Luận án tiến sĩ về tính chất định tính của nghiệm trong các phương trình có trễ và trung tính

Nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm trong các phương trình có trễ và trung tính là một lĩnh vực quan trọng trong toán học. Việc tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp tích phân giúp hình dung rõ hơn về dáng điệu tiệm cận của nghiệm. Các nhà toán học đã có nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề này, từ Hadamard đến Henry, với những kết quả đáng chú ý về sự tồn tại của đa tạp bất biến. Đặc biệt, nghiên cứu về phương trình vi phân có trễ và trung tính đã mở ra nhiều hướng đi mới trong lý thuyết toán học. Các phương pháp như Hadamard và Perron đã được áp dụng để chứng minh sự tồn tại của nghiệm, từ đó tạo ra những kết quả có giá trị trong việc nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm. Những nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính. Đối tượng nghiên cứu bao gồm các lớp phương trình có dạng (1), (2) và (3) với các điều kiện phần tuyến tính và phi tuyến khác nhau. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định và đa tạp tâm ổn định trong không gian hàm chấp nhận được. Các kết quả đạt được sẽ góp phần làm rõ hơn về tính chất định tính của nghiệm trong các phương trình này, từ đó mở rộng kiến thức trong lĩnh vực toán học ứng dụng.

Luận án sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được. Phương pháp này cho phép đánh giá các phần tuyến tính và phi tuyến của phương trình một cách hiệu quả. Đặc biệt, lý thuyết nửa nhóm được áp dụng để phân tích phần tuyến tính, trong khi điều kiện ϕ-Lipschitz được sử dụng để đánh giá phần phi tuyến. Việc áp dụng các phương pháp này không chỉ giúp chứng minh sự tồn tại của nghiệm mà còn làm rõ hơn về tính chất định tính của nghiệm trong các phương trình có trễ và trung tính. Các kết quả thu được từ nghiên cứu này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ lý thuyết đến thực tiễn.

Luận án đã đạt được một số kết quả quan trọng, bao gồm sự tồn tại của đa tạp tích phân chấp nhận được đối với nghiệm của các phương trình (1), (2) và (3). Cụ thể, đã chứng minh được sự tồn tại của đa tạp ổn định và đa tạp tâm ổn định trong các trường hợp khác nhau. Những kết quả này không chỉ đóng góp vào lý thuyết đa tạp bất biến chấp nhận được mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực phương trình vi phân có trễ và trung tính. Các kết quả này đã được công bố trong các hội nghị và seminar, cho thấy tính ứng dụng và giá trị thực tiễn của nghiên cứu.

Luận án được chia thành bốn chương chính, bao gồm phần kiến thức chuẩn bị, nghiên cứu về đa tạp bất biến chấp nhận được đối với các phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính, và các kết quả đạt được. Chương đầu tiên trình bày các khái niệm cơ bản về không gian hàm Banach và nửa nhóm liên tục mạnh. Các chương tiếp theo tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm và các đa tạp ổn định trong các phương trình có trễ và trung tính. Cấu trúc này giúp người đọc dễ dàng theo dõi và hiểu rõ hơn về các kết quả nghiên cứu.