Tổng quan luận án

Trong kỹ thuật kết cấu và cơ học công trình, đánh giá độ an toàn và độ tin cậy là nhiệm vụ thiết yếu nhằm ngăn ngừa các hư hại nghiêm trọng. Nhiều hệ thống kỹ thuật như tòa nhà cao tầng chịu tác động của gió và động đất (Yang, 1986; Narayanan và Kumar, 2012), công trình biển chịu sóng gió, hoặc phương tiện giao thông di chuyển trên mặt đường không bằng phẳng đều vận hành trong môi trường chịu các kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn đồng thời. Các hệ thống thực tế đều mang tính phi tuyến do biến dạng lớn (phi tuyến hình học), đặc tính vật liệu đàn hồi phi tuyến hoặc lực cản phi tuyến. Khi chịu tổ hợp kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn, hệ phi tuyến có thể xuất hiện các hiện tượng động lực học phức tạp như rẽ nhánh, nhảy biên độ và hỗn độn.

Vấn đề cốt lõi trong phân tích ngẫu nhiên là xác định đặc trưng xác suất của đáp ứng thông qua hàm mật độ xác suất (PDF), các mô men thống kê hoặc bán bất biến (cumulant). Tuy nhiên, phương trình vi phân đạo hàm riêng Fokker-Planck (FP) mô tả sự tiến triển xác suất của hệ dao động phi tuyến thường không có lời giải giải tích chính xác ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt (Socha, 2008). Các phương pháp giải tích hiện có thường bị giới hạn trong từng lớp bài toán hẹp, trong khi các phương pháp số giải phương trình FP đòi hỏi khối lượng tính toán lớn.

Nhằm giải quyết khoảng trống này, luận án "Phân tích dao động phi tuyến trong hệ chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn" do nghiên cứu sinh Dương Ngọc Hảo thực hiện (chuyên ngành Cơ kỹ thuật, mã số 62 52 01 01, dưới sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Đông Anh tại Viện Cơ học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, bảo vệ năm 2015) đã xác định các mục tiêu và phạm vi nghiên cứu cụ thể:

  • Mục tiêu nghiên cứu:

    1. Xây dựng kỹ thuật tính toán và thiết lập các biểu thức giải tích xác định đặc trưng xác suất của đáp ứng cho một lớp rộng các hệ dao động phi tuyến.
    2. Đánh giá ứng xử xác suất của đáp ứng dao động phi tuyến theo thời gian và ở trạng thái dừng.
    3. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số hệ thống lên đáp ứng dao động thông qua việc đối sánh giữa biểu thức giải tích và kết quả mô phỏng số Monte-Carlo.
    4. Mở rộng ứng dụng kỹ thuật đề xuất để phân tích đáp ứng thứ điều hòa trong hệ phi tuyến.

  • Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Luận án tập trung khảo sát đặc trưng xác suất của đáp ứng hệ dao động phi tuyến yếu một bậc tự do chịu đồng thời kích động tuần hoàn và kích động ngẫu nhiên yếu trong miền cộng hưởng chính. Mô hình toán học tổng quát được biểu diễn qua phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp hai: $$\ddot{x} + \omega^2 x = \varepsilon f(x, \dot{x}, \nu t) + \varepsilon \sigma \xi(t)$$ Trong đó $\omega$ và $\nu$ là các hằng số thỏa mãn hệ thức lệch tần $\omega^2 - \nu^2 = \varepsilon \Delta$; $\Delta$ là tham số lệch tần; $\sigma > 0$; $\varepsilon$ là tham số bé; $f(x, \dot{x}, \nu t)$ là hàm đa thức theo $x, \dot{x}$ và tuần hoàn theo thời gian $t$; $\xi(t)$ là quá trình ồn trắng Gauss có cường độ đơn vị với hàm tương quan $R_\xi(\tau) = E[\xi(t)\xi(t+\tau)] = \delta(\tau)$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Nghiên cứu dao động kỹ thuật bắt đầu từ các bài toán dao động tuần hoàn tất định cổ điển (Rayleigh, 1877; Daniel, 2008). Đến giữa thập niên 1950, các sự cố hư hại do mỏi kim loại ở vỏ máy bay phản lực dưới tác động của tiếng ồn khí thải (Clarkson và Mead, 1973) đã thúc đẩy sự ra đời của lý thuyết dao động ngẫu nhiên (Roberts và Spanos, 1999).

Trong phân tích hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến, các hướng tiếp cận chính được phát triển bao gồm:

  1. Lý thuyết quá trình Markov và phương trình Fokker-Planck: Dựa trên mô hình khuếch tán (Arnold, 1974), phương trình vi phân đạo hàm riêng FP cung cấp quy luật phân bố xác suất của đáp ứng. Tuy nhiên, việc tìm nghiệm giải tích dừng chỉ thực hiện được cho các hệ thỏa mãn điều kiện thế năng (Dimentberg, 1982; Nguyễn Đông Anh, 1986; Lutes và Sarkani, 2004; Socha, 2008). Các phương pháp giải số như tích phân đường (Xie và cs., 2006; Narayanan và Kumar, 2012), phương pháp Galerkin toàn cục (Muscolino và cs., 1997), phần tử hữu hạn (Kumar và Narayanan, 2006; Masud và Bergman, 2005) hay sai phân hữu hạn (Kumar và Narayanan, 2010) thường gặp khó khăn về chi phí tính toán.
  2. Phương pháp trung bình ngẫu nhiên: Khởi xướng bởi Stratonovich (1967) dựa trên lý thuyết trung bình tất định của Krylov và Bogoliubov (1937), và được Khasminskii (1966) chứng minh toán học. Phương pháp này giảm số chiều của quá trình Markov bằng cách xét quá trình biên độ và pha (Roberts và Spanos, 1986; Roberts, 1986; Zhu, 1988).
  3. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương: Kazakov (1954) và Caughey (1963) phát triển phương pháp thay thế hệ phi tuyến bằng hệ tuyến tính tương đương dựa trên tiêu chuẩn bình phương sai số bé nhất với giả thiết đáp ứng là quá trình Gauss (Atalik và Utku, 1976; Roberts và Spanos, 1999; Socha, 2008; Nguyễn Đông Anh và cs., 2012). Nghiệm dừng của phương trình vi phân tuyến tính tương đương là duy nhất (Fuller, 1969).
  4. Phương pháp phi tuyến hóa tương đương: Caughey (1986), Cai và Lin (1988), Manohar (1995) thay thế hệ khảo sát bằng hệ phi tuyến thuộc lớp giải được chính xác để ước lượng đáp ứng phi Gauss.
  5. Phương pháp nhiễu: Crandall (1963) khai triển nghiệm theo chuỗi lũy thừa của tham số bé để tính các mô men, nhưng không xác định được hàm mật độ xác suất và sai số tăng nhanh khi độ phi tuyến lớn.

Đối với hệ chịu đồng thời kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên, các nghiên cứu tiêu biểu gồm:

  • Dimentberg (1982) dùng phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các cho lớp hệ riêng biệt có phương trình FP giải được chính xác.
  • Manohar và Iyengar (1991) kết hợp phương pháp trung bình trong tọa độ Đề-các với phương pháp phi tuyến tương đương cho hệ Van der Pol, nhưng phương pháp này không áp dụng được cho hệ Duffing.
  • Nayfeh và Serhan (1990) dùng phương pháp nhiều tọa độ kết hợp kỹ thuật khép kín bậc hai.
  • Haiwu và cs. (2001) kết hợp cân bằng điều hòa và trung bình ngẫu nhiên để khảo sát hiện tượng nhảy ở hệ Duffing.
  • Nguyễn Tiến Khiêm (1990, 1991) nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên theo biên độ, pha và phương pháp phổ.
  • Nguyễn Cao Mệnh (1993) áp dụng phương pháp phổ cho hệ nhiều bậc tự do.
  • Nguyễn Đông Anh và Ninh Quang Hải (2000) biểu diễn đáp ứng qua đa thức của quá trình Gauss.
  • Nguyễn Đông Anh và Nguyễn Như Hiếu (2012) nghiên cứu hệ Duffing chịu kích động kép bằng cách tách phương trình dao động thành hai thành phần tuần hoàn và ngẫu nhiên.

Vị trí của luận án: Khắc phục hạn chế của các phương pháp trước đó vốn chỉ áp dụng cho từng phương trình riêng lẻ hoặc phụ thuộc vào việc tìm nghiệm chính xác của phương trình FP, luận án đề xuất một kỹ thuật tổng quát kết hợp phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các, phương pháp hàm bổ trợ và phương pháp tuyến tính hóa tương đương để giải xấp xỉ phương trình FP cho nhiều hệ dao động phi tuyến khác nhau.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở giải tích ngẫu nhiên

Luận án dựa trên các khái niệm giải tích ngẫu nhiên tiêu chuẩn (Arnold, 1974; Oksendal, 2000; Trần Hùng Thao, 2000; Lutes và Sarkani, 2004):

  • Không gian xác suất và quá trình ngẫu nhiên: Bộ ba $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, quá trình ngẫu nhiên $X(t, \omega)$, quá trình dừng theo nghĩa hẹp và nghĩa rộng với hàm hiệp phương sai $K_X(\tau) = E[(X(t) - m_X)(X(t+\tau) - m_X)]$.
  • Quá trình Wiener và ồn trắng: Quá trình Wiener $W(t)$ có tính chất $W(0) = 0$, $E[W(t)] = 0$, $E[W^2(t)] = t$, số gia độc lập có phân phối chuẩn $W(t) - W(s) \sim N(0, t - s)$. Quá trình ồn trắng $\xi(t)$ được hiểu là đạo hàm hình thức $\xi(t) = \dot{W}(t)$.
  • Tích phân và công thức Ito: Tích phân ngẫu nhiên $\int_0^T f(t, \omega) dW(t)$ với quá trình $f$ đo được dần. Đối với biến ngẫu nhiên $X_t$ có vi phân $dX = F dt + G dW$ và hàm $u(X_t, t)$, công thức Ito một chiều có dạng: $$du(X_t, t) = \left( \frac{\partial u}{\partial t} + F \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{2} G^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right) dt + G \frac{\partial u}{\partial x} dW$$
  • Phương trình Fokker-Planck: Đối với hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên khuếch tán nhiều chiều $dX_i = f_i(t, X) dt + \sum_{j=1}^m G_{ij}(t, X) dW_j$, hàm mật độ xác suất $p(x, t)$ thỏa mãn phương trình FP: $$\frac{\partial p}{\partial t} = -\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} [K_i(t, x) p] + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} [K_{ij}(t, x) p]$$ trong đó các hệ số dịch chuyển $K_i$ và hệ số khuếch tán $K_{ij}$ được xác định từ $f_i$ và $G_{ij}$.

Khung phương pháp luận của luận án

Kỹ thuật giải tích được xây dựng qua ba bước kế tiếp nhau:

[Phương trình vi phân cấp hai ban đầu]
[Hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito biến đổi chậm]
[Hệ phương trình trung bình & Phương trình FP trung bình tương ứng]
[Nghiệm xấp xỉ hàm mật độ xác suất p(a1, a2) & Các đặc trưng thống kê]
  1. Phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các: Biến đổi biến trạng thái $(x, \dot{x})$ sang cặp biến ngẫu nhiên biến đổi chậm $(a_1, a_2)$ qua hệ thức: $$x = a_1 \cos \nu t + a_2 \sin \nu t, \quad \dot{x} = -a_1 \nu \sin \nu t + a_2 \nu \cos \nu t$$ Phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito cho $(a_1, a_2)$ sau khi áp dụng toán tử lấy trung bình theo thời gian $\overline{(\cdot)} = \frac{1}{T}\int_0^T (\cdot) dt$ trở thành hệ rút gọn: $$\dot{a}_1 = \varepsilon \widetilde{K}_1(a_1, a_2) + \frac{\varepsilon \sigma}{\nu \sqrt{2}} \xi_1(t)$$ $$\dot{a}_2 = \varepsilon \widetilde{K}_2(a_1, a_2) + \frac{\varepsilon \sigma}{\nu \sqrt{2}} \xi_2(t)$$ Trong đó $\xi_1(t), \xi_2(t)$ là hai quá trình ồn trắng Gauss độc lập.
  2. Phương pháp hàm bổ trợ và Tuyến tính hóa tương đương: Phương trình FP tương ứng với hệ trung bình chứa các hệ số dịch chuyển phi tuyến $\widetilde{K}_1, \widetilde{K}_2$. Tác giả sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương để xấp xỉ các hệ số phi tuyến thành dạng tuyến tính, sau đó áp dụng phương pháp hàm bổ trợ (Nguyễn Đông Anh, 1986) để tìm nghiệm giải tích dừng cho phương trình FP tuyến tính hóa.
  3. Phương pháp kiểm chứng mô phỏng số: Sử dụng mô phỏng Monte-Carlo để tính nghiệm số của phương trình vi phân ngẫu nhiên ban đầu, tính toán các trung bình thống kê theo thời gian của bình phương đáp ứng $\overline{E[x^2(t)]}$ và hàm mật độ xác suất $p(x, \dot{x})$ tại các thời điểm khảo sát để so sánh và đánh giá sai số của phương pháp giải tích.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Tổng quan

Chương 1 hệ thống hóa lịch sử phát triển của lý thuyết dao động ngẫu nhiên từ các bài toán cơ học kỹ thuật và kết cấu công trình. Chương này phân tích chi tiết ưu điểm và hạn chế của các phương pháp nghiên cứu hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên: phương pháp quá trình Markov và phương trình FP, phương pháp trung bình ngẫu nhiên theo biên độ - pha và theo tọa độ Đề-các, phương pháp tuyến tính hóa tương đương, phương pháp phi tuyến hóa tương đương và phương pháp nhiễu. Trên cơ sở tổng quan các công trình trong và ngoài nước về hệ chịu kích động đồng thời tuần hoàn và ngẫu nhiên, chương 1 xác lập tính cấp thiết, mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của đề tài.

Chương 2. Cơ sở lý thuyết

Chương 2 trình bày có hệ thống các kiến thức giải tích ngẫu nhiên: lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên nhiều chiều, quá trình ngẫu nhiên dừng, quá trình Wiener, ồn trắng Gauss, quá trình Markov khuếch tán, tích phân ngẫu nhiên Ito và Stratonovich, công thức vi phân Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính.

Chương này trình bày chi tiết hai nội dung lý thuyết nền tảng:

  • Phương pháp trung bình ngẫu nhiên theo biên độ - pha và phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các.
  • Phương pháp hàm bổ trợ để giải phương trình Fokker-Planck với hệ số dịch chuyển tuyến tính và hệ số khuếch tán hằng số viết cho hàm mật độ xác suất dừng. Từ đó, tác giả đề xuất giải pháp kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương để giải xấp xỉ phương trình FP có hệ số dịch chuyển phi tuyến.

Chương 3. Phân tích dao động trong hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

Chương 3 áp dụng kỹ thuật giải tích đề xuất để phân tích 4 mô hình dao động phi tuyến kinh điển một bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng và kích động điều hòa:

Mô hình hệ dao động Đặc trưng phi tuyến / kích động Nội dung tính toán giải tích và khảo sát số
Hệ Van der Pol Cản phi tuyến dạng $(1 - x^2)\dot{x}$ Thiết lập phương trình trung bình Đề-các, giải xấp xỉ FP, tính $\overline{E[x^2(t)]}$, PDF $p(x, \dot{x})$ tại $t = 294\text{ s}$; so sánh với phương pháp phi tuyến tương đương.
Hệ Duffing Độ cứng phi tuyến dạng $x^3$ Khảo sát đường cong cộng hưởng, tính bình phương biên độ đáp ứng trung bình theo biên độ lực kích động $Q$, tham số độ cứng phi tuyến $\gamma$, và cường độ ồn $\sigma^2$.
Hệ Van der Pol – Duffing Cản phi tuyến kết hợp độ cứng phi tuyến Phân tích ảnh hưởng đồng thời của tham số cản $\varepsilon$, tham số phi tuyến $\gamma$, tần số kích động $\nu$ và cường độ ồn $\sigma^2$ lên đáp ứng $E[x(t)]$ và $E[x^2(t)]$.
Hệ Mathieu – Duffing Độ cứng phi tuyến và kích động thông số điều hòa Xác định hàm mật độ xác suất đồng thời tại $t = 294\text{ s}$, phân bố PDF của chuyển vị $x$ tại nhiều thời điểm khác nhau, khảo sát sai số giữa giải tích và mô phỏng Monte-Carlo.

Kết quả tính toán cho thấy các biểu thức giải tích phản ánh chính xác quy luật biến thiên của đáp ứng dao động. Bảng tổng hợp sai số định lượng giữa nghiệm xấp xỉ giải tích và mô phỏng số Monte-Carlo cho thấy độ lệch nhỏ trên toàn bộ dải biến thiên của các tham số $\varepsilon, \nu, Q, \sigma^2, \gamma$.

Chương 4. Phân tích ban đầu đáp ứng thứ điều hòa trong hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

Chương 4 mở rộng kỹ thuật phân tích sang bài toán dao động phi tuyến xuất hiện đáp ứng thứ điều hòa bậc $1/3$ (subharmonic resonance) của hệ Duffing chịu đồng thời kích động tuần hoàn và kích động ngẫu nhiên.

Chương này trình bày kỹ thuật phân tích đáp ứng thứ điều hòa, tính toán giá trị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng thứ điều hòa $\overline{E[z^2(t)]}$, và khảo sát ảnh hưởng của cường độ ồn $\sigma^2$, biên độ lực kích động điều hòa $Q_0$, cùng các hệ số tham số $h$ lên đáp ứng dao động. Kết quả giải tích được so sánh và kiểm chứng với mô phỏng số, khẳng định khả năng áp dụng của kỹ thuật đề xuất cho các hiện tượng dao động phi tuyến bậc cao.

Kết quả và những đóng góp mới

  1. Đóng góp mới về mặt phương pháp:
    • Đề xuất quy trình kết hợp phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các, phương pháp tuyến tính hóa tương đương và phương pháp hàm bổ trợ để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình Fokker-Planck với hệ số dịch chuyển phi tuyến.
    • Giải quyết bài toán tìm hàm mật độ xác suất dừng và các đặc trưng thống kê bậc hai cho lớp bài toán dao động phi tuyến một bậc tự do chịu đồng thời kích động tuần hoàn và kích động ngẫu nhiên, vốn không có nghiệm giải tích chính xác.
  2. Đóng góp mới về mặt tính toán và ứng dụng:
    • Xây dựng hệ thống các biểu thức giải tích tường minh tính toán giá trị kỳ vọng $E[x(t)]$, trung bình bình phương $\overline{E[x^2(t)]}$ và hàm mật độ xác suất đồng thời $p(x, \dot{x})$ cho 4 hệ dao động tiêu biểu: Van der Pol, Duffing, Van der Pol – Duffing, và Mathieu – Duffing.
    • Thực hiện phân tích bước đầu cho đáp ứng thứ điều hòa bậc $1/3$ trong hệ Duffing chịu kích động kép ngẫu nhiên và tuần hoàn.
    • Cung cấp số liệu kiểm chứng qua các bảng so sánh sai số định lượng chi tiết giữa kết quả giải tích và mô phỏng số Monte-Carlo.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

  • Hạn chế:
    • Nghiên cứu giới hạn ở hệ dao động một bậc tự do với mức độ phi tuyến yếu ($\varepsilon$ bé) và kích động ngẫu nhiên yếu.
    • Kích động ngẫu nhiên được giả thiết là ồn trắng Gauss có cường độ đơn vị; chưa xét đến ồn màu hoặc quá trình ngẫu nhiên phi Gauss.
    • Vùng khảo sát dao động tập trung chủ yếu trong miền cộng hưởng chính; phân tích đáp ứng thứ điều hòa ở chương 4 mới dừng ở mức phân tích ban đầu cho trường hợp bậc $1/3$.
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Mở rộng kỹ thuật phân tích cho các hệ dao động phi tuyến nhiều bậc tự do và hệ có tính phi tuyến mạnh.
    • Khảo sát hệ chịu kích động ngẫu nhiên dạng ồn màu (colored noise) hoặc kích động ngẫu nhiên không dừng.
    • Nghiên cứu sâu hơn các hiện tượng nhảy biên độ, rẽ nhánh thống kê và hỗn độn trong hệ chịu kích động tổ hợp.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo hữu ích cho các nhóm đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Cơ kỹ thuật, Cơ học tính toán và Toán ứng dụng: Tham khảo phương pháp chuyển đổi phương trình vi phân ngẫu nhiên sang hệ tọa độ Đề-các, cách thành lập phương trình FP trung bình và kỹ thuật giải phương trình vi phân đạo hàm riêng ngẫu nhiên bằng hàm bổ trợ.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu: Sử dụng các biểu thức giải tích tường minh của các hệ Van der Pol, Duffing, Mathieu – Duffing để đối sánh khi phát triển các phương pháp giải tích hoặc phương pháp số mới.
  • Kỹ sư tính toán kết cấu: Ứng dụng các quy luật thống kê về ảnh hưởng của tải trọng ngẫu nhiên kết hợp điều hòa để đánh giá đáp ứng dao động của kết cấu công trình chịu tải trọng gió, sóng hoặc động đất.

Câu hỏi thường gặp

1. Kỹ thuật phân tích của luận án kết hợp những phương pháp cụ thể nào?
Luận án kết hợp phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong hệ tọa độ Đề-các, phương pháp tuyến tính hóa tương đương (Kazakov, 1954) và phương pháp hàm bổ trợ (Nguyễn Đông Anh, 1986) để giải xấp xỉ phương trình Fokker-Planck có các hệ số dịch chuyển phi tuyến.

2. Mô hình toán học tổng quát được khảo sát trong luận án có dạng như thế nào?
Mô hình là phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp hai một bậc tự do trong miền cộng hưởng chính: $$\ddot{x} + \omega^2 x = \varepsilon f(x, \dot{x}, \nu t) + \varepsilon \sigma \xi(t)$$ với $\omega^2 - \nu^2 = \varepsilon \Delta$, $\varepsilon$ là tham số bé, $f$ là hàm phi tuyến đa thức tuần hoàn theo thời gian $t$, và $\xi(t)$ là quá trình ồn trắng Gauss cường độ đơn vị.

3. Những mô hình hệ dao động phi tuyến cụ thể nào được phân tích trong Chương 3?
Chương 3 phân tích 4 mô hình: Hệ Van der Pol (cản phi tuyến), Hệ Duffing (độ cứng phi tuyến), Hệ Van der Pol – Duffing (kết hợp cản và độ cứng phi tuyến), và Hệ Mathieu – Duffing (chịu kích động thông số).

4. Cơ sở để kiểm chứng độ chính xác của các biểu thức giải tích trong luận án là gì?
Tác giả sử dụng phương pháp mô phỏng số Monte-Carlo để tính nghiệm số của phương trình vi phân ngẫu nhiên ban đầu, sau đó lập bảng so sánh sai số định lượng giữa kết quả giải tích và mô phỏng số theo từng tham số hệ thống ($\varepsilon, \nu, Q, \sigma^2, \gamma$).

5. Luận án đã công bố bao nhiêu công trình khoa học từ kết quả nghiên cứu?
Nghiên cứu sinh đã công bố 05 công trình khoa học liên quan trực tiếp đến luận án, bao gồm: 01 bài báo trên tạp chí quốc tế thuộc danh mục ISI, 02 bài báo trên tạp chí khoa học chuyên ngành trong nước, và 02 báo cáo tại các hội nghị khoa học chuyên ngành.

Kết luận

Luận án tiến sĩ kỹ thuật của tác giả Dương Ngọc Hảo đã xây dựng một kỹ thuật phân tích giải tích xấp xỉ cho hệ dao động phi tuyến yếu một bậc tự do chịu đồng thời kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên trong miền cộng hưởng chính. Bằng việc kết hợp phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các, phương pháp hàm bổ trợ và phương pháp tuyến tính hóa tương đương, luận án đã xác định được hàm mật độ xác suất và các đặc trưng mô men bậc hai cho các hệ dao động kinh điển (Van der Pol, Duffing, Van der Pol – Duffing, Mathieu – Duffing) cũng như đáp ứng thứ điều hòa bậc $1/3$. Các kết quả giải tích được kiểm chứng thông qua mô phỏng số Monte-Carlo, cung cấp cơ sở lý thuyết và công cụ tính toán phục vụ nghiên cứu động học kết cấu phi tuyến ngẫu nhiên.