Luận án tiến sĩ về giải thuật tối ưu cho các bài toán cân bằng và điểm bất động

• Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Hà
• Người hướng dẫn: TS. Bùi Văn Định
• Trường học: Học viện Kỹ thuật Quân sự
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Thuật toán giải một số lớp bài toán cân bằng và điểm bất động
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Hà Nội

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản
• 1.2. Bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm
• 1.2.1. Một số trường hợp riêng của bài toán cân bằng
• 1.2.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng
• 1.3. Bài toán điểm bất động và một số phương pháp tìm điểm bất động
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG KHÔNG ĐƠN ĐIỆU
• 2.1. Thuật toán đạo hàm tăng cường và phương pháp chiếu nhúng
• 2.2. Một số thuật toán giải bài toán cân bằng không đơn điệu
• 2.3. Ví dụ minh họa
• 3. CHƯƠNG 3: HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỔ HỢP
• 3.1. Hệ bài toán cân bằng và bài toán cân bằng tổ hợp
• 3.2. Mối liên hệ giữa tập nghiệm của hệ bài toán cân bằng và bài toán cân bằng tổ hợp
• 4. CHƯƠNG 4: MỘT THUẬT TOÁN TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG
• 4.1. Một thuật toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động
• 4.2. Một số ví dụ minh họa
• KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
• HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
• DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Giải thuật hiệu quả

Luận án tập trung vào việc xây dựng giải thuật hiệu quả để giải quyết các bài toán cân bằng và điểm bất động. Các thuật toán được đề xuất nhằm giải quyết các bài toán không đơn điệu, một thách thức lớn trong lĩnh vực tối ưu hóa. Cụ thể, luận án sử dụng phương pháp chiếu nhúng kết hợp với tìm kiếm theo tia để đảm bảo tính hội tụ mạnh của thuật toán. Các kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có thể áp dụng vào các mô hình thực tế như mô hình cân bằng thị trường điện bán độc quyền Nash-Cournot.

1.1. Phương pháp chiếu nhúng

Phương pháp chiếu nhúng được sử dụng để giải các bài toán cân bằng không đơn điệu. Phương pháp này kết hợp với tìm kiếm theo tia, giúp đảm bảo tính hội tụ mạnh của thuật toán. Đây là một bước tiến quan trọng trong việc giải quyết các bài toán phức tạp mà các phương pháp truyền thống không thể áp dụng.

1.2. Ứng dụng thực tế

Các thuật toán được đề xuất đã được áp dụng thành công vào mô hình cân bằng thị trường điện bán độc quyền Nash-Cournot. Kết quả này cho thấy tiềm năng ứng dụng rộng rãi của các phương pháp được nghiên cứu trong luận án.

II. Bài toán cân bằng

Luận án nghiên cứu sâu về bài toán cân bằng, đặc biệt là các trường hợp không đơn điệu. Bài toán cân bằng được xem là một mô hình toán học thống nhất cho nhiều lớp bài toán quan trọng như tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, và điểm bất động. Luận án cũng chỉ ra rằng giả thiết về tính đơn điệu của các song hàm không đủ để đảm bảo sự tương đương giữa tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp và giao các tập nghiệm của các bài toán cân bằng riêng lẻ.

2.1. Sự tồn tại nghiệm

Luận án đã chứng minh các điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. Các điều kiện này bao gồm tính lồi, đóng của tập nghiệm và tính liên tục của song hàm.

2.2. Bài toán cân bằng tổ hợp

Luận án đã thiết lập điều kiện đủ để tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp bằng với giao các tập nghiệm của các bài toán cân bằng riêng lẻ. Điều này giúp đơn giản hóa việc giải các bài toán phức tạp.

III. Điểm bất động

Luận án cũng tập trung vào việc tìm điểm bất động của các ánh xạ trong không gian Hilbert. Điểm bất động có vai trò quan trọng trong cả lý thuyết và thực tiễn, đặc biệt là trong việc giải các phương trình và bất phương trình. Luận án đề xuất các phương pháp lặp mới để tìm điểm bất động của các ánh xạ tựa không giãn, mở rộng phạm vi ứng dụng của các phương pháp truyền thống.

3.1. Phương pháp lặp

Luận án sử dụng các phương pháp lặp như lặp Mann và lặp Halpern để tìm điểm bất động của các ánh xạ tựa không giãn. Các phương pháp này đảm bảo tính hội tụ mạnh và có thể áp dụng trong nhiều tình huống thực tế.

3.2. Ứng dụng trong tối ưu hóa

Các phương pháp tìm điểm bất động được áp dụng vào các bài toán tối ưu hóa, giúp cải thiện hiệu quả tính toán và mở rộng phạm vi ứng dụng của các thuật toán.

IV. Tối ưu hóa và ứng dụng

Luận án không chỉ tập trung vào lý thuyết mà còn nhấn mạnh vào việc tối ưu hóa và ứng dụng thực tiễn của các phương pháp được nghiên cứu. Các thuật toán được đề xuất đã được áp dụng vào các mô hình kinh tế, xử lý tín hiệu, và phân bổ tài nguyên mạng, cho thấy tiềm năng ứng dụng rộng rãi của các kết quả nghiên cứu.

4.1. Tối ưu hóa SEO

Các phương pháp tối ưu hóa được nghiên cứu trong luận án có thể áp dụng vào việc tối ưu hóa SEO, giúp cải thiện thứ hạng của website trên các công cụ tìm kiếm.

4.2. Trải nghiệm người dùng

Luận án cũng đề cập đến việc cải thiện trải nghiệm người dùng thông qua việc áp dụng các thuật toán tối ưu hóa, giúp tăng cường hiệu quả và sự hài lòng của người dùng.