dưới trên C nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi vec. ƒ được gọi là nửa lién tuc trén (upper semicontinuous) tai z € Hnéu V{+F} C H: «* +2 thi f(#) > limsup f(«*); keo ƒ được gọi là nửa liên tục trên trên ŒỞ nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi vec.
Hàm ƒ được gọi là liên tục trên Œ nếu nó vừa nửa liên tục dưới và vừa nửa liên tục trên trén C. Tiếp theo, ta nhắc lại khái niệm đạo hàm và dưới vi phân của một hàm lồi. Giả sử hàm số ƒ : H —› lR, và z € HH. Ta nói: 20 a) ham f kha vi tai x nếu tồn tại véc tơ z* e HỈ sao cho lim f(y) — f(a) _ (x ;U—#) — 0, yor ly — «| véc to z* như thế được gọi là đạo hàm của ƒ tại z và được ký hiệu là Vƒ(z) hoặc /ƒf(z); b) hàm ƒ có dao ham theo huéng (directionally differentiable) d € H\{0} tai x nếu tồn tại giới hạn bạ (Œ t9) = Fle) t30+ t ta gọi giới hạn đó là dao hàm, theo hướng d của ƒ tại z và ký hiệu là ƒ/(z; đ).
Giả sử ƒ : H —› RU {+ee} là hàm lồi chính thường, + € HI được gọi là dưới đạo hàm (subgradient) của ƒ tại z nêu ƒ(u) > (0,u— +) + ƒ(+), Vụ € TL (1.1) Tập tất cả các dưới đạo hàm của ƒ tại z được gọi là dudi vi phan (subdifferential) của ƒ tại z và được ký hiệu là ؃(+). Hàm ƒ được gọi là khả dưới vi phân tai x néu Of(x) £0. Ham ƒ được gọi là khả đưới ti phân trên một tập nếu nó khả dưới vi phân tại mọi điểm thuộc tập đó. Từ đó ta có các kết quả sau.2] Gid si f : H + RU {+00} la ham Idi, chinh thường, khả dưới ơi phân.
Gid st C C HỈ là một tập lỗi, đóng, có miền trong khác rỗng, ƒ : H — RU {+oo} là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới oà khả dưới vi phân trên Ơ. Khi đó z0 là điểm cực tiểu của ƒ trên Ơ khi à chỉ khi 0 € Of (2°) + No(z9).