Bài Toán Nội Suy Và Mạng Nơron RBF

Bài toán nội suy có thể được hiểu là quá trình xây dựng một hàm số đi qua một tập hợp các điểm dữ liệu cho trước. Ứng dụng của nội suy rất đa dạng, từ việc xấp xỉ các hàm số phức tạp, dự đoán giá trị dựa trên dữ liệu quá khứ, đến xử lý ảnh và âm thanh. Việc lựa chọn phương pháp nội suy phù hợp phụ thuộc vào tính chất của dữ liệu và yêu cầu về độ chính xác và tốc độ tính toán. Theo tài liệu, "Nội suy hàm số là một bài toán quan trọng trong giải tích số và nhận dạng mẫu đang được ứng dụng rộng rãi."

Mạng nơ-ron nhân tạo cung cấp một phương pháp mạnh mẽ để giải quyết bài toán nội suy, đặc biệt trong trường hợp các hàm số phức tạp hoặc dữ liệu nhiễu. Khả năng học và xấp xỉ hàm của ANN cho phép xây dựng các mô hình nội suy linh hoạt và chính xác. Các kiến trúc mạng nơ-ron khác nhau, như mạng MLP và mạng RBF, có những ưu điểm và hạn chế riêng trong việc giải quyết các bài toán nội suy khác nhau. Mạng RBF đặc biệt hiệu quả nhờ khả năng hội tụ nhanh và đảm bảo đến cực trị toàn cục. Theo tài liệu gốc, mạng nơ ron nhân tạo là cách tiếp cận tốt để khắc phục những nhược điểm trên.

Mạng RBF bao gồm ba lớp chính: lớp đầu vào, lớp ẩn (với các nơ-ron RBF), và lớp đầu ra. Mỗi nơ-ron trong lớp ẩn tính toán khoảng cách giữa đầu vào và tâm của nó, sau đó áp dụng một hàm cơ sở để tạo ra một giá trị kích hoạt. Lớp đầu ra kết hợp các giá trị kích hoạt này để tạo ra kết quả nội suy. Việc lựa chọn hàm cơ sở thích hợp (ví dụ: Gaussian RBF, Multiquadric RBF) ảnh hưởng đến hiệu suất của mạng. Theo hình 5.5, mô hình kiến trúc mạng nơ ron RBF được mô tả chi tiết.

Một số loại hàm cơ sở bán kính phổ biến bao gồm Gaussian RBF, Multiquadric RBF, và Inverse Multiquadric RBF. Gaussian RBF là lựa chọn phổ biến nhất, với dạng chuông quen thuộc. Multiquadric RBF và Inverse Multiquadric RBF có hình dạng khác biệt và có thể phù hợp hơn cho một số bài toán cụ thể. Việc lựa chọn hàm cơ sở phù hợp có thể ảnh hưởng đến độ chính xác và tính ổn định của mạng nội suy. Theo hình 2.2 mô tả hàm cơ sở bán kính Gauss với σ = 1.

Có nhiều phương pháp huấn luyện mạng RBF, bao gồm phương pháp huấn luyện một pha, huấn luyện hai pha, và huấn luyện đầy đủ. Phương pháp huấn luyện một pha thường sử dụng thuật toán cực tiểu hóa lỗi để tìm các tham số tối ưu. Phương pháp huấn luyện hai pha tách biệt việc xác định tâm và độ rộng của các hàm cơ sở với việc xác định trọng số lớp đầu ra. Phương pháp huấn luyện đầy đủ cố gắng tối ưu hóa tất cả các tham số cùng một lúc, nhưng có thể tốn nhiều thời gian hơn. Theo tài liệu, thuật toán huấn luyện mạng có vai trò rất quan trọng, nó ảnh hưởng trực tiếp đến tính hội tụ và tổng quát của mạng.

Thuật toán HDH, như đề xuất trong luận án, dựa trên lý thuyết về điểm bất động của ánh xạ co. Bằng cách chia quá trình huấn luyện thành hai pha, thuật toán này có thể tìm kiếm các tham số tối ưu một cách hiệu quả hơn. Pha đầu tiên tập trung vào việc xác định độ rộng của các hàm cơ sở, trong khi pha thứ hai tối ưu hóa trọng số lớp đầu ra. Theo tài liệu gốc, thuật toán này còn giúp việc ước lượng sai số huấn luyện dễ dàng hơn.

Pha 1 của thuật toán HDH xác định tham số độ rộng bằng cách sử dụng một phương pháp lặp, trong đó mỗi lần lặp cập nhật độ rộng dựa trên khoảng cách giữa các điểm dữ liệu. Pha 2 tìm kiếm trọng số lớp đầu ra bằng cách sử dụng một phép lặp xác định điểm bất động, đảm bảo sự hội tụ nhanh chóng và chính xác. Việc sử dụng phép lặp điểm bất động đảm bảo rằng thuật toán sẽ hội tụ đến một nghiệm duy nhất, đồng thời giúp ước lượng sai số.

Kết quả thực nghiệm cho thấy thuật toán HDH có tốc độ hội tụ nhanh hơn và độ chính xác cao hơn so với phương pháp Gradient. Thuật toán HDH cũng ít bị ảnh hưởng bởi các tham số điều chỉnh hơn, làm cho nó dễ sử dụng hơn. Quan trọng nhất, HDH cho tính tổng quát tốt hơn, điều này quan trọng để đảm bảo rằng mạng RBF có thể hoạt động tốt trên dữ liệu chưa từng thấy.

Khi các mốc nội suy được phân bố đều trong không gian, có thể tận dụng thông tin này để thiết kế các thuật toán huấn luyện hiệu quả hơn. Thuật toán một pha đề xuất trong luận án khai thác tính chất cách đều của các mốc nội suy để tối ưu hóa quá trình huấn luyện. Khoảng cách Mahalanobis được sử dụng để điều chỉnh hình dạng của các hàm cơ sở, làm cho chúng phù hợp hơn với cấu trúc của dữ liệu.

Thuật toán QHDH, thuật toán một pha mới, giảm đáng kể thời gian huấn luyện so với thuật toán HDH (hai pha). Nó cũng cải thiện độ chính xác và tính tổng quát của mạng. QHDH sử dụng một công thức cập nhật duy nhất để đồng thời điều chỉnh các tham số độ rộng và trọng số, loại bỏ nhu cầu lặp lại qua hai pha riêng biệt. Bảng 6.1 so sánh thời gian huấn luyện giữa thuật toán 2 pha HDH và 1 pha QHDH.

So sánh QHDH với các thuật toán huấn luyện nhanh khác như QTL và QTH cho thấy QHDH đạt được sự cân bằng tốt giữa tốc độ huấn luyện, độ chính xác và tính tổng quát. Kết quả thực nghiệm cho thấy QHDH vượt trội hơn trong nhiều trường hợp, đặc biệt khi số lượng điểm dữ liệu lớn. Bảng 6.2 so sánh sai số và thời gian huấn luyện của các thuật toán QHDH, HDH, QTL, QTH với 1331 mốc của hàm 3 biến.

Mạng RBF địa phương phân vùng không gian đầu vào thành các vùng nhỏ hơn, mỗi vùng được xử lý bởi một mạng RBF riêng biệt. Cách tiếp cận này cho phép mạng thích ứng tốt hơn với các thay đổi cục bộ trong dữ liệu, làm cho nó phù hợp hơn cho các bài toán động. Quá trình phân vùng thường sử dụng thuật toán cây k-d để đảm bảo các vùng có số lượng điểm dữ liệu tương đương.

Thuật toán cây k-d là một phương pháp hiệu quả để phân chia không gian thành các vùng nhỏ hơn. Thuật toán này đệ quy chia không gian dọc theo các trục tọa độ, sao cho mỗi vùng chứa một số lượng điểm dữ liệu nhất định. Quá trình chia dừng lại khi mỗi vùng chứa ít hơn một số lượng điểm dữ liệu tối đa được xác định trước. Theo hình 7.4 mô tả cây K-D mô tả tập dữ liệu trong không gian 2 chiều, với N=38, M=10.

Trong các bài toán động, dữ liệu có thể thay đổi theo thời gian. Để thích ứng với những thay đổi này, mạng RBF địa phương có thể được huấn luyện tăng cường khi có dữ liệu mới. Quá trình huấn luyện tăng cường bao gồm việc cập nhật các tham số của các mạng RBF cục bộ để phản ánh những thay đổi trong dữ liệu. Hình 7.9 so sánh thời gian huấn luyện tăng cường khi có mốc mới.

Luận án này đã đề xuất các thuật toán huấn luyện mới cho mạng nơ-ron RBF, bao gồm HDH và QHDH. Nó cũng đã trình bày một kiến trúc mạng RBF địa phương cho các bài toán thời gian thực. Các kết quả thực nghiệm cho thấy các phương pháp đề xuất có hiệu suất tốt hơn so với các phương pháp hiện có. Các kết quả này đã được công bố trong các tạp chí khoa học và hội nghị quốc tế.

Các hướng nghiên cứu tiềm năng trong tương lai bao gồm việc phát triển các thuật toán huấn luyện thích ứng hơn, khám phá các kiến trúc mạng RBF phức tạp hơn, và áp dụng các phương pháp đề xuất cho các bài toán ứng dụng thực tế. Cần có thêm nghiên cứu để hiểu rõ hơn về các tính chất lý thuyết của mạng RBF và để phát triển các phương pháp hiệu quả hơn để lựa chọn các tham số mạng.

Mạng RBF có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực thực tiễn, bao gồm điều khiển học, khai thác dữ liệu, xử lý ảnh, và nhận dạng mẫu. Việc sử dụng các thuật toán huấn luyện hiệu quả và các kiến trúc mạng phù hợp có thể giúp giải quyết các bài toán phức tạp trong các lĩnh vực này. Ứng dụng tiềm năng trong các lĩnh vực như dự báo thời tiết, dự đoán thị trường chứng khoán, và chẩn đoán y tế.