Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Trương Minh Tuyên, thuộc chuyên ngành Toán Giải tích (mã số 62 46 01 02), dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Nguyễn Bường và GS. Jong Kyu Kim. Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên và bảo vệ vào năm 2013.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert hoặc không gian Banach là trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận lồi tổng quát: xác định một phần tử thuộc giao khác rỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng ${C_i}_{i \in I}$ trong không gian Hilbert $H$ hoặc không gian Banach $E$. Bài toán chấp nhận lồi giữ vị trí nền tảng trong nhiều lĩnh vực ứng dụng thực tiễn và kỹ thuật tính toán như xử lý ảnh số, khôi phục tín hiệu, mô hình hóa vật lý và y học.

Khi $C_i = \text{Fix}(T_i)$ với $\text{Fix}(T_i)$ là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn $T_i$ ($i = 1, 2, \dots, N$), các phương pháp lặp xấp xỉ cổ điển như phương pháp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern và phương pháp xấp xỉ mềm đã được phát triển. Điển hình, phương pháp lặp xoay vòng dựa trên thuật toán Halpern trong không gian Hilbert đòi hỏi tính giao hoán giữa các ánh xạ ($T_i T_j = T_j T_i$). Tuy nhiên, trong thực tế toán học, tính chất giao hoán bảo tồn tập điểm bất động không phải lúc nào cũng được thỏa mãn.

Bên cạnh đó, bài toán tìm điểm bất động chung của họ ánh xạ không giãn thuộc lớp bài toán đặt không chỉnh (ill-posed problems): nghiệm của bài toán nói chung không duy nhất và không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu. Những sai số nhỏ trong dữ liệu đầu vào có thể dẫn tới sự sai lệch lớn ở nghiệm xấp xỉ hoặc làm bài toán trở nên vô nghiệm. Đa số các thuật toán lặp cổ điển (như phương pháp điểm gần kề của Rockafellar hoặc điểm gần kề quán tính của Alvarez và Attouch) trong không gian Hilbert vô hạn chiều chỉ bảo đảm tính hội tụ yếu mà không đạt được hội tụ mạnh theo chuẩn. Đồng thời, các nghiên cứu trước đó chưa chú trọng đầy đủ đến việc đánh giá tính ổn định của nghiệm khi dữ liệu toán tử và miền xác định chịu tác động của nhiễu sai số.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Luận án tập trung giải quyết hai nhóm mục tiêu nghiên cứu cụ thể sau:

  1. Nghiên cứu phương pháp điểm gần kề dạng tham số: Thiết lập và chứng minh sự hội tụ mạnh cho thuật toán điểm gần kề dạng: $$\sum_{i=1}^N r_n A_i(x_{n+1}) + x_{n+1} = t_n u + (1 - t_n)x_n, \quad u, x_0 \in E, ; n \ge 0$$ với $A_i = I - T_i$ ($T_i$ là các ánh xạ không giãn trên không gian Banach $E$), khảo sát các biến thể mở rộng cho bài toán xác định không điểm của toán tử $m$-$j$-đơn điệu đa trị, đồng thời phân tích tính ổn định của phương pháp lặp theo hướng tiếp cận của Alber Y.
  2. Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh: Phát triển thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov dạng $\sum_{i=1}^N A_i(x_n) + \alpha_n(x_n - y) = \theta$ và phương pháp điểm gần kề quán tính kết hợp hiệu chỉnh cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn trên tập con lồi đóng $C$ sử dụng ánh xạ co rút không giãn theo tia $Q_C$; thiết lập các định lý hội tụ mạnh và đánh giá tính ổn định của nghiệm hiệu chỉnh khi dữ liệu có sai số.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, toán tử $j$-đơn điệu, toán tử $m$-$j$-đơn điệu đa trị, toán tử dưới vi phân của hàm lồi chính thường, ánh xạ giả co chặt và ánh xạ co rút không giãn theo tia.
  • Phạm vi không gian: Không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi đều, trơn đều, không gian có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy (như các không gian dãy $l_p$ với $1 < p < \infty$) và không gian Hilbert.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Tổng quan tài liệu trong luận án hệ thống hóa các hướng nghiên cứu nền tảng và các kết quả phát triển liên quan:

Các hướng nghiên cứu nền tảng

  • Lý thuyết bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh: Khái niệm bài toán đặt chỉnh được Hadamard J. (1932) đưa ra cho phương trình toán tử $A(x) = f$. Tikhonov A. (1963) xây dựng nguyên lý hiệu chỉnh thông qua toán tử hiệu chỉnh $R(f_\delta, \alpha)$ phụ thuộc mức sai số $\delta$ và tham số hiệu chỉnh $\alpha(\delta)$. Browder F. (1967) đề xuất phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân với toán tử phi tuyến đơn điệu trong không gian Banach phản xạ. Alber Y. (1998) nghiên cứu hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình đơn điệu dạng $A(x) + \alpha j(x - x_0) = f_\delta$ và chứng minh nghiệm hiệu chỉnh hội tụ mạnh về phần tử có chuẩn khoảng cách cực tiểu tới $x_0$.
  • Phương pháp điểm gần kề và điểm gần kề quán tính: Martinet B. (1970) đưa ra phương pháp điểm gần kề cho bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm lồi. Rockafellar R. (1976) phát triển phương pháp điểm gần kề $c_n A x_{n+1} + x_{n+1} \ni x_n$ cho toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, nhưng thuật toán chỉ đạt được hội tụ yếu (Guler, 1991; Bauschke, Matoušková và Reich, 2004 đã đưa ra các phản ví dụ về sự không hội tụ mạnh). Alvarez F. (2000) và Alvarez F. - Attouch H. (2001) đưa ra phương pháp điểm gần kề quán tính bổ sung số hạng quán tính $\gamma_n(x_n - x_{n-1})$, tuy nhiên kết quả hội tụ thu được trong không gian Hilbert vẫn chỉ ở dạng hội tụ yếu.
  • Các cải biên thu nhận hội tụ mạnh: Lehdili N. và Moudafi A. (1996) đề xuất phương pháp prox-Tikhonov kết hợp hiệu chỉnh với toán tử gần kề. Kamimura S. và Takahashi W. (2000), Kohsaka F. và Takahashi W. (2004), Kamimura S. - Kohsaka F. - Takahashi W. (2004), Xu H. (2006), Song Y. và Chen R. (2009) nghiên cứu các biến thể của toán tử giải $J_r^A = (I + rA)^{-1}$ trong không gian Hilbert và Banach lồi đều, trơn đều có xét đến sai số lặp $e_n$. Ryazantseva I. (2002) thiết lập điều kiện hội tụ mạnh cho toán tử $m$-$j$-đơn điệu trong không gian Banach.
  • Phương pháp hiệu chỉnh của Buong Ng.: Buong Ng. (2006) đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho hệ phương trình toán tử đơn điệu cực đại, đưa hệ về một phương trình duy nhất và chứng minh hội tụ mạnh. Buong Ng. (2008) lần đầu tiên kết hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh (phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh) cho bài toán cực trị đa mục tiêu với các dưới vi phân $\partial f_i$ trong không gian Hilbert. Tiếp đó, Buong Ng. và Duong N. (2010), Buong Ng. và Lang Ng. (2011) mở rộng phương pháp cho phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh và bài toán bất đẳng thức biến phân.
  • Các thuật toán lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn:
    • Lặp Mann (1953) và Krasnoselskii (1955): Dãy lặp Mann chuẩn tắc $x_{n+1} = (1 - \alpha_n)x_n + \alpha_n T(x_n)$ được Reich S. (1979), Nakajo K. và Takahashi W. (2003), Kim T. và Xu H. (2005) mở rộng trên không gian Banach.
    • Lặp Ishikawa (1974): Dãy hai bước được Tan K. và Xu H. (1993), Mutangadura S. (1996), Shahzad N. (2005), Rhoades B. và Soltuz S. (2004) nghiên cứu mở rộng cho họ hữu hạn ánh xạ thỏa mãn điều kiện inward hoặc điều kiện (B).
    • Lặp Halpern (1967): Thuật toán dạng $x_{n+1} = \alpha_n u + (1 - \alpha_n)T(x_n)$ được Wittmann R. (1992), Lions P. (1977), Xu H. (2002), Chidume C. (2006), Suzuki T. (2007), Hu L. (2007) mở rộng với các điều kiện tham số lặp.
    • Lặp xoay vòng cho họ ánh xạ: Bauschke H. (1996), O'Hara J. - Pillay P. - Xu H. (2006), Iiduka H. - Takahashi W. - Toyoda M. (2004), Chen R. - Song Y. - Zhou H. (2007) phát triển phương pháp xoay vòng $x_{n+1} = \lambda_n y + (1 - \lambda_n)T_{n+1} x_n$ ($T_n = T_{n \pmod N}$).
  • Các nghiên cứu trong nước: Anh P. và cộng sự (2004, 2009) nghiên cứu kết hợp ánh xạ co với điểm gần kề và thuật toán song song cho toán tử xác định dương; Thuy N. (2011) nghiên cứu bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ vô hạn ánh xạ không giãn.

Vị trí và khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án của Trương Minh Tuyên kế thừa tư tưởng thuật giải của Buong Ng. (2006, 2008) và kỹ thuật đánh giá hình học của Alber Y. (2000), định vị trọng tâm vào việc giải quyết bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach mà không yêu cầu điều kiện giao hoán giữa các ánh xạ. Đồng thời, luận án thiết lập sự hội tụ mạnh (thay vì hội tụ yếu) và xây dựng hệ thống chứng minh toán học chặt chẽ về tính ổn định của các phương pháp lặp trước sự xuất hiện của các sai số nhiễu trong dữ liệu đầu vào.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cấu trúc hình học không gian Banach và các lớp toán tử

Luận án vận dụng hệ thống định nghĩa, tính chất hình học và các lớp toán tử giải tích phi tuyến trong không gian Banach:

Khái niệm / Cấu trúc Ký hiệu / Định nghĩa toán học Ý nghĩa trong phân tích hội tụ
Không gian Banach phản xạ $E \cong E^{}$ (mọi phần tử $x^{} \in E^{**}$ có $x \in E$ tương ứng) Mọi dãy bị chặn đều chứa dãy con hội tụ yếu
Mô đun lồi $\delta_E(\varepsilon) = \inf \left{ 1 - \left|\frac{x+y}{2}\right| : |x| \le 1, |y| \le 1, |x-y| \ge \varepsilon \right}$ Đo lường độ lồi; $\delta_E(\varepsilon) > 0, \forall \varepsilon > 0$ đặc trưng cho không gian lồi đều
Mô đun trơn $\rho_E(\tau) = \sup \left{ \frac{|x+y| + |x-y|}{2} - 1 : |x| = 1, |y| = \tau \right}$ $\lim_{\tau \to 0} \frac{\rho_E(\tau)}{\tau} = 0$ đặc trưng cho không gian trơn đều
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $J(x) = {f \in E^* : \langle x, f\rangle = |x|^2, |f| = |x|}$ Đơn trị (ký hiệu $j$) khi $E^*$ lồi chặt; liên tục đều trên tập bị chặn khi $E$ trơn đều
Toán tử $j$-đơn điệu & $m$-$j$-đơn điệu $\langle u - v, j(x - y)\rangle \ge 0, \forall u \in A(x), v \in A(y)$; $R(I + \lambda A) = E, \forall \lambda > 0$ $T$ không giãn $\Rightarrow A = I - T$ là $j$-đơn điệu; $T: E \to E$ thì $I - T$ là $m$-$j$-đơn điệu
Ánh xạ co rút không giãn theo tia $Q_C: E \to C$, $Q_C^2 = Q_C$, $|Q_C(x) - Q_C(y)| \le |x-y|$, $Q_C(Q_C(x) + t(x - Q_C(x))) = Q_C(x)$ Đặc trưng bởi $\langle x - Q_C(x), j(\xi - Q_C(x))\rangle \le 0, \forall x \in E, \xi \in C$ trong không gian trơn
Khoảng cách Hausdorff $H(A, B) = \max \left{ \sup_{u \in A} d(u, B), \sup_{v \in B} d(v, A) \right}$ Đánh giá mức độ xấp xỉ giữa các tập ảnh và toán tử đa trị

Các bổ đề và công cụ bổ trợ

  1. Bất đẳng thức Alber (2000): Trong không gian Banach trơn đều $E$, với mọi $x, y \in E$: $$|x + y|^2 \le |x|^2 + 2\langle y, j(x)\rangle + c\rho_E(|y|)$$ trong đó $c = 48 \max(L, |x|, |y|)$ và $L$ là hằng số Figiel ($1 < L < 1.7$).
  2. Bất đẳng thức hình học lồi đều (Alber, 2000): Trong không gian Banach lồi đều và trơn đều: $$|x - y|^2 \le |x|^2 - 2\langle y, j(x)\rangle + 4R^2 \delta_E^{-1}\left( \frac{L |x - y|}{4R} \right)$$
  3. Nguyên lý demi-đóng: Cho $E$ là không gian Banach phản xạ có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy, $C \subset E$ lồi đóng và $T: C \to E$ không giãn. Khi đó $I - T$ là demi-đóng trên $C$ (tức là $x_n \rightharpoonup x$ và $(I - T)x_n \to y$ suy ra $x \in C$ và $(I - T)x = y$).
  4. Bổ đề giải tích dãy số thực: Cho dãy không âm ${a_n}$ thỏa mãn $a_{n+1} \le (1 - \lambda_n)a_n + \lambda_n \beta_n + \gamma_n$, với $\lambda_n \in (0, 1)$, $\sum \lambda_n = \infty$, $\limsup \beta_n \le 0$ và $\sum |\gamma_n| < \infty$, khi đó $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng thuần túy phương pháp giải tích hàm định lượng và lý thuyết toán tử phi tuyến:

  • Quy đổi bài toán tìm điểm bất động chung của họ ánh xạ không giãn ${T_i}{i=1}^N$ về bài toán tìm không điểm của tổng toán tử $A = \sum{i=1}^N (I - T_i)$, chứng minh $A$ là toán tử $m$-$j$-đơn điệu.
  • Xây dựng các lược đồ lặp toán tử kết hợp các tham số hiệu chỉnh, tham số bước lặp và số hạng quán tính.
  • Đánh giá sự hội tụ mạnh thông qua kỹ thuật hàm Lyapunov giải tích, tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $j$, tính chất compắc tương đối yếu trong không gian phản xạ và nguyên lý demi-đóng.
  • Phân tích tính ổn định dưới tác động của nhiễu bằng phương pháp chặn sai số Hausdorff và các đánh giá mêtric.
  • Thực hiện thử nghiệm số trên các bài toán mẫu (như hệ phương trình đại số tuyến tính, phương trình phi tuyến) để minh họa tính hội tụ của thuật toán.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 đóng vai trò hệ thống hóa toàn bộ cơ sở lý thuyết chuẩn bị cho các chứng minh chính ở các chương sau:

  • Trình bày chi tiết các đặc trưng hình học không gian Banach: tính lồi chặt, lồi đều thông qua mô đun lồi $\delta_E(\varepsilon)$, tính trơn và trơn đều thông qua mô đun trơn $\rho_E(\tau)$, các tính chất vi phân chuẩn Gâteaux và Fréchet.
  • Phân tích tính chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $J$ (và dạng đơn trị $j$): tính lẻ, thuần nhất dương, bị chặn, liên tục đều trên tập bị chặn trong không gian trơn đều, và tính liên tục yếu theo dãy trong các không gian dãy $l_p$ ($p > 1$).
  • Trình bày định nghĩa và tính chất của toán tử đơn điệu cực đại, toán tử $j$-đơn điệu, toán tử $m$-$j$-đơn điệu. Luận án chứng minh Mệnh đề 1.4: nếu $T_i: E \to E$ ($i = 1, \dots, N$) là các ánh xạ không giãn thì tổng $A = \sum_{i=1}^N (I - T_i)$ là toán tử $m$-$j$-đơn điệu trên $E$.
  • Giới thiệu khái niệm ánh xạ co rút không giãn theo tia $Q_C: E \to C$ và tiêu chuẩn đặc trưng thông qua bất đẳng thức biến phân $\langle x - Q_C(x), j(\xi - Q_C(x))\rangle \le 0, \forall \xi \in C$.
  • Tổng quan cấu trúc bài toán đặt không chỉnh theo Hadamard, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov của Alber Y., phương pháp điểm gần kề Rockafellar, điểm gần kề quán tính của Alvarez-Attouch, phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh của Buong Ng.
  • Tổng thuật các phương pháp xấp xỉ điểm bất động cổ điển (Mann, Ishikawa, Halpern, thuật toán chiếu xoay vòng Bauschke) và chỉ ra điểm hạn chế: tính phụ thuộc vào điều kiện giao hoán $T_i T_j = T_j T_i$ và việc thiếu phân tích tính ổn định của lời giải.

Chương 2. Phương pháp điểm gần kề

Chương 2 trình bày có hệ thống các kết quả nghiên cứu về phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm điểm bất động chung của họ hữu hạn ánh xạ không giãn và toán tử $m$-$j$-đơn điệu:

[Khởi tạo x0, u ∈ E] 
[Giải phương trình đơn điệu tại bước n+1]
 ∑ Ai(x_{n+1}) + x_{n+1} = tn*u + (1 - tn)*x_n
[Đánh giá tính bị chặn & hiệu x_{n+2} - x_{n+1}]
 ‖x_{n+2} - x_{n+1}‖ ≤ (1 - t_{n+1})‖x_{n+1} - x_n‖ + 2K|t_{n+1} - tn|
[Áp dụng Nguyên lý Demi-đóng & Bất đẳng thức Alber]
 Ai(x_{n+1}) → 0  ==>  Dãy con hội tụ yếu về x* ∈ S
[Hội tụ mạnh theo chuẩn]
  • Thuật toán điểm gần kề chính (Định lý 2.1): Trong không gian Banach lồi đều và trơn đều $E$ có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $j$ liên tục yếu theo dãy, cho $T_1, \dots, T_N$ là các ánh xạ không giãn với $S = \bigcap_{i=1}^N \text{Fix}(T_i) \neq \emptyset$. Với $u, x_0 \in E$, dãy ${x_n}$ xác định duy nhất bởi: $$\sum_{i=1}^N A_i(x_{n+1}) + x_{n+1} = t_n u + (1 - t_n)x_n, \quad A_i = I - T_i$$ Nếu dãy tham số ${t_n} \subset (0, 1)$ thỏa mãn một trong hai nhóm điều kiện:
    1. $\lim_{n \to \infty} t_n = 0$, $\sum_{n=1}^\infty t_n = \infty$, $\lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{t_{n+1}} = 1$; hoặc
    2. $\lim_{n \to \infty} t_n = 0$, $\sum_{n=1}^\infty t_n = \infty$, $\sum_{n=1}^\infty |t_n - t_{n+1}| < \infty$, thì dãy ${x_n}$ hội tụ mạnh về $Q_S(u)$, trong đó $Q_S$ là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ $E$ lên $S$.
  • Phân tích tính ổn định: Thiết lập các định lý về tính ổn định của dãy lặp ${x_n}$ khi phương trình lặp xuất hiện sai số tính toán $e_n$ và toán tử $A_i$ bị nhiễu bởi các toán tử xấp xỉ $A_i^h$ thỏa mãn điều kiện xấp xỉ kiểu khoảng cách Hausdorff.
  • Mở rộng cho toán tử $m$-$j$-đơn điệu đa trị: Mở rộng kết quả của Xu H. (2006) từ không gian Hilbert sang không gian Banach trơn đều cho bài toán tìm không điểm của toán tử $m$-$j$-đơn điệu đa trị.
  • Ứng dụng và tính toán số: Áp dụng phương pháp điểm gần kề giải bài toán tìm điểm bất động chung của họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach; cung cấp các ví dụ tính toán số cụ thể minh họa tốc độ hội tụ và sai số nghiệm.

Chương 3. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh

Chương 3 phát triển các thuật toán kết hợp nguyên lý hiệu chỉnh Tikhonov và số hạng quán tính:

  • Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Nghiên cứu nghiệm của phương trình hiệu chỉnh: $$\sum_{i=1}^N A_i(x_n) + \alpha_n(x_n - y) = \theta, \quad y \in C$$ với $A_i = I - T_i$, $T_i: C \to C$ là các ánh xạ không giãn trên tập con lồi đóng $C$. Luận án chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm ${x_n}$ về phần tử $Q_S(y)$ khi tham số hiệu chỉnh $\alpha_n \to 0$.
  • Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh: Xây dựng thuật toán kết hợp bước nhảy quán tính $\gamma_n(u_n - u_{n-1})$ với số hạng hiệu chỉnh Tikhonov dưới dạng: $$u_{n+1} = Q_C\left( u_n + \gamma_n(u_n - u_{n-1}) - \dots \right)$$ trong đó $Q_C$ là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ $E$ lên $C$. Luận án chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp ${u_n}$ về điểm bất động chung thuộc $S = \bigcap_{i=1}^N \text{Fix}(T_i)$.
  • Khảo sát tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh: Thiết lập các điều kiện tương thích giữa tham số hiệu chỉnh $\alpha_n$, hệ số quán tính $\gamma_n$ và mức độ sai số dữ liệu $\delta_n, h_n$ để đảm bảo tính ổn định và sự hội tụ mạnh của nghiệm xấp xỉ về nghiệm chính xác.
  • Ứng dụng chuyên biệt: Ứng dụng giải bài toán điểm bất động chung của họ ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach; trình bày kết quả thực nghiệm tính toán số, thống kê các đại lượng: số bước lặp ($n_{\max}$), thời gian tính toán ($t_g$), sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác ($\text{err}$).

Kết quả và những đóng góp mới

Dựa trên các nội dung khoa học được trình bày trong luận án, các kết quả và đóng góp mới bao gồm:

  1. Xây dựng thuật toán điểm gần kề không cần điều kiện giao hoán: Luận án đề xuất phương pháp điểm gần kề dạng tham số cho họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều và trơn đều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy. Thuật toán khắc phục triệt để yêu cầu về tính giao hoán giữa các ánh xạ ($T_i T_j = T_j T_i$) vốn là hạn chế lớn của các phương pháp lặp xoay vòng trước đó.
  2. Thiết lập định lý hội tụ mạnh trong không gian Banach: Khác với các phương pháp điểm gần kề cổ điển và điểm gần kề quán tính trong không gian Hilbert vô hạn chiều chỉ đạt được hội tụ yếu, các định lý trong luận án chứng minh dãy lặp hội tụ mạnh theo chuẩn về điểm bất động chung (cụ thể là hình chiếu co rút không giãn theo tia $Q_S(u)$).
  3. Mở rộng kết quả cho toán tử $m$-$j$-đơn điệu: Mở rộng thành công các kết quả của Xu H. (2006) và Song Y. - Chen R. (2009) cho bài toán xác định không điểm của toán tử $m$-$j$-đơn điệu đa trị trên không gian Banach trơn đều.
  4. Phát triển phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh trên tập lồi đóng: Kết hợp thành công kỹ thuật hiệu chỉnh Tikhonov, số hạng gia tốc quán tính và ánh xạ co rút không giãn theo tia $Q_C$ để tìm điểm bất động chung của họ ánh xạ không giãn trên tập con lồi đóng $C \subset E$.
  5. Đánh giá toàn diện tính ổn định của nghiệm: Thiết lập các định lý toán học xác định điều kiện ổn định của phương pháp điểm gần kề và các phương pháp hiệu chỉnh khi dữ liệu đầu vào (toán tử, vế phải, miền xác định) chứa sai số nhiễu theo hướng tiếp cận của Alber Y.
  6. Ứng dụng và kiểm chứng số học: Vận dụng hiệu quả các kết quả lý thuyết vào giải bài toán tìm điểm bất động chung của họ ánh xạ giả co chặt và bài toán chấp nhận lồi, cung cấp các ví dụ tính toán số cụ thể minh chứng cho tính khả thi của các thuật toán.

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại Hội nghị khoa học quốc tế "Methods of modern mathematical analysis and applications" (Hà Nội - Thái Nguyên, 2010), Hội thảo Quốc gia lần thứ XV "Một số vấn đề chọn lọc về công nghệ thông tin và truyền thông" (Hà Nội, 2012) và các seminar chuyên ngành Giải tích tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Căn cứ theo nội dung phát biểu bài toán và phần kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo trong luận án:

Hạn chế phạm vi nghiên cứu

  • Cấu trúc không gian Banach đòi hỏi các giả thiết chặt chẽ: không gian phải đồng thời lồi đều và trơn đều, kèm theo điều kiện ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $j$ phải liên tục yếu theo dãy (tính chất này thỏa mãn trong $l_p$ với $1 < p < \infty$ nhưng không thỏa mãn trong các không gian hàm $L_p(\Omega)$).
  • Nghiên cứu tập trung chủ yếu vào họ hữu hạn các ánh xạ không giãn ($N < \infty$); chưa mở rộng trực tiếp cho các họ vô hạn hoặc họ liên tục các ánh xạ.

Hướng nghiên cứu tiếp theo

Luận án đề xuất các định hướng nghiên cứu phát triển tiếp theo bao gồm:

  1. Mở rộng các phương pháp điểm gần kề và điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach.
  2. Nghiên cứu áp dụng các thuật toán hiệu chỉnh cho các lớp toán tử tổng quát hơn như toán tử tựa đơn điệu, toán tử giả đơn điệu và bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát, bài toán cân bằng trên không gian Banach.
  3. Tìm kiếm các điều kiện nới lỏng cấu trúc hình học của không gian Banach (loại bỏ hoặc làm yếu giả thiết về tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc).
  4. Tối ưu hóa việc lựa chọn các dãy tham số lặp ${t_n}$, tham số hiệu chỉnh ${\alpha_n}$ và hệ số quán tính ${\gamma_n}$ nhằm tăng tốc độ hội tụ trong tính toán thực tế.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo dành cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên ngành Toán Giải tích, Toán Ứng dụng: Tham khảo hệ thống phương pháp luận chứng minh hội tụ mạnh trong không gian Banach, kỹ thuật sử dụng mô đun lồi $\delta_E(\varepsilon)$, mô đun trơn $\rho_E(\tau)$, bất đẳng thức Alber và nguyên lý demi-đóng.
  • Nhà nghiên cứu lý thuyết tối ưu và bài toán đặt không chỉnh: Vận dụng nguyên lý hiệu chỉnh Tikhonov kết hợp số hạng quán tính để xử lý các bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu, giải hệ phương trình toán tử phi tuyến và bất đẳng thức biến phân có dữ liệu nhiễu.
  • Các nhà khoa học trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và khoa học tính toán: Tham khảo thuật toán giải bài toán chấp nhận lồi và kỹ thuật xấp xỉ điểm bất động phục vụ khôi phục tín hiệu và tái tạo ảnh số.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao bài toán tìm điểm bất động chung của họ ánh xạ không giãn lại là bài toán đặt không chỉnh?

Bài toán tìm điểm bất động chung $\bigcap_{i=1}^N \text{Fix}(T_i)$ nói chung không thỏa mãn các điều kiện đặt chỉnh của Hadamard: nghiệm của bài toán không duy nhất và nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu. Một thay đổi nhỏ trong toán tử $T_i$ hoặc miền xác định có thể làm nghiệm xấp xỉ thay đổi lớn hoặc làm bài toán trở nên vô nghiệm (tương tự như bài toán giải hệ phương trình đại số tuyến tính có ma trận suy biến hoặc bài toán tìm véctơ riêng ứng với giá trị riêng bằng 1 của toán tử có chuẩn bằng 1).

2. Kỹ thuật chuyển đổi từ bài toán điểm bất động sang bài toán không điểm toán tử được thực hiện như thế nào?

Nếu $T$ là ánh xạ không giãn trên không gian Banach $E$, thì toán tử $A = I - T$ là toán tử $j$-đơn điệu. Khi $T: E \to E$, toán tử $A = I - T$ là $m$-$j$-đơn điệu. Theo Mệnh đề 1.4 của luận án, tổng $A = \sum_{i=1}^N (I - T_i)$ của họ hữu hạn các ánh xạ không giãn là một toán tử $m$-$j$-đơn điệu trên $E$. Do đó, bài toán tìm điểm bất động chung $x^* \in \bigcap_{i=1}^N \text{Fix}(T_i)$ tương đương hoàn toàn với bài toán tìm không điểm của toán tử $A$: xác định $x^* \in E$ sao cho $A(x^*) = \theta$.

3. Phương pháp của luận án khắc phục nhược điểm của phương pháp lặp xoay vòng (cyclic iteration) như thế nào?

Phương pháp lặp xoay vòng (như lược đồ của Bauschke H.) yêu cầu tính chất giao hoán của các ánh xạ ($T_i T_j = T_j T_i$) để bảo đảm tập điểm bất động chung không bị thay đổi khi hoán đổi thứ tự thực hiện ánh xạ. Luận án giải quyết trực tiếp bài toán thông qua toán tử tổng $\sum_{i=1}^N (I - T_i)$ kết hợp với phương pháp điểm gần kề và hiệu chỉnh Tikhonov, loại bỏ hoàn toàn yêu cầu về tính giao hoán giữa các ánh xạ $T_i$.

4. Ánh xạ co rút không giãn theo tia (sunny nonexpansive retraction) có vai trò gì trong luận án?

Trong không gian Hilbert, phép chiếu mêtric $P_C$ lên tập con lồi đóng $C$ luôn là co rút không giãn theo tia. Tuy nhiên trong không gian Banach trơn, phép chiếu mêtric không còn giữ nguyên tính chất không giãn. Do đó, luận án sử dụng ánh xạ co rút không giãn theo tia $Q_C$ (được đặc trưng duy nhất bởi bất đẳng thức $\langle x - Q_C(x), j(\xi - Q_C(x))\rangle \le 0, \forall \xi \in C$) làm công cụ thay thế phép chiếu mêtric để xác định nghiệm hình chiếu và thiết lập thuật toán lặp trên tập lồi đóng $C$.

5. Điều kiện cấu trúc nào của không gian Banach là bắt buộc để chứng minh sự hội tụ mạnh trong Định lý 2.1?

Định lý 2.1 đòi hỏi không gian Banach $E$ phải lồi đều và trơn đều, đồng thời ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $j: E \to E^$ phải có tính liên tục yếu theo dãy (nếu $x_n \rightharpoonup x$ thì $j(x_n) \overset{}{\rightharpoonup} j(x)$). Dãy tham số lặp ${t_n} \subset (0, 1)$ phải thỏa mãn $\lim_{n \to \infty} t_n = 0$, $\sum_{n=1}^\infty t_n = \infty$, kèm theo điều kiện $\lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{t_{n+1}} = 1$ hoặc $\sum_{n=1}^\infty |t_n - t_{n+1}| < \infty$.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của Trương Minh Tuyên đã giải quyết bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach thông qua việc phát triển phương pháp điểm gần kề tham số, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh. Công trình đã thiết lập các định lý hội tụ mạnh mà không cần giả thiết về tính giao hoán của các ánh xạ, đồng thời xây dựng cơ sở toán học đánh giá tính ổn định của các phương pháp lặp trước sự tác động của sai số dữ liệu. Các kết quả lý thuyết được mở rộng cho lớp toán tử $m$-$j$-đơn điệu đa trị và ứng dụng hiệu quả vào bài toán ánh xạ giả co chặt cũng như bài toán chấp nhận lồi.