I. Giới thiệu về minimax và cofinite trong môđun đối đồng điều địa phương
Nghiên cứu này tập trung vào việc phân tích các tính chất minimax và cofinite trong môđun đối đồng điều địa phương. Môđun đối đồng điều địa phương là một công cụ quan trọng trong đại số đồng điều, đặc biệt trong việc nghiên cứu cấu trúc của các môđun trên vành Noether. Tính minimax liên quan đến sự tồn tại của các môđun con hữu hạn sinh sao cho môđun thương là Artin, trong khi tính cofinite liên quan đến các môđun có giá chứa trong tập đóng của một iđêan và các môđun Ext hữu hạn sinh. Nghiên cứu này nhằm mục đích làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các tính chất này và ứng dụng của chúng trong lý thuyết môđun.
1.1. Khái niệm minimax và cofinite
Môđun minimax được định nghĩa là môđun có một môđun con hữu hạn sinh sao cho môđun thương là Artin. Tính chất này bao gồm cả môđun Noether và Artin. Môđun cofinite được định nghĩa bởi Hartshorne, là môđun có giá chứa trong tập đóng của một iđêan và các môđun Ext hữu hạn sinh. Cả hai khái niệm này đều có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc của môđun đối đồng điều địa phương.
1.2. Ứng dụng của minimax và cofinite
Các tính chất minimax và cofinite được áp dụng để nghiên cứu chiều hữu hạn của môđun đối đồng điều địa phương. Đặc biệt, chúng giúp xác định các môđun có chiều hữu hạn bậc 1 và bậc 2, đồng thời phân tích các tính chất Lasker yếu của môđun. Nghiên cứu này cũng mở rộng các kết quả của Bahmanpour-Naghipour-Sedghi, cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về cấu trúc của môđun đối đồng điều địa phương.
II. Chiều hữu hạn bậc 1 và tính minimax
Trong chương này, nghiên cứu tập trung vào chiều hữu hạn bậc 1 của môđun đối đồng điều địa phương và mối quan hệ của nó với tính minimax. Chiều hữu hạn bậc 1 được định nghĩa là số nguyên nhỏ nhất mà tại đó môđun đối đồng điều địa phương không còn là minimax. Kết quả chính của nghiên cứu này là chứng minh rằng số nguyên này bằng với chiều hữu hạn bậc 1 của môđun đối với iđêan.
2.1. Định lý về chiều hữu hạn bậc 1
Định lý chính của chương này khẳng định rằng số nguyên nhỏ nhất mà tại đó môđun đối đồng điều địa phương không còn là minimax bằng với chiều hữu hạn bậc 1 của môđun đối với iđêan. Điều này được chứng minh thông qua việc sử dụng các công cụ từ lý thuyết môđun và đại số đồng điều.
2.2. Tính chất minimax của môđun đối đồng điều địa phương
Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng các môđun đối đồng điều địa phương với chiều hữu hạn bậc 1 là minimax và cofinite. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích cấu trúc của các môđun và ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toán học.
III. Chiều hữu hạn bậc 2 và tính Lasker yếu
Chương này tập trung vào chiều hữu hạn bậc 2 của môđun đối đồng điều địa phương và mối quan hệ của nó với tính Lasker yếu. Chiều hữu hạn bậc 2 được định nghĩa là số nguyên nhỏ nhất mà tại đó môđun đối đồng điều địa phương không còn là Lasker yếu. Kết quả chính của nghiên cứu này là chứng minh rằng số nguyên này bằng với chiều hữu hạn bậc 2 của môđun đối với iđêan.
3.1. Định lý về chiều hữu hạn bậc 2
Định lý chính của chương này khẳng định rằng số nguyên nhỏ nhất mà tại đó môđun đối đồng điều địa phương không còn là Lasker yếu bằng với chiều hữu hạn bậc 2 của môđun đối với iđêan. Điều này được chứng minh thông qua việc sử dụng các công cụ từ lý thuyết môđun và đại số đồng điều.
3.2. Tính chất Lasker yếu của môđun đối đồng điều địa phương
Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng các môđun đối đồng điều địa phương với chiều hữu hạn bậc 2 là Lasker yếu. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích cấu trúc của các môđun và ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toán học.
