Chương 1 Tổng quan Năm 1925, trong bài báo [24], R. Nevanlinna công bố kết quả nghiên cứu về sự phân bố giá trị của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Kết quả này khởi đầu mở ra một trong những lí thuyết đẹp của Giải tích phức sau này mang tên ông, còn gọi là Lí thuyết phân bố giá trị. Có thể nhìn Lí thuyết Nevanlinna như là một sự mở rộng tinh tế các Dịnh lí Picard bé, Borel, Weierstrass, Dinh lí cơ bản của Đại số.
Lí thuyết này nhanh chóng được nhiều nhà toán học như Bloch, Cartan, H.Weyl, Ahlfors nghiên cứu mở rộng sang trường hợp chiều cao và liên tục phát triển trong gần 100 năm qua. Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định lí nói về mối quan hệ giữa các hàm đếm, hàm đặc trưng và hàm xấp xỉ, thường gọi là Dịnh lí cơ bản thứ nhất và Dịnh lí cơ bản thứ hai. Định lí cơ bản thứ nhất nói rằng hàm đặc trưng bằng tổng của hàm đếm và hàm xấp xỉ, từ đó cho ta một đánh giá chặn dưới hàm đặc trưng bởi hàm đếm. Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một đánh giá chặn trên hàm đặc trưng bởi tổng của các hàm đếm ứng với một mục tiêu cho trước nào đó.
Trong khi đánh giá của Dịnh lí cơ bản thứ nhất luôn đạt được nhờ vào định nghĩa các khái niệm thì đánh giá của Định lí cơ bản thứ hai mới chỉ đạt được cho không nhiều trường hợp các mục tiêu. Chính vì lẽ đó, Lí thuyết Nevanlinna vẫn tiếp tục được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Không chỉ có những ứng dụng đẹp trong Giải tích phức và Hình học phức, Lí thuyết Nevanlinna còn có mối liên hệ sâu sắc với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine. Mối liên hệ này được Osgood phát hiện và nêu ra trong một công trình của ông công bố năm 1981.
Điều này tiếp tục được làm rõ bởi Vojta cùng các chuyên gia khác thuộc hai lĩnh vực này. Năm 1987, Vojta đã lập ra một bảng tương ứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộc hai lĩnh vực, thường gọi là từ điển Vojta, theo đó Định lí cơ bản thứ hai tương ứng với Định lí không gian con Schmidt của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine.1 Định lí cơ bản thứ hai Trong suốt thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai chủ yếu được thiết lập cho mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh phức. Kết quả của Nevanlinna cho trường hợp một chiều đã được Cartan [7| mở rộng sang trường hợp chiều cao vào năm 1933 như sau. Cho ƒ là một đường cong nguyên, không suụ biến tuyến tính (nghĩa là ảnh của nó không thuộc bất kỳ siêu phẳng nào) trong P"(C).
Giả sử Ih,., Hạ là các siêu phẳng ở tị trí tổng quát trong IP"(C) (nghĩa là n+ 1 siêu phẳng bất kỳ trong chúng có giao bằng rỗng). Cho ƒ là một đường cong nguyên khác hằng trong P"(C). Giả sử Hị,., Hạ là các siêu phẳng ở vi tri tổng quát trong P"(C), không chúa ảnh của ƒƑ. j=l ở đó k là số chiều của không gian zạ ảnh nhỏ nhất chứa ảnh của ƒ.
Định lí cơ bản thứ hai của NÑochka cho ta một hệ quả quan trong đó là định lí kiểu Picard cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh. Theo nguyên lí Bloch, mỗi định lí kiểu Picard đều tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn 5 tắc các ánh xạ chỉnh hình và các dạng Bổ đề Zaleman 1A cong cu quan trong cho phép ta thực hiện ý tưởng của Bloch. Một trong những thành tựu nổi bật mà cả hai lí thuyết nêu trên đạt được từ đầu thế kỷ 21 đến nay là thiết lập thành công các dạng Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu mặt. Cụ thể, trong những năm đầu của thế kỉ 21, các tác giả Everste-Ferretti, Corvaja-Zannier [15, 16, 10] da thiết lập thành công các Định lí không gian con Schmidt cho muc tiêu là các siêu mặt.
Áp dụng cách tiếp cận của các tác giả đó, năm 2004, Ru [31] đã mở rộng thành công Định lí cơ bản thứ hai của Cartan sang trường hợp siêu mặt. Cho f là một đường cong nguyên, không suy biến đại số (nghãa là ảnh của nó không thuộc bắt kỳ siêu mặt nào) trong P"(C). Giá sử Dị,. Khi đó, uới mỗi e > 0 †a có qd 4 Tiếp theo đó, các Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu là các siêu mặt di động ở vị trí tổng quát; cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh (thay cho không gian xạ ảnh) giao các siêu mặt ở vị trí tổng quát cũng đã được Dethloff-Trần Van Tấn [11, 12], Ru [32| thiết lập thành công.
Các Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt cũng đã được thiết lập bởi Dethloff-Trần Văn Tắn-Đỗ Đức Thái [13], Lê Giang [19], Chen-Ru-Yan [8], Sĩ Dức Quang-Dỗ Phương An [30], Si Dttc Quang [29]. Gan đây, Trần Văn Tan [41, 42] đã thiết lập được một dạng mạnh của Định lí cơ bản thứ hai cùng Định lí Picard tương ứng cho lớp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu phẳng mục tiêu. Đồng thời với việc đó, tác giả đã đưa ra cách tiếp cận bài toán họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình từ bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh 6 hình. Hướng nghiên cứu thứ nhất của luận án nhằm mở rộng cách tiếp cận của Trần Văn Tấn từ trường hợp siêu phẳng sang cho siêu mặt.
Chương 2 của luận án trình bày hướng nghiên cứu thứ nhất với kết quả chính đạt được là Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu như sau. Cho V C P"(C) là một đa tạp uới chiều k > 1, 0à Dị,., Dạ là các siêu mặt trong Ph(C), ở tị trí N-dưới tổng quát trên V (có nghĩa là N + 1 siêu mặt bất kỳ trong chứng uới V có giao bằng rong). Œọi d là bội chung nhỏ nhất của các số deg Dị,. Xét ƒ là một đường cong nguyên trong V, không suy biến đại số (có nghĩa là không tồn tại siêu mặt đại số trong IP"(C) chúa ảnh của ƒ nhưng không chứa V).
Kí hiệu ƒ# là đạo hàm cầu của ánh zạ f va Hy la ham Hilbert của da tap V. Giả sử Vợ Dj(j=1,.,q), uới Ƒ# =0 trên UJ—1Ƒ }(Dj). Từ định lí trên chúng tôi đã thiết lập được Dịnh lí Picard tương ứng như sau., Dạ là các siêu mặt ở uị trí tổng quát trong Pˆ(C), ø > 2. Gọi d là bội chung nhỏ nhất của deg Dị,.
Giá sử tồn tại đường cơng nguyên khác hang f trong P"(C) sao cho uới mỗi j € {1,. Sử dụng Dịnh lí Picard trên, kết hợp với Bổ đề Zalecman, chúng tôi tiếp tục thiết lập được một tiêu chuẩn về tính Brody cho đường cong nguyên như sau. Cho ƒ là một đường cong nguyên trong P"(C), ø > 3. Giả sử các siêu mặt Dị,.,D„ 6 vi tri tổng quát trong ĩ P'(C) sao cho Ƒ# bị chặn trên Us_,f-"(Dj).
Gọi d là bội chung nhỏ nhất của deg Dị,. Khi đó, nếu q > 3n("75) —n, thà ƒ?. bị chặn trên toàn C, nghãa la, f la mot dudng cong Brody.2 Định lí không gian con Schmidt Theo từ điển Vojta, ta có Định lí không gian con Schmidt sau đây tương ứng với Định lí cơ bản thứ hai Cartan. Cho k là một trường số 0à $C Mự là một tập hữu hạn, chứa tất cả các định giá Archimedes.
Cho céc siêu phẳng HỊ,.; Hạ trong P"(k), ở vi trí tổng quát. Khi đó, uới mỗi e > 0 ta có 4 (g—n—1—e)h(z) < 3 Ns(Hj,z), j=l udi moi x thudc P"(k), ngodi mét tap la hop ctia hitu han céc phang trong P"(k). a) đâu, Mẹ là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thường trên k, h(œ) la ham dé cao Logarit ctia x, va Ng(Hj,x) la ham đếm của + ứng uới S va siéu phang Hj.) Dinh lí không gian con Schmidt ứng với Dinh lí cơ bản thứ hai của Nochka cũng đã được Ru-Wong [35] thiết lập năm 1991. Kết quả này của Ru-Vojta tương ứng với Dịnh lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động.
Cho k là một trường số uà S là một tập con hữu hạn các định giá của k, chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho A la một tập chỉ số gồm uô hạn phần tử uà ?( := {HI,., Hạ} là họ các siêu phẳng đi động trong P(k), đánh chỉ số trên A. Cho « = [ao : +++: ey): A PM(k) la một điểm dị động. Giả sử (i) « khong suy biến tuyến tính ứng uới họ siêu phẳng ?L (nghĩa là, vdi bat ky tập con A CA nhất quán tương ứng tới họ siêu phẳng ?( thà zo|A,.#mw|a là doc lap tuyén tinh trén Rau), () Giả sử uới mỗi j € {1,.q}, ta có h(H;(a)) = o(h(+(o))), theo nghĩa, uới mọi ô >0 bất kỳ, h(H;(a)) < ðh(œ(a)) uới mợi a € A, ngoại trừ một tập cơn hữu han.
Khi đó, uới mỗi e > 0, tồn tại tap con v6 han chi s6 AC A sao cho bat dang thúc sau đúng uới mọi a€ A, » max S 7 An,(a)u(e(a)) < (M+1+)h(a(a)). ves jek Ỏ đâu, giá trị lớn nhất được lấu trên tất cả các tập con K của {1,.,q}, #K = AM +1 sao cho các siêu phẳng H/(a),j € K, là độc lập tuyến tính trên k uới mỗi œ€A; Àn,(a)„ là hàm Welll ứng uới da thúc H;(o). Định lí không gian con Schmidt ứng với Dinh lí cơ bản thứ hai của Dethloff- Tran Van Tan [11] đã được Lê Giang [18], Chen-Ru-Yan [9] thiết lập vào năm 2015. Các Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát (thay vì ở vị trí tổng quát) trong không gian xạ ảnh được Sĩ Đức Quang nghiên cứu trong [29, 28].
Các Định lí không gian con Schmidt này đều được xét trong trường hợp siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh. Hướng nghiên cứu thứ hai của chúng tôi trong luận án này là thiết lập Định lí không gian con Schmidt cho trường hợp siêu mặt di động trong đa tạp đại số xạ ảnh và là định lí ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethlof-Irần Văn Tấn [12]. Chương 3 của luận án trình bày hướng nghiên cứu này với kết quả chính thu được như sau. Œho k là một trường số tà 9 C My, là một tập con hữu hạn chúa tất cả các định giá Archimedes.
Cho œ = [#o:+'*:#M]|: A —> V là một điểm di động.