Chương 4: Nội Suy và Xấp Xỉ Hàm

Nội suy và xấp xỉ hàm là hai phương pháp quan trọng trong toán học và ứng dụng thực tiễn. 52 trang · 2023.

• Trường học: Trường Đại Học
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Nội Suy và Xấp Xỉ Hàm: Phương Pháp và Ứng Dụng
• Loại tài liệu: bài giảng
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• 4. CHƯƠNG 4: NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM
• 4.1. ĐẶT BÀI TOÁN
• 4.2. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
• 4.3. ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
• 4.3.1. Tỉ sai phân
• 4.3.2. Đa thức nội suy Newton
• 4.3.3. TH các điểm nút cách đều
• 4.4. SPLINE bậc 3
• 4.4.1. Định nghĩa
• 4.4.2. Spline tự nhiên
• 4.4.3. Spline ràng buộc
• 4.5. BÀI TOÁN XẤP XỈ THỰC NGHIỆM

Tóm tắt

I. Tổng quan về Nội Suy và Xấp Xỉ Hàm Khái niệm cơ bản

Nội suy và xấp xỉ hàm là hai phương pháp quan trọng trong toán học và ứng dụng thực tiễn. Chúng giúp tính toán giá trị của một hàm liên tục thông qua các điểm đã biết. Nội suy cho phép xây dựng một đa thức đi qua tất cả các điểm nút, trong khi xấp xỉ hàm tìm kiếm một hàm gần đúng nhất với các giá trị thực nghiệm. Việc hiểu rõ về hai phương pháp này là cần thiết để áp dụng hiệu quả trong các lĩnh vực như khoa học dữ liệu, kỹ thuật và thống kê.

1.1. Nội suy Định nghĩa và ứng dụng

Nội suy là phương pháp xây dựng một đa thức nội suy từ các điểm dữ liệu đã cho. Đa thức này giúp tính toán giá trị của hàm tại các điểm chưa biết. Ứng dụng của nội suy rất đa dạng, từ việc dự đoán giá trị trong khoa học đến việc xử lý tín hiệu.

1.2. Xấp xỉ hàm Khái niệm và tầm quan trọng

Xấp xỉ hàm là quá trình tìm kiếm một hàm gần đúng với các giá trị thực nghiệm. Phương pháp này thường được sử dụng khi dữ liệu có độ chính xác thấp. Việc xấp xỉ giúp giảm thiểu sai số và cải thiện độ tin cậy của các mô hình toán học.

II. Thách thức trong Nội Suy và Xấp Xỉ Hàm Những vấn đề cần giải quyết

Mặc dù nội suy và xấp xỉ hàm mang lại nhiều lợi ích, nhưng cũng tồn tại nhiều thách thức. Một trong những vấn đề lớn nhất là sai số trong quá trình tính toán. Đặc biệt, khi số lượng điểm nút tăng lên, đa thức nội suy có thể trở nên phức tạp và dễ dẫn đến hiện tượng Runge. Điều này đòi hỏi các nhà nghiên cứu phải tìm ra các phương pháp hiệu quả hơn để giảm thiểu sai số.

2.1. Sai số trong nội suy Nguyên nhân và cách khắc phục

Sai số trong nội suy thường xuất phát từ việc sử dụng quá nhiều điểm nút. Hiện tượng Runge có thể xảy ra khi sử dụng đa thức bậc cao. Để khắc phục, có thể sử dụng các phương pháp nội suy khác như nội suy spline hoặc nội suy Lagrange.

2.2. Thách thức trong xấp xỉ hàm Độ chính xác và tính khả thi

Xấp xỉ hàm gặp khó khăn khi dữ liệu thực nghiệm không chính xác. Việc tìm kiếm hàm xấp xỉ tốt nhất đòi hỏi phải cân nhắc giữa độ chính xác và tính khả thi. Các phương pháp như bình phương cực tiểu có thể được áp dụng để tối ưu hóa kết quả.

III. Phương pháp Nội Suy Các kỹ thuật chính và ứng dụng

Có nhiều phương pháp nội suy khác nhau, mỗi phương pháp có ưu điểm và nhược điểm riêng. Phương pháp nội suy Lagrange và Newton là hai trong số những phương pháp phổ biến nhất. Chúng được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như khoa học máy tính, kỹ thuật và tài chính.

3.1. Nội suy Lagrange Cách thức hoạt động và ứng dụng

Nội suy Lagrange sử dụng một đa thức để nội suy qua tất cả các điểm dữ liệu. Phương pháp này đơn giản và dễ hiểu, nhưng có thể gặp khó khăn với số lượng điểm lớn. Ứng dụng của nó bao gồm dự đoán giá trị trong các bài toán thực tế.

3.2. Nội suy Newton Ưu điểm và nhược điểm

Nội suy Newton sử dụng tỉ sai phân để xây dựng đa thức nội suy. Phương pháp này có thể dễ dàng mở rộng và điều chỉnh với các điểm mới. Tuy nhiên, nó cũng có thể gặp phải vấn đề tương tự như nội suy Lagrange khi số lượng điểm tăng lên.

IV. Phương pháp Xấp Xỉ Các kỹ thuật chính và ứng dụng

Xấp xỉ hàm có thể được thực hiện thông qua nhiều phương pháp khác nhau, bao gồm bình phương cực tiểu và spline. Những phương pháp này giúp tìm kiếm hàm gần đúng nhất với dữ liệu thực nghiệm, từ đó cải thiện độ chính xác của các mô hình toán học.

4.1. Phương pháp bình phương cực tiểu Nguyên lý và ứng dụng

Phương pháp bình phương cực tiểu tìm kiếm hàm xấp xỉ bằng cách tối thiểu hóa tổng bình phương sai số giữa giá trị thực nghiệm và giá trị dự đoán. Phương pháp này rất phổ biến trong thống kê và phân tích dữ liệu.

4.2. Spline Đặc điểm và ứng dụng trong thực tiễn

Spline là một phương pháp xấp xỉ sử dụng các đa thức bậc thấp trên từng đoạn. Phương pháp này giúp giảm thiểu sai số và cải thiện tính mượt mà của hàm xấp xỉ. Spline thường được sử dụng trong đồ họa máy tính và xử lý tín hiệu.

V. Kết luận Tương lai của Nội Suy và Xấp Xỉ Hàm

Nội suy và xấp xỉ hàm sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng. Với sự phát triển của công nghệ và các phương pháp mới, khả năng tính toán và độ chính xác của các phương pháp này sẽ ngày càng được cải thiện. Việc nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp này sẽ mở ra nhiều cơ hội mới trong tương lai.

5.1. Xu hướng phát triển trong nghiên cứu nội suy

Nghiên cứu về nội suy đang hướng tới việc phát triển các phương pháp mới, hiệu quả hơn. Các kỹ thuật học máy và trí tuệ nhân tạo có thể được áp dụng để cải thiện độ chính xác và khả năng dự đoán của các mô hình nội suy.

5.2. Tương lai của xấp xỉ hàm trong khoa học và công nghệ

Xấp xỉ hàm sẽ tiếp tục được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như khoa học dữ liệu, kỹ thuật và tài chính. Việc phát triển các phương pháp xấp xỉ mới sẽ giúp cải thiện độ chính xác và hiệu quả trong việc xử lý dữ liệu thực nghiệm.

Nội dung chính

Tổng quan về giáo trình

Nội dung tài liệu thuộc học phần Phương pháp tính (hoặc Giải tích số), một học phần cơ sở ngành quan trọng trong chương trình đào tạo trình độ Đại học và Cao học thuộc các khối ngành Toán ứng dụng, Khoa học máy tính, Công nghệ thông tin và Kỹ thuật công nghệ. Học phần giữ vai trò cầu nối giữa toán học giải tích lý thuyết và các thuật toán tính toán số thực thi trên máy tính.

Mục tiêu học tập của tài liệu tập trung vào việc cung cấp các nguyên lý, công thức giải tích và quy trình giải thuật để xấp xỉ các hàm số liên tục chưa biết tường minh hoặc xử lý các tập dữ liệu số rời rạc thu được từ thực nghiệm. Sau khi học, người học có khả năng:

• Xây dựng đa thức nội suy Lagrange và Newton trên các lưới điểm nút bất kỳ hoặc cách đều.
• Ước lượng cận trên của sai số phương pháp thông qua đạo hàm cấp cao $f^{(n+1)}(x)$.
• Thiết lập đường cong trơn Spline bậc 3 (Spline tự nhiên và Spline ràng buộc) giải quyết hiện tượng đa thức bậc cao.
• Vận dụng phương pháp bình phương cực tiểu để tìm đường cong thực nghiệm tối ưu cho dữ liệu có nhiễu đo đạc.

Cấu trúc nội dung được thiết kế theo tiến trình logic chặt chẽ: từ bài toán xấp xỉ hàm đại số tổng quát, phát triển thành các công thức nội suy đa thức toàn cục (Lagrange, Newton), nhận diện giới hạn khi số điểm nút tăng cao để chuyển tiếp sang kỹ thuật nội suy từng đoạn (Spline bậc 3), và mở rộng sang bài toán xấp xỉ thống kê phi nội suy (Bình phương cực tiểu). Điểm đặc sắc của tài liệu là tính quy trình hóa cao, thể hiện qua các bảng tính toán trung gian (bảng tích dòng, bảng tỉ sai phân, bảng sai phân hữu hạn) và việc quy đổi bài toán giải tích về hệ phương trình đại số tuyến tính dạng $Ac = b$.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương/chủ đề chính

Nội dung trọng tâm được chia thành năm chủ đề kỹ thuật nối tiếp nhau:

1. Đặt bài toán nội suy và xấp xỉ hàm:

   • Xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc thay thế hàm số liên tục $y = f(x)$ trên đoạn $[a, b]$ bằng đa thức đại số $p_n(x)$ có bậc không vượt quá $n$.
   • Thiết lập điều kiện cân bằng tại các điểm nút nội suy: $p_n(x_k) = y_k$ với $k = 0, 1, \dots, n$, trong đó các giá trị $x_k$ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

2. Đa thức nội suy Lagrange và đánh giá sai số:

   • Xây dựng công thức tổng quát $L_n(x) = \sum_{k=0}^{n} y_k \frac{\prod_{j \neq k}(x - x_j)}{\prod_{j \neq k}(x_k - x_j)}$.
   • Biểu diễn thuật toán tính toán qua phương pháp lập bảng tích dòng $D_k$ tại điểm cần tính gần đúng.
   • Xét trường hợp đặc biệt với các điểm nút cách đều theo bước $h = x_{k+1} - x_k$.
   • Thiết lập công thức sai số: Giả sử $f(x)$ có đạo hàm cấp $n+1$ liên tục trên $[a, b]$, sai số được chặn bởi $|R_n(x)| \le \frac{M_{n+1}}{(n+1)!} |\omega_{n+1}(x)|$, với $M_{n+1} = \max_{[a,b]} |f^{(n+1)}(x)|$ và $\omega_{n+1}(x) = \prod_{k=0}^{n}(x - x_k)$.

3. Đa thức nội suy Newton:

   • Định nghĩa tỉ sai phân từ cấp 1 ($f[x_k, x_{k+1}] = \frac{f(x_{k+1}) - f(x_k)}{x_{k+1} - x_k}$) đến tỉ sai phân cấp $p$ thông qua công thức truy hồi; xây dựng bảng tỉ sai phân.
   • Thiết lập đa thức Newton tiến và Newton lùi cho mốc nút bất kỳ.
   • Mở rộng trên lưới điểm nút cách đều: định nghĩa sai phân hữu hạn $\Delta y_k = y_{k+1} - y_k$, $\Delta^p y_k = \Delta^{p-1} y_{k+1} - \Delta^{p-1} y_k$; triển khai công thức Newton tiến theo biến $q = \frac{x - x_0}{h}$ và Newton lùi theo biến $p = \frac{x - x_n}{h}$.

4. Kỹ thuật nội suy Spline bậc 3 (Cubic Spline):

   • Đặt vấn đề: khi số điểm nút $n$ lớn, đa thức bậc cao gây khó khăn tính toán và dao động. Giải pháp là xấp xỉ bằng hàm ghép bậc 3 $g(x)$ thỏa mãn $g(x) \in C^2[a, b]$.
   • Dạng đa thức trên từng đoạn $[x_k, x_{k+1}]$: $g_k(x) = a_k + b_k(x - x_k) + c_k(x - x_k)^2 + d_k(x - x_k)^3$.
   • Thiết lập hệ phương trình tuyến tính gồm $n-1$ phương trình xác định hệ số $c_k$.
   • Bổ sung điều kiện biên:
     • Spline tự nhiên: $g''(a) = g''(b) = 0 \implies c_0 = c_n = 0$.
     • Spline ràng buộc: $g'(a) = \alpha, g'(b) = \beta$.
   • Thuật toán giải ma trận $Ac = b$ và tính toán các hệ số dẫn xuất $a_k, b_k, d_k$.

5. Bài toán xấp xỉ thực nghiệm bằng phương pháp bình phương cực tiểu:

   • Đặt bài toán: Dữ liệu đo đạc thực tế chứa sai số, không phù hợp để áp dụng nội suy đi qua toàn bộ các điểm.
   • Tìm hàm xấp xỉ dạng tổ hợp tuyến tính $f(x) = \sum_{j=1}^{m} A_j f_j(x)$ (với $f_j(x)$ là hàm đại số, lũy thừa, lượng giác, mũ hoặc logarit).
   • Tối thiểu hóa hàm sai số bình phương tổng cộng $S(A_1, \dots, A_m) = \sum_{k} [y_k - f(x_k)]^2$.
   • Tìm điểm dừng thông qua hệ phương trình đạo hàm riêng $\frac{\partial S}{\partial A_j} = 0$ để xác định các tham số mô hình.

Kiến thức nền tảng được xây dựng

• Lý thuyết sai phân và xấp xỉ hàm: Cơ sở giải tích hàm về tính liên tục, khả vi cấp cao và hành vi tiệm cận của đa thức đại số.
• Nguyên lý nội suy từng đoạn: Duy trì tính trơn bậc hai ($C^2$) trên toàn miền xác định mà không làm tăng bậc của đa thức thành phần.
• Tối ưu hóa và Đại số tuyến tính ứng dụng: Thiết lập điều kiện dừng cực trị cho hàm nhiều biến, chuyển hóa các phép tính giải tích thành việc giải hệ phương trình ma trận ba đường chéo hoặc ma trận hệ số chuẩn.

Kỹ năng phát triển

• Kỹ năng tính toán giải thuật: Lập bảng tích dòng Lagrange, bảng tỉ sai phân và bảng sai phân hữu hạn; giải hệ ma trận kích thước $(n+1) \times (n+1)$ tìm vector hệ số Spline.
• Kỹ năng phân tích sai số: Tính toán đạo hàm cấp $n+1$, xác định giá trị cực đại $M_{n+1}$ trên đoạn $[a, b]$, đánh giá sai số biên tuyệt đối cho bài toán tính gần đúng.
• Kỹ năng mô hình hóa dữ liệu: Nhận dạng phân bố bảng số liệu để lựa chọn dạng hàm hồi quy phù hợp (tuyến tính $A + Bx$, lượng giác $A\cos x + B\sin x$, hay phi tuyến kết hợp $Ax^2 + B\sin x$).

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Tài liệu áp dụng phương pháp tiếp cận sư phạm định hướng giải thuật thực hành: mỗi công thức toán học đều đi kèm với lược đồ tính toán và các bước giải chi tiết (Step-by-step Algorithms).

Hệ thống bài tập và ví dụ minh họa

Các ví dụ mẫu được xây dựng với dữ liệu số cụ thể nhằm minh chứng trực tiếp cho lý thuyết:

• Ví dụ nội suy Lagrange: Xây dựng đa thức bậc 2 qua bảng 3 điểm ${(0, 1), (1, -1), (3, 2)}$ để tính xấp xỉ $f(2) = -\frac{2}{3}$; lập bảng tích dòng trên tập 4 điểm ${0, 1, 3, 4}$ để tính $f(2) = 2$.
• Ví dụ đánh giá sai số: Xét hàm $f(x) = 2^x$ trên đoạn $[0, 1]$ với 5 mốc nút ${0; 0.25; 0.5; 0.75; 1}$, tính $f^{(5)}(x) = (\ln 2)^5 2^x$ và cận trên $M_5 = 2(\ln 2)^5$ tại điểm $x = 0.45$.
• Ví dụ nội suy Newton: Tính $f(0.12)$ bằng Newton tiến và $f(0.9)$ bằng Newton lùi trên đoạn $[0, 1]$; tính giá trị hàm lượng giác tại $x = 32^\circ$ (dùng Newton tiến với $q = 0.4$) và $x = 44^\circ$ (dùng Newton lùi với $p = -0.2$) trên lưới mốc cách đều bước $h = 5^\circ$.
• Ví dụ Spline bậc 3: Xây dựng Spline tự nhiên trên bảng 3 điểm ${(0, 1), (2, 1), (5, 4)}$ với hệ số $c_0 = c_2 = 0, c_1 = \frac{3}{10}$; trên bảng 4 điểm ${(0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 8)}$ tìm $c_1 = \frac{2}{5}, c_2 = \frac{7}{5}$; xây dựng Spline ràng buộc trên đoạn $[0, 2]$ với điều kiện đạo hàm biên $g'(0) = g'(2) = 0$.
• Ví dụ bình phương cực tiểu: Khớp mô hình tuyến tính $f(x) = A + Bx$, mô hình lượng giác $f(x) = A\cos x + B\sin x$, và mô hình hỗn hợp $f(x) = Ax^2 + B\sin x$ trên các chuỗi số liệu thực nghiệm.

Đánh giá và tự học

• Đánh giá kết quả: Đối chiếu trực tiếp giữa giá trị xấp xỉ tính toán được với giá trị giải tích chính xác; kiểm tra tính thỏa mãn của các điều kiện biên và tính liên tục đạo hàm cấp 1, cấp 2 tại các điểm nối nút Spline.
• Quy trình tự học: Người học cần thực hành lập bảng số liệu thủ công theo từng bước trước khi chuyển đổi thuật toán thành các chương trình tính toán số.

---

Điểm nổi bật và cập nhật

• Giải quyết triệt để vấn đề đa thức bậc cao: Giáo trình làm rõ hạn chế của các đa thức nội suy bậc cao toàn cục khi số điểm nút $n$ lớn, từ đó cung cấp giải pháp chuyển tiếp sang kỹ thuật Spline bậc 3 với tính chất trơn $C^2[a, b]$, đảm bảo tính ổn định số học.
• Mở rộng mô hình bình phương cực tiểu đa dạng: Phương pháp bình phương cực tiểu không bó hẹp trong hồi quy tuyến tính mà xử lý tổng quát cho các họ hàm cơ sở phi tuyến như hàm lượng giác ($A\cos x + B\sin x$) và hàm hỗn hợp ($Ax^2 + B\sin x$).
• Cấu trúc thuật toán chuẩn hóa đại số: Tất cả các bài toán xây dựng Spline đều được chuẩn hóa về quy trình thiết lập ma trận ba đường chéo $Ac = b$, tạo tiền đề trực tiếp cho việc triển khai trên các thư viện lập trình tính toán đại số ma trận.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

• Sinh viên: Sinh viên từ năm thứ hai trở đi thuộc các ngành Khoa học máy tính, Công nghệ phần mềm, Toán - Tin ứng dụng, Kỹ thuật Cơ khí, Điện tử - Tự động hóa, Xây dựng công trình.
• Kiến thức tiên quyết (Prerequisites):
  • Giải tích cổ điển: Đạo hàm cấp cao, vi phân, khai triển chuỗi, đạo hàm riêng và tìm cực trị hàm nhiều biến.
  • Đại số tuyến tính: Phép toán ma trận, định thức, các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính đại số.
• Giảng viên: Sử dụng làm tài liệu giảng dạy chính khóa hoặc biên soạn đề cương chi tiết cho môn Phương pháp tính; khai thác hệ thống ví dụ bảng số để thiết kế đề thi và bài tập lớn.
• Tự học và nghiên cứu ứng dụng: Kỹ sư dữ liệu, kỹ sư tính toán mô phỏng cần công cụ nội suy đường cong tham số hoặc xử lý số liệu đo đạc thực nghiệm.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với ai?

Tài liệu phù hợp cho sinh viên đại học, học viên cao học khối ngành Kỹ thuật và Công nghệ, cũng như các kỹ sư tính toán cần nắm vững các thuật toán xấp xỉ hàm và làm mịn số liệu rời rạc.

2. Cần kiến thức nền nào để học?

Người học cần hoàn thành các học phần Giải tích (đạo hàm cấp cao, cực trị hàm nhiều biến) và Đại số tuyến tính (ma trận, hệ phương trình đại số tuyến tính $Ac = b$).

3. Điểm khác biệt giữa các phương pháp trong giáo trình là gì?

• Lagrange / Newton: Nội suy chính xác đi qua mọi điểm nút, phù hợp khi số điểm $n$ nhỏ. Newton vượt trội khi cần bổ sung thêm mốc nội suy mới mà không phải tính lại từ đầu.
• Spline bậc 3: Nội suy từng đoạn duy trì độ trơn $C^2$, triệt tiêu hiện tượng dao động khi $n$ lớn.
• Bình phương cực tiểu: Xấp xỉ tối ưu tổng thể, không yêu cầu đường cong phải đi qua các điểm nút, chuyên dùng cho dữ liệu thực nghiệm có sai số ngẫu nhiên.

4. Làm sao để tự học hiệu quả?

Người học nên tuân thủ trình tự:

1. Nắm vững điều kiện bài toán;
2. Tự tay lập các bảng trung gian (bảng tích dòng, bảng tỉ sai phân, bảng sai phân hữu hạn);
3. Giải hệ phương trình hệ số ma trận trên các ví dụ mẫu có đáp số;
4. Viết mã nguồn lập trình tự động hóa các bước thuật toán.

5. Khi nào nên dùng công thức Newton tiến và khi nào nên dùng Newton lùi?

Trên lưới điểm nút cách đều:

• Dùng Newton tiến khi điểm cần tính gần đầu bảng số liệu ($x \approx x_0$, tham số $q = \frac{x - x_0}{h} > 0$).
• Dùng Newton lùi khi điểm cần tính gần cuối bảng số liệu ($x \approx x_n$, tham số $p = \frac{x - x_n}{h} < 0$).

---

Kết luận

Nội dung chương Nội suy và Xấp xỉ hàm thiết lập hệ thống phương pháp luận hoàn chỉnh để giải quyết bài toán tính gần đúng hàm số trong tính toán khoa học. Từ các kỹ thuật nội suy đa thức cổ điển (Lagrange, Newton) đến kỹ thuật nội suy phân đoạn hiện đại (Spline bậc 3) và xấp xỉ thống kê (Bình phương cực tiểu), tài liệu cung cấp đầy đủ công thức giải tích, đánh giá sai số và quy trình thuật toán ma trận rõ ràng. Lộ trình học tập khuyến nghị là nắm vững lý thuyết sai phân, thực hành giải các bài toán ma trận mẫu và cài đặt thuật toán trên các môi trường tính toán số chuyên dụng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 4 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM I. ĐẶT BÀI TOÁN : Để tính giá trị của một hàm liên tục bất kỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một đa thức, tính giá trị của đa thức từ đó tính được giá trị gần đúng của hàm Xét hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng số x xo x1 x2. yn  Các giá trị xk, k = 0, 1, ., n được sắp theo thứ tự tăng dần gọi là các điểm nút nội suy  Các giá trị yk = f(xk) là các giá trị cho trước của hàm tại xk Bài toán : xây dựng 1 đa thức pn(x) bậc ≤n thoả điều kiện pn(xk) = yk, k=0,1,. Đa thức này gọi là đa thức nội suy của hàm f(x).

ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE: y = f(x) và bảng số x xo x1 x2. yn Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x) trên [a,b]=[x0, xn]. Cho hàm Đặt Ta có Đa thức có bậc ≤ n và thỏa điều kiện Ln(xk) = yk gọi là đa thức nội suy Lagrange của hàm f Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x 0 1 3 y 1 -1 2 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange và tính gần đúng f(2). Giải n=2 Đa thức nội suy Lagrange f(2) Ln(2) = -2/3  Cách biểu diễn khác : Để tính giá trị của Ln(x), ta lập bảng x x0 x1.

x1- xn D1 tích dòng …. … xn xn- x0 xn- x1 .6 Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x 0 1 3 4 y 1 1 2 -1 Tính gần đúng f(2) Ta lập bảng tại x = 2 x=2 0 1 3 4 0 2 -1 -3 -4 -24 1 1 1 -2 -3 6 3 3 2 -1 -1 6 4 4 3 1 -2 -24 4 Vậy f(2) Ln(2) = 4(-1/24 + 1/6 + 1/3 +1/24) = 2 TH đặc biệt : các điểm nút cách đều với bước h = xk+1 – xk Đặt Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x 1.4 y 15 18 19 24 Tính gần đúng f(1.375  Công thức đánh giá sai số : Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 liên tục trên [a,b]. Đặt Ta có công thức sai số Ví dụ : Cho hàm f(x)=2x trên đoạn [0,1]. Đánh giá sai số khi tính gần đúng giá trị hàm tại điểm x=0.45 sử dụng đa thức nội suy Lagrange khi chọn các điểm nút xo=0, x1=0.75, x4=1 Giải Ta có n = 4, f(5)(x) = (ln2)52x M5 = max |f(5)(x)| = 2(ln2)5 công thức sai số III.

ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON: 1. Tỉ sai phân : Cho hàm y = f(x) xác định trên [a,b]=[xo, xn] và bảng số x xo x1 x2. yn Đại lượng gọi là tỉ sai phân cấp 1 của hàm f trên [xk,xk+1] Tỉ sai phân cấp 2 Bằng qui nạp ta định nghĩa tỉ sai phân cấp p Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x 1.28 Tính các tỉ sai phân Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân k xk f(xk) f[xk,xk+1] f[xk,xk+1,xk+2] f[xk,xk+1,xk+2,xk+3] 0 1. Đa thức nội suy Newton :  Công thức Newton tiến  Công thức Newton lùi Để đánh giá sai số của đa thức nội suy Newton, ta dùng công thức sai số của đa thức nội suy Lagrange Ví dụ : Cho hàm f xác định trên [0,1] và bảng số x 0 0.7183 Tính gần đúng f(0.12) bằng Newton tiến và f(0.9) bằng Newton lùi Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân xk f(xk) f[xk,xk+1] f[xk,xk+1,xk+2] f[xk,xk+1,xk+2,xk+3] 0 2 0.