Phương Pháp Giải Quy Hoạch Toàn Phương Chuyên Ngành Toán Ứng Dụng

• Tác giả: Vũ Thị Đào
• Người hướng dẫn: GS. Trần Vũ Thiệu
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng
• Đề tài: Phương Pháp Giải Quy Hoạch Toàn Phương
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học
• Năm xuất bản: 2011
• Địa điểm: Thái Nguyên

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. TẬP AFIN VÀ TẬP LỒI
• 1.2. HÀM TOÀN PHƯƠNG VÀ HÀM LỒI
• 1.2.1. Ma trận xác định dương
• 1.2.2. Hàm toàn phương và hàm lồi
• 1.3. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TOÀN PHƯƠNG LỒI
• 1.4. BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN
• 1.5. PHÂN TÍCH CHOLESKY VÀ PHÂN TÍCH QR
• 1.5.1. Phân tích Cholesky
• 1.5.2. Phân tích QR
• 2. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TOÀN PHƯƠNG
• 2.1. ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
• 2.2. BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
• 2.3. QUAN HỆ ĐỐI NGẪU
• 3. PHƯƠNG PHÁP KHỬ BIẾN SỐ
• 3.1. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
• 3.2. VÍ DỤ MINH HỌA
• 3.3. PHƯƠNG PHÁP KHỬ SUY RỘNG
• 3.4. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE
• 4. PHƯƠNG PHÁP TẬP TÍCH CỰC
• 4.1. BÀI TOÁN VÀ Ý TƯỞNG THUẬT TOÁN
• 4.2. PHƯƠNG PHÁP TẬP TÍCH CỰC
• 4.2.1. Hàm mục tiêu lồi
• 4.2.2. Các bước thuật toán
• 4.2.3. Thuật toán tập tích cực
• 4.2.4. Ví dụ minh họa
• 4.3. SỰ HỘI TỤ CỦA THUẬT TOÁN
• 4.4. HÀM MỤC TIÊU KHÔNG LỒI
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Quy Hoạch Toàn Phương Tổng Quan Ứng Dụng Tầm Quan Trọng

Quy hoạch toàn phương (QP) là bài toán quy hoạch phi tuyến đơn giản nhất, tìm cực tiểu của hàm bậc hai với ràng buộc tuyến tính. Nếu hàm toàn phương xác định dương hoặc nửa xác định dương, ta có quy hoạch toàn phương lồi. Ngược lại, nếu hàm không xác định, ta có quy hoạch toàn phương không lồi. Bài toán này quan trọng vì nhiều vấn đề kinh tế, tài chính, công nghiệp có thể được mô hình hóa thành QP. Luận văn này trình bày nội dung bài toán QP, điều kiện tối ưu, lý thuyết đối ngẫu trong QP lồi và hai phương pháp giải phổ biến: phương pháp khử biến và phương pháp tập tích cực. Việc hiểu QP rất cần thiết để áp dụng vào các bài toán tối ưu khác. Từ khóa quan trọng: Quy hoạch toàn phương, tối ưu phi tuyến, ràng buộc tuyến tính.

1.1. Bài toán Quy Hoạch Toàn Phương Lồi Khái niệm và đặc điểm

Quy hoạch toàn phương lồi tìm cực tiểu của hàm lồi bậc hai với ràng buộc tuyến tính. Dạng chính tắc: f(x) = p0 + <p, x> + 1/2<x, Cx> -> min, Ax = b, x >= 0. Dạng chuẩn tắc: f(x) = p0 + <p, x> + 1/2<x, Cx> -> min, Ax >= b, x >= 0. C là ma trận vuông đối xứng nửa xác định dương. A là ma trận ràng buộc. Bài toán này là mở rộng của quy hoạch tuyến tính. Từ khóa LSI: Hàm lồi, ràng buộc tuyến tính, ma trận nửa xác định dương.

1.2. Ứng dụng thực tiễn của Quy Hoạch Toàn Phương trong Kinh Tế Kỹ Thuật

Nhiều vấn đề thực tiễn có thể diễn đạt dưới dạng bài toán quy hoạch toàn phương. Ví dụ: bài toán lựa chọn vốn đầu tư cổ phiếu, bài toán khẩu phần thức ăn (hàm mục tiêu bậc hai), cân bằng hóa học, phân phối tài nguyên, mạng điện, cơ học kết cấu, phân tích hồi quy. Khi C = 0, bài toán trở thành quy hoạch tuyến tính. QP lồi là cầu nối giữa quy hoạch tuyến tính và quy hoạch lồi. Từ khóa LSI: Quản lý danh mục đầu tư, tối ưu hóa khẩu phần, phân tích hồi quy.

II. Vấn Đề Thách Thức Khi Giải Bài Toán Quy Hoạch Toàn Phương

Giải quyết bài toán QP, đặc biệt là QP không lồi, đối mặt với nhiều thách thức. QP không lồi có thể có nhiều cực tiểu địa phương, khiến việc tìm cực tiểu toàn cục trở nên khó khăn. Các phương pháp giải QP lồi thường hiệu quả hơn, nhưng vẫn đòi hỏi thuật toán mạnh mẽ để xử lý các bài toán quy mô lớn. Độ phức tạp tính toán là một vấn đề quan trọng. Việc lựa chọn thuật toán phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm cụ thể của bài toán. Từ khóa quan trọng: Quy hoạch toàn phương không lồi, độ phức tạp tính toán, cực tiểu địa phương.

2.1. Xác định Tính Lồi của Bài Toán Quy Hoạch Toàn Phương

Việc xác định tính lồi của bài toán là bước quan trọng. Nếu ma trận C (trong hàm mục tiêu) là nửa xác định dương, bài toán là lồi và có thể giải bằng các phương pháp hiệu quả. Nếu C không xác định, bài toán trở nên khó hơn. Kiểm tra tính xác định dương của ma trận C là một thách thức về mặt tính toán đối với bài toán quy mô lớn. Từ khóa LSI: Ma trận xác định dương, tiêu chí lồi, kiểm tra ma trận.

2.2. Khó khăn trong việc tìm kiếm nghiệm tối ưu toàn cục trong QHTT không lồi

Quy hoạch toàn phương không lồi (QHTT không lồi) là bài toán tối ưu hóa mà hàm mục tiêu là một hàm bậc hai và không lồi. Điều này có nghĩa là hàm mục tiêu có thể có nhiều điểm cực tiểu địa phương, khiến việc tìm kiếm điểm cực tiểu toàn cục trở nên khó khăn. Các phương pháp giải QHTT không lồi thường có độ phức tạp tính toán cao và có thể không đảm bảo tìm được nghiệm tối ưu toàn cục. Từ khóa LSI: Điểm cực tiểu địa phương, độ phức tạp tính toán, phương pháp nhánh và cận.

III. Phương Pháp Khử Biến Số Giải Pháp Hiệu Quả Cho QHTT Đẳng Thức

Phương pháp khử biến số là kỹ thuật giải QP với ràng buộc đẳng thức tuyến tính. Ý tưởng chính là loại bỏ một số biến bằng cách sử dụng các ràng buộc đẳng thức, giảm số chiều của bài toán. Bài toán ban đầu được chuyển thành bài toán không ràng buộc, có thể giải bằng các phương pháp tìm cực tiểu tự do. Phương pháp này hiệu quả khi số lượng ràng buộc đẳng thức lớn. Từ khóa quan trọng: Khử biến số, ràng buộc đẳng thức, giảm số chiều.

3.1. Hướng dẫn chi tiết các bước thực hiện khử biến số trong QHTT

Các bước chính bao gồm: 1) Sử dụng ràng buộc đẳng thức để biểu diễn một số biến qua các biến còn lại. 2) Thay thế các biến này vào hàm mục tiêu, thu được hàm mục tiêu mới chỉ phụ thuộc vào các biến còn lại. 3) Giải bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu mới. 4) Tìm giá trị của các biến đã khử từ nghiệm của bài toán không ràng buộc. Từ khóa LSI: Thay thế biến, bài toán không ràng buộc, thuật toán khử biến số.

3.2. Ví dụ minh họa Phương Pháp Khử Biến Số trong Toán Ứng Dụng

Xét bài toán: min {x1^2 + x2^2: x1 + x2 = 1}. Sử dụng ràng buộc x1 + x2 = 1, ta có x2 = 1 - x1. Thay vào hàm mục tiêu: f(x1) = x1^2 + (1 - x1)^2. Tìm cực tiểu của f(x1): f'(x1) = 2x1 - 2(1 - x1) = 0 => x1 = 0.5. Suy ra x2 = 0.5. Nghiệm tối ưu là (0.5, 0.5). Ví dụ này minh họa cách phương pháp khử biến số đơn giản hóa bài toán. Từ khóa LSI: Bài toán ví dụ, cực tiểu hóa hàm, ứng dụng phương pháp.

IV. Phương Pháp Tập Tích Cực Giải QHTT Bất Đẳng Thức Đánh Giá Hội Tụ

Phương pháp tập tích cực là thuật toán giải QP với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính. Ý tưởng chính là xác định một tập các ràng buộc “tích cực” (active), tức là các ràng buộc được thỏa mãn như đẳng thức tại nghiệm tối ưu. Thuật toán lặp đi lặp lại giữa việc giải QP với ràng buộc đẳng thức (tập tích cực hiện tại) và cập nhật tập tích cực. Từ khóa quan trọng: Tập tích cực, ràng buộc bất đẳng thức, hội tụ thuật toán.

4.1. Các bước chính của Thuật Toán Tập Tích Cực trong QHTT

1. Khởi tạo tập tích cực ban đầu. 2) Giải bài toán QP với ràng buộc đẳng thức (các ràng buộc trong tập tích cực). 3) Kiểm tra điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT) cho nghiệm tìm được. Nếu thỏa mãn, nghiệm là tối ưu. Nếu không, cập nhật tập tích cực và quay lại bước 2. Từ khóa LSI: Điều kiện KKT, cập nhật tập tích cực, thuật toán lặp.

4.2. Đánh giá tính hữu hạn và hội tụ của Thuật Toán Tập Tích Cực

Với bài toán QP lồi, thuật toán tập tích cực hội tụ đến nghiệm tối ưu trong một số hữu hạn bước. Chứng minh dựa trên tính chất của QP lồi và cách thuật toán cập nhật tập tích cực. Tuy nhiên, với QP không lồi, thuật toán có thể không hội tụ hoặc hội tụ đến cực tiểu địa phương. Từ khóa LSI: Tính hội tụ, chứng minh hữu hạn, giới hạn thuật toán.

4.3. Hàm mục tiêu không lồi trong phương pháp tập tích cực Vấn đề và giải pháp

Trong trường hợp hàm mục tiêu không lồi, phương pháp tập tích cực có thể gặp khó khăn trong việc tìm kiếm nghiệm tối ưu toàn cục. Có thể sử dụng các kỹ thuật heuristic hoặc các phương pháp tối ưu hóa toàn cục để cải thiện hiệu suất của thuật toán. Từ khóa LSI: Hàm mục tiêu không lồi, tối ưu hóa toàn cục, phương pháp heuristic.

V. Điều Kiện Tối Ưu Lý Thuyết Đối Ngẫu Trong Quy Hoạch Toàn Phương

Điều kiện tối ưu (điều kiện Karush-Kuhn-Tucker - KKT) cung cấp các điều kiện cần và đủ để một điểm là nghiệm tối ưu của bài toán QP. Lý thuyết đối ngẫu xây dựng một bài toán đối ngẫu liên quan đến bài toán gốc. Nghiệm của bài toán đối ngẫu cung cấp thông tin về nghiệm của bài toán gốc. Từ khóa quan trọng: Điều kiện KKT, lý thuyết đối ngẫu, bài toán đối ngẫu.

5.1. Phát biểu và giải thích Điều Kiện Karush Kuhn Tucker KKT

Điều kiện KKT bao gồm các điều kiện về tính dừng, tính khả thi của ràng buộc và tính bù lỏng. Các điều kiện này liên kết nghiệm tối ưu với các nhân tử Lagrange. Việc kiểm tra điều kiện KKT là bước quan trọng trong việc xác định nghiệm tối ưu. Từ khóa LSI: Nhân tử Lagrange, tính dừng, tính khả thi.

5.2. Ứng dụng Lý Thuyết Đối Ngẫu để giải Bài Toán Quy Hoạch Toàn Phương

Lý thuyết đối ngẫu cho phép chuyển đổi bài toán QP gốc thành một bài toán đối ngẫu. Việc giải bài toán đối ngẫu có thể đơn giản hơn trong một số trường hợp. Nghiệm của bài toán đối ngẫu cung cấp cận dưới cho nghiệm của bài toán gốc (trong trường hợp QP lồi). Từ khóa LSI: Bài toán đối ngẫu, cận dưới, chuyển đổi bài toán.

VI. Ứng Dụng Thực Tiễn Hướng Nghiên Cứu Mới trong Quy Hoạch Toàn Phương

Quy hoạch toàn phương tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Các nghiên cứu mới tập trung vào phát triển các thuật toán hiệu quả hơn cho QP quy mô lớn và QP không lồi. Ứng dụng trong học máy, tài chính định lượng và kỹ thuật vẫn là những lĩnh vực tiềm năng. Từ khóa quan trọng: Học máy, tài chính định lượng, thuật toán quy mô lớn.

6.1. Sử dụng Quy Hoạch Toàn Phương trong Bài Toán Hỗ Trợ Vector SVM

SVM sử dụng QP để tìm siêu phẳng phân chia tối ưu giữa các lớp dữ liệu. Hàm mục tiêu là một hàm bậc hai và các ràng buộc đảm bảo phân loại đúng các điểm dữ liệu. QP đóng vai trò then chốt trong huấn luyện SVM. Từ khóa LSI: Siêu phẳng phân chia, huấn luyện SVM, phân loại dữ liệu.

6.2. Ứng dụng Quy Hoạch Toàn Phương trong Tối Ưu Hóa Danh Mục Đầu Tư

QP được sử dụng để tối ưu hóa danh mục đầu tư bằng cách cân bằng giữa lợi nhuận kỳ vọng và rủi ro (phương sai). Hàm mục tiêu là một hàm bậc hai thể hiện rủi ro và các ràng buộc đảm bảo đa dạng hóa danh mục và tuân thủ các quy định. Từ khóa LSI: Tối ưu hóa danh mục, rủi ro và lợi nhuận, danh mục đầu tư.