I. Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân
Phương pháp lặp là một công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán bất đẳng thức biến phân (BĐTBP) trên tập điểm bất động trong không gian Banach. Luận án tập trung vào việc xây dựng các phương pháp lặp ẩn và lặp hiện dựa trên tư tưởng của phương pháp lai ghép đường dốc. Các phương pháp này được áp dụng cho BĐTBP j-đơn điệu trong không gian Banach lồi đều và có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Phương pháp lặp đơn và phương pháp lặp kép được nghiên cứu để đảm bảo sự hội tụ mạnh của dãy lặp về nghiệm của bài toán.
1.1. Phương pháp lặp ẩn
Phương pháp lặp ẩn được xây dựng dựa trên việc kết hợp phương pháp lai ghép đường dốc với các kỹ thuật lặp tìm điểm bất động. Phương pháp này không yêu cầu tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, giúp mở rộng phạm vi áp dụng sang các không gian Banach tổng quát hơn. Ví dụ, trong không gian Lp[a, b], phương pháp này vẫn đảm bảo sự hội tụ mạnh của dãy lặp.
1.2. Phương pháp lặp hiện
Phương pháp lặp hiện sử dụng kỹ thuật lặp hiện kết hợp với phương pháp lai ghép đường dốc để giải BĐTBP. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả trong các không gian Banach q-trơn đều, nơi mà các phương pháp truyền thống gặp khó khăn. Các ví dụ số minh họa được đưa ra để chứng minh tính hiệu quả và độ chính xác của phương pháp.
II. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Banach là một chủ đề nghiên cứu quan trọng. Luận án tập trung vào việc giải quyết bài toán này bằng cách sử dụng phương pháp lai ghép đường dốc và phương pháp hiệu chỉnh. Các phương pháp này không chỉ đảm bảo sự hội tụ mạnh của nghiệm mà còn mở rộng phạm vi áp dụng sang các không gian Banach tổng quát hơn.
2.1. Phương pháp lai ghép đường dốc
Phương pháp lai ghép đường dốc được đề xuất bởi Yamada (2001) là một phương pháp hiệu quả để giải BĐTBP trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn. Phương pháp này kết hợp giữa phương pháp lặp và phương pháp tối ưu hóa để đảm bảo sự hội tụ mạnh của dãy lặp. Các ví dụ số minh họa được đưa ra để chứng minh tính hiệu quả của phương pháp.
2.2. Phương pháp hiệu chỉnh
Phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov được sử dụng để giải BĐTBP trong không gian Banach. Phương pháp này kết hợp với phương pháp điểm gần kề quán tính để xây dựng các thuật toán hiệu chỉnh ổn định. Các kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp này có thể áp dụng hiệu quả trong các không gian Banach lồi đều và có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
III. Ứng dụng và kết quả thực nghiệm
Luận án không chỉ tập trung vào lý thuyết mà còn đưa ra các ứng dụng thực tế và kết quả thực nghiệm của các phương pháp được đề xuất. Các ví dụ số minh họa được thực hiện trong các không gian Banach cụ thể như lp và Lp[a, b] để chứng minh tính hiệu quả và độ chính xác của các phương pháp. Các kết quả này đã được công bố trong các bài báo khoa học và trình bày tại các hội thảo quốc tế.
3.1. Ví dụ số minh họa
Các ví dụ số minh họa được thực hiện để so sánh sai số tuyệt đối của các phương pháp lặp ẩn và lặp hiện. Kết quả cho thấy các phương pháp đề xuất có độ chính xác cao và hội tụ nhanh hơn so với các phương pháp truyền thống. Các ví dụ này cũng chứng minh tính ổn định của các phương pháp trong các không gian Banach tổng quát.
3.2. Kết quả công bố
Các kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố trong các bài báo khoa học và trình bày tại các hội thảo quốc tế như Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học và Đại hội Toán học Toàn quốc. Các công bố này đã nhận được sự đánh giá cao từ cộng đồng khoa học và góp phần vào sự phát triển của lý thuyết BĐTBP trong không gian Banach.
