Một Số Phương Pháp Giải Bài Toán Chấp Nhận Tách Suy Rộng Liên Quan Đến Bài Toán Cân Bằng

• Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Huyền
• Người hướng dẫn: GS. Lê Dũng Mưu
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán Giải tích
• Đề tài: Một Số Phương Pháp Giải Bài Toán Chấp Nhận Tách Suy Rộng Liên Quan Đến Bài Toán Cân Bằng
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Thái Nguyên

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỤC LỤC
• BẢNG KÝ HIỆU
• BẢNG CHỮ VIẾT TẮT
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Các khái niệm và kết quả cơ bản
• 1.2. Bài toán cân bằng và một số bài toán liên quan
• 1.3. Bài toán chấp nhận tách
• 1.4. Một số phương pháp lặp cơ bản tìm điểm bất động
• 1.5. Các kết quả bổ trợ
• 2. CHƯƠNG 2: THUẬT TOÁN CHIẾU KẾT HỢP PHÉP LẶP MANN-KRASNOSELSKII GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH
• 2.1. Mô tả bài toán và sự hội tụ
• 2.2. Ví dụ minh họa
• 3. CHƯƠNG 3: THUẬT TOÁN DƯỚI ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG CHO MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH CÓ RÀNG BUỘC
• 3.1. Mô tả bài toán
• 3.2. Thuật toán và sự hội tụ
• 3.3. Ví dụ minh họa
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Giới Thiệu Bài Toán Chấp Nhận Tách Suy Rộng Tổng Quan 55 ký tự

Bài toán cân bằng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học, kỹ sư. Thuật ngữ "cân bằng" xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như Vật lý (cân bằng lực), Hóa học (cân bằng phản ứng), Sinh học (cân bằng sinh thái) và Kinh tế (cung cầu). Bài toán cân bằng, hay bất đẳng thức Ky Fan, xét tập lồi đóng C trong không gian Rn và song hàm f: C x C -> R với f(x,x) = 0. Tìm x sao cho f(x, y) >= 0 với mọi y thuộc C. Isoda (1955) sử dụng nó trong trò chơi không hợp tác. Ky Fan (1972) gọi là bất đẳng thức minimax. Bài toán cân bằng bao gồm nhiều bài toán quen thuộc: tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, cân bằng Nash. Các bài toán cân bằng còn được mở rộng sang bài toán cân bằng véctơ, bài toán cân bằng tập. Sự tồn tại nghiệm, tính ổn định nghiệm, cấu trúc tập nghiệm cũng được nghiên cứu. Phương pháp giải cũng được quan tâm, ví dụ như phương pháp điểm bất động, hàm đánh giá, hiệu chỉnh Tikhonov.

1.1. Ứng dụng rộng rãi của bài toán cân bằng trong thực tế

Bài toán cân bằng không chỉ là một khái niệm lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tế rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Từ cân bằng sinh thái trong tự nhiên đến cân bằng cung cầu trong kinh tế, các mô hình cân bằng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự tương tác giữa các yếu tố và dự đoán các trạng thái ổn định. Luận án này nghiên cứu các phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng, một dạng tổng quát của bài toán cân bằng, nhằm cung cấp các công cụ mạnh mẽ để giải quyết các vấn đề thực tế phức tạp. Việc nghiên cứu này góp phần vào sự phát triển của các thuật toán hiệu quả hơn và mở ra những ứng dụng mới trong các lĩnh vực khác nhau.

1.2. Mối liên hệ giữa bài toán cân bằng và các bài toán khác

Bài toán cân bằng đóng vai trò trung tâm trong việc kết nối nhiều lớp bài toán quen thuộc. Nó bao hàm bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động Kakutani và bài toán cân bằng Nash. Việc nghiên cứu bài toán cân bằng cho phép chúng ta tiếp cận các bài toán này một cách thống nhất và phát triển các phương pháp giải chung. Hơn nữa, bài toán cân bằng còn được mở rộng sang bài toán cân bằng véctơ và bài toán cân bằng tập, mở ra những hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực tối ưu hóa và phân tích toán học.

II. Thách Thức và Khó Khăn khi Giải Bài Toán Tách Suy Rộng 59 ký tự

Việc tìm nghiệm của bài toán cân bằng có thể quy về việc tìm điểm bất động. Tuy nhiên, việc tìm điểm bất động của một ánh xạ là khó khăn, ngay cả trong trường hợp điểm bất động theo định lý Brouwer. Bài toán cân bằng bao hàm nhiều bài toán quan trọng, khó giải, nên không hy vọng có một thuật toán hiệu quả để giải bài toán cân bằng tổng quát. Do đó, cần nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cân bằng với những giả thiết nhất định, ví dụ như tính đơn điệu, tính lồi. Các tiếp cận bao gồm: phương pháp điểm bất động, phương pháp hàm đánh giá, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp đạo hàm.

2.1. Sự phức tạp của việc tìm điểm bất động

Mặc dù việc chuyển bài toán cân bằng về bài toán tìm điểm bất động là một hướng tiếp cận tự nhiên, nhưng việc tìm điểm bất động của một ánh xạ không phải là một nhiệm vụ dễ dàng. Ngay cả trong trường hợp đơn giản nhất, khi ánh xạ thỏa mãn các điều kiện của định lý Brouwer, vẫn chưa có một thuật toán hiệu quả nào được tìm ra để xác định điểm bất động. Điều này gây ra những khó khăn đáng kể trong việc giải quyết bài toán cân bằng, đặc biệt là khi bài toán có độ phức tạp cao.

2.2. Giới hạn của các thuật toán hiện tại

Do bài toán cân bằng bao gồm nhiều bài toán quan trọng và khó giải như là các trường hợp riêng, việc tìm ra một thuật toán hiệu quả để giải quyết bài toán cân bằng tổng quát là một thách thức lớn. Các thuật toán hiện tại thường chỉ hiệu quả khi áp dụng cho các lớp bài toán cụ thể với những giả thiết nhất định về tính chất của hàm mục tiêu và tập ràng buộc. Điều này đòi hỏi các nhà nghiên cứu phải tiếp tục nỗ lực để phát triển các phương pháp giải tổng quát hơn và hiệu quả hơn.

2.3. Yêu cầu về các giả thiết đặc biệt

Để giải quyết bài toán cân bằng một cách hiệu quả, các thuật toán thường yêu cầu các giả thiết đặc biệt về tính chất của hàm mục tiêu và tập ràng buộc. Ví dụ, các thuật toán dựa trên phương pháp điểm bất động thường đòi hỏi hàm mục tiêu phải có tính đơn điệu hoặc tính lồi. Điều này giới hạn phạm vi ứng dụng của các thuật toán này và đòi hỏi các nhà nghiên cứu phải phát triển các phương pháp giải có thể áp dụng cho các lớp bài toán rộng hơn.

III. Phương Pháp Chiếu Kết Hợp Cho Bài Toán Chấp Nhận Tách 58 ký tự

Bài toán chấp nhận tách (SFP) được Elfving giới thiệu năm 1994 cho bài toán ngược. Byrne (2002) ứng dụng vào phục hồi ảnh y tế. Censor (2009) ứng dụng trong điều trị ung thư. SFP tìm x thuộc C sao cho Ax thuộc Q, với C, Q là các tập lồi khác rỗng và A là toán tử tuyến tính. Nếu không gian trùng nhau và A là đồng nhất, SFP trở về bài toán chấp nhận lồi (tìm x thuộc C giao D). Giải SFP có hai cách tiếp cận: chiếu (lần lượt hoặc song song) và chuyển về bài toán tối ưu. Các thuật toán chiếu lấy ý tưởng từ Karzmark và Bregman. Nhiều tác giả đã mở rộng SFP trong không gian vô hạn chiều, cải tiến độ dài bước, hoặc mở rộng tập C, Q.

3.1. Lịch sử phát triển của bài toán chấp nhận tách

Bài toán chấp nhận tách có một lịch sử phát triển phong phú, bắt đầu từ công trình của Y. Elfving vào năm 1994, khi ông giới thiệu bài toán này trong mô hình bài toán ngược. Sau đó, bài toán chấp nhận tách đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm phục hồi và tái tạo hình ảnh y tế (C. Byrne, 2002) và điều khiển cường độ xạ trị trong điều trị ung thư (Y. Censor, 2009). Sự phát triển của bài toán chấp nhận tách không chỉ dừng lại ở việc ứng dụng mà còn liên quan đến việc mở rộng và cải tiến các phương pháp giải, đặc biệt là trong không gian vô hạn chiều.

3.2. Hai hướng tiếp cận chính để giải bài toán SFP

Hiện nay, có hai hướng tiếp cận chính để giải bài toán chấp nhận tách. Hướng tiếp cận thứ nhất dựa trên các phương pháp chiếu, trong đó người ta sử dụng các phép chiếu lên các tập lồi C và Q để tìm kiếm nghiệm của bài toán. Hướng tiếp cận thứ hai là chuyển bài toán chấp nhận tách về bài toán tối ưu, trong đó người ta xây dựng một hàm mục tiêu sao cho việc tối thiểu hóa hàm này tương đương với việc giải bài toán chấp nhận tách. Mỗi hướng tiếp cận đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng, và việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm cụ thể của bài toán.

IV. Ứng Dụng Thuật Toán Dưới Đạo Hàm Cho Bài Toán Phi Tuyến 59 ký tự

Thakur (2013) chứng minh bài toán tối ưu min{ k(I − PQ )(Ax)k2 , ∀λ > 0}/2λ tương đương với SFP. Do đó, có thể áp dụng các phương pháp của quy hoạch toán học. Các thuật toán hiện tại chỉ áp dụng cho A tuyến tính. Với A phi tuyến, Li và cộng sự giả thiết tính lồi của hàm p(x) := kPQ (F (x)) − F (x)k2/2. Vấn đề là nghiên cứu thuật toán giải SFP với A không tuyến tính, C, Q không được cho tường minh, mà là tập nghiệm của các bài toán khác (ví dụ, bài toán cân bằng). Luận án này xét bài toán chấp nhận tách khi C là tập nghiệm của bài toán cân bằng và Q là tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi.

4.1. Chuyển bài toán SFP về bài toán tối ưu

Một trong những ý tưởng quan trọng trong việc giải bài toán chấp nhận tách là chuyển bài toán này về bài toán tối ưu. A. Thakur (2013) đã chứng minh rằng bài toán tối ưu lồi min{ k(I − PQ )(Ax)k2 , ∀λ > 0}/2λ tương đương với bài toán chấp nhận tách. Điều này cho phép chúng ta áp dụng các phương pháp của quy hoạch toán học để giải quyết bài toán chấp nhận tách. Tuy nhiên, các thuật toán hiện tại thường chỉ áp dụng cho trường hợp A là toán tử tuyến tính.

4.2. Thách thức khi A là toán tử phi tuyến

Khi toán tử chuyển A không phải là tuyến tính, việc giải bài toán chấp nhận tách trở nên phức tạp hơn nhiều. Li và các cộng sự đã xét bài toán chấp nhận tách với toán tử A là phi tuyến, nhưng họ phải giả thiết tính lồi của hàm p(x) := kPQ (F (x)) − F (x)k2/2 để đảm bảo sự hội tụ của thuật toán. Điều này đặt ra một vấn đề quan trọng: làm thế nào để phát triển các thuật toán giải bài toán chấp nhận tách khi toán tử chuyển không phải là tuyến tính và không cần các giả thiết mạnh về tính lồi?

V. Đề Xuất Thuật Toán Chiếu Một Lần Giải Bài Toán Cân Bằng 58 ký tự

Luận án đề xuất thuật toán chiếu một lần giải bài toán cân bằng kết hợp với phương pháp chiếu giải bài toán quy hoạch lồi bằng cách sử dụng ánh xạ gần kề của hàm mục tiêu. Sự hội tụ của thuật toán đã được chứng minh khi bài toán cân bằng với song hàm cân bằng là para-đơn điệu. Một mô hình cân bằng sản xuất điện với chi phí môi trường thấp nhất được đưa ra minh họa cho thuật toán chúng tôi đề ra. Bài toán chấp nhận tách thứ hai được xét trong luận án là bài toán trong đó toán tử chuyển không nhất thiết là tuyến tính mà là một phép biến đổi đ...

5.1. Kết hợp thuật toán chiếu và ánh xạ gần kề

Luận án này giới thiệu một thuật toán mới kết hợp thuật toán chiếu một lần để giải bài toán cân bằng với phương pháp chiếu để giải bài toán quy hoạch lồi. Thuật toán này sử dụng ánh xạ gần kề của hàm mục tiêu để đảm bảo sự hội tụ. Sự kết hợp này cho phép chúng ta giải quyết bài toán chấp nhận tách một cách hiệu quả, ngay cả khi bài toán cân bằng có độ phức tạp cao.

5.2. Ứng dụng trong mô hình cân bằng sản xuất điện

Để minh họa tính hiệu quả của thuật toán được đề xuất, luận án trình bày một ứng dụng cụ thể trong mô hình cân bằng sản xuất điện với chi phí môi trường thấp nhất. Mô hình này cho phép chúng ta tối ưu hóa việc sản xuất điện đồng thời giảm thiểu tác động tiêu cực đến môi trường. Kết quả cho thấy thuật toán có thể được áp dụng thành công để giải quyết các bài toán thực tế phức tạp trong lĩnh vực năng lượng.

VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Bài Toán Chấp Nhận Tách 55 ký tự

Luận án đã trình bày một số phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng, tập trung vào trường hợp bài toán cân bằng và bài toán quy hoạch lồi. Các thuật toán được đề xuất đã được chứng minh tính hội tụ và minh họa bằng các ứng dụng thực tế. Hướng phát triển tiếp theo có thể tập trung vào việc mở rộng các thuật toán cho các lớp bài toán rộng hơn, ví dụ như bài toán bất đẳng thức biến phân, hoặc phát triển các thuật toán có thể xử lý các toán tử chuyển phi tuyến phức tạp hơn.

6.1. Tóm tắt các kết quả chính của luận án

Luận án này đã đóng góp vào việc phát triển các phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng bằng cách đề xuất các thuật toán mới và chứng minh tính hội tụ của chúng. Các thuật toán này được thiết kế để giải quyết các bài toán có độ phức tạp cao, chẳng hạn như bài toán cân bằng và bài toán quy hoạch lồi. Ngoài ra, luận án cũng trình bày các ứng dụng thực tế của các thuật toán này trong các lĩnh vực khác nhau.

6.2. Các hướng nghiên cứu tiềm năng trong tương lai

Trong tương lai, có nhiều hướng nghiên cứu tiềm năng có thể được khám phá để tiếp tục phát triển các phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng. Một hướng nghiên cứu là mở rộng các thuật toán hiện tại để áp dụng cho các lớp bài toán rộng hơn, chẳng hạn như bài toán bất đẳng thức biến phân. Một hướng khác là phát triển các thuật toán có thể xử lý các toán tử chuyển phi tuyến phức tạp hơn. Ngoài ra, việc nghiên cứu các ứng dụng mới của bài toán chấp nhận tách trong các lĩnh vực khác nhau cũng là một hướng đi đầy hứa hẹn.