Nghiên Cứu Về Iđêan Nguyên Tố Đối Liên Kết Và Đồng Điều Địa Phương

Cho M là một R-môđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố đối liên kết với M nếu có một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p = AnnR(L). Tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với M được kí hiệu là CoassR(M) hoặc Coass(M). M được gọi là p-đối nguyên sơ nếu CoassR(M) = {p}. Nghiên cứu này tiếp tục đi sâu vào các iđêan nguyên tố đối liên kết, tìm điều kiện hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương HiI(M) của môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc M.

Luận văn này tập trung nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết và sự hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương HiI(M). Phần đầu tiên của chương này dành cho việc nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết trên phạm trù các môđun, cụ thể như xây dựng mối liên hệ giữa các iđêan nguyên tố đối liên kết với các iđêan nguyên tố liên kết. Bổ đề 2.5: Cho M là một R-môđun. Các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ CoassR(M).

Tính chất của môđun compăc tuyến tính ảnh hưởng đáng kể đến tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết. Việc nghiên cứu các môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và mối liên hệ của chúng với các môđun Artin và môđun hữu hạn là rất quan trọng. Mệnh đề 2.29: Cho M là một R-môđun compăc tuyến tính I-tách. Nếu có một phần tử x ∈ I sao cho CoassR(M/xM) là hữu hạn thì CoassR(M) hữu hạn.

Các tính chất của đồng điều địa phương HiI(M) cũng đóng vai trò then chốt trong việc xác định tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết. Việc nghiên cứu mối liên hệ giữa các môđun đồng điều địa phương và các môđun đối đồng điều địa phương thông qua đối ngẫu Matlis là một hướng tiếp cận hiệu quả. Định lý 2.3: Cho M là một R-môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với R-môđun đồng điều địa phương HiI(M) hữu hạn khi R-môđun HjI(M) hữu hạn với mọi j < i

Đối ngẫu Matlis cho phép chuyển đổi các bài toán về đồng điều địa phương thành các bài toán về đối đồng điều địa phương, và ngược lại. Điều này giúp tận dụng các kết quả đã biết về đối đồng điều địa phương để giải quyết các bài toán về đồng điều địa phương. Bổ đề 1.3: Cho M là một R-môđun. Các khẳng định sau là đúng (ii) Giả sử (R, m) là một vành địa phương. Khi đó với mọi i ≥ 0, HiI(D(M)) ∼ = D(HIi(M)), trong đó D(M) = HomR(M, E) là môđun đối ngẫu Matlis của M và E = E(R/ m) là bao nội xạ của trường đồng dư R/ m.

Việc nghiên cứu các môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc cho phép thu được các kết quả mạnh mẽ về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết. Các môđun này có cấu trúc đặc biệt, cho phép áp dụng các kỹ thuật đại số giao hoán để phân tích và chứng minh các kết quả. Định nghĩa 1. Một R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi là nửa rời rạc nếu mọi môđun con của M đều đóng. Do đó một R−môđun rời rạc là nửa rời rạc. Lớp các R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc chứa tất cả các môđun Artin. Hơn nữa, nó còn chứa tất cả các môđun hữu hạn trong trường hợp R là vành địa phương đầy đủ.

Một trong những điều kiện quan trọng để tập các iđêan nguyên tố đối liên kết là hữu hạn là tính hữu hạn của các môđun đồng điều địa phương bậc thấp hơn. Nếu các môđun đồng điều địa phương HjI(M) hữu hạn với mọi j < i, thì tập các nguyên tố đối liên kết với R-môđun đồng điều địa phương HiI(M) là hữu hạn. Định lý 2.4: Cho M là một R-môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với R-môđun đồng điều địa phương HiI(M) hữu hạn khi I ⊆ Rad(AnnR(HjI(M)))), ∀j < i.

Một điều kiện khác để tập các iđêan nguyên tố đối liên kết là hữu hạn là mối liên hệ giữa iđêan I và annihilator của các môđun đồng điều địa phương. Nếu I chứa trong radical của annihilator của các môđun đồng điều địa phương HjI(M) với mọi j < i, thì tập các nguyên tố đối liên kết với R-môđun đồng điều địa phương HiI(M) là hữu hạn.

Các kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết có thể được sử dụng để suy ra các kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương. Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa hai loại iđêan này. Định lý 2.6: Cho (R, m) là một vành địa phương đầy đủ với tôpô m-adic và M là một R-môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Cho i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương HIi(M) là hữu hạn khi I ⊆ Rad(AnnR(HIj(M)))), ∀j < i.

Trong trường hợp vành địa phương đầy đủ, các kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết có thể được áp dụng cho các môđun hữu hạn sinh. Điều này cho thấy tính hữu dụng của các kết quả này trong việc nghiên cứu các cấu trúc đại số trong các vành địa phương. Định lý 2.8: Cho M là một R-môđun hữu hạn trên một vành địa phương (R, m) và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điệu địa phương HIi(M) là hữu hạn khi môđun HIj(M) là hữu hạn với mọi j<i.

Việc nghiên cứu các môđun compăc tuyến tính tiếp tục là một hướng đi đầy tiềm năng trong việc nghiên cứu các cấu trúc đại số. Các môđun này có cấu trúc phức tạp và đa dạng, cho phép áp dụng nhiều kỹ thuật khác nhau để phân tích và chứng minh các kết quả.

Đối ngẫu Matlis tiếp tục là một công cụ mạnh mẽ trong việc nghiên cứu mối liên hệ giữa các cấu trúc đại số khác nhau. Việc phát triển các kỹ thuật mới để áp dụng đối ngẫu Matlis có thể dẫn đến những khám phá quan trọng trong lĩnh vực đại số giao hoán.