Nội Suy Hàm Số: Một Số Vấn Đề Cơ Bản và Ứng Dụng

Khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu tốt nghiệp toán tin một số vấn đề về nội suy hàm số, vận dụng lý thuyết vào thực tế, đề xuất giải pháp cụ thể cho vấn đề toán học.

• Tác giả: Phạm Hữu Danh
• Người hướng dẫn: TS. Trịnh Công Diệu
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng
• Đề tài: Nội Suy Hàm Số: Phương Pháp và Ứng Dụng
• Loại tài liệu: luận văn tốt nghiệp đại học
• Năm xuất bản: 2008
• Địa điểm: TPHCM

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG MỞ ĐẦU: NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. ĐỊNH NGHĨA NỘI SUY
• 1.2. CÁC LỚP HÀM NỘI SUY
• 1.3. SAI SỐ CỦA PHÉP NỘI SUY
• 1.4. ÁP DỤNG NỘI SUY TÍNH GIÁ TRỊ HÀM SƠ CẤP, TÍNH TÍCH PHÂN
• 2. CHƯƠNG I: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ HÀM SPLINE
• 2.1. ĐỊNH NGHĨA NỘI SUY SPLINE BẬC BA
• 2.2. XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY SPLINE
• 2.3. TÍNH CHẤT HÀM SPLINE BẬC BA
• 2.4. NỘI SUY BẬC BA TỪNG ĐOẠN
• 3. CHƯƠNG II: ÁP DỤNG CỦA HÀM SPLINE
• 3.1. TÍNH GIÁ TRỊ HÀM SƠ CẤP
• 3.2. SO SÁNH NỘI SUY SPLINE VÀ NỘI SUY ĐA THỨC TỪNG ĐOẠN
• 3.3. TÍNH TÍCH PHÂN
• 3.4. SO SÁNH VỚI NỘI SUY ĐA THỨC TỪNG ĐOẠN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Nội Suy Hàm Số Khái Niệm và Ý Nghĩa

Nội suy hàm số là một phương pháp quan trọng trong giải tích số, cho phép ước lượng giá trị của hàm số tại các điểm chưa biết dựa trên các giá trị đã biết. Phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán thực tiễn mà còn là nền tảng cho nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học và khoa học máy tính. Việc hiểu rõ về nội suy hàm số sẽ giúp các nhà nghiên cứu và kỹ sư có thể áp dụng hiệu quả trong các bài toán thực tế.

1.1. Định Nghĩa Nội Suy Hàm Số

Nội suy hàm số là quá trình tìm một hàm số g(x) để thay thế cho hàm số f(x) đã biết tại một số điểm nhất định. Điều này cho phép ước lượng giá trị của f(x) tại các điểm khác trong khoảng [a, b].

1.2. Lịch Sử Phát Triển Nội Suy Hàm Số

Nội suy hàm số đã được nghiên cứu từ lâu, với các phương pháp như nội suy Lagrange và Newton. Những phương pháp này đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ khoa học tự nhiên đến kỹ thuật.

II. Các Vấn Đề và Thách Thức Trong Nội Suy Hàm Số

Mặc dù nội suy hàm số là một công cụ mạnh mẽ, nhưng nó cũng gặp phải nhiều thách thức. Các vấn đề như sai số trong nội suy, lựa chọn điểm mốc và độ phức tạp tính toán là những yếu tố cần được xem xét kỹ lưỡng.

2.1. Sai Số Trong Nội Suy Hàm Số

Sai số là một trong những vấn đề lớn nhất trong nội suy. Sai số có thể phát sinh từ nhiều nguồn, bao gồm sai số do phương pháp và sai số do dữ liệu đầu vào không chính xác.

2.2. Lựa Chọn Điểm Mốc Nội Suy

Việc lựa chọn điểm mốc nội suy là rất quan trọng. Nếu các điểm mốc không được chọn hợp lý, kết quả nội suy có thể không chính xác và dẫn đến sai số lớn.

III. Phương Pháp Nội Suy Hàm Số Các Kỹ Thuật Chính

Có nhiều phương pháp nội suy khác nhau, mỗi phương pháp có ưu điểm và nhược điểm riêng. Các phương pháp phổ biến bao gồm nội suy đa thức, nội suy spline và nội suy bậc hai.

3.1. Nội Suy Đa Thức

Nội suy đa thức là phương pháp sử dụng đa thức để ước lượng giá trị của hàm số. Phương pháp này đơn giản và dễ thực hiện, nhưng có thể gặp phải vấn đề về độ chính xác khi số lượng điểm mốc tăng lên.

3.2. Nội Suy Spline

Nội suy spline là một phương pháp tiên tiến hơn, sử dụng các đa thức bậc thấp trên từng đoạn để tạo ra một hàm nội suy mượt mà hơn. Phương pháp này thường cho kết quả chính xác hơn so với nội suy đa thức.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Nội Suy Hàm Số

Nội suy hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, từ việc tính toán giá trị hàm số trong khoa học đến việc phân tích dữ liệu trong kỹ thuật. Các ứng dụng này cho thấy tầm quan trọng của nội suy trong nhiều lĩnh vực.

4.1. Tính Giá Trị Hàm Số

Nội suy được sử dụng để tính giá trị gần đúng của hàm số tại các điểm không có dữ liệu. Điều này rất hữu ích trong các bài toán thực tế khi dữ liệu không đầy đủ.

4.2. Tính Tích Phân

Nội suy cũng được áp dụng trong việc tính tích phân, giúp ước lượng diện tích dưới đường cong của hàm số mà không cần phải tính toán trực tiếp.

V. Kết Luận và Tương Lai Của Nội Suy Hàm Số

Nội suy hàm số là một lĩnh vực quan trọng trong giải tích số và có nhiều tiềm năng phát triển trong tương lai. Với sự phát triển của công nghệ và máy tính, các phương pháp nội suy sẽ ngày càng trở nên chính xác và hiệu quả hơn.

5.1. Xu Hướng Nghiên Cứu Mới

Các nghiên cứu hiện tại đang tập trung vào việc cải thiện độ chính xác của các phương pháp nội suy và phát triển các thuật toán mới để xử lý dữ liệu lớn.

5.2. Tác Động Của Công Nghệ Mới

Công nghệ mới như trí tuệ nhân tạo và học máy có thể mang lại những bước tiến lớn trong việc phát triển các phương pháp nội suy, mở ra nhiều cơ hội mới cho nghiên cứu và ứng dụng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương I. SAI SÔ CỦA PHÉP NỘI SUY: 3. Sai Số Của Nội Suy Đa Thức: 3. Sai số do phương pháp: Giả sử P(x) là đa thức nội suy bậc n của ham số f(x) trên đoạn [a,b]: P(x,)= /(x),¡=0,n Lấy x tùy ý thuộc đoạn [a,b], cố định x.

Ta cần ước lượng sai số: R(x)= /(x)~P() Chi cần xét x # x,,i=0,n vì R(x,)=0,¡ =0,n Đặt: F{(z)= R(z)- ke(z) trong đó: @(z)=(z ~ xạ)(z ~ x,).(z~— x„) Một Số Vắn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh ga2)=*È) o(x) Dé thay: F(x,)=0,i=0,n F(x)=0 Do đó F(z) có n+2 nghiệm phân biệt. Theo định ly Rolle F(z) có n+1 nghiệm phân biệt, suy ra F`"(z) có n nghiệm phân biệt. Cuối cùng, ta có: F(z) có nghiệm £ e[a,"] Ta có: O= FO" (E) =f" -k(n+1)! Suy ra: ati) wn a So sánh hai công thức tinh k, ta có: ba mt) (n+!) fo) 0.5) Nếu đặt M =sup||7*°°(x)|:a<x<Ì thì ta có: |R(x)|< œaipŒf~*)Œ-5)-Œ~x} (0. Sai số do đữ liệu đầu vào: Giả sử thay vì biết được các giá trị đúng y, = ƒ (x,)„í =0,n ta chỉ biết được các giá trị gần đúng y¡ với sai số: l.~>|<A Khi đó thay vì đa thức nội suy: Một Số Vấn Dé Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh Sai số do dữ liệu đầu vào: |AP|=|P- Pls Say, me (0.

Sai Số Của Nội Suy Da Thức Từng Doan: Giả sử P(x) là đa thức nội suy từng đoạn của hàm f{x) trên [a,b] Ta cần đánh giá sai số: R(x)cf&)-P(@&) Trước tiên ta đánh giá sai số trên một trong k đoạn: [Z3 |J =Lk Không mắt tính tông quát, xét x €[x,,x,] Theo (0.6) sai số của phép nội suy trên [ x„.v chk +h +h)’ Nếu x €(x,,x,): (x) =(x-x)(x-%)(x; ~ x)(x ~ x) < (x, — y (x, =») <M(+h, +h) 12 Một Số Van Đề Vé Nội Say Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh Nếu xe(x,,x, ): @(x) =(x~%¿)(x~x\Ì(x~x;)(x — x) (x, = x,)' <(% - xạ)(; ~ x,) 4 =(h +h,+h,)(h, +h) <5 (0 +h +h) Đặt: h, = max{h,,b,,h,} Khi đó, sai số lớn nhất trên [x;,x,] là: 3 —a R= aM Một cách tổng quát, sai số lớn nhất có thé gặp phải trên [xy |J=k# 3 —‹ R, “ M,h, (0.8) trong đó: M,=se|J/|:xe[„. Tính Giá Trị Hàm Sơ Cấp. Bài toán: “Tinh giá trị gần đúng của f(x), kết quả làm tròn tới k chữ số thập phân, sai số không quá 10ˆ° ” 4. Phân tích: Đầu tiên ta phải chọn đoạn [a,b] chứa x và các mốc nội suy thích hợp trên [a,b].

Sau đó ta tiền hành nội suy đa thức từng đoạn để tính giá trị ham f{x). Tiếp theo ta làm tròn giá trị tính được tới k chữ số thập phân. Các mốc nội suy {x,}", được chọn phải thỏa: 13 Một Số Vấn Đề Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh Các giá trị {7,}"., tính được chính xác. * Sai số do phương pháp nằm trong phạm vi cho phép.

Trong bài toán này ta sẽ gặp hai sai số: i) Sai số do phương pháp: Sai số lớn nhất của P(x) trên [xy eit ;] là i Rese 4 32 trong đó: m1. Suy ra sai số lớn nhất có thẻ gặp: R= ME M =sup(|/'®(x)| xe[a»Ì) h=max{h, = 0,n} Ta chọn các điểm mốc nội suy sao cho sai số phương pháp không vượt quá 102 2 -t - pe MỸ SG”ng (09) 32 2 3 M ii) Sai số do làm tròn: Kết quả tính được có thể là một số thập phân, khi đó ta làm tròn tới k chữ số thập phân. Sai số do làm tròn sẽ không vượt quá = Kết quả cuối cùng sẽ là một số gồm k chữ số thập phân và sai số không vượt quá 10ˆ° 4. Thuật toán: * Bước |: 14 Một Số Vấn Dé Vé Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh Chọn đoạn [a,b] chứa x và 3k+1 mốc nội suy trên [a,b] thỏa: ¬ -# - Xã.

eR 32 2 3 M Bước 2: Xây dựng hàm nội suy đa thức P(x) từng đoạn trên [a,b] ứng với các mốc nội suy trên. Bước 3: Tính giá trị P(x). * Bước 4: Lam tròn P(x) tới k chữ số thập phân, được giá trị P(x) * Bước 5: Xuất kết quả: f(x) P(x) 4. 16 Ja” Tóm lại: hs 7810+ Ja? 45 dụ I: Vi Tim giá trị gần đúng của J6 , giá trị làm tròn tới 2 chữ số thập phân, sai số không quá 10” Giải * Bước 1: Xét đoạn [4,9] chứa 6.

Trên [4,9] xét các mốc nội suy: x |4 49/9 64/9 9 Một Số Van Dé Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh fi 2 7⁄3 8/3 3 = 5 17 =h=— 9 Các mốc nội nay thỏa yêu câu do: (2) <2 < 102/47 ~ Bước 2: Gọi P(x) là đa thức bậc ba xác định tại các mốc nội suy trên. Ham ƒ(x)=2” Ta có: /9(x)=(In2}'2* Do đó: M= sup{|/(x)| xe [z2Ì) =(In2)'2* Tóm lại: jt <l6_ 10” 3 (In2)'2° 16 Một Số Vin Đề Vé Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trjnh Công Điệu SVTH: Phạm Hữu Danh Ví dụ 2: Tinh gid trị gần đúng của 2'”, kết quả làm tròn tới 1 chữ số thập phân, sai số không quá 0,1 * Bước |: Xét đoạn [-3,3] chứa 1,2 với các mốc nội suy: xm [3 2 -1 0 1 2 3 f |e ⁄ Ys l 2 4 § * Bước 2: Gọi P(x) là đa thức nội suy từng đoạn của f(x) tại các mốc nội suy trên Trên [0,3]: P(x)=~c(x~1)(x~2)(x=3)+x(x=2)(x~3) ~2x(x—l)(x-3)+ sa(x- 1)(x-2) Y Bước 3: Do 1,2 e[0,3]nên giá trị gần đúng của 2`? là: P(1,2) =-0,0546 + 1,728 + 0,864 — 0,256 = 2,2784 * Bước 4: Làm tròn ta được: P(1,2)=2,3 * Bước 5: ? = 2,3 Kết quả: 2' 4. Tính Tích Phân: Cần tính tích phân: I =|7() Ta tính: J=[P(x)& trong đó P(x) là đa thức (hay đa thức từng đoạn) nội suy của f(x) Ta coi J là giá trị gần đúng của I. 17 Một Số Vấn Dé Vé Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh 4.

Xây dựng công thức: 4.1 Công thức Newton-Cotes: i) Cách làm: Đổi biển: x-a oy Ta duge: j f(s)4=(6-)]®(4)4£ với ®(£)= ƒ(a+(b~a)£) b-a Chia [a.b] thành n phần bằng nhau với bước h = ——~ ta được Ta có: Í®(£)4£~ [P(£)4£ trong đó (£) là đa thức nội suy Lagrange của ®(£) với các mốc nội suy {É/œ)=⁄] j(£-9)-Í£- °—*(¿-*‡*)-¿-0z (0.10) Một Số Van Đề Vé Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Đanh [P(£)a£=®%øp ii) Công thức: j7&)=(s~s)Š.11) Áp dụng công thức Newton-Cotes cho trường hợp n=3 ICGIGHGn: 9Ì 2) „D1 Poa P= 0-3 |9~ 3 } e - Ð K H ) n g , J7 (x)&=“=“(/+3⁄4+3⁄4+/) (0.12) Sai số của phép nội suy: Reis HC trong đó: N= sup||®'°(¿)| fe [o.1}} =(b- a)'sup||/'9(x)| xe [a,6]} =(b-a)'M Suy ra: Ïs@-]ze44 <|la(e)ae = =6” ll - AG = AG h ies 24 4 4 ma 0-4) a THƯ VIỆN | = am : 19 L_ HO-C TP.Hi-MINH Một Số Van Dé Về Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh Sai số: |f- J|*zoM@- a) (0. Dùng nội suy đa thức bac ba từng đoạn: i) Phương pháp: Cho hàm số f xác định trên (a,b). Cần tính tích phân: taf f(x)dx Chia đoạn [a,b] thành n=3k phan bằng nhau với các điểm chia: 1,=a+ih ¡=0,n trong đó h = —— n Xây dựng ham đa thức bậc ba từng đoạn P(x) tại các điểm chia trên. Khi đó ta thay việc tinh I bằng việc tính tích phân: b J=ÍP(x)& Ta coi J là giá trị gần đúng của 1.

Ta có: ja)&=Š > Í P&ø)&=Š f P(x)& fol xư,ụ “vả Theo (0.12) ta có: 20 Một Số Vin Dé Vé Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh | P.+2/,2+3a-a + fut fu) ii) Sai số do phương pháp: Y Sai số địa phương: n*sgngM.15) 3570 1190 với M =sup||/'°(x)|:xe[a.5Ì) iii) Sai số do dit liệu đầu vào: Giả sử thay vì biết được các giá trị đúng ƒ, ta chỉ biết được các giá trị gần [Z-/|<A/„i=0,n ° Khi đó sai số do dữ liệu đầu vào khi tính tích phân Í P(x)dx là: AI < "=" (yy +3Af, +3Af, +2A/, +. Bai toan: “Tinh giá trị gan đúng của tích phan 21 Một Số Van Dé Vé Nội Suy Ham Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh r=[7(x)& Kết quả làm tròn tới k chữ số thập phân, sai số không quá 10` ” 4. Phân tích: Đầu tiên ta phải chọn các mốc nội suy cách đều trên đoạn [a,b] sao cho sai số trong phạm vi cho phép. Tiếp đó ta dùng công thức (0.

Cuỗi cùng ta làm tròn kết quả thu được tới k chữ số thập phân. Cũng như khi tinh giá trị hàm sơ cắp, ta sẽ gặp phải hai sai số: i) Sai số do làm tròn: 10 Không vượt quá Kñ ii) Sai số do phương pháp: -& Ta phải chọn các mốc nội suy sao cho sai số không vượt quá < -k =k ---M(b-d «<<.17) 1190 2 27 (b¬a)M với M =sup||/*°(x)|-xe [a,6]} Kết quả thu được sẽ là một số thập phân làm tròn tới k chữ số sau dấu phẩy và sai số không quá 10° 4. Thuật toán: Bước 1: Chọn các mốc nội suy cách đều trên [a,b] thỏa: -* i 27 (b-a)M ¥ Bước 2: Tính J theo công thức: Jef + Gt Bht 2h tot s+ 3a * Shins + Su) b mc +3f,+3f, + 2f, +04 2s +3 fs +3Su4 + Su) * Bước 3: 22 Một Số Vin Đề Vé Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh Lam tròn J tới k chữ số thập phân, được J Bước 4: Xuất kết qua: IxJ dụ 3: Ví Tĩnh tích phán: 3 ij (=In4) 4 bx Giai Bước |: Xét bảy mốc nội suy (k=2, h=~) xs J0 %1 32 2 S2. 3 fit 23 1⁄4 2/5 13 2/7 WW Bước 2: Ap dụng công thức (0.5)Ì =24 Một Sé Vin Dé Vé Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh CHƯƠNG I: NHỮNG VAN DE CƠ BAN VE HAM SPLINE 1.

ĐỊNH NGHĨA NỘI SUY SPLINE BAC BA: Trên đoạn [a,b] cho phân hoạch: Q=X,<X,<. tức là g(x) cùng các đạo hàm cắp một. cắp hai liên tục. 2) Trên mỗi đoạn [x, ,„x, |,k = Ì,n.

g(x) là một đa thức bậc ba. XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY SPLINE: Đặt: h,=x,-x i=in Xét trên đoạn [x, ,,x, |: g(x) là đa thức bậc ba nên g”’(x) là da thức bậc nhất nên g”(x}px*q Ta có: _ Mm, ~ m._ eae = PX,+q R > ps h, 8"(x,)=m, = px, +4 q=m, —^*(m, =m,.Ì Một Số Van Đề Vé Nội Suy Hàm Số GVHD:TS.Trịnh Công Diệu SVTH: Phạm Hữu Danh g"(x)=m, +m, (1.1) i { Tích phân hai lần hai về của (1., ,x-z x-x,, g(x) =m, 6h, +m, 6h, bã A, h + 8, h, A,,B, là các hằng số, có được bằng cách lần lượt thay x = x,,x = x,, vào đẳng thức trên: 3 h? JF sa a as i en h? Ma + A, = Sint (1.2) Xét các đạo hàm bên trai, bên phải tại các điểm x,,X,,.