CHƯƠNG 1. NỘI SUY HÀM SỐ VÀ MẠNG NƠRON Nội suy hàm số là một bài toán quan trọng trong giải tích số và nhận dạng mẫu [5,22,30,36,38] đang được ứng dụng rộng rãi. Bài toán nội suy hàm một biến đã được nghiên cứu từ rất sớm gắn liền với các tên tuổi lớn như Lagrange và Newton. Nhưng trong các ứng dụng thực tế ta thường phải giải quyết bài toán nội suy nhiều biến và nó chỉ mới được quan tâm nghiên cứu trong năm mươi năm gần đây cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học máy tính.
Đầu tiên, người ta phát triển nội suy nhiều biến theo hướng sử dụng đa thức nhưng không hiệu quả do phức tạp trong tính toán và kết quả ứng dụng không tốt. Các phương pháp k- lân cận gần nhất Cover và Hart (1967) và hồi quy trọng số địa phương cho một giải pháp đơn giản, dễ sử dụng với bài toán này và đang là một công cụ tốt. Tuy nhiên các phương pháp này không thể huấn luyện trước được, mà chỉ xác định khi biết điểm cần nội suy. Như vậy, việc xác định giá trị hàm nội suy tại mẫu mới thực hiện khi đã biết mẫu để xác định láng giềng (lân cận).
Cách tiếp cận này sẽ gặp khó khăn khi áp dụng cho các bài toán cần xác định trước hàm nội suy. Mạng nơron nhân tạo là cách tiếp cận tốt để khắc phục những nhược điểm trên. Mặc dù còn vướng nhiều vấn đề mở về lý thuyết, nhưng hiện nay mạng nơron nhân tạo là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán nội suy hàm nhiều biến trong các bài toán ứng dụng thực tiễn. Trong đó thông dụng nhất là mạng MLP và mạng RBF ( xem [14,15,30]).
Chương này giới thiệu những điểm cơ bản của bài toán nội suy hàm số và mạng nơron nhiều tầng truyền tới (MLP) cần cho nội dung chính của luận án.1 giới thiệu về bài toán nội suy bao gồm nội suy đa thức cho hàm một biến và các khái niệm và tiếp cận chính đối với bài toán nội suy hàm nhiều biến.2 trình 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.RBF bày tổng quan về mạng nơron nhân tạo và giới thiệu về các mạng nơron nhiều tầng truyền tới. Nội suy hàm số Trong nhiều bài toán, ta cần tính giá trị của một hàm số tại những điểm của đối số trong miền D nào đó của không gian n-chiều, nhưng không có biểu diễn tường minh hàm số mà chỉ xác định được giá trị của hàm số trên một tập hữu hạn điểm của D. Việc xác định gần đúng hàm này dẫn tới bài toán nội suy và xấp xỉ hàm số. Bài toán nội suy tổng quát Bài toán nội suy tổng quát được phát biểu như sau.
Xét hàm nhiều biến chưa biết f : D (Rn)Rm nhưng xác định được một tập mẫu gồm N phần tử x , y k k N k 1 trong đó xkRn, ykRm ( k=1,. Ta cần tìm hàm g có dạng đủ tốt đã biết thỏa mãn: g(xi) = yi, i = 1,.1) Các điểm xk được gọi là các mốc nội suy còn hàm g gọi là hàm nội suy của f. Hàm nội suy thường được dùng để xấp xỉ hàm f trên miền D, giá trị hàm nội suy tính được tại điểm x bất kỳ trên miền D gọi là giá trị nội suy của hàm f tại x (hay gọn hơn là giá trị nội suy tại x nếu không có sự nhầm lẫn).1 minh họa hàm nội suy trong trường hợp một biến. 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.1 Minh họa bài toán nội suy hàm một biến Những giá trị yk tại mốc nội suy tương ứng xk có thể chứa nhiễu và nhiều trường hợp việc giải hệ phương trình (1.1) không có nghiệm đúng đối với dạng hàm g đã biết hoặc cho kết quả nội suy không tốt.
Một cách tiếp cận khác là thay đòi hỏi thỏa mãn hệ phương trình (1.1) bởi một tiêu chuẩn xấp xỉ tốt nhất (đủ tốt) nào đó, thông dụng nhất là tiêu chuẩn cực tiểu tổng bình phương sai số (gọi là bình phương tối thiểu cho gọn). Với cách tiếp cận này ta có bài toán xấp xỉ. Nội suy hàm một biến Bài toán nội suy hàm một biến đã được nghiên cứu từ hơn ba thế kỷ đến nay và khá hoàn thiện, đặc biệt là nội suy bằng đa thức. Trước khi đi vào trường hợp đa thức, ta xét lược đồ giải quyết tổng quát.
a) Lược đồ giải quyết cho nội suy hàm một biến. Trường hợp hàm một biến, bài toán nội suy được phát biểu như sau: Một hàm số y =f(x) chỉ xác định được tại các điểm x0 = a<x1<.<xn= b và yi=f(xi) i≤n. Ta cần tìm một biểu thức giải tích đủ đơn giản g(x) để xác định giá trị gần đúng của y : y g(x) tại các điểm x [a,b] sao cho tại các điểm xi ta có: g(xi) = yi. 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.RBF Lược đồ giải quyết : Giả sử đã biết các giá trị yi của hàm số tại các mốc nội suy xi tương ứng.
Chọn trước một hàm phụ thuộc (n+1) tham số độc lập c j nj0 (c0,c1,.,cn,x) thoả mãn các điều kiện nhất định. Người ta xác định các cj cho biểu thức nội suy nhờ hệ phương trình.,cn, xk) = yk k = 0,.,cn,x) là hàm phi tuyến thì hệ phương trình (1.2) không đảm bảo duy nhất nghiệm nên người ta thường chọn có dạng tuyến tính: n (1.,cn, x) = c k k ( x) k 0 Trong đó cj (j=1,.,n) là các tham số cần tìm và k ( x)nk 0 là họ hàm độc lập tuyến tính cho trước thoả mãn điều kiện định thức ma trận.4) Khi đó các cj trong hệ (1.2) luôn giải được duy nhất nghiệm. Các hàm số k(x) thường được chọn theo kinh nghiệm hoặc đơn giản là hàm lũy thừa xk để dễ tính toán. Với các c j nj 0 đã xác định nhờ điều kiện (1.,cn, x) là hàm nội suy và dùng làm công thức để tính giá trị f(x).
Khi g lấy trong lớp đa thức bậc n ta dễ dàng xác định được nhờ đa thức nội suy Lagrange mà không phải thực hiện thủ tục giải hệ phương trình tuyến tính. b) Đa thức nội suy Lagrange Trường hợp f là hàm một biến với n +1 mốc nội suy và hàm nội suy dạng đa thức thì nó phải là đa thức bậc n để hệ phương trình (1.2) có duy nhất nghiệm 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Khi đó hàm nội suy g(x) là đa thức nội suy Lagrange Ln(x) và được xây dựng như sau. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange.
Ký hiệu Ln(x) là đa thức nội suy bậc n cần tìm. Ta xây dựng đa thức này dưới dạng n (1.6) L ( x) k ik (x x ) n k i ik Thỏa mãn các điều kiện đã nêu và hàm g(x) = Ln(x) thoả mãn hệ phương trình (1.1) và là đa thức nội suy cần tìm. Sai số nội suy tại điểm x được ước lượng bằng công thức: f ( n 1) (c) n Rn ( x) (n 1)! k 0 ( x xk ) Với c là điểm thích hợp thuộc khoảng [a,b]. c) Công thức nội suy Newton cho trường hợp mốc cách đều Trường hợp các mốc nội suy thỏa mãn điều kiện: (b a ) xi+1 – xi = xi = h = (i 0,1,., n 1) ta nói các mốc này cách đều.
n x x0 Khi đó với phép biến đổi t các đa thức Lkn là đa thức bậc n theo t. Đa thức h này chỉ phụ thuộc vào số mốc n và giá trị hàm tại các mốc nên có nhiều cách biểu diễn đơn giản, dễ sử dụng. Ở đây chúng tôi giới thiệu công thức Newton tiến để biểu diễn đa thức này. Trước hết ta xây dựng công thức tổng quát.
20 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.RBF Công thức tổng quát Đặt, x - x0 = th (1.8) Ta có, x x k (t k )h Thay vào (1. Các biểu diễn công thức này qua các sai phân hữu hạn cho ta các dạng công thức nội suy Newton. Ở đây sẽ trình bày công thức nội suy Newton tiến. Trước khi giới thiệu công thức, ta cần định nghĩa sai phân hữu hạn của hàm số.
Sai phân hữu hạn Trường hợp các mốc cách đều, tức là: xi+1 – xi = xi = h =const (i=1,2,. Các sai phân hữu hạn của hàm y = f(x) được xác định như sau: Sai phân cấp một: yi = yi+1 – yi Sai phân cấp hai: 2yi = yi+1 – yi ---------------------------------------- Sai phân cấp k: kyi = k-1yi+1 – k-1yi Với các sai phân được xác định như trên ta có công thức nội suy Newton như sau. Công thức nội suy Newton 21 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.RBF Với phép biến đổi x-x0 = th như trên đa thức nội suy được biễu diễn bởi công thức : t (t 1) 2 t (t 1).12) Rn ( x) h n 1 f (c ) (n 1)! Sai số này cũng có thể ước lượng thô nhờ thêm vào mốc xn+1: n 1 y 0 (1.(t n) (n 1)! Khi có nhiều mốc nội suy, hàm nội suy sẽ là đa thức bậc cao. Chúng thuộc loại hàm không ổn định (sai số đối số bé nhưng sai số hàm số lớn), và dễ xảy ra hiện tượng phù hợp trội (overfitting).
Tức là cho giá trị nội suy có sai số lớn tại các điểm khác mốc nội suy. Để khắc phục hiện tượng này, phương pháp thông dụng là dùng hàm nội suy Spline. d) Nội suy Spline Để khắc phục hiện tượng phù hợp trội khi có nhiều mốc nội suy, người ta dùng các đa thức bậc thấp trên mỗi đoạn con của đoạn [a,b] và ghép trơn đến mức cần thiết trên toàn đoạn thành hàm nội suy, các hàm này có tên gọi là hàm Spline. Hàm Spline Định nghĩa: Hàm Spline bậc (m,k) trên đoạn [a,b] là hàm số có các tính chất sau : 1.
Tồn tại phân hoạch a = x0 < x1 <.,n-1, nó là đa thức bậc m 2. Trên [a,b] nó có đạo hàm cấp k liên tục. 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.RBF Từ định nghĩa ta thấy để hàm thoả mãn điều kiện 2 thì chỉ cần đạo hàm các cấp k ở hai phía của mỗi điểm chia xi (i=1,.,n-1) bằng nhau là đủ. Vì vậy nó còn được gọi là hàm ghép trơn.
Tập các hàm Spline bậc (m,k) trên đoạn [a,b] được ký hiệu là SPkm[a,b] nếu k = m-1 ta gọi Spline bậc m và ký hiệu SPm[a,b]. Xây dựng hàm nội suy Spline bậc m Giả sử y = f(x) đo được tại n+1 mốc nội suy a = x0 < x1 <.< xn = b là yi = f(xi) và Sm SPm[a,b] là hàm Spline được xác định bởi phân hoạch này.